Толық дифференциалды теңдеу

Тағы да квадратураға келтірілетін теңдеулердің бір класын қарастырайық.
Айталық, бірінші ретті дифференциалдық теңдеу х, у бойынша симметриялық дифференциалдық түрінде берілсін:
М(х, y)dx + N.(x, y)dy = 0 (1)
Кейбір жағдайларда, сол жағындағы өрнек бір функцияның толық дифференциалы болуы мүмкін, яғни,
dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. Егер ондай шарт орындалса, онда (1) теңдеуі толық дифференциалды теңдеу деп аталады жане былай жазылады:
dU (x,y) =0 (2)
Онда теңдеудің шешімін мына түрде табуға болады:
U(x; у) - С, С - тұрақты сан.
Осыдан, толық дифференциалды (2) теңдеудің шешімін табу үшін, оның сол жағындығы өрнегін толық дифференциал жасайтын U(x, у) функциясын табу керек екен.
Мысалы cos(x - y)dx - cos(y - x)dx = 0 теңдеуі берілсін. Бұл теңдеудің сол жағы и = sin(x — у) функциясының толық дифференциалы болады, сондықтан, sin(х — у) — С - берілген теңдеудің жалпы интегралы болады. Бұл мысалда U(х,у) функциясы оңай табылды (теңдеу қарапайым болғандықтан). Көп жағдайда оны табу қиынға соғады, тіпті ол болмауы да мүмкін. Сондықтан, жалпы жағдайда, сондай функцияларды табу әдістерін қарастырайық.
Айталық жабық, шенеуді бір байланысты D облысында
M(x,y),N(x,y) және үзіліссіз функциялар болсын.
Сонда Mdx \ Ndy өрнегі D облысында U(x,y) функциясының толық диффереяциалы болу шарты теңдігіне әкелетінін білеміз.
Егер осы теңдік орындалса, онда U(x,y) функциясына