Бір айнымалылы функциялардың интегралдық есептеулері

Жоспар
1. Анықталмаған интеграл.
2. Анықталмаған интегралды интегралдаудың классикалық әдістері.
3. Тригнонометриялық өрнектерді интегралдау

Дифференциалдық есептеуде функциясы беріліп, оның туындысын таптық.
Енді кері есеп қарастырамыз: функцияның туындысы берілген, функцияны табу керек.
Анықтама 1. Егер кесіндісінің барлық нүктелерінде теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының осы кесіндідегі алғашқы бейнесі деп аталады.
Теорема. Егер және -функциясының кесіндісіндегі алғашқы бейнелері болса, онда олардың айырмалары тұрақты сан болады.
Анықтама 2. функциясы -тің алғашқы бейнесі болса, онда өрнегі -функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және символымен белгіленеді. Сонымен, анықтама бойынша егер . -интеграл астындағы (интегралданбақшы) функция, - интеграл астындағы өрнек, интеграл таңбасы.

Негізгі әдебиеттер тізімі.

№ Авторлары Оқу құралы мен кітаптың аты. Басылым, шыққан жылы.
1 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1 М: Наука, 1985
2 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М: Наука, 1985
3 Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М: Наука, 1985
4 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа М: Наука, 1982
5 Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов М: Наука, 1971
6 Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей матем атике Минск: Вышейшая школа,2001

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Бір айнымалылы функциялардың интегралдық есептеулері
Жоспар
1. Анықталмаған интеграл.
2. Анықталмаған интегралды интегралдаудың классикалық әдістері.
3. Тригнонометриялық өрнектерді интегралдау

Дифференциалдық есептеуде F (x) функциясы беріліп, оның туындысын
f ( x) F ( x) таптық.

Енді кері есеп қарастырамыз: функцияның F ( x) f ( x) туындысы берілген,
функцияны F (x) табу керек.
Анықтама 1. Егер [a, b] кесіндісінің барлық нүктелерінде F ( x) f ( x) теңдігі
орындалса, онда F (x) функциясы f (x) функциясының осы кесіндідегі
алғашқы бейнесі деп аталады.
Теорема. Егер F1 ( x) және F2 ( x) f (x) -функциясының [a, b] кесіндісіндегі
алғашқы бейнелері болса, онда олардың айырмалары тұрақты сан болады.
Анықтама 2. F (x) функциясы f (x) -тің алғашқы бейнесі болса, онда F ( x) C
өрнегі f (x) -функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және

f ( x)dx

символымен белгіленеді. Сонымен, анықтама бойынша

f ( x)dx F ( x) C

егер F ( x) f ( x) . f (x) -интеграл астындағы

(интегралданбақшы) функция, f ( x)dx - интеграл астындағы өрнек,
интеграл таңбасы.

Сонымен, анықталмаған интегралды y F ( x) C функцияларының жиыны
түрінде көрсетуге болады.
f (x) -функциясының алғашқы бейнесінің сызбасы графигі, f (x)

функциясының интегралдық қисығы деп аталады.
Функцияның алғашқы бейнесін табу, оны интегралдау деп аталады.
Анықталмаған интегралдың анықтамасынан:
1 Анықталмаған интегралдың туындысы, интеграл астындағы функцияға
тең, яғни егер F ( x) f ( x) болса, онда

f ( x)dx F ( x) C f ( x)

(4)
Анықталмаған интегралдың дифференциалы, интеграл астындағы өрнекке
тең

d

f ( x)dx f ( x)dx

(5)

Функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функция
мен тұрақты шаманың қосындысына тең.

dF ( x) F ( x) C.
Интегралдың таблицасы

x 1

x
dx

C,

( 1) .
dx
ln x C

x
.

sin xdx cos x C

cos xdx sin x C

dx

5. cos
dx

sin

x

x

tgx C

ctgx C

.

tgxdx ln cos x C .

ctgxdx ln sin x C .

dx e x C

dx

.

.

x

a

1 x

a x

x

.

x

dx

a
C
ln a
.

arctgx C

.

dx
x
arctgx C
a
a
x
.

arcsin x C

.

dx

1 x

a

dx

.

e

arcsin

x
C
a

.

dx
a x
a 2 x 2 2a ln a x C
.
dx
2
x 2 a 2 ln x x a C
.

Бұл теңдіктердің дұрыстығын (әділдігін) дифференциалдау арқылы
анықтауға болады, яғни оң жағының туындысы интегралдың
астындағы функцияны береді.
Анықталмаған интегралдың қасиеттерi.
Теорема 1. Бiрнеше функциялардың алгебралық қосындысының
анықталмаған интегралы, осы интегралдардың алгебралық қосындысына
тең

f

( x) f 1 ( x) dx f 1 ( x) f 2 ( x)dx

.
(1)
Теорема 2. Тұрақты көбейткiштi интеграл таңбасының алдына шығаруға
болады

a f ( x)dx a f ( x)dx .

(2)
Теорема 3. (Интегралдау формуласының инварианттылығы). Интегралдау
формуласы
тәуелсіз
айнымалы
шаманың
орнына,
оның
дифференциалданатын функциясын қойғанда өзінің түрін сақтайды.
f ( x)dx F ( x) C сонда f (u )du F (u ) C
(3)
Мұнда u (x) -кез-келген x -тің дифференциал функциясы.
Интегралдарды есептегенде мына заңдылықтарды (ережені) пайдалану керек.

1

Егер f ( x)dx F ( x) C , онда

f (ax)dx a F (ax) C

(4)

f ( x b)dx F ( x b) C

(5)

f (ax b)dx a F (ax b) C
f ( x )
df ( x)
du
f ( x) dx f ( x) u ln u C ln f ( x) C.

(6)

Айнымалыны алмастыру арқылы интегралдау

f ( x)dx

интегралын табу керек.
Интеграл астындағы өрнекте айнымалыны алмастырамыз
x (t )

(1)
Мұнда (t ) -өзі де және туындысы да үздіксіз функция, кері функциясы бар
функция. Сонда dx (t )dt

f ( x)dx f (t ) (t )dt

(2)
Интегралданғаннан кейін, теңдіктің оң жағында t -ның орнына x -ті қоямыз.
Теңдіктің оң және сол жағындағы өрнектердің бірдей екендігін көрсету үшін,
олардың x -бойынша туындылары бір-біріне тең екенін көрсету керек. Оң
жағы t -ның күрделі функциясы, x -бойынша дифференциалдаймыз, t -аралық
аргумент.
dx
dx

(t )
dt
кері функцияны дифференциалдау ережесі бойынша dt (t ) .
( f (t ) (t )dt ) x

Сонда

( f (t ) (t )dt ) t dt dx f (t ) (t ) 1 (t ) f ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.