Сызықтық кеңістік

Жоспар

1. Сызықты кеңістік: анықтама, өлшемділігі, базис және элементтерді базис бойынша жіктеу.
2. Сызықты кеңістіктің изоморфмдылығы.

Бұл модульде қандайда бір әдіспен элементтерді қосу және нақты санға элементті көбейту амалдары анықталып, сонымен қатар айтылған амалдар геометриялық векторларға жүргізілген амалдар секілді олардың қасиеттеріне ие болатын табиғатта кездесетін көптеген объектілер қарастырылады. Мұндай жиындар сызықты кеңістіктер деп аталып, осы модулде бекітілетін бірқатар қасиеттерге ие болатынын көреміз

Негізгі әдебиеттер.
№ Кітап аты Автор Шығарылу жылы
1 Лекции по алгебре Д.К. Фаддеев Москва «Наука» 1984г.
2 Геометрия(часть 1) Л.С. Атанасян В.Т. Базылев Москва «Просвещение» 1986г.
3 Алгебра 1том, 2 том А.Ж Жетпісов., М К. Сексенбаев Алматы «Баспа»

4 Курс высшей алгебры А.Г. Курош Москва «Наука» 1975г.
5 Аналитическая геометрия В.К.Ильин
Э.Г. Позняк Москва «Наука» 1988г.
6 Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері Т.Б.Булабаев
Ғ.С. Матақаева Алматы «Білім» 1995 ж.
7 Задачи по высшей алгебре Д.К. Фадеев, И.С. Соминский Санкт-Петербург «Лань» 2001г.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Сызықтық кеңістік
Жоспар
1. Сызықты кеңістік: анықтама, өлшемділігі, базис және

элементтерді базис бойынша жіктеу.
2. Сызықты кеңістіктің изоморфмдылығы.

Бұл модульде қандайда бір әдіспен элементтерді қосу және нақты санға
элементті көбейту амалдары анықталып, сонымен қатар айтылған амалдар
геометриялық векторларға жүргізілген амалдар секілді олардың қасиеттеріне
ие болатын табиғатта кездесетін көптеген объектілер қарастырылады.
Мұндай жиындар сызықты кеңістіктер деп аталып, осы модулде
бекітілетін бірқатар қасиеттерге ие болатынын көреміз
Анықтама 1. Еркін алынған
элементтерден құралған
L

l1, l2 , ... l n

жиынын сызықты кеңістік деп, ал оның элементтерін – векторлар деп
атаймыз, егер төмендегі үш шарт орындалса:
жиынының кез келген екі және
элементтері үшін осы
L

l1

жиынның үшінші

l3

элементі сәйкес қойылатын екі

қосындысы деп аталатын және
болады.

L

l2

l3 l1 l2

l1

және

l1

l2

элементтің

символымен белгіленетін ереже бар

жиынының кез келген элементі мен кез келген

осы жиынның екінші

l2

нақты саны үшін

элементі сәйкес келетін элементінің кез келген
l1

нақты санына көбейтіндісі деп аталатын және

l2 l1

немесе

l2 l1

символымен белгіленетін ереже бар болады.
3. Айтылған ережелер келесі 8 аксиомаға бағынады:
3.1) коммутативті қосу
;
l1 l2 l2 l1

3.2) ассоциативті қосу
3.3) кез келген

l1 L

l1 (l2 l3 ) (l1 l 2 ) l3

элементі үшін

нөлдік элемент бар болады;
3.4) кез келген
элементі үшін
l1 L

l1 L

;

l1 0 l1

орындалатындай

l1 ( l1 ) 0

орындалатындай

қарама-қарсы элемент бар болады;

3.5) кез келген

l1 L

элементі үшін

1 l1 l1

0 L

теңдік орындалады;

3.6) кез келген

l1 L

элементі үшін және кез келген

сандары үшін келесі теңдік орынды:

l1 l1

l1 L

қатысты дистрибутивтік қасиет );
3.8) кез келген
және
l1 L

үшін

саны

теңдік

келесі

l2 L

l1 l1 l1

(сандық көбейткішке

қатысты ассоциативтік қасиет );
3.7) кез келген
элементі үшін және кез келген
сандары үшін келесі теңдік орынды:

және

және

(сандық көбейткішке

элементтері үшін және кез келген

орынды:

l1 l2 l1 l2

(элементтердің

қосындысына қатысты дистрибутивтік қасиет );
сызықты кеңістіктің элементтерін көбіне векторлар деп атайды.
L

Егер анықтаманың 2) шарттындағы

нақты сан болса, онда

L

сызықты кеңістігін нақты сызықты кеңістік деп атаймыз.
Сызықты кеңістік ұғымын түсіндіру барысында табиғаттағы
зерттелетін объектілер ғана емес, сонымен қатар элементтерді қосу және
элементті санға көбейту ережелерінің нақты түріне назар аударылады.( ең
маңыздысы бұл ережелер 8 аксиоиманы қанағаттандыруы тиіс)
Векторлық алгебра атты №2 модульде векторлардың сызықты
тәуелділігі жайлы айтылған болатын. Бұл ұғымды сызықты кеңістіктегі
элементтердің сызықты тәуелділігі ары қарай қорытындылайды.
элементтері бар нақты сызықты кеңістігін қарастырайық.
L

l1, l2 , ... l n

Анықтама

l1, l2 , ... l n

комбинациясы деп, осы элементтердің
көбейтіндісінің қосындысын айтамыз, яғни

кез

с1l1 с2l 2 ... сnln

мұндағы

с1, с2 ,..., сn

жүйесінің

элементтер

келген

,

сызықты

нақты

санға
(1)

- кез келген нақты сандар.

Анықтама 3.

L

кеңістігінің

l1, l2 , ... l n

тәуелді деп аталады, егер нөлге тең емес

элементтер жүйесі сызықты
с1 , с2 ,..., сm

тұрақтылары бар болып,

төмендегі теңдік орындалса:
с1l1 с2l 2 ... сmlm 0

.

(2)

Анықтама 4.

кеңістігінің

L

l1, l2 , ... l n

элементтер жүйесі сызықты

тәуелсіз деп аталады егер нөлге тең емес

с1 , с2 ,..., сm

тұрақтылары үшін

төмендегі теңдік орындалса:

(3)

с1l1 с2l 2 ... сmlm 0

Теорема 1.

L

кеңістігінің

l1, l2 , ... l n

элементтер жүйесі сызықты тәуелді

болуы үшін осы элементтердің бірі қалған элементтердің сызықты
комбинациясы болуы қажетті және жеткілікті.
Кері тұжырым элементтердің сызықты тәуелсіз қағидасын
сипаттайды.
Егер
кеңістігінің
элементтер жүйесінің бір элементі қалған
L

l1, l2 , ... l n

элементтердің сызықты комбинациясы бола алмаса, онда

l1, l2 , ... l n

элементтер

жүйесі сызықты тәуелсіз.
Сызықты кеңістік аксиомаларынан бірнеше қарапайым қасиеттер
туындайды:
1-қасиет. Егер кеңістігінің
элементтерінің арасында нөлдік
L

l1, l2 , ... l n

элемент бар болса, онда элементтер жүйесі сызықты тәуелді.
2-қасиет. Егер
кеңістігінің
элементтер жүйесінде сызықты
L

l1, l2 , ... l n

тәуелді ішкі жүйе бар болса, онда ол сызықты тәуелді.
3-қасиет Егер
элементтер жүйесі сызықты тәуелсіз болса,
l1, l2 , ... l n

онда оның кез келген ішкі жүйесі де сызықты тәуелсіз болады.
Сызықты кеңістікте кез келген вектордың сызықтық комбинациясын
құруға болады.
Векторлық алгебра атты №2 модульде мұндай жолдар көптеп
қарастырылған.
кеңістігінде кез келген екі коллинеар емес вектор базис
R2

құрады және бұл жұп векторлар арқылы жазықтықтағы кез келген вектор
сызықты тәуелді комбинация түрінде анықталады.
Сәйкесінше
R3

(кеңістіктегі векторлар жиыны) кеңістігінде кез келген үш компланар емес
веторлар базис құрайды.
Анықтама 5.
кеңістігінің
элементтерінің сызықты тәуелсіз
L

жүйесін
l1

L

e1 , e2 ,..., en

сызықты кеңістігінің базисі деп атайды, егер

элементі үшін

l11 , l21, ... l n1

L

кеңістігінің әрбір

нақты сандары табылып, келесі теңдік орындалса,

l1 l11e1 l21e2 ... ln1en

Сонымен қатар (4) теңдік
жіктелуі деп,
аталады. (

l11 , l21, ... l n1

e1, e2 ,..., en

l1

элементінің

сандары

l1

.

(4)

e1 , e2 ,..., en

базисі бойынша

элементінің координаталары деп

базасына қатысты).

Базис бойынша жіктелудің бар болуы және оның жалғыз болуы
туралы теорема. Сызықты кеңістікте кез келген элементтің базис бойынша
жіктелуі жалғыз болады.
Базис анықтамасынан ол қысқартылған элементтер жүйесі екенін
байқаймыз. Ал бұл, жүйедегі элементтердің ретін өзгертіп, басқа базис
алатынымызды көрсетеді. Базистегі элементтер ретін кез келген элементті
жіктеудегі коэффициенттердің ретін анықтау үшін белгілейді. Бұл жағдай
сызықты комбинацияны өзгертуге алып келеді және нәтижесінде жазу
біршама ықшамдалады. Базистегі элементтер реті нөмірлер арқылы
анықталады.
Базисте ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.