Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері. Крамер формуласы
Жоспар
1. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері.
2. Анықтауыш қасиеттері. n.ші ретті анықтауыштар.
3. Крамер формуласы
1. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері.
2. Анықтауыш қасиеттері. n.ші ретті анықтауыштар.
3. Крамер формуласы
Анықтауыштың математикалық мағынасы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешумен тығыз байланысты.
Үшінші ретті анықтауыштың оң жағындағы өрнек үшбұрыш ережесі немесе Саррюс ережесі деп аталады. Оның алғашқы үш мүшесінің біріншісі бас диагональда түрған элементтердің көбейтінді, ал қалған екеуі оған параллель жатқан кіші диагоналдардан қарама-қарсы бұрыштағы элементпен үшбұрыш жасап, олардың төбесіндегі элементтердің көбейтіндісі болса, ал қалған соңғы үш қосылғыш осы тәсілмен қосымша диагоналда және жасалынған үшбұрыштардың төбелерінде жатқан элементтердің көбейтінділерін қарама-қарсы таңбамен алған сандар болып табылады. Аналогиялық түрде жоғарыда айтылғандай анықтауыш элементін деп жазады, мұндағы бірінші индекс i жол санын, ал екінші индекс j- баған санын көрсетеді.
Үшінші ретті анықтауыштың оң жағындағы өрнек үшбұрыш ережесі немесе Саррюс ережесі деп аталады. Оның алғашқы үш мүшесінің біріншісі бас диагональда түрған элементтердің көбейтінді, ал қалған екеуі оған параллель жатқан кіші диагоналдардан қарама-қарсы бұрыштағы элементпен үшбұрыш жасап, олардың төбесіндегі элементтердің көбейтіндісі болса, ал қалған соңғы үш қосылғыш осы тәсілмен қосымша диагоналда және жасалынған үшбұрыштардың төбелерінде жатқан элементтердің көбейтінділерін қарама-қарсы таңбамен алған сандар болып табылады. Аналогиялық түрде жоғарыда айтылғандай анықтауыш элементін деп жазады, мұндағы бірінші индекс i жол санын, ал екінші индекс j- баған санын көрсетеді.
Негізгі әдебиеттер тізімі.
№ Авторлары Оқу құралы мен кітаптың аты. Басылым, шыққан жылы.
1 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1 М: Наука, 1985
2 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М: Наука, 1985
3 Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М: Наука, 1985
4 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа М: Наука, 1982
5 Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов М: Наука, 1971
6 Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей матем атике Минск: Вышейшая школа,2001
№ Авторлары Оқу құралы мен кітаптың аты. Басылым, шыққан жылы.
1 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1 М: Наука, 1985
2 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М: Наука, 1985
3 Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М: Наука, 1985
4 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа М: Наука, 1982
5 Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов М: Наука, 1971
6 Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей матем атике Минск: Вышейшая школа,2001
Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері.
Крамер формуласы
Жоспар
Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері.
2. Анықтауыш қасиеттері. n-ші ретті анықтауыштар.
3. Крамер формуласы
Екінші ретті квадрат матрицаны
a
A 11
a21
a12
a22
2-ші ретті А
матрицасының анықтауышы (детерминант) деп аталатын ұғыммен
сәйкестендіруге болады. Анықтауыштың математикалық мағынасы
сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешумен тығыз байланысты.
Анықтама. Екінші ретті анықтауыш деп
a11
a12
a 21
a 22
белгісімен белгіленіп,
a11
a12
a 21
a 22
a11 a 22 a12 a 21
теңдігімен анықталған санды айтады.
aij
i 1,2,
j 1,2
сандары анықтауыштың элементтері деп,
a11 , a 22
орналасқан анықтауыштың диагоналын – бас диагональ , ал
- сандары
a12 , a 21
-
сандары орналасқан диагоналды қосымша диагональ деп атайды.
- элементтінің миноры
деп, берілген анықтауыштың -ші жатық
ai ,
жолы мен
M ij
j
i
-ші бағанасын сызып тастағаннан шыққан анықтауышты айтады.
Мысалы,
M 11
ai ,
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a32
a33
a22
a23
a32
a33
анықтауыштың
a11
элементтінің
миноры
,
- элементің алгебралық толықтауышы -
Aij
деп
Aij ( 1)i j M ij
формуласымен анықталған анықтауышты айтады.
Үшінші ретті квадрат матрицаны
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
3-ші ретті
A
матрицаның анықтауышы (детерминант) деген ұғыммен сәйкестендіруге
болады.
Анықтама. Үшінші ретті анықтауыш деп
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
белгісімен белгіленетін,
a11
a12
a13
a21 a22
a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31
a31 a32
a33
a13 a21 a32 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32
теңдігімен анықталған санды айтады.
Үшінші ретті анықтауыштың оң жағындағы өрнек үшбұрыш
ережесі немесе Саррюс ережесі деп аталады. Оның алғашқы үш мүшесінің
біріншісі бас диагональда түрған элементтердің көбейтінді, ал қалған екеуі
оған параллель жатқан кіші диагоналдардан қарама-қарсы бұрыштағы
элементпен үшбұрыш жасап, олардың төбесіндегі элементтердің көбейтіндісі
болса, ал қалған соңғы үш қосылғыш осы тәсілмен қосымша диагоналда
және жасалынған үшбұрыштардың төбелерінде жатқан элементтердің
көбейтінділерін қарама-қарсы таңбамен алған сандар болып табылады.
Аналогиялық түрде жоғарыда айтылғандай анықтауыш элементін
деп
аij
жазады, мұндағы бірінші индекс i жол санын, ал екінші индекс j- баған
санын көрсетеді. Негізгі диагональ элементтері диагональ элементтері ai ,
а13 , а22 , а31
- элементтінің миноры
M ij
а11 , а22 , а33
, ал қосымша
.
деп, берілген анықтауыштың -ші жатық жолы
i
мен -ші бағанасын сызып тастағаннан шыққан анықтауышты айтады.
j
Мысалы,
M 11
ai ,
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a32
a33
a22
a23
a32
a33
– ші анықтауыштың
a11
элементтінің миноры
,
- элементің алгебралық толықтауышы -
Aij
деп
формуласымен анықталған анықтауышты айтады.
Мысалы.
– ші анықтауыштың
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a31
a 32
a33
Aij ( 1)i j M ij
a11
элементінің алгебралық
толықтауышы
A11 1
1 1
M 11
a 22
a 23
a32
a33
Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу үшін келесі
анықтауыштар қасиеті пайдаланылады:
1. Егер анықтауыштың барлық жатық жолдарын соған сәйкес нөмірлі
бағандармен орын ауыстырсақ,одан анықтауыштың шамасы өзгермейді.
2. Анықтауыштың екі бағанын немесе екі жатық жолын өзара
алмастырсақ,онда анықтауыштың мәні теріс таңбаға ие болады.
3. Егер анықтауыштың екі бағаны немесе екі жатық жолы бірдей болса,онда
анықтауыш нөлге тең.
4. Анықтауыштың бір бағанының, не бір жатық жолының барлық
элементтерін кез келген бір К санға көбейтсек,ол анықтауышты сол сан ға
көбейткенге тең.
5. Егер анықтауыштың кез келген бағанының не жатық жолының сәйкес
элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыштың өзі де нөлге тең.
6. Егер анықтауыштың екі бағанының не жатық жолының сәйкес элементтері
пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең.
3-ші ретті
анықтауышты есептеу әдістері:
A
1) анықтауышты үшбұрыштар ережесі бойынша есептеу (3-ші ретті
анықтауыштың анықтамасы пайдаланылады);
2) анықтауышты кез келген жолдың (кез келген бағаннаң) элементтерін
жіктеу арқылы есептеу (жоғарыда көрсетілген 8 ереже пайдаланылады);
3) анықтауышты нөлге айналдыру әдісі арқылы есептеу
(немесе
анықтауыш ретін төмендету арқылы ) (жоғарыда көрсетілген 7 ереже
пайдаланылады ).
Кез келген
-ші ретті
матрицаны берілген
n
а11
а
А 21
...
а
n1
а12
а22
...
аn 2
A
... а1n
... а2 n
... ...
... аnn
матрицасының анықтауышы (детерминант) деп
сәйкестендіруге болады және төмендегідей белгілейді:
.
а11
а
A 21
...
а n1
а12
а 22
...
аn2
аталатын
ұғыммен
... а1n
... а 2 n
... ...
... а nn
2-ші және 3-ші ретті анықтауыштар үшін арналған барлық қасиеттер
n
-
ші ретті анықтауыштарға да орындалады.
Үшбұрыш түріндегі матрицаға (немесе үшбұрышты матрицаға)
сәйкесінше үшбұрыш түріндегі анықтауыш сәйкес келеді.
Үшбұрыш түріндегі анықтауыш негізгі диагональ бойындағы
элементтердің көбейтіндісіне тең.
1
n x1 , x 2 ,..., x n
a1 a1
a2 a2
an an
n 1
a1
n 1
a2
n 1
an
түріндегі анықтауыш Вандермонд анықтауышы деп аталады, және ол кез
келген n –нің мәнінде барлық мүмкін болатын
көбейтіндісіне тең,
аi а j
мұндағы
1 j i n
.
a11 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Крамер формуласы
Жоспар
Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері.
2. Анықтауыш қасиеттері. n-ші ретті анықтауыштар.
3. Крамер формуласы
Екінші ретті квадрат матрицаны
a
A 11
a21
a12
a22
2-ші ретті А
матрицасының анықтауышы (детерминант) деп аталатын ұғыммен
сәйкестендіруге болады. Анықтауыштың математикалық мағынасы
сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешумен тығыз байланысты.
Анықтама. Екінші ретті анықтауыш деп
a11
a12
a 21
a 22
белгісімен белгіленіп,
a11
a12
a 21
a 22
a11 a 22 a12 a 21
теңдігімен анықталған санды айтады.
aij
i 1,2,
j 1,2
сандары анықтауыштың элементтері деп,
a11 , a 22
орналасқан анықтауыштың диагоналын – бас диагональ , ал
- сандары
a12 , a 21
-
сандары орналасқан диагоналды қосымша диагональ деп атайды.
- элементтінің миноры
деп, берілген анықтауыштың -ші жатық
ai ,
жолы мен
M ij
j
i
-ші бағанасын сызып тастағаннан шыққан анықтауышты айтады.
Мысалы,
M 11
ai ,
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a32
a33
a22
a23
a32
a33
анықтауыштың
a11
элементтінің
миноры
,
- элементің алгебралық толықтауышы -
Aij
деп
Aij ( 1)i j M ij
формуласымен анықталған анықтауышты айтады.
Үшінші ретті квадрат матрицаны
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
3-ші ретті
A
матрицаның анықтауышы (детерминант) деген ұғыммен сәйкестендіруге
болады.
Анықтама. Үшінші ретті анықтауыш деп
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
белгісімен белгіленетін,
a11
a12
a13
a21 a22
a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31
a31 a32
a33
a13 a21 a32 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32
теңдігімен анықталған санды айтады.
Үшінші ретті анықтауыштың оң жағындағы өрнек үшбұрыш
ережесі немесе Саррюс ережесі деп аталады. Оның алғашқы үш мүшесінің
біріншісі бас диагональда түрған элементтердің көбейтінді, ал қалған екеуі
оған параллель жатқан кіші диагоналдардан қарама-қарсы бұрыштағы
элементпен үшбұрыш жасап, олардың төбесіндегі элементтердің көбейтіндісі
болса, ал қалған соңғы үш қосылғыш осы тәсілмен қосымша диагоналда
және жасалынған үшбұрыштардың төбелерінде жатқан элементтердің
көбейтінділерін қарама-қарсы таңбамен алған сандар болып табылады.
Аналогиялық түрде жоғарыда айтылғандай анықтауыш элементін
деп
аij
жазады, мұндағы бірінші индекс i жол санын, ал екінші индекс j- баған
санын көрсетеді. Негізгі диагональ элементтері диагональ элементтері ai ,
а13 , а22 , а31
- элементтінің миноры
M ij
а11 , а22 , а33
, ал қосымша
.
деп, берілген анықтауыштың -ші жатық жолы
i
мен -ші бағанасын сызып тастағаннан шыққан анықтауышты айтады.
j
Мысалы,
M 11
ai ,
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a32
a33
a22
a23
a32
a33
– ші анықтауыштың
a11
элементтінің миноры
,
- элементің алгебралық толықтауышы -
Aij
деп
формуласымен анықталған анықтауышты айтады.
Мысалы.
– ші анықтауыштың
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a31
a 32
a33
Aij ( 1)i j M ij
a11
элементінің алгебралық
толықтауышы
A11 1
1 1
M 11
a 22
a 23
a32
a33
Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу үшін келесі
анықтауыштар қасиеті пайдаланылады:
1. Егер анықтауыштың барлық жатық жолдарын соған сәйкес нөмірлі
бағандармен орын ауыстырсақ,одан анықтауыштың шамасы өзгермейді.
2. Анықтауыштың екі бағанын немесе екі жатық жолын өзара
алмастырсақ,онда анықтауыштың мәні теріс таңбаға ие болады.
3. Егер анықтауыштың екі бағаны немесе екі жатық жолы бірдей болса,онда
анықтауыш нөлге тең.
4. Анықтауыштың бір бағанының, не бір жатық жолының барлық
элементтерін кез келген бір К санға көбейтсек,ол анықтауышты сол сан ға
көбейткенге тең.
5. Егер анықтауыштың кез келген бағанының не жатық жолының сәйкес
элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыштың өзі де нөлге тең.
6. Егер анықтауыштың екі бағанының не жатық жолының сәйкес элементтері
пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең.
3-ші ретті
анықтауышты есептеу әдістері:
A
1) анықтауышты үшбұрыштар ережесі бойынша есептеу (3-ші ретті
анықтауыштың анықтамасы пайдаланылады);
2) анықтауышты кез келген жолдың (кез келген бағаннаң) элементтерін
жіктеу арқылы есептеу (жоғарыда көрсетілген 8 ереже пайдаланылады);
3) анықтауышты нөлге айналдыру әдісі арқылы есептеу
(немесе
анықтауыш ретін төмендету арқылы ) (жоғарыда көрсетілген 7 ереже
пайдаланылады ).
Кез келген
-ші ретті
матрицаны берілген
n
а11
а
А 21
...
а
n1
а12
а22
...
аn 2
A
... а1n
... а2 n
... ...
... аnn
матрицасының анықтауышы (детерминант) деп
сәйкестендіруге болады және төмендегідей белгілейді:
.
а11
а
A 21
...
а n1
а12
а 22
...
аn2
аталатын
ұғыммен
... а1n
... а 2 n
... ...
... а nn
2-ші және 3-ші ретті анықтауыштар үшін арналған барлық қасиеттер
n
-
ші ретті анықтауыштарға да орындалады.
Үшбұрыш түріндегі матрицаға (немесе үшбұрышты матрицаға)
сәйкесінше үшбұрыш түріндегі анықтауыш сәйкес келеді.
Үшбұрыш түріндегі анықтауыш негізгі диагональ бойындағы
элементтердің көбейтіндісіне тең.
1
n x1 , x 2 ,..., x n
a1 a1
a2 a2
an an
n 1
a1
n 1
a2
n 1
an
түріндегі анықтауыш Вандермонд анықтауышы деп аталады, және ол кез
келген n –нің мәнінде барлық мүмкін болатын
көбейтіндісіне тең,
аi а j
мұндағы
1 j i n
.
a11 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz