Нақты сандар және олардың қасиеттері. Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану
I Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
II Негізгі бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 7
2.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... 7
2.2 Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... . 11
2.3 Рационал және иррационал сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
2.4 Нақты сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... 27
III Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 33
IV Қорытынды бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 48
II Негізгі бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 7
2.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... 7
2.2 Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... . 11
2.3 Рационал және иррационал сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
2.4 Нақты сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... 27
III Практикалық бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 33
IV Қорытынды бөлім ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 48
КІРІСПЕ
Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп әрі жалпылана түскен. Адамзат мәдениетінің тууы және оның дамуымен тығыз байланысты ұғым — сан ұғымы. Тарихтан бұрынғы заманда сан ұғымының тууы және дамуы тіл дамуымен байланысты болды, өйткені әр санды атау үшін тіл керек. Міне осы мәселелерді материалистік тұрғыдан талдап, танып білу жаратылыстану ғылымдар философиясындағы мақсаттардың бірі болып табылады. Буржуазиялық идеалистік «теория» сан ұғымы адамға туа біткен табиғи категория деп тұжырымдайды. Неміс математигі Кронекер « 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... натурал сандарды жасаған құдай, қалғандары -адамзаттың қолындағы іс» дейді.
Математиканың алғашқы ұғымы — сан ұғымының тууына түрткі болған адамның еңбек әрекеті. Еңбектену әрекетінде оған бұйымның мөлшерін өлшеп білу керек болды. Әрине бұл ұғым бір күннің, әйтпесе бір жылдың тіпті бір ғасырдың ішінде қалыптаса қойған жоқ. Сан ұғымының қалыптасуына мыңдаған жылдар керек болды.
Адамзат мәдениет есігін аша бастаған шақта, ең алдымен натурал сандарды қолданды. Олар мыналар: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... жеке заттарды санаудың нәтижесінен келіп шыққан бұл сандар адамзат мәдениетінің ең негізгі табыстарының бірі болып табылады. Егер сан ұғымы болмаса, рухани өміріміз бен практикалық қызметімізді өз дәрежесінде көрсете алмаған болар едік, есеп-қисап жүргізу, уақытты, қашықтықты өлшеу, еңбек нәтижелерінің қорытындыларын есептеп шығару сан ұғымынсыз мүмкін болмаған болар еді.
Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ уақыт бойы “жалған” сандар деп есептеліп, “қарыз” (“борыш”), “жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту жағдайлары үшін ғана ғарастырылып отырған.
XVII ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла бастағаннан бері теріс сандар оң сандар мен тең праволы сандар ретінде қабылданады. Бүтін және бөлшек сандар рационал жиынын құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі рационал сандар болып табылады.
Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез келген кесіндісі бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімін кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы адамзаттың іс жүзінде қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грецияда Пифагордың (біздің заманымызға дейінгі 6 ғасырда) мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын рационал санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың диагоналы және оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған. Бұдан кейінгі уақытта (біздің заманымызға дейінгі 5-4 ғасырларда) ежелгі грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны үшін n санының иррационалдығын дәлелдеді.
Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында нүктемен кескінделеді және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір нүктеге белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес келеді. Иррационал сандар ендірілгеннен кейін координаттық түзудің бойындағы барлық “бос орындар” толтырылды. Осы қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны үздіксіз болып табылады делінеді.
Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз) ондық бөлшек түрінде көрсетуге болады. XVIII ғасырда Л.Эйлер (1707-1783) мен И. Ламберт (1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын көрсетеді. Шектеусіз ондық бөлшектер негізінде нақты сандар құруды неміс математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын мазмұндаудың басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р.Дедекинд (1831-1897) пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.
Курстық жұмыстың мақсаты:
Нақты сандар және олардың қасиеттері туралы үйрену және олардың қасиеттерін зерттеу. Арифметикалық амалдар қолдану арқылы есептер шығару арқылы тақырыпты пысықтау. Теорияда берген материалдары тәжірибеде іске асыру.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- санның шығу тарихы туралы түсінік беру;
- мектеп курсында оқытылатын сандар туралы түсінік қалыптастыру;
- сандардың қасиеттерін ұғындыру;
- әр түрлі қасиетке ие болатын сандарды зерттеу.
Жұмыстың зерттелу деңгейі:
Егер сандар туралы тереңірек зерттеп, оқып үйренсе, онда әрбір адам математиканың қаншалықты қажеттілігін толық түсінер еді.
Сандар мен оларға қолданылатын амалдардың қасиеттері зерттелетін математиканың бөлімі сандар теориясы деп аталады. Сандар теориясын құрудың бастамасын ежелгі грек оқымыстылары Пифагор, Евклид, Эратосфен және т.б. жасаған еді.
Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп әрі жалпылана түскен. Адамзат мәдениетінің тууы және оның дамуымен тығыз байланысты ұғым — сан ұғымы. Тарихтан бұрынғы заманда сан ұғымының тууы және дамуы тіл дамуымен байланысты болды, өйткені әр санды атау үшін тіл керек. Міне осы мәселелерді материалистік тұрғыдан талдап, танып білу жаратылыстану ғылымдар философиясындағы мақсаттардың бірі болып табылады. Буржуазиялық идеалистік «теория» сан ұғымы адамға туа біткен табиғи категория деп тұжырымдайды. Неміс математигі Кронекер « 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... натурал сандарды жасаған құдай, қалғандары -адамзаттың қолындағы іс» дейді.
Математиканың алғашқы ұғымы — сан ұғымының тууына түрткі болған адамның еңбек әрекеті. Еңбектену әрекетінде оған бұйымның мөлшерін өлшеп білу керек болды. Әрине бұл ұғым бір күннің, әйтпесе бір жылдың тіпті бір ғасырдың ішінде қалыптаса қойған жоқ. Сан ұғымының қалыптасуына мыңдаған жылдар керек болды.
Адамзат мәдениет есігін аша бастаған шақта, ең алдымен натурал сандарды қолданды. Олар мыналар: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... жеке заттарды санаудың нәтижесінен келіп шыққан бұл сандар адамзат мәдениетінің ең негізгі табыстарының бірі болып табылады. Егер сан ұғымы болмаса, рухани өміріміз бен практикалық қызметімізді өз дәрежесінде көрсете алмаған болар едік, есеп-қисап жүргізу, уақытты, қашықтықты өлшеу, еңбек нәтижелерінің қорытындыларын есептеп шығару сан ұғымынсыз мүмкін болмаған болар еді.
Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ уақыт бойы “жалған” сандар деп есептеліп, “қарыз” (“борыш”), “жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту жағдайлары үшін ғана ғарастырылып отырған.
XVII ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла бастағаннан бері теріс сандар оң сандар мен тең праволы сандар ретінде қабылданады. Бүтін және бөлшек сандар рационал жиынын құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі рационал сандар болып табылады.
Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез келген кесіндісі бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімін кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы адамзаттың іс жүзінде қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грецияда Пифагордың (біздің заманымызға дейінгі 6 ғасырда) мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын рационал санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың диагоналы және оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған. Бұдан кейінгі уақытта (біздің заманымызға дейінгі 5-4 ғасырларда) ежелгі грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны үшін n санының иррационалдығын дәлелдеді.
Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында нүктемен кескінделеді және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір нүктеге белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес келеді. Иррационал сандар ендірілгеннен кейін координаттық түзудің бойындағы барлық “бос орындар” толтырылды. Осы қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны үздіксіз болып табылады делінеді.
Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз) ондық бөлшек түрінде көрсетуге болады. XVIII ғасырда Л.Эйлер (1707-1783) мен И. Ламберт (1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын көрсетеді. Шектеусіз ондық бөлшектер негізінде нақты сандар құруды неміс математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын мазмұндаудың басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р.Дедекинд (1831-1897) пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.
Курстық жұмыстың мақсаты:
Нақты сандар және олардың қасиеттері туралы үйрену және олардың қасиеттерін зерттеу. Арифметикалық амалдар қолдану арқылы есептер шығару арқылы тақырыпты пысықтау. Теорияда берген материалдары тәжірибеде іске асыру.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- санның шығу тарихы туралы түсінік беру;
- мектеп курсында оқытылатын сандар туралы түсінік қалыптастыру;
- сандардың қасиеттерін ұғындыру;
- әр түрлі қасиетке ие болатын сандарды зерттеу.
Жұмыстың зерттелу деңгейі:
Егер сандар туралы тереңірек зерттеп, оқып үйренсе, онда әрбір адам математиканың қаншалықты қажеттілігін толық түсінер еді.
Сандар мен оларға қолданылатын амалдардың қасиеттері зерттелетін математиканың бөлімі сандар теориясы деп аталады. Сандар теориясын құрудың бастамасын ежелгі грек оқымыстылары Пифагор, Евклид, Эратосфен және т.б. жасаған еді.
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:
1. «Бастауыш мектеп» №4.
2. «История математики» 2 бөлім 1979ж.
3. «Математика және физика», журнал, №2 2008ж.
4. Т.А. Алдамұратова «Математика» Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық. Алматы «Атамұра» 2005ж.
5. Е.Ж. Айдос, Т.О. Балыңбаев «Математика – оқу құралы».
6. Н.Я. Виленкин Алгебра 8 кл. Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с угубл. изуч. математики. Москва. Просвещение, 1997г.
7. Г.М. Фихтенгольц “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г.
8. Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеғұлов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том Алматы:
“Мектеп”1970ж.
9. Н. Темірғалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
10. «Математика» О.М. Жолынбаев, Г.Е. Берікханова Алматы, 2004ж.
11. «Математикалық анализден лексиялар курсы» I том, Б.Т. Төлегенов, Алматы, 1973ж.
12. «Математика» В.А. Гусев, А.Г. Модкович, Алматы, 1993ж.
1. «Бастауыш мектеп» №4.
2. «История математики» 2 бөлім 1979ж.
3. «Математика және физика», журнал, №2 2008ж.
4. Т.А. Алдамұратова «Математика» Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық. Алматы «Атамұра» 2005ж.
5. Е.Ж. Айдос, Т.О. Балыңбаев «Математика – оқу құралы».
6. Н.Я. Виленкин Алгебра 8 кл. Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с угубл. изуч. математики. Москва. Просвещение, 1997г.
7. Г.М. Фихтенгольц “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г.
8. Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеғұлов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том Алматы:
“Мектеп”1970ж.
9. Н. Темірғалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
10. «Математика» О.М. Жолынбаев, Г.Е. Берікханова Алматы, 2004ж.
11. «Математикалық анализден лексиялар курсы» I том, Б.Т. Төлегенов, Алматы, 1973ж.
12. «Математика» В.А. Гусев, А.Г. Модкович, Алматы, 1993ж.
МАЗМҰНЫ:
I Кіріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... 5
II Негізгі бөлім
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
. 7
2.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... 7
2.2 Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... . 11
2.3 Рационал және иррационал сандар
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
2.4 Нақты сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ...
27
III Практикалық бөлім
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 33
IV Қорытынды бөлім
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 48
КІРІСПЕ
Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп әрі
жалпылана түскен. Адамзат мәдениетінің тууы және оның дамуымен тығыз
байланысты ұғым — сан ұғымы. Тарихтан бұрынғы заманда сан ұғымының тууы
және дамуы тіл дамуымен байланысты болды, өйткені әр санды атау үшін тіл
керек. Міне осы мәселелерді материалистік тұрғыдан талдап, танып білу
жаратылыстану ғылымдар философиясындағы мақсаттардың бірі болып табылады.
Буржуазиялық идеалистік теория сан ұғымы адамға туа біткен табиғи
категория деп тұжырымдайды. Неміс математигі Кронекер 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11,... натурал сандарды жасаған құдай, қалғандары -адамзаттың
қолындағы іс дейді.
Математиканың алғашқы ұғымы — сан ұғымының тууына түрткі болған
адамның еңбек әрекеті. Еңбектену әрекетінде оған бұйымның мөлшерін өлшеп
білу керек болды. Әрине бұл ұғым бір күннің, әйтпесе бір жылдың тіпті бір
ғасырдың ішінде қалыптаса қойған жоқ. Сан ұғымының қалыптасуына мыңдаған
жылдар керек болды.
Адамзат мәдениет есігін аша бастаған шақта, ең алдымен натурал
сандарды қолданды. Олар мыналар: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...
жеке заттарды санаудың нәтижесінен келіп шыққан бұл сандар адамзат
мәдениетінің ең негізгі табыстарының бірі болып табылады. Егер сан ұғымы
болмаса, рухани өміріміз бен практикалық қызметімізді өз дәрежесінде
көрсете алмаған болар едік, есеп-қисап жүргізу, уақытты, қашықтықты өлшеу,
еңбек нәтижелерінің қорытындыларын есептеп шығару сан ұғымынсыз мүмкін
болмаған болар еді.
Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ
уақыт бойы “жалған” сандар деп есептеліп, “қарыз” (“борыш”),
“жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу
және азайту жағдайлары үшін ғана ғарастырылып отырған.
XVII ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла
бастағаннан бері теріс сандар оң сандар мен тең праволы сандар ретінде
қабылданады. Бүтін және бөлшек сандар рационал жиынын құрайды. Бұл сандар
есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі
және бөліндісі рационал сандар болып табылады.
Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез келген
кесіндісі бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімін кез келген дәлдік
дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге
болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы адамзаттың іс жүзінде
қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін
қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан,
иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грецияда Пифагордың (біздің
заманымызға дейінгі 6 ғасырда) мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде
квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын рационал
санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың диагоналы және
оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған.
Бұдан кейінгі уақытта (біздің заманымызға дейінгі 5-4 ғасырларда) ежелгі
грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны үшін
n санының иррационалдығын дәлелдеді.
Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында нүктемен
кескінделеді және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір нүктеге
белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес келеді.
Иррационал сандар ендірілгеннен кейін координаттық түзудің бойындағы барлық
“бос орындар” толтырылды. Осы қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны үздіксіз
болып табылады делінеді.
Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз) ондық бөлшек
түрінде көрсетуге болады. XVIII ғасырда Л.Эйлер (1707-1783) мен И. Ламберт
(1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын
көрсетеді. Шектеусіз ондық бөлшектер негізінде нақты сандар құруды неміс
математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын
мазмұндаудың басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р.Дедекинд (1831-1897)
пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.
Курстық жұмыстың мақсаты:
Нақты сандар және олардың қасиеттері туралы үйрену және олардың қасиеттерін
зерттеу. Арифметикалық амалдар қолдану арқылы есептер шығару арқылы
тақырыпты пысықтау. Теорияда берген материалдары тәжірибеде іске асыру.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- санның шығу тарихы туралы түсінік беру;
- мектеп курсында оқытылатын сандар туралы түсінік қалыптастыру;
- сандардың қасиеттерін ұғындыру;
- әр түрлі қасиетке ие болатын сандарды зерттеу.
Жұмыстың зерттелу деңгейі:
Егер сандар туралы тереңірек зерттеп, оқып үйренсе, онда әрбір адам
математиканың қаншалықты қажеттілігін толық түсінер еді.
Сандар мен оларға қолданылатын амалдардың қасиеттері зерттелетін
математиканың бөлімі сандар теориясы деп аталады. Сандар теориясын құрудың
бастамасын ежелгі грек оқымыстылары Пифагор, Евклид, Эратосфен және т.б.
жасаған еді.
2.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері
Натурал сандардың жазылуы. Заттарды санау үшін немесе қандай да бір заттың
біртекті заттар арасындағы реттік номерін көрсету үшін пайдаланылатын 1, 2,
3, 4, 5 . . . сандары натурал сандар деп аталады. Ондық санау системасында
кез келген натурал сан 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрларының көмегімен
жазылады. Мысалы, 2457 жазылуы 2 – мыңдықтар цифры, 4 – жүздіктер цифры, 5
– ондықтар цифры және 7 – бірліктер цифры екенін білдіреді, яғни 2457 – 2 ∙
1000 + 4 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 7. Жалпы, егер a – мыңдықтар цифры, b – жүздіктер
цифры, c – ондықтар цифры және d – бірліктер цифры болса, онда a ∙ 1000 + b
∙ 100 + c ∙ 10 + d санын аламыз. Сондай-ақ, қысқаша abcd (abcd деп жазуға
болмайды, өйткені бұндай жазуды математикада қабылданған келісім бойынша a,
b, c, d сандарының көбейтіндісін білдіреді) жазылуы да пайдаланылады. Осы
сияқты abcde жазылуы a ∙ 10000 + b ∙ 1000 + c ∙ 100 + d ∙ 10 + e (a ≠ 0)
санын білдіреді.
Натурал сандарға қолданылатын амалдар.
Екі натурал санды қосудың немесе көбейтудің нәтижесі әрқашан натурал сан
болады: егер m, n натурал сандар болса, онда p = m +n де натурал сан, m мен
n – қосылғыштар, p – қосынды; p = mn де натурал сан, m, n – көбейткіштер, p
– көбейтінді. Натурал сандарды қосу мен көбейтудің келесі қасиеттері
орынды:
1°. a + b = b + a (қосудың орын ауыстырымдылық қасиеті).
2°. (a + b) + c = a + (b + c) (қосудың терімділік қасиеті).
3°. ab = ba (көбейтудің орын ауыстырымдылық қасиеті).
4°. (ab)c = a(bc) (көбейтудің терімділік қасиеті).
5°. a (b + c) = ab + ac (көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділік қасиеті).
Натурал сандарды азайтудың немесе бөлудің нәтижесінде әрқашан натурал сан
алына бермейді: мысалы, 7 – 4 = 3 – натурал сан, ал 4 – 7 = -3 – натурал
сан емес; 21 : 7 = 3 – натурал, ал 11 : 2 = 5,5 – натурал сан емес. Егер
m, n, k – натурал сандар болса, онда m – n = k, болған жағдайда m –
азайғыш, n – азайтқыш, k – айырым дейді; m : n = k болған жағдайда m –
бөлінгіш, n – бөлгіш, k – бөліндінің мәні дейді, бұл жағдайда m санын n
санының еселігі, ал n санын m санының бөлгіші деп те айтады. Егер m – n
санының еселігі болса, онда m = kn болатындай k натурал саны
табылады.Сандардан арифметикалық сандардың таңбалары (белгілері) мен
жақшалардың көмегімен сандық өрнектер құрылады. Егер сандақ өрнекте,
қабылданған ретті сақтай отырып, көрсетілген амалдарды орындайтын болсақ,
онда өрнектің мәні деп аталатын сан алынады. Сандық өрнектерде
арифметикалық амалдардың орындалу ретін еске түсірейік: алдымен жақшалардың
ішіндегі амалдар орындалады; кез келген жақшалардың ішінде (жақшалар жоқ
болатын өрнектерде де ауд.) алдымен көбейту мен бөлу, ал содан кейін қосу
мен азайту амалдары орындалады. Мысалы, егер
1 4 2 3 5 6
(28 ∙ 93 + (1927 - 1873) ∙ 31) : 6 - 710
өрнегінің мәнін есептеу керек болса, онда амалдардың орындалу реті мынадай
болады:
1 2 3 4 5 6
(28 ∙ 93 + (1927 - 1873) ∙ 31) : 6 – 710
Қалдықпен бөлу. Егер m натурал саны n натурал санына бөлінбейтін, яғни m =
nk болатындай k натурал саны жоқ болса, онда қалдықпен бөлуді қарастырады
мысалы, 43 санын 18 санына бөлгенде бөліндіде 2 және қалдықпен 7 алынады,
яғни 43 = 18 ∙ 2 + 7. Жалпы жағдайда, егер m – бөлінгіш, n – бөлгіш (m
n), p – бөлінді және r – қалдық болса, онда
m = np + r
мұнда r n. Бұл жерде m, n, p, r – натурал сандар (тек m n-ға қалдықсыз
бөлінген және r = 0 болған жағдай өзгеше). Мысалы, егер n = 3, ал r = 2
болса, онда m = 3p + 2. Бұл 3-бөлгенде қалдықта 2-ні беретін сандардың
формуласы.
Мысал. 36 421 санын 25 санына бөлгендегі бөлінді мен қалдықты табу керек.
Шешуі. Бұрыштап бөлуді орындайық:
3642125 25
¯ 25 1456
114
¯100
142
¯125
171
¯150
21
Сонымен, бөлінді 1456, ал қалдық 21 болды. (1) теңдігін пайдаланып, 36421 =
25 ∙ 1456 + 21 деп жаза аламыз.
Бөліну белгілері. Кейбір жағдайларда, m натурал санын n натурал санына
бөлуді жүргізбей-ақ, m-ды n-ға қалдықсыз бөлуге бола ма, әлде болмай ма?
деген сұраққа жауап беріледі.
Бұл сұраққа жауапты әр түрлі бөліну белгілері арқылы алуға болады.
Т.1.1. Егер әрбір қосылғыш қайсыбір санға бөлінетін болса, онда қосынды да
сол санға бөлінеді (қосындының бөлінгіштік белгісі туралы теорема).
Бірақ, егер әрбір қосылғыш қандай да бір санға бөлінбесе, онда қосынды да
сол санға бөлінбейді деп ойламау керек. Мысалы, 37 + 19 қосындысы 4-ке
бөлінеді, ал 37 де, 19 да 4-ке бөлінбейді. Алайда, егер бір қосылғыштан
басқа қосылғыштардың бәрі қайсыбір санға бөлінсе, онда қосынды сол санға
бөлінбейтінін атап өтеміз.
Т.1.2. Егер көбейтінді де кемінде бір көбейткіш қайсыбір санға бөлінетін
болса, онда көбейтінді де сол санға бөлінеді (көбейтіндінің бөлінгіштік
белгісі туралы теорема).
Мысалы, көбейтуді орындамай-ақ 105 ∙ 48 ∙ 93 ∙ 54 көбейтіндісі 5-ке
бөлінеді деп тұжырымдауға болады, өйткені 105 көбейткіш 5-ке бөлінеді.
Т.1.3. Натурал сан оның соңғы цифры 2-ге бөлінгенде және тек сонда ғана 2-
ге бөлінеді (2-ге бөліну белгісі).
Т.1.4. Натурал сан оның соңғы цифры не 0, не 5 болғанда және тек сонда ғана
5-ке бөлінеді (5-ке бөліну белгісі).
Т.1.5. Натурал сан оның соңғы цифры 0 болғанда және тек сонда ғана 10-ға
бөлінеді (10-ға бөліну белгісі).
Т.1.6. Цифрларының саны үштен кем болмайтын натурал сан соңғы екі цифрынан
тұратын екіорынды сан 4-ке бөлінгенде және тек сонда ғана 4-ке бөлінеді (4-
ке бөліну белгісі).
Дәлелдеуді бесорынды аbсdе саны үшін жүргіземіз. Сонда аbсdе – а ∙ 10000 +
b ∙ 1000 + с ∙ 100 + d ∙ 10 + е. 100, 1000 және 10000 сандары үшін 4-ке
бөлінетін болғандықтан, 10 000 а + 1000 b + 100 с қосындысы да 4-ке
бөлінеді. Олай болса, егер а ∙ 10 + с саны 4-ке бөлінетін болса, онда аbсdе
саны да 4-ке бөлінеді, егер де 10 d + е саны 4-ке бөлінбейтін болса, онда
аbсdе саны да 4-ке бөлінбейді. Мысалы, 15436 саны 4-ке бөлінеді, өйткені 36
саны 4-ке бөлінеді. 372 514 саны 4-ке бөлінбейді, өйткені 14 саны 4-ке
бөлінбейді.
Т.1.7. Натурал сан оның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінгенде және тек
сонда ғана 3-ке бөлінеді (3-ке бөліну белгісі).
Дәлелдеуді төрторынды аbсd саны үшін жүргіземіз. Сонда аbсd = 1000 а + 100
b + 10 с + d = (999 а + а) + (99 b + b) + (9с +с) + d = (999 а + 99 b + 9
с) + (а + b + с + d). 9, 99, 999 сандары 3-ке бөлінеді және (999 а + 99 b +
9 с) + (а + b + с + d) қосындысы цифрлардың а + b + с + d қосындысы 3-ке
бөлінеді және тек сонда ғана 3-ке бөлінеді. Мысалы, 2742 саны 3-ке
бөлінеді, өйткені бұл санның цифрларының 2 + 7 + 4 + 2 = 15 қосындысы 3-ке
бөлінеді. 17941 саны 3-ке бөлінбейді, өйткені бұл санның цифрларының
қосындысы 22, ал 22 саны 3-ке бөлінбейді.
Т.1.8. Натурал сан оның цифрларының қосындысы 9-ға бөлгенде және тек сонда
ғана 9-ға бөлінеді (9-ға бөліну белгісі).
Натурал санды жай көбейткіштерге жіктеу.
Егер санның тек екі бөлгіші (санның өзі мен бір) ғана бар болса, онда ол
жай сан деп аталады; егер санның екіден көп бөлгіштері бар болса, онда ол
құрама сан деп аталады. Солай, 19 жай сан, өйткені оның екі бөлгіші ғана
бар: 1 мен 19; 35 сан құрама сан: оның 4 бөлгіші бар: 1, 5, 7, 35. Жай сан
19-ды екі натурал санның көбейтіндісі түрінде бір ғана тәсілмен өрнектеуге
болады: 19 = 1 ∙ 19 (көбейткіштертің ретін ескермегенде); құрама 35 санын
екі натурал санның көбейтіндісі түрінде екі (бірден артық) тәсілмен
өрнектеуге болады: 35 = 1 ∙ 35 = 5 ∙ 7. 1 саны жай санға да, құрама санға
да жатпайтынын атап өтейік.
Т.1.9. Кез келген құрама натурал санды бір ғана тәсілмен жай (қарапайым)
көбейткіштерге жіктеуге болады.
Сандарды жай көбейткіштерге жіктегенде бөліну белгілерін пайдаланады да
вертикаль сызықтың оң жағында бөлгіштер, ал сол жағында бөлінгіш, оның
астында бөліндінің мәні орналасатындай етіп бағаналап жазу қолданылады.
Олай, 360 саны үшін тиімді бұл жазылу мынадай болады:
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Егер санның жай көбейткіштерге жіктелуінде бір а көбейкіші n рет кездесетін
болса, қысқаша былай жазады: аn , яғни а ∙ а ∙ а ∙ ... ∙ а = аn. аn өрнегі
– дәреже, а саны – дәреженің негізі, n саны – дәреженің көрсеткіші деп
аталады. Сондықтан 360 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 23 ∙ 32 ∙ 5 деп жазуға
болады.
Бірнеше натурал санның ең үлкен ортақ бөлгіші. 72 және 96 сандары
берілсін. 72 санының барлық бөлгіштерін жазайық: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,
18, 24, 36, 72. 96 санының барлық бөлгіштерін жазайық: 1, 2, 3, 4, 6, 8,
12, 16, 24, 32, 48, 96. Осы жазылған бөлгіштердің ішінде бірдейлері бар: 1,
2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Бұл сандардың бәрін 72 мен 96 сандарының ортақ
бөлгіштері деп, ал олардың ішіндегі ең үлкенін ең үлкен ортақ бөлгіші деп
атайды.
Кез келген а мен b берілген натурал сандары үшін ең үлкен ортақ бөлгішті
табуға болады. Ол Д (а, b) арқылы белгіленеді (Д – а, b деп оқылады).
Егер а мен b – Д (а, b) = 1 болатындай сандар болса, онда а мен b өзара жай
сандар деп аталады. Мысалы, 72 мен 35 сандары (олардың әрқайсысы құрама сан
болса да) өзара жай сандар.
Бірнеше санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін бұл сандарды жай
көбейткіштерге жіктеу керек те ең кіші дәрежелерімен алынған ортақ жай
көбейткіштердің көбейтіндісін табу керек.
1-мысал, Д (48, 60, 72)-ні табу керек.
Шешуі. 48 = 24 ∙ 3; 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5; 72 = 23 ∙ 32. Олай болса,
Д (48, 60, 72) = 22 ∙ 3. Жауабы: Д (48, 60, 72) = 12.
2-мысал, Д (3780, 7056)-ны табу керек.
3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7
7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72
Шешуі. 3780 2 7056 2
1890 2 3528 2
945 2 1764 2
315 2 882 2
105 2 441 3
35 2 147 3
7 2 49 7
1 2 7 7
1
Сонда Д (3780, 7056) = 22 ∙ 32 ∙ 7, 3780 санының жіктелуінде де, 7056
санының жіктелуіне де енетін жай көбейткіштер (ең кіші дәрежелі) алынған.
Жауабы: Д (3780, 7056) = 252.
Бірнеше натурал санның ең кіші ортақ еселігі. 12 мен 18 сандары берілсін.
12-ге еселі сандарды жазайық: 12, 24, 36, 48, 72, ... . 18-ге еселі
сандарды жазайық: 18, 36, 54, 72, 90, ... . Жазылған еселік сандардың
ішінде бірдейлері бар: 36, 72, ... . Осы сандардаң бәрін 12 мен 18
сандарының ортақ еселіктері деп, ал олардың ішіндегі ең кішісін 12 мен 18
сандарының ең кіші ортақ еселігі деп атайды.
Кез келген а мен b натурал сандарының ең кіші ортақ еселігі осы сияқты
анықталады да, ол К (а, b) арқылы белгіленеді (оқылуы, К – а, b).
Бірнеше санның ең кіші еселігін табу үшін бұл сандарды жай көбейткіштерге
жіктеу керек те барлық алынған жай көбейткіштердің (оларды ең үлкен
дәрежесімен алып) көбейтіндісін табу керек.
Мысал. К (3780, 7056)-ны табу керек.
Шешуі. 3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7, 7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72. Сонда К (3780, 7056) =
24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7, яғни 3780 мен 7056 сандарының кемінде біреуі жіктелуіне
енетін барлық жай көбейткіштер алынған. Сонымен, К (3780, 7056) = 105 840.
Кез келген а мен b натурал сандары үшін
Д (а, b) ∙ К (а, b) = а b
теңдігі орынды. Егер, дербес жағдайда, а мен b сандары өзара жай, яғни Д
(а, b) = 1 болса, онда К (а, b) = а b. Бұл өзара жай екі санның ең кіші
ортақ еселігі осы сандардың көбейтіндісіне тең болатынын білдіреді.
Алгебрада әріптерді қолдану. Айнымалылар. Алгебрада сандардың нақтылы
қасиеттері көбінесе әріптердің көмегімен жазылады. Мысалы, қосудың орын
ауыстырымдылық заңы (қосылғыштардың орындарын ауыстырғаннан қосынды
өзгермейді) былай жазылады: а + b = b + а, мұнда а мен b-ның орнына кез
келген сандарды қоюға болады: 3 + 5 = 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 және
т.с.с. Әріптердің орнына қоятын санды оның мәні деп атайды. Кейбір
жағдайларда (мысалы, теңдеулерде) жазылған теңдік орынды болатындай етіп
әріптің орнына тек анықталған сандарды ғана қоюға болады. Мысалы, 7 + х =
10 теңдігі тек х = 3 болғанда ғана орынды. Алгебрада қолданылатын әріптерді
айнымалылар деп атайды; бұндай атаудың мағынасы әріптің сандық мәнін
өзгертуге болатынында: мысалы, а + b = b + а теңдігінде а =3, b – 5 деп, а
= 7, b = 19 деп және т.с.с. алуға болады – барлық жағдайларда да теңдік
орынды. 7 + х = 10 теңдігінде х = 3 деп, х = 5 деп алуға болады;
айырмашылығы – бірінші жағдайда теңдік дұрыс, ал екінші жағдайда теңдік
дұрыс емес болуында. Д (а, b) = 1 теңдігі а мен b айнымалыларының мынадай
мәндерінде дұрыс болады: а = 18, b = 25, а = 100, b = 99; а = 13, b = 1000
және т.с.с. Бұл теңдік айнымалылардың келесі мәндерінде дұрыс емес: а = 8,
b = 6, а = 25, b = 150; а = 7, b = 777 және т.с.с.
2.2 Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану
Жоғарыда байқағанымыздай натурал сан қатары, ноль саны, бірлік ұғымдары
адамдардың практикалық қажеттіліктерінен пайда болған. Сондай-ақ сандарға
қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де айналамыздағы
нәрселердің арасындағы қатынастар болады.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан шығады. Бұл
амалдар – қосу, азайту, көбейту, және бөлу.
Қосу. Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы ол сандарды
қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан
шыққан. Расында да, ортақ элементтері жоқ, әр түрлі және екі
жиынға тиісті элементтерді бір жиын етіп біріктіргенде, біз жаңа
жиынын шығарып аламыз, ал бұл жиын және жиындарының, тек
солардың ғана барлық элементтерінен құралады.
М жиынын берілген М1 және М2 жиындарының қосындысы деп айтатын боламыз.
Сонымен, ортақ элементтері жоқ, берілген М1 және М2 екі жиынның қосындысы
деп сол жиындардың, тек солардың ғана, барлық элементтерінен құралған жаңа
жиынды айтамыз.
Жалпы алғанда, егер М1,М2 және олардың қосындысы М жиындарының тиісті
элементтері және болса,онда мен сандарынын
санын құрастыру мен сандарын қосу деп аталады, ал саны
олардың қосындысы.мен сандары қосылғыштар деп аталады.Мұны былай
деп айтуға болады:натурал мен сандарының қосындысы деп мынадай
бір жаңа санын айтамыз, ол саны ортақ элементтері болмайтын және
қуаттары мен сандарымен өрнектелетін М1 және М2 жиындарының
бірігуі болып табылатын М жиынының қуатын көрсетеді.
Қосуды белгілеп көрсету үшін плюс деп аталатын + таңбасы қолданылады.
Жоғарыда баяндағанымызға қарағанда теріс емес бүтін екі санды қосуды
әрқашан да орындауға болады, өйткен берілген екі саның қосындысын санау
операциясын қолданып, анықтап айтқанда, санына санының барлық
бірліктерін қосып санау арқылы әрқашан да табуға болады.
Теріс емес бүтін сан -ға нөльді немесе нөльге санын қосу
дегеніміз сол санының өзі шығады деген сөз екендігін ескертейік.
Демек, және символдары санын көрсетеді, яғни және
. Дербес жағдайда, болғанда, .
Бұған дейін екі жиының бірігуі және соған сәйкес екі саның қосындысы
жөнінде сөз болады.
Қосудың заңдары. Қосудың зандары деп қосындының мынадай қасиеттері аталады:
Ауыстырымдылық (коммутативтік), терімділік (ассоциативтік) және
монотондылық.
Ауыстырымдылық. Қосылғыштардың орнын өзгертуден қосынды өзгермейді. Расында
да, біз екі санды қосу операциясын бір санға екініші санның барлық
бірліктерін қосып санау арқылы орындауға болатындығын байқадық, бірақ санау
нәтижесі санау тәртібіне байланысты болмайды. Демек, 5 пен 3 сандарын
қосқанда 5-ке 3-тің барлық бірліктерін қосып санаймыз ба, немесе,
керісінше, 3 санына 5 санының барлық бірліктерін қосып санаймыз ба, оның
бәрі-бір: бұл екі жағдайда да бір нәтиже шығады. Тек мұндағы маңызды нәрсе
әр-бір қосылғыштың барлық бірліктері қосындының құрамына кіретін болу
керек. Нақтысында да 5+3=8 және 3+5=8. Демек: 5+3=3+5, және мен
қандай сандар болса да,
Терімділік. Егер қандай да бір қосылғыштарды топтарға біріктіріп, қосуды
топтар бойынша жүргізсек, сонан кейін шыққан нәтижелерді қоссақ, берілген
сандардың қосындыс өзгермейді.
Мысалы, егер 2, 4 және 3 сандарын алсақ, олардың қосындысын шығарып алу
үшін, бірнеше сандардың қосындысының анықтамасы бойынша, біздің былай
істеуімізгі болар еді;: 2+4+3=(2+4)+3=6+3=9. Бірақ сандарды басқаша
топтастырып та біз осы нәтижені шығарып алуымызға болар еді, атап айтқанда:
2+4+3=2+(4+3)=2+7=9.
және қандай сандар болса да,
және
Қосындының монотондылығы
1) Егер берілген екі сан (және ) өзара тең болса, онда олардың
әрқайсысына бір ғана санды () қосқан өзара тең қосындылар шығады.
Расында да, егер болса, онда өйткені бұл қосындылардың
әрқайсысындағы бірліктердің саны бірдей екендігі айқын.
2) Егер берілген екі санның біреуі () екіншісінен () артық
немесе кем болса, онда олардың әрқайсысына бір ғана санды () қосқанда
соған сай бірінші қосынды екінші қосындыдан артық немесе кем болады.
болсын дейік. Мұнымыз санның құрамында саны және нөлге
тең болмайтын тағы бір саны бар деген сөз болады, яғни
Олай болса,
Бұдан болады, өйткені алдындағы теңдікке қарағанда қосындысының
құрамында қосындысы және нөлге тең емес тағы да бір саны
болады.
Азайту. Екі санның және бірнеше сандардың қосындысы жөніндегі ұғымды біз
жиындардың бірігуін және сол сандарды қосуды қарастырудан тікелей шығардық.
Азайту және басқа да арифметикалық амалдардың мағынасын анықтағанда,
жиындарға қолданатын сәйкес операцияларды қарастырмай-ақ, екі санның
қосындыс жөніндегі ұғымға сүйенуімізге болады.
Тең емес екі сан берілгенде, әрине, біреуі екіншісінен қалай дегенмен де
артық болады, яғни оны кіші санға бір үшінші санды қосу арқылы шығарып
алуға болады.
Мысалы, егер және санынан артық болса, онда оның құрамында
саны және оның үстінде тағы да бір саны болады, демек, оны
мен сандарының қосындысы түрінде көрсетуге болады, яғни
Егер санынан бірлікті азайтсақ (шегерсек), онда ол саннан
бірлік қалуға тиіс. Егер мен сандарын қайтадан қоссақ, ол
екеуінің қосындысы ретінде қайтадан саны келіп шығады.
Бұған қарағанда, үлкен сан -дан кіші сан -ні азайту
дегеніміз – үшінші санын табу деген сөз, сонда саны кіші сан
-ге қосқанда үлкен сан шығатын болу керек.
Демек, азайту деп берілген қосынды () және қосылғыштардың біреуі
() бойынша екінші қосылғыш () табылатын арифметикалық амал
аталады.
Азайту амалы минус деп аталатын (-) таңба арқылы былай өрнектеледі:
Мұндағы - азайғыш, - азайтқыш, - айырма немесе қалдық.
Біз тең емес екі санның айырмасы бір натурал санмен өрнектелгетіндігін
көрдік, дербес жағдайларды қарастырайық.
1) Азайғыш және азайтқыш өзара тең. Бұл жағдайда азайғыштан оның
өзінде қанша бірлік болса, сонша бірлік азайтылатындығы айқын. Демек
айырымы нөлге тең.
Расында да: , өйткені
2) берілген саннан нөлді азайту дегеніміз – ол санды өзгеріссіз қалдыру
деген сөз:
, өйткені
3) 0-0=0, өйткені 0+0=0
Қосу және азайту өзара кері амалдар болып табылады, өйткені қосу амалында
қосылғыштар беріледі де, қосынды ізделінеді, ал азайту амалында, керісінше,
қосынды және бір қосылғыш беріледі де, екінші қосылғыш ізделінеді.
Көбейту. Қосу амалына берілген есептерді екі немесе бірнеше тең сандардың
қосындысын табу керек болатын жағдай жиі кездеседі. Мынадай есептерді
қарастырайық:
Ұшақ сағатына 420 км ұшады. 4 сағат ішінде ол неше километр ұшады? Бұл
есепті төрт тең санды қосумен шығаруға болады: 420+420+420+420=1680(км)
Бірдей екі немесе бірнеше сандардың қосындысын табу жаңа амалға көбейту
амалын алып келді. Теріс емес бүтін сан -ны теріс емес бүтін сан -
ге көбейту дегеніміз - әрқайсысы -ға тең - қосылғыштың
қосындысын табу деген сөз.
қосылғыш
Математикада көбейту былайша белгіленеді.
1) немесе 2) әріптер қолданылғанда әдетте нүкте жазылмайды да,
деп жазудың орнына деп жазады.
Қайталайтын қосылғыш көбейгіш деп, оның неше рет қайталайтынын көрсететін
сан көбейткіш деп аталады да, бұдан шығатын нәтиже көбейтіндінің мәні
немесе көбейтінді деп аталады. Бүтін санға көбейту деп берілген бір сан
қосылғыш ретінде екінші бір санда қанша бірлік болса, сонша қайталайтын
амалды айтамыз. Көбейту қосудың дербес түрі болғандықтан, оның әрқашан да
орындалуы мүмкін және бір ғана нәтиже береді.
Егер көбейткіш бірге тең болса, онда кбейтінді көбейгішке тең
болады. Басқаша айтқанда, берілген санды бірге көбейту дегеніміз – ол санды
өзгеріссіз қалдыру деген сөз:
Егер көбейткіш нөлге тең болса, онда көбейтінді де нолге тең болады:
немесе
Бөлу. Берілген санды тең бөліктерге жіктеу бізді жаңа амалға бөлу
амалын алып келді. Берілген санын санына бөлу дегеніміз
санына көбейткенде саны шығатын бір жаңа санды табу деген сөз. Бұдан
бөлу амалының мынадай анықтамасы шығады: Бөлу амалы деп берілген екі санның
көбейтіндісі және олардың біреуі бойынша екінші сан табылатын арифметикалық
амалды атаймыз. Математикаша жазып көрсеткенде бөлу түрліше белгіленеді:
бөлінгіш (сол жақта) пен бөлгішті (оң жақта) бір-бірінен айырып тұратын екі
нүктемен немесе бөлінгіш пен бөлгішті бір-бірінен айырып тұратын
горизонталь сызықпен белгілейді. Сөйтіп санын санына бөлуді екі
тәсілмен жазып көрсетуге болады:
1) немесе 2) сонда бұл теңдіктердің әрқайсысы санын
санына бөлгенде бөлінедіде натурал сан шығатындығын көрсетеді. Бөлу
амалының анықтамасына сүйеніп, тендігінен мынадай теңдік шығаруға
болады: , яғни бөлінгіш бөліндіге көбейтілген бөлгішке тең болады.
Біздің барлық байымдап талқылауларымызда бөлінді бүтін сан болады деп
алғандығымызды ескертелік.
2.3 Рационал және иррационал сандар
Жай бөлшектер. Дұрыс және бұрыс бөлшектер. Аралас сандар.
Жай бөлшек дегеніміз түріндегі сандар, мұндағы m мен n –
натурал сандар, мысалы , . m саны бөлшектің алымы, n саны
бөлшектің бөлімі деп аталады. Дербес жағдайда, n = 1 бола алады, бұл
жағдайда бөлшек түрінде болады, бірақ бұны көбінесе жай ғана m деп
жазады. Бұл әрбір натурал санды бөлімі 1 болатын жай бөлшек түрінде
өрнектеуге болатынын білдіреді. жазылуы – жазылуының басқа
варианты.
Жай бөлшектерді дұрыс және бұрыс бөлшектер деп те ажыратады. mn бөлшегі,
алымы бөлімінен кіші болғанда дұрыс бөлшек деп, ал алымы бөлімінен үлкен
немесе оған тең болғанда бұрыс бөлшек деп аталады. Әрбір бұрыс бөлшекті
натурал сан мен дұрыс бөлшектің қосындысы түрінде өрнектеуге болады (егер m
n-ге еселі болса, онда натурал сан алынады, мысалы = 4).
Мысал. Бұрыс бөлшекті натурал сан мен дұрыс бөлшектің қосындысы түрінде
өрнектеу керек: а) ; б) .
Шешуі. а) = = + = ;
б) = = + = .
Натурал сан мен жай бөлшектің қосындысын қосу белгісінсіз жазу қабылданған,
яғни орнына деп, ал орнына деп жазады. Осындай
түрде жазылған сан аралас сан деп аталады. Ол екі бөліктен тұрады: бүтін
бөлік пен бөлшек бөлік. Сонда саны үшін бүтін бөлік 3, ал бөлшек
бөлік . Әрбір бұрыс бөлшекті аралас сан түрінде (немесе натурал сан
түрінде) жазуға болады. Кері тұжырым да орынды. Әрбір аралас немесе натурал
санды бұрыс бөлшек түрінде жазуға болады. Мысалы, = = +
= ; .
Бөлшектердің теңдігі. Бөлшектің негізгі қасиеті. Бөлшектерді қысқарту.
Егер аd = bс болса, мен бөлшектері тең деп есептеледі. Мысалы,
пен бөлшектері тең, өйткені 3 ∙ 15 = 5 ∙ 9, мен
бөлшектері тең, өйткені 12 ∙ 14 = 7 ∙ 24 болады. Бөлшектердің теңдігі
анықтамасынан мен бөлшектерінің теңдігі шығады, өйткені а(bm) =
b(аm), бұл жерде біз натурал сандарды көбейтудің терімділік және орын
ауыстырымдылық қасиеттерін пайдаландық. Демек, = , яғни егер
берілген бөлшектің алымы мен бөлімін бір ғана натурал санға көбейтсек
немесе бөлсек, онда берілген бөлшекке тең бөлшек алынады. Бұл қасиет
бөлшектің негізгі қасиеті деп аталады.
Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, кейде берілген бөлшекті өзіне тең,
бірақ алымы мен бөлімі берілген бөлшектің сәйкес алымы мен бөлімінен кіші
бөлшекпен ауыстыруға болады. Бұндай ауыстыруды бөлшекті қысқарту деп
атайды. Мысалы, = (алымы мен бөлімді бір ғана 3 санына бөлдік);
алынған бөлшекті, алымы мен бөлімін 5-ке бөліп, тағы да қысқартуға болады,
яғни = . Жалпы жағдайда, егер бөлшектің алымы мен бөлімі өзара
жай болмаса, бөлшекті қысқартуға болады; егер де алым мен бөлім өзара жай
сандар болса, онда бөлшек қысқармайтын бөлшек деп аталады: мысалы, -
қысқармайтын бөлшек.
Бөлшекті қысқартудың негізгі мақсаты – осы бөлшекті өзіне тең қысқармайтын
бөлшекпен ауыстыру.
Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру. және бөлшектері берілсін.
Олардың бөлімдері әр түрлі: 3 және 8, бірақ бөлшектің негізгі қасиетін
пайдаланып, бұл бөлшектерді өздеріне тең басқа бөлшектермен ауыстыруға
болады, сонда алынған бөлшектердің бөлімдері тең болуы керек. Бұндай
түрлендіру бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру деп аталады. бөлшегінің
алымы мен бөлімін 8-ге көбейтіп, = екенін; бөлшегінің
алым мен бөлімін 3-ке көбейтіп, = екенін аламыз. Сөйтіп,
пен бөлшектері ортақ бөлімге келтірілді:
=
Бұл қойылған мәселенің жалғыз ғана шешімі емес екенін ескерте кетелік.
Мысалы, бөлшектерді ортақ 48 бөлімге келтіруге:
=, және ортақ 72 бөлімге келтіруге: = , және жалпы 3-
ке де, 8-ге де бір мезгілде бөлінетін кез келген ортақ бөлімге келтіруге
болады.
Сонымен, бөлшектерді ортақ бөлімге көптеген тәсілдермен келтіруге болады,
бірақ әдетте бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіруге тырысады, ол
берілген бөлшектер бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігіне тең.
Мысал, мен бөлшектерін ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек.
Шешуі. 24 пен 30 сандарының ең кіші ортақ еселігін табамыз: К (24, 30) =
120 (7 пункті қараңыз). Сонда 120 : 24 = 5, сондықтан бөлшегін 120
ортақ бөлімге келтіру үшін, оның алымын да, бөлімін де 5-ке көбейту керек:
= . Әрі қарай бөлімге келтіру үшін, оның алымын да, бөлімін де 4-
ке көбейту керек: =. Бөлшектер ортақ бөлімге келтірілді: ;
. 4 пен 5 сандарын сәйкес бірінші және екінші бөлшек қосымша
көбейткіштер деп атайды. Келесі жазылу әдісі пайдаланылады:
Сөйтіп, бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімге келтіру үшін: 1) бөлшектердің
бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігін табу; 2) ең кіші ортақ еселікті әрбір
бөлімге бөліп, қосымша көбейткіштерді есептеу; 3) әрбір бөлшектің алымы мен
бөлімін сәйкес қосымша көбейткішке көбейту керек.
Жай бөлшектерге қолданылатын арифметикалық амалдар. Жай бөлшектерді қосу
былай орындалады:
а) егер бөлшектердің бөлімдері бірдей болса, онда бірінші бөлшектің алымына
екінші бөлшектің алымын қосады да бұрынғы бөлімді қалдырады, яғни
;
б) егер бөлшектердің бөлімдері әр түрлі болса, онда алдымен бөлшектерді
ортақ бөлімге (ең кіші ортақ бөлім қолайлы) келтіреді, ал содан кейін а)
ережесін қолданады.
1-мысал. .
Жай бөлшектерді азайту былай орындалады:
а) егер бөлшектердің бөлімдері тең болса, онда
;
б) егер бөлшектердің бөлімдері әр түрлі болса, онда алдымен бөлшектерді
ортақ бөлімге келтіреді, ал содан кейін а) ережесін қолданады.
Жай бөлшектерді көбейту амалын былай орындайды:
,
яғни алымдары жеке, бөлімдерді жеке көбейтеді де бірінші көбейтіндіні –
алым, екінші көбейтіндіні бөлім етіп алады. Мысалы:
.
Жай бөлшектерді бөлуді былай орындайды:
,
яғни бөлінгіш -ны бөлшегіне кері болатын бөлшегіне
көбейтеді. Мысалы,
.
2-мысал. сандық өрнегінің мәнін табу керек.
Шешуі. 1). Алым мәні бөлімді 3-ке қысқартып (бұны алым мен бөлімде
көбейту амалдарын орындағанға дейін жасаған пайдалы), , яғни
бөлшегін аламыз. Сонымен, .
2) .
3) өрнегінің мәнін тапқанда қосу мен азайту амалдарын бір мезгілде
орындауға болады. 15, 20, 30 сандарының ең кіші ортақ еселігі 60 саны
болады, қосымша көбейткіштерді (бірінші бөлшек үшін 4, екінші бөлшек үшін
3, үшінші бөлшек үшін 2) пайдаланып, үш бөлшекті де 60 бөліміне келтіреміз.
Сонда:
.
3-мысал. а) ; б) амалдарын орындау керек.
Шешуі. а) Бірінші тәсіл. Берілген аралас сандардың әр бірін бұрыс бөлшекке
келтіреміз, содан кейін қосуды орындаймыз:
;
;
.
Енді бұрыс бөлшегін аралас санға айналдырамыз:
.
Екіншітәсіл .
б) Аралас сандарды көбейту мен бөлу жағдайларында әрқашан бұрыс бөлшектерге
көшеді:
; .
Ондық бөлшектер.
Бөлімі 10, 100, 1000 және жалпы 10 n болатын дұрыс бөлшекті ондық бөлшек
түрінде жазуға болады. Мысалы, ; 48100 = 0,48; 211000 = 0,021. Дәл
осылай аралас санда немесе бұрыс бөлшекті (бөлімдер жоғарыда аталған сандар
болса) жазуға болады. Мысалы, ; ;
Бұл жағдайларда аралас санның бүтін бөлігін бөлшек бөлігінің алымына үтір
арқылы ажыратады. Сонымен, ондық бөлшек – шын мәнісінде, бөлімі 10 n
болатын бөлшектің басқаша жазылу түрі.
Бөлімі 10-ның қайсыбір дәрежесінің бөлгіші болатындай кез келген жай
бөлшекті ондық бөлшек түрінде өрнектеуге болады. Мысалы, 4 – 100 санының
бөлгіші, сондықтан бөлшегін ондық бөлшек түрінде өрнектеуге болады:
; 125 – 1000 санының бөлгіші, сондықтан бөлшегін ондық бөлшек
түрінде өрнектеуге болады: .
Жай бөлшекті ондық бөлшек түрінде өрнектеу туралы жалпы қорытынды мынадай:
егер бөлшектің бөлімінің жай көбейткіштерге жіктелуінде тек екіліктер мен
бестіктер ғана бар болса, онда бұл бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазуға
болады; егер де бөлшек қысқармайтын болса және оның бөлімінің жай
көбейткіштерге жіктелуінде екіліктер мен бестіктерден басқа да көбейткіштер
бар болса, онда бұндай бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазуға болмайды.
7,234 ондық бөлшегін қарастырайық. Сонда ; ; . Олай болса,
7,234 = 7,2340 = 7,23400. Сонымен, егер ондық бөлшекке оң жағынан нольді
немесе бірнеше нольді қосып (жалғастырып) жазса, онда оған тең бөлшек
алынады. Егер ондық бөлшек бір немесе бірнеше нольмен аяқталатын болса,
онда бұл нольдерді тастап кетуге болады – сонда оған тең бөлшек алынады.
Ондық бөлшектер үшін мағыналы цифр ұғымы енгізіледі. Санның мағыналы
цифрлары деп алдыңғы нольдерден басқа оның барлық цифрларын айтады. Мысалы,
23,0009 санында мағыналы алты цифр бар; 0,1023 санында төрт мағыналы цифр
бар: 1, 0, 2, 3; 0,00004 санында бір мағыналы цифр бар: 4.
Ондық бөлшектерге арифметикалық амалдар қолдану.
Ондық бөлшектерді қосқан кезде оларды бірінің астына бірін, бірдей
разрядтар бірінің астына бірі, ал үтір үтірдің астында болатындай етіп жазу
керек те, бөлшектерді натурал сандарды қосқандағыдай етіп, қосу керек.
Мысалы, 12,7 мен 3,442 бөлшектерін қосайық.
Бірінші санда үтірден кейін бір цифр, ал екінші бөлшекте – үш цифр бар:
12,7 = 12,700, сонда
12,700
+ 3,442
16,142
Ондық бөлшектерді азайту амалы да осы сияқты орындалады. 13,1 мен 0,37
сандарының айырымын табайық:
13,10
‾ 0,37
12,73
Ондық бөлшектерді көбейткен кезде берілген сандарды, үтірлерге көңіл
аудармай (натурал сандар сияқты), көбейту жеткілікті, содан кейін
көбейткіштерде үтірден кейін (қоса есептегенде) неше цифр болса,
көбейтіндіде (нәтижеде) оң жағынан сонша цифрды үтірмен анықтау керек.
Мысалы, 2,7-ні 1,3-ке көбейтейік. Сонда 27 ∙ 13 = 351. Оң жағынан үтірмен
екі цифрды (көбейткіштердегі үтірден кейінгі цифрлардың қосынды саны екіге
тең) ажыратамыз. Нәтижеде 2,7 ∙ 1,3 = 3,51 екенін аламыз. Егер көбейтіндіде
цифрлар саны үтірмен ажыратуға керек цифрлар санынан аз болса, онда алдыңғы
жағынан жетіспейтін цифрлар орнына нольдер жазады, мысалы:
2,12 3,43
х 0,13 х 0,0002
636 0,000686
+ 212
0,2756
Ондық бөлшектерді 10, 100, 1000 және т.с.с. сандарға көбейтуді
қарастырайық. 12,733 бөлшегін 10-ға көбейту керек болсын. Сонда 12733 ∙ 10
= 127330. Оң жағынан үтірмен үш цифрды ажыратамыз: 12,733 ∙ 10 = 127,330.
Бірақ 127,330 = 127,33. Олай болса, 12,733 ∙ 10 = 127,33. Сонымен, ондық
бөлшекті 10-ға көбейту үтірді оңға қарай бір орынға жылжытуға келтіріледі.
Жалпы ондық бөлшекті 10, 100, 1000 сандарына көбейту үшін берілген
бөлшектегі үтірді 1, 2, 3 орынға (қажет болған жағдайда бөлшектің оң жағына
нольдерді жалғап жазып) жылжыту керек. Мысалы, 1,47 ∙ 10000 = 14700.
Ондық бөлшекті натурал санға бөлу натурал санды натурал санға бөлу сияқты
орындалады, ал бөліндіде үтірді бүтін бөлікті бөлу аяқталғаннан кейін
қояды. 22,1 санын 13-ке бөлу керек болсын:
22,1 13
‾ 13 1,7
91
‾ 91
0
Егер бөлінгіштің бүтін бөлігі бөлгіштен кіші болса, онда бөліндінің бүтін
бөлігі ноль болады, мысалы:
0,221 13
‾ 13 0,017
91
‾ 91
0
Енді ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлуді қарастырайық. 2,576 санын 1,12-ге
бөлу керек болсын. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
I Кіріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... 5
II Негізгі бөлім
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
. 7
2.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... 7
2.2 Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... . 11
2.3 Рационал және иррационал сандар
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
2.4 Нақты сандар және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ...
27
III Практикалық бөлім
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 33
IV Қорытынды бөлім
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 48
КІРІСПЕ
Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп әрі
жалпылана түскен. Адамзат мәдениетінің тууы және оның дамуымен тығыз
байланысты ұғым — сан ұғымы. Тарихтан бұрынғы заманда сан ұғымының тууы
және дамуы тіл дамуымен байланысты болды, өйткені әр санды атау үшін тіл
керек. Міне осы мәселелерді материалистік тұрғыдан талдап, танып білу
жаратылыстану ғылымдар философиясындағы мақсаттардың бірі болып табылады.
Буржуазиялық идеалистік теория сан ұғымы адамға туа біткен табиғи
категория деп тұжырымдайды. Неміс математигі Кронекер 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11,... натурал сандарды жасаған құдай, қалғандары -адамзаттың
қолындағы іс дейді.
Математиканың алғашқы ұғымы — сан ұғымының тууына түрткі болған
адамның еңбек әрекеті. Еңбектену әрекетінде оған бұйымның мөлшерін өлшеп
білу керек болды. Әрине бұл ұғым бір күннің, әйтпесе бір жылдың тіпті бір
ғасырдың ішінде қалыптаса қойған жоқ. Сан ұғымының қалыптасуына мыңдаған
жылдар керек болды.
Адамзат мәдениет есігін аша бастаған шақта, ең алдымен натурал
сандарды қолданды. Олар мыналар: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...
жеке заттарды санаудың нәтижесінен келіп шыққан бұл сандар адамзат
мәдениетінің ең негізгі табыстарының бірі болып табылады. Егер сан ұғымы
болмаса, рухани өміріміз бен практикалық қызметімізді өз дәрежесінде
көрсете алмаған болар едік, есеп-қисап жүргізу, уақытты, қашықтықты өлшеу,
еңбек нәтижелерінің қорытындыларын есептеп шығару сан ұғымынсыз мүмкін
болмаған болар еді.
Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ
уақыт бойы “жалған” сандар деп есептеліп, “қарыз” (“борыш”),
“жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу
және азайту жағдайлары үшін ғана ғарастырылып отырған.
XVII ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла
бастағаннан бері теріс сандар оң сандар мен тең праволы сандар ретінде
қабылданады. Бүтін және бөлшек сандар рационал жиынын құрайды. Бұл сандар
есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі
және бөліндісі рационал сандар болып табылады.
Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез келген
кесіндісі бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімін кез келген дәлдік
дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге
болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы адамзаттың іс жүзінде
қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін
қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан,
иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грецияда Пифагордың (біздің
заманымызға дейінгі 6 ғасырда) мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде
квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын рационал
санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың диагоналы және
оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған.
Бұдан кейінгі уақытта (біздің заманымызға дейінгі 5-4 ғасырларда) ежелгі
грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны үшін
n санының иррационалдығын дәлелдеді.
Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында нүктемен
кескінделеді және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір нүктеге
белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес келеді.
Иррационал сандар ендірілгеннен кейін координаттық түзудің бойындағы барлық
“бос орындар” толтырылды. Осы қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны үздіксіз
болып табылады делінеді.
Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз) ондық бөлшек
түрінде көрсетуге болады. XVIII ғасырда Л.Эйлер (1707-1783) мен И. Ламберт
(1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын
көрсетеді. Шектеусіз ондық бөлшектер негізінде нақты сандар құруды неміс
математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын
мазмұндаудың басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р.Дедекинд (1831-1897)
пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.
Курстық жұмыстың мақсаты:
Нақты сандар және олардың қасиеттері туралы үйрену және олардың қасиеттерін
зерттеу. Арифметикалық амалдар қолдану арқылы есептер шығару арқылы
тақырыпты пысықтау. Теорияда берген материалдары тәжірибеде іске асыру.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- санның шығу тарихы туралы түсінік беру;
- мектеп курсында оқытылатын сандар туралы түсінік қалыптастыру;
- сандардың қасиеттерін ұғындыру;
- әр түрлі қасиетке ие болатын сандарды зерттеу.
Жұмыстың зерттелу деңгейі:
Егер сандар туралы тереңірек зерттеп, оқып үйренсе, онда әрбір адам
математиканың қаншалықты қажеттілігін толық түсінер еді.
Сандар мен оларға қолданылатын амалдардың қасиеттері зерттелетін
математиканың бөлімі сандар теориясы деп аталады. Сандар теориясын құрудың
бастамасын ежелгі грек оқымыстылары Пифагор, Евклид, Эратосфен және т.б.
жасаған еді.
2.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері
Натурал сандардың жазылуы. Заттарды санау үшін немесе қандай да бір заттың
біртекті заттар арасындағы реттік номерін көрсету үшін пайдаланылатын 1, 2,
3, 4, 5 . . . сандары натурал сандар деп аталады. Ондық санау системасында
кез келген натурал сан 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрларының көмегімен
жазылады. Мысалы, 2457 жазылуы 2 – мыңдықтар цифры, 4 – жүздіктер цифры, 5
– ондықтар цифры және 7 – бірліктер цифры екенін білдіреді, яғни 2457 – 2 ∙
1000 + 4 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 7. Жалпы, егер a – мыңдықтар цифры, b – жүздіктер
цифры, c – ондықтар цифры және d – бірліктер цифры болса, онда a ∙ 1000 + b
∙ 100 + c ∙ 10 + d санын аламыз. Сондай-ақ, қысқаша abcd (abcd деп жазуға
болмайды, өйткені бұндай жазуды математикада қабылданған келісім бойынша a,
b, c, d сандарының көбейтіндісін білдіреді) жазылуы да пайдаланылады. Осы
сияқты abcde жазылуы a ∙ 10000 + b ∙ 1000 + c ∙ 100 + d ∙ 10 + e (a ≠ 0)
санын білдіреді.
Натурал сандарға қолданылатын амалдар.
Екі натурал санды қосудың немесе көбейтудің нәтижесі әрқашан натурал сан
болады: егер m, n натурал сандар болса, онда p = m +n де натурал сан, m мен
n – қосылғыштар, p – қосынды; p = mn де натурал сан, m, n – көбейткіштер, p
– көбейтінді. Натурал сандарды қосу мен көбейтудің келесі қасиеттері
орынды:
1°. a + b = b + a (қосудың орын ауыстырымдылық қасиеті).
2°. (a + b) + c = a + (b + c) (қосудың терімділік қасиеті).
3°. ab = ba (көбейтудің орын ауыстырымдылық қасиеті).
4°. (ab)c = a(bc) (көбейтудің терімділік қасиеті).
5°. a (b + c) = ab + ac (көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділік қасиеті).
Натурал сандарды азайтудың немесе бөлудің нәтижесінде әрқашан натурал сан
алына бермейді: мысалы, 7 – 4 = 3 – натурал сан, ал 4 – 7 = -3 – натурал
сан емес; 21 : 7 = 3 – натурал, ал 11 : 2 = 5,5 – натурал сан емес. Егер
m, n, k – натурал сандар болса, онда m – n = k, болған жағдайда m –
азайғыш, n – азайтқыш, k – айырым дейді; m : n = k болған жағдайда m –
бөлінгіш, n – бөлгіш, k – бөліндінің мәні дейді, бұл жағдайда m санын n
санының еселігі, ал n санын m санының бөлгіші деп те айтады. Егер m – n
санының еселігі болса, онда m = kn болатындай k натурал саны
табылады.Сандардан арифметикалық сандардың таңбалары (белгілері) мен
жақшалардың көмегімен сандық өрнектер құрылады. Егер сандақ өрнекте,
қабылданған ретті сақтай отырып, көрсетілген амалдарды орындайтын болсақ,
онда өрнектің мәні деп аталатын сан алынады. Сандық өрнектерде
арифметикалық амалдардың орындалу ретін еске түсірейік: алдымен жақшалардың
ішіндегі амалдар орындалады; кез келген жақшалардың ішінде (жақшалар жоқ
болатын өрнектерде де ауд.) алдымен көбейту мен бөлу, ал содан кейін қосу
мен азайту амалдары орындалады. Мысалы, егер
1 4 2 3 5 6
(28 ∙ 93 + (1927 - 1873) ∙ 31) : 6 - 710
өрнегінің мәнін есептеу керек болса, онда амалдардың орындалу реті мынадай
болады:
1 2 3 4 5 6
(28 ∙ 93 + (1927 - 1873) ∙ 31) : 6 – 710
Қалдықпен бөлу. Егер m натурал саны n натурал санына бөлінбейтін, яғни m =
nk болатындай k натурал саны жоқ болса, онда қалдықпен бөлуді қарастырады
мысалы, 43 санын 18 санына бөлгенде бөліндіде 2 және қалдықпен 7 алынады,
яғни 43 = 18 ∙ 2 + 7. Жалпы жағдайда, егер m – бөлінгіш, n – бөлгіш (m
n), p – бөлінді және r – қалдық болса, онда
m = np + r
мұнда r n. Бұл жерде m, n, p, r – натурал сандар (тек m n-ға қалдықсыз
бөлінген және r = 0 болған жағдай өзгеше). Мысалы, егер n = 3, ал r = 2
болса, онда m = 3p + 2. Бұл 3-бөлгенде қалдықта 2-ні беретін сандардың
формуласы.
Мысал. 36 421 санын 25 санына бөлгендегі бөлінді мен қалдықты табу керек.
Шешуі. Бұрыштап бөлуді орындайық:
3642125 25
¯ 25 1456
114
¯100
142
¯125
171
¯150
21
Сонымен, бөлінді 1456, ал қалдық 21 болды. (1) теңдігін пайдаланып, 36421 =
25 ∙ 1456 + 21 деп жаза аламыз.
Бөліну белгілері. Кейбір жағдайларда, m натурал санын n натурал санына
бөлуді жүргізбей-ақ, m-ды n-ға қалдықсыз бөлуге бола ма, әлде болмай ма?
деген сұраққа жауап беріледі.
Бұл сұраққа жауапты әр түрлі бөліну белгілері арқылы алуға болады.
Т.1.1. Егер әрбір қосылғыш қайсыбір санға бөлінетін болса, онда қосынды да
сол санға бөлінеді (қосындының бөлінгіштік белгісі туралы теорема).
Бірақ, егер әрбір қосылғыш қандай да бір санға бөлінбесе, онда қосынды да
сол санға бөлінбейді деп ойламау керек. Мысалы, 37 + 19 қосындысы 4-ке
бөлінеді, ал 37 де, 19 да 4-ке бөлінбейді. Алайда, егер бір қосылғыштан
басқа қосылғыштардың бәрі қайсыбір санға бөлінсе, онда қосынды сол санға
бөлінбейтінін атап өтеміз.
Т.1.2. Егер көбейтінді де кемінде бір көбейткіш қайсыбір санға бөлінетін
болса, онда көбейтінді де сол санға бөлінеді (көбейтіндінің бөлінгіштік
белгісі туралы теорема).
Мысалы, көбейтуді орындамай-ақ 105 ∙ 48 ∙ 93 ∙ 54 көбейтіндісі 5-ке
бөлінеді деп тұжырымдауға болады, өйткені 105 көбейткіш 5-ке бөлінеді.
Т.1.3. Натурал сан оның соңғы цифры 2-ге бөлінгенде және тек сонда ғана 2-
ге бөлінеді (2-ге бөліну белгісі).
Т.1.4. Натурал сан оның соңғы цифры не 0, не 5 болғанда және тек сонда ғана
5-ке бөлінеді (5-ке бөліну белгісі).
Т.1.5. Натурал сан оның соңғы цифры 0 болғанда және тек сонда ғана 10-ға
бөлінеді (10-ға бөліну белгісі).
Т.1.6. Цифрларының саны үштен кем болмайтын натурал сан соңғы екі цифрынан
тұратын екіорынды сан 4-ке бөлінгенде және тек сонда ғана 4-ке бөлінеді (4-
ке бөліну белгісі).
Дәлелдеуді бесорынды аbсdе саны үшін жүргіземіз. Сонда аbсdе – а ∙ 10000 +
b ∙ 1000 + с ∙ 100 + d ∙ 10 + е. 100, 1000 және 10000 сандары үшін 4-ке
бөлінетін болғандықтан, 10 000 а + 1000 b + 100 с қосындысы да 4-ке
бөлінеді. Олай болса, егер а ∙ 10 + с саны 4-ке бөлінетін болса, онда аbсdе
саны да 4-ке бөлінеді, егер де 10 d + е саны 4-ке бөлінбейтін болса, онда
аbсdе саны да 4-ке бөлінбейді. Мысалы, 15436 саны 4-ке бөлінеді, өйткені 36
саны 4-ке бөлінеді. 372 514 саны 4-ке бөлінбейді, өйткені 14 саны 4-ке
бөлінбейді.
Т.1.7. Натурал сан оның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінгенде және тек
сонда ғана 3-ке бөлінеді (3-ке бөліну белгісі).
Дәлелдеуді төрторынды аbсd саны үшін жүргіземіз. Сонда аbсd = 1000 а + 100
b + 10 с + d = (999 а + а) + (99 b + b) + (9с +с) + d = (999 а + 99 b + 9
с) + (а + b + с + d). 9, 99, 999 сандары 3-ке бөлінеді және (999 а + 99 b +
9 с) + (а + b + с + d) қосындысы цифрлардың а + b + с + d қосындысы 3-ке
бөлінеді және тек сонда ғана 3-ке бөлінеді. Мысалы, 2742 саны 3-ке
бөлінеді, өйткені бұл санның цифрларының 2 + 7 + 4 + 2 = 15 қосындысы 3-ке
бөлінеді. 17941 саны 3-ке бөлінбейді, өйткені бұл санның цифрларының
қосындысы 22, ал 22 саны 3-ке бөлінбейді.
Т.1.8. Натурал сан оның цифрларының қосындысы 9-ға бөлгенде және тек сонда
ғана 9-ға бөлінеді (9-ға бөліну белгісі).
Натурал санды жай көбейткіштерге жіктеу.
Егер санның тек екі бөлгіші (санның өзі мен бір) ғана бар болса, онда ол
жай сан деп аталады; егер санның екіден көп бөлгіштері бар болса, онда ол
құрама сан деп аталады. Солай, 19 жай сан, өйткені оның екі бөлгіші ғана
бар: 1 мен 19; 35 сан құрама сан: оның 4 бөлгіші бар: 1, 5, 7, 35. Жай сан
19-ды екі натурал санның көбейтіндісі түрінде бір ғана тәсілмен өрнектеуге
болады: 19 = 1 ∙ 19 (көбейткіштертің ретін ескермегенде); құрама 35 санын
екі натурал санның көбейтіндісі түрінде екі (бірден артық) тәсілмен
өрнектеуге болады: 35 = 1 ∙ 35 = 5 ∙ 7. 1 саны жай санға да, құрама санға
да жатпайтынын атап өтейік.
Т.1.9. Кез келген құрама натурал санды бір ғана тәсілмен жай (қарапайым)
көбейткіштерге жіктеуге болады.
Сандарды жай көбейткіштерге жіктегенде бөліну белгілерін пайдаланады да
вертикаль сызықтың оң жағында бөлгіштер, ал сол жағында бөлінгіш, оның
астында бөліндінің мәні орналасатындай етіп бағаналап жазу қолданылады.
Олай, 360 саны үшін тиімді бұл жазылу мынадай болады:
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Егер санның жай көбейткіштерге жіктелуінде бір а көбейкіші n рет кездесетін
болса, қысқаша былай жазады: аn , яғни а ∙ а ∙ а ∙ ... ∙ а = аn. аn өрнегі
– дәреже, а саны – дәреженің негізі, n саны – дәреженің көрсеткіші деп
аталады. Сондықтан 360 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 23 ∙ 32 ∙ 5 деп жазуға
болады.
Бірнеше натурал санның ең үлкен ортақ бөлгіші. 72 және 96 сандары
берілсін. 72 санының барлық бөлгіштерін жазайық: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,
18, 24, 36, 72. 96 санының барлық бөлгіштерін жазайық: 1, 2, 3, 4, 6, 8,
12, 16, 24, 32, 48, 96. Осы жазылған бөлгіштердің ішінде бірдейлері бар: 1,
2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Бұл сандардың бәрін 72 мен 96 сандарының ортақ
бөлгіштері деп, ал олардың ішіндегі ең үлкенін ең үлкен ортақ бөлгіші деп
атайды.
Кез келген а мен b берілген натурал сандары үшін ең үлкен ортақ бөлгішті
табуға болады. Ол Д (а, b) арқылы белгіленеді (Д – а, b деп оқылады).
Егер а мен b – Д (а, b) = 1 болатындай сандар болса, онда а мен b өзара жай
сандар деп аталады. Мысалы, 72 мен 35 сандары (олардың әрқайсысы құрама сан
болса да) өзара жай сандар.
Бірнеше санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін бұл сандарды жай
көбейткіштерге жіктеу керек те ең кіші дәрежелерімен алынған ортақ жай
көбейткіштердің көбейтіндісін табу керек.
1-мысал, Д (48, 60, 72)-ні табу керек.
Шешуі. 48 = 24 ∙ 3; 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5; 72 = 23 ∙ 32. Олай болса,
Д (48, 60, 72) = 22 ∙ 3. Жауабы: Д (48, 60, 72) = 12.
2-мысал, Д (3780, 7056)-ны табу керек.
3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7
7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72
Шешуі. 3780 2 7056 2
1890 2 3528 2
945 2 1764 2
315 2 882 2
105 2 441 3
35 2 147 3
7 2 49 7
1 2 7 7
1
Сонда Д (3780, 7056) = 22 ∙ 32 ∙ 7, 3780 санының жіктелуінде де, 7056
санының жіктелуіне де енетін жай көбейткіштер (ең кіші дәрежелі) алынған.
Жауабы: Д (3780, 7056) = 252.
Бірнеше натурал санның ең кіші ортақ еселігі. 12 мен 18 сандары берілсін.
12-ге еселі сандарды жазайық: 12, 24, 36, 48, 72, ... . 18-ге еселі
сандарды жазайық: 18, 36, 54, 72, 90, ... . Жазылған еселік сандардың
ішінде бірдейлері бар: 36, 72, ... . Осы сандардаң бәрін 12 мен 18
сандарының ортақ еселіктері деп, ал олардың ішіндегі ең кішісін 12 мен 18
сандарының ең кіші ортақ еселігі деп атайды.
Кез келген а мен b натурал сандарының ең кіші ортақ еселігі осы сияқты
анықталады да, ол К (а, b) арқылы белгіленеді (оқылуы, К – а, b).
Бірнеше санның ең кіші еселігін табу үшін бұл сандарды жай көбейткіштерге
жіктеу керек те барлық алынған жай көбейткіштердің (оларды ең үлкен
дәрежесімен алып) көбейтіндісін табу керек.
Мысал. К (3780, 7056)-ны табу керек.
Шешуі. 3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7, 7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72. Сонда К (3780, 7056) =
24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7, яғни 3780 мен 7056 сандарының кемінде біреуі жіктелуіне
енетін барлық жай көбейткіштер алынған. Сонымен, К (3780, 7056) = 105 840.
Кез келген а мен b натурал сандары үшін
Д (а, b) ∙ К (а, b) = а b
теңдігі орынды. Егер, дербес жағдайда, а мен b сандары өзара жай, яғни Д
(а, b) = 1 болса, онда К (а, b) = а b. Бұл өзара жай екі санның ең кіші
ортақ еселігі осы сандардың көбейтіндісіне тең болатынын білдіреді.
Алгебрада әріптерді қолдану. Айнымалылар. Алгебрада сандардың нақтылы
қасиеттері көбінесе әріптердің көмегімен жазылады. Мысалы, қосудың орын
ауыстырымдылық заңы (қосылғыштардың орындарын ауыстырғаннан қосынды
өзгермейді) былай жазылады: а + b = b + а, мұнда а мен b-ның орнына кез
келген сандарды қоюға болады: 3 + 5 = 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 және
т.с.с. Әріптердің орнына қоятын санды оның мәні деп атайды. Кейбір
жағдайларда (мысалы, теңдеулерде) жазылған теңдік орынды болатындай етіп
әріптің орнына тек анықталған сандарды ғана қоюға болады. Мысалы, 7 + х =
10 теңдігі тек х = 3 болғанда ғана орынды. Алгебрада қолданылатын әріптерді
айнымалылар деп атайды; бұндай атаудың мағынасы әріптің сандық мәнін
өзгертуге болатынында: мысалы, а + b = b + а теңдігінде а =3, b – 5 деп, а
= 7, b = 19 деп және т.с.с. алуға болады – барлық жағдайларда да теңдік
орынды. 7 + х = 10 теңдігінде х = 3 деп, х = 5 деп алуға болады;
айырмашылығы – бірінші жағдайда теңдік дұрыс, ал екінші жағдайда теңдік
дұрыс емес болуында. Д (а, b) = 1 теңдігі а мен b айнымалыларының мынадай
мәндерінде дұрыс болады: а = 18, b = 25, а = 100, b = 99; а = 13, b = 1000
және т.с.с. Бұл теңдік айнымалылардың келесі мәндерінде дұрыс емес: а = 8,
b = 6, а = 25, b = 150; а = 7, b = 777 және т.с.с.
2.2 Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану
Жоғарыда байқағанымыздай натурал сан қатары, ноль саны, бірлік ұғымдары
адамдардың практикалық қажеттіліктерінен пайда болған. Сондай-ақ сандарға
қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де айналамыздағы
нәрселердің арасындағы қатынастар болады.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан шығады. Бұл
амалдар – қосу, азайту, көбейту, және бөлу.
Қосу. Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы ол сандарды
қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан
шыққан. Расында да, ортақ элементтері жоқ, әр түрлі және екі
жиынға тиісті элементтерді бір жиын етіп біріктіргенде, біз жаңа
жиынын шығарып аламыз, ал бұл жиын және жиындарының, тек
солардың ғана барлық элементтерінен құралады.
М жиынын берілген М1 және М2 жиындарының қосындысы деп айтатын боламыз.
Сонымен, ортақ элементтері жоқ, берілген М1 және М2 екі жиынның қосындысы
деп сол жиындардың, тек солардың ғана, барлық элементтерінен құралған жаңа
жиынды айтамыз.
Жалпы алғанда, егер М1,М2 және олардың қосындысы М жиындарының тиісті
элементтері және болса,онда мен сандарынын
санын құрастыру мен сандарын қосу деп аталады, ал саны
олардың қосындысы.мен сандары қосылғыштар деп аталады.Мұны былай
деп айтуға болады:натурал мен сандарының қосындысы деп мынадай
бір жаңа санын айтамыз, ол саны ортақ элементтері болмайтын және
қуаттары мен сандарымен өрнектелетін М1 және М2 жиындарының
бірігуі болып табылатын М жиынының қуатын көрсетеді.
Қосуды белгілеп көрсету үшін плюс деп аталатын + таңбасы қолданылады.
Жоғарыда баяндағанымызға қарағанда теріс емес бүтін екі санды қосуды
әрқашан да орындауға болады, өйткен берілген екі саның қосындысын санау
операциясын қолданып, анықтап айтқанда, санына санының барлық
бірліктерін қосып санау арқылы әрқашан да табуға болады.
Теріс емес бүтін сан -ға нөльді немесе нөльге санын қосу
дегеніміз сол санының өзі шығады деген сөз екендігін ескертейік.
Демек, және символдары санын көрсетеді, яғни және
. Дербес жағдайда, болғанда, .
Бұған дейін екі жиының бірігуі және соған сәйкес екі саның қосындысы
жөнінде сөз болады.
Қосудың заңдары. Қосудың зандары деп қосындының мынадай қасиеттері аталады:
Ауыстырымдылық (коммутативтік), терімділік (ассоциативтік) және
монотондылық.
Ауыстырымдылық. Қосылғыштардың орнын өзгертуден қосынды өзгермейді. Расында
да, біз екі санды қосу операциясын бір санға екініші санның барлық
бірліктерін қосып санау арқылы орындауға болатындығын байқадық, бірақ санау
нәтижесі санау тәртібіне байланысты болмайды. Демек, 5 пен 3 сандарын
қосқанда 5-ке 3-тің барлық бірліктерін қосып санаймыз ба, немесе,
керісінше, 3 санына 5 санының барлық бірліктерін қосып санаймыз ба, оның
бәрі-бір: бұл екі жағдайда да бір нәтиже шығады. Тек мұндағы маңызды нәрсе
әр-бір қосылғыштың барлық бірліктері қосындының құрамына кіретін болу
керек. Нақтысында да 5+3=8 және 3+5=8. Демек: 5+3=3+5, және мен
қандай сандар болса да,
Терімділік. Егер қандай да бір қосылғыштарды топтарға біріктіріп, қосуды
топтар бойынша жүргізсек, сонан кейін шыққан нәтижелерді қоссақ, берілген
сандардың қосындыс өзгермейді.
Мысалы, егер 2, 4 және 3 сандарын алсақ, олардың қосындысын шығарып алу
үшін, бірнеше сандардың қосындысының анықтамасы бойынша, біздің былай
істеуімізгі болар еді;: 2+4+3=(2+4)+3=6+3=9. Бірақ сандарды басқаша
топтастырып та біз осы нәтижені шығарып алуымызға болар еді, атап айтқанда:
2+4+3=2+(4+3)=2+7=9.
және қандай сандар болса да,
және
Қосындының монотондылығы
1) Егер берілген екі сан (және ) өзара тең болса, онда олардың
әрқайсысына бір ғана санды () қосқан өзара тең қосындылар шығады.
Расында да, егер болса, онда өйткені бұл қосындылардың
әрқайсысындағы бірліктердің саны бірдей екендігі айқын.
2) Егер берілген екі санның біреуі () екіншісінен () артық
немесе кем болса, онда олардың әрқайсысына бір ғана санды () қосқанда
соған сай бірінші қосынды екінші қосындыдан артық немесе кем болады.
болсын дейік. Мұнымыз санның құрамында саны және нөлге
тең болмайтын тағы бір саны бар деген сөз болады, яғни
Олай болса,
Бұдан болады, өйткені алдындағы теңдікке қарағанда қосындысының
құрамында қосындысы және нөлге тең емес тағы да бір саны
болады.
Азайту. Екі санның және бірнеше сандардың қосындысы жөніндегі ұғымды біз
жиындардың бірігуін және сол сандарды қосуды қарастырудан тікелей шығардық.
Азайту және басқа да арифметикалық амалдардың мағынасын анықтағанда,
жиындарға қолданатын сәйкес операцияларды қарастырмай-ақ, екі санның
қосындыс жөніндегі ұғымға сүйенуімізге болады.
Тең емес екі сан берілгенде, әрине, біреуі екіншісінен қалай дегенмен де
артық болады, яғни оны кіші санға бір үшінші санды қосу арқылы шығарып
алуға болады.
Мысалы, егер және санынан артық болса, онда оның құрамында
саны және оның үстінде тағы да бір саны болады, демек, оны
мен сандарының қосындысы түрінде көрсетуге болады, яғни
Егер санынан бірлікті азайтсақ (шегерсек), онда ол саннан
бірлік қалуға тиіс. Егер мен сандарын қайтадан қоссақ, ол
екеуінің қосындысы ретінде қайтадан саны келіп шығады.
Бұған қарағанда, үлкен сан -дан кіші сан -ні азайту
дегеніміз – үшінші санын табу деген сөз, сонда саны кіші сан
-ге қосқанда үлкен сан шығатын болу керек.
Демек, азайту деп берілген қосынды () және қосылғыштардың біреуі
() бойынша екінші қосылғыш () табылатын арифметикалық амал
аталады.
Азайту амалы минус деп аталатын (-) таңба арқылы былай өрнектеледі:
Мұндағы - азайғыш, - азайтқыш, - айырма немесе қалдық.
Біз тең емес екі санның айырмасы бір натурал санмен өрнектелгетіндігін
көрдік, дербес жағдайларды қарастырайық.
1) Азайғыш және азайтқыш өзара тең. Бұл жағдайда азайғыштан оның
өзінде қанша бірлік болса, сонша бірлік азайтылатындығы айқын. Демек
айырымы нөлге тең.
Расында да: , өйткені
2) берілген саннан нөлді азайту дегеніміз – ол санды өзгеріссіз қалдыру
деген сөз:
, өйткені
3) 0-0=0, өйткені 0+0=0
Қосу және азайту өзара кері амалдар болып табылады, өйткені қосу амалында
қосылғыштар беріледі де, қосынды ізделінеді, ал азайту амалында, керісінше,
қосынды және бір қосылғыш беріледі де, екінші қосылғыш ізделінеді.
Көбейту. Қосу амалына берілген есептерді екі немесе бірнеше тең сандардың
қосындысын табу керек болатын жағдай жиі кездеседі. Мынадай есептерді
қарастырайық:
Ұшақ сағатына 420 км ұшады. 4 сағат ішінде ол неше километр ұшады? Бұл
есепті төрт тең санды қосумен шығаруға болады: 420+420+420+420=1680(км)
Бірдей екі немесе бірнеше сандардың қосындысын табу жаңа амалға көбейту
амалын алып келді. Теріс емес бүтін сан -ны теріс емес бүтін сан -
ге көбейту дегеніміз - әрқайсысы -ға тең - қосылғыштың
қосындысын табу деген сөз.
қосылғыш
Математикада көбейту былайша белгіленеді.
1) немесе 2) әріптер қолданылғанда әдетте нүкте жазылмайды да,
деп жазудың орнына деп жазады.
Қайталайтын қосылғыш көбейгіш деп, оның неше рет қайталайтынын көрсететін
сан көбейткіш деп аталады да, бұдан шығатын нәтиже көбейтіндінің мәні
немесе көбейтінді деп аталады. Бүтін санға көбейту деп берілген бір сан
қосылғыш ретінде екінші бір санда қанша бірлік болса, сонша қайталайтын
амалды айтамыз. Көбейту қосудың дербес түрі болғандықтан, оның әрқашан да
орындалуы мүмкін және бір ғана нәтиже береді.
Егер көбейткіш бірге тең болса, онда кбейтінді көбейгішке тең
болады. Басқаша айтқанда, берілген санды бірге көбейту дегеніміз – ол санды
өзгеріссіз қалдыру деген сөз:
Егер көбейткіш нөлге тең болса, онда көбейтінді де нолге тең болады:
немесе
Бөлу. Берілген санды тең бөліктерге жіктеу бізді жаңа амалға бөлу
амалын алып келді. Берілген санын санына бөлу дегеніміз
санына көбейткенде саны шығатын бір жаңа санды табу деген сөз. Бұдан
бөлу амалының мынадай анықтамасы шығады: Бөлу амалы деп берілген екі санның
көбейтіндісі және олардың біреуі бойынша екінші сан табылатын арифметикалық
амалды атаймыз. Математикаша жазып көрсеткенде бөлу түрліше белгіленеді:
бөлінгіш (сол жақта) пен бөлгішті (оң жақта) бір-бірінен айырып тұратын екі
нүктемен немесе бөлінгіш пен бөлгішті бір-бірінен айырып тұратын
горизонталь сызықпен белгілейді. Сөйтіп санын санына бөлуді екі
тәсілмен жазып көрсетуге болады:
1) немесе 2) сонда бұл теңдіктердің әрқайсысы санын
санына бөлгенде бөлінедіде натурал сан шығатындығын көрсетеді. Бөлу
амалының анықтамасына сүйеніп, тендігінен мынадай теңдік шығаруға
болады: , яғни бөлінгіш бөліндіге көбейтілген бөлгішке тең болады.
Біздің барлық байымдап талқылауларымызда бөлінді бүтін сан болады деп
алғандығымызды ескертелік.
2.3 Рационал және иррационал сандар
Жай бөлшектер. Дұрыс және бұрыс бөлшектер. Аралас сандар.
Жай бөлшек дегеніміз түріндегі сандар, мұндағы m мен n –
натурал сандар, мысалы , . m саны бөлшектің алымы, n саны
бөлшектің бөлімі деп аталады. Дербес жағдайда, n = 1 бола алады, бұл
жағдайда бөлшек түрінде болады, бірақ бұны көбінесе жай ғана m деп
жазады. Бұл әрбір натурал санды бөлімі 1 болатын жай бөлшек түрінде
өрнектеуге болатынын білдіреді. жазылуы – жазылуының басқа
варианты.
Жай бөлшектерді дұрыс және бұрыс бөлшектер деп те ажыратады. mn бөлшегі,
алымы бөлімінен кіші болғанда дұрыс бөлшек деп, ал алымы бөлімінен үлкен
немесе оған тең болғанда бұрыс бөлшек деп аталады. Әрбір бұрыс бөлшекті
натурал сан мен дұрыс бөлшектің қосындысы түрінде өрнектеуге болады (егер m
n-ге еселі болса, онда натурал сан алынады, мысалы = 4).
Мысал. Бұрыс бөлшекті натурал сан мен дұрыс бөлшектің қосындысы түрінде
өрнектеу керек: а) ; б) .
Шешуі. а) = = + = ;
б) = = + = .
Натурал сан мен жай бөлшектің қосындысын қосу белгісінсіз жазу қабылданған,
яғни орнына деп, ал орнына деп жазады. Осындай
түрде жазылған сан аралас сан деп аталады. Ол екі бөліктен тұрады: бүтін
бөлік пен бөлшек бөлік. Сонда саны үшін бүтін бөлік 3, ал бөлшек
бөлік . Әрбір бұрыс бөлшекті аралас сан түрінде (немесе натурал сан
түрінде) жазуға болады. Кері тұжырым да орынды. Әрбір аралас немесе натурал
санды бұрыс бөлшек түрінде жазуға болады. Мысалы, = = +
= ; .
Бөлшектердің теңдігі. Бөлшектің негізгі қасиеті. Бөлшектерді қысқарту.
Егер аd = bс болса, мен бөлшектері тең деп есептеледі. Мысалы,
пен бөлшектері тең, өйткені 3 ∙ 15 = 5 ∙ 9, мен
бөлшектері тең, өйткені 12 ∙ 14 = 7 ∙ 24 болады. Бөлшектердің теңдігі
анықтамасынан мен бөлшектерінің теңдігі шығады, өйткені а(bm) =
b(аm), бұл жерде біз натурал сандарды көбейтудің терімділік және орын
ауыстырымдылық қасиеттерін пайдаландық. Демек, = , яғни егер
берілген бөлшектің алымы мен бөлімін бір ғана натурал санға көбейтсек
немесе бөлсек, онда берілген бөлшекке тең бөлшек алынады. Бұл қасиет
бөлшектің негізгі қасиеті деп аталады.
Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, кейде берілген бөлшекті өзіне тең,
бірақ алымы мен бөлімі берілген бөлшектің сәйкес алымы мен бөлімінен кіші
бөлшекпен ауыстыруға болады. Бұндай ауыстыруды бөлшекті қысқарту деп
атайды. Мысалы, = (алымы мен бөлімді бір ғана 3 санына бөлдік);
алынған бөлшекті, алымы мен бөлімін 5-ке бөліп, тағы да қысқартуға болады,
яғни = . Жалпы жағдайда, егер бөлшектің алымы мен бөлімі өзара
жай болмаса, бөлшекті қысқартуға болады; егер де алым мен бөлім өзара жай
сандар болса, онда бөлшек қысқармайтын бөлшек деп аталады: мысалы, -
қысқармайтын бөлшек.
Бөлшекті қысқартудың негізгі мақсаты – осы бөлшекті өзіне тең қысқармайтын
бөлшекпен ауыстыру.
Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру. және бөлшектері берілсін.
Олардың бөлімдері әр түрлі: 3 және 8, бірақ бөлшектің негізгі қасиетін
пайдаланып, бұл бөлшектерді өздеріне тең басқа бөлшектермен ауыстыруға
болады, сонда алынған бөлшектердің бөлімдері тең болуы керек. Бұндай
түрлендіру бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру деп аталады. бөлшегінің
алымы мен бөлімін 8-ге көбейтіп, = екенін; бөлшегінің
алым мен бөлімін 3-ке көбейтіп, = екенін аламыз. Сөйтіп,
пен бөлшектері ортақ бөлімге келтірілді:
=
Бұл қойылған мәселенің жалғыз ғана шешімі емес екенін ескерте кетелік.
Мысалы, бөлшектерді ортақ 48 бөлімге келтіруге:
=, және ортақ 72 бөлімге келтіруге: = , және жалпы 3-
ке де, 8-ге де бір мезгілде бөлінетін кез келген ортақ бөлімге келтіруге
болады.
Сонымен, бөлшектерді ортақ бөлімге көптеген тәсілдермен келтіруге болады,
бірақ әдетте бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіруге тырысады, ол
берілген бөлшектер бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігіне тең.
Мысал, мен бөлшектерін ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек.
Шешуі. 24 пен 30 сандарының ең кіші ортақ еселігін табамыз: К (24, 30) =
120 (7 пункті қараңыз). Сонда 120 : 24 = 5, сондықтан бөлшегін 120
ортақ бөлімге келтіру үшін, оның алымын да, бөлімін де 5-ке көбейту керек:
= . Әрі қарай бөлімге келтіру үшін, оның алымын да, бөлімін де 4-
ке көбейту керек: =. Бөлшектер ортақ бөлімге келтірілді: ;
. 4 пен 5 сандарын сәйкес бірінші және екінші бөлшек қосымша
көбейткіштер деп атайды. Келесі жазылу әдісі пайдаланылады:
Сөйтіп, бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімге келтіру үшін: 1) бөлшектердің
бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігін табу; 2) ең кіші ортақ еселікті әрбір
бөлімге бөліп, қосымша көбейткіштерді есептеу; 3) әрбір бөлшектің алымы мен
бөлімін сәйкес қосымша көбейткішке көбейту керек.
Жай бөлшектерге қолданылатын арифметикалық амалдар. Жай бөлшектерді қосу
былай орындалады:
а) егер бөлшектердің бөлімдері бірдей болса, онда бірінші бөлшектің алымына
екінші бөлшектің алымын қосады да бұрынғы бөлімді қалдырады, яғни
;
б) егер бөлшектердің бөлімдері әр түрлі болса, онда алдымен бөлшектерді
ортақ бөлімге (ең кіші ортақ бөлім қолайлы) келтіреді, ал содан кейін а)
ережесін қолданады.
1-мысал. .
Жай бөлшектерді азайту былай орындалады:
а) егер бөлшектердің бөлімдері тең болса, онда
;
б) егер бөлшектердің бөлімдері әр түрлі болса, онда алдымен бөлшектерді
ортақ бөлімге келтіреді, ал содан кейін а) ережесін қолданады.
Жай бөлшектерді көбейту амалын былай орындайды:
,
яғни алымдары жеке, бөлімдерді жеке көбейтеді де бірінші көбейтіндіні –
алым, екінші көбейтіндіні бөлім етіп алады. Мысалы:
.
Жай бөлшектерді бөлуді былай орындайды:
,
яғни бөлінгіш -ны бөлшегіне кері болатын бөлшегіне
көбейтеді. Мысалы,
.
2-мысал. сандық өрнегінің мәнін табу керек.
Шешуі. 1). Алым мәні бөлімді 3-ке қысқартып (бұны алым мен бөлімде
көбейту амалдарын орындағанға дейін жасаған пайдалы), , яғни
бөлшегін аламыз. Сонымен, .
2) .
3) өрнегінің мәнін тапқанда қосу мен азайту амалдарын бір мезгілде
орындауға болады. 15, 20, 30 сандарының ең кіші ортақ еселігі 60 саны
болады, қосымша көбейткіштерді (бірінші бөлшек үшін 4, екінші бөлшек үшін
3, үшінші бөлшек үшін 2) пайдаланып, үш бөлшекті де 60 бөліміне келтіреміз.
Сонда:
.
3-мысал. а) ; б) амалдарын орындау керек.
Шешуі. а) Бірінші тәсіл. Берілген аралас сандардың әр бірін бұрыс бөлшекке
келтіреміз, содан кейін қосуды орындаймыз:
;
;
.
Енді бұрыс бөлшегін аралас санға айналдырамыз:
.
Екіншітәсіл .
б) Аралас сандарды көбейту мен бөлу жағдайларында әрқашан бұрыс бөлшектерге
көшеді:
; .
Ондық бөлшектер.
Бөлімі 10, 100, 1000 және жалпы 10 n болатын дұрыс бөлшекті ондық бөлшек
түрінде жазуға болады. Мысалы, ; 48100 = 0,48; 211000 = 0,021. Дәл
осылай аралас санда немесе бұрыс бөлшекті (бөлімдер жоғарыда аталған сандар
болса) жазуға болады. Мысалы, ; ;
Бұл жағдайларда аралас санның бүтін бөлігін бөлшек бөлігінің алымына үтір
арқылы ажыратады. Сонымен, ондық бөлшек – шын мәнісінде, бөлімі 10 n
болатын бөлшектің басқаша жазылу түрі.
Бөлімі 10-ның қайсыбір дәрежесінің бөлгіші болатындай кез келген жай
бөлшекті ондық бөлшек түрінде өрнектеуге болады. Мысалы, 4 – 100 санының
бөлгіші, сондықтан бөлшегін ондық бөлшек түрінде өрнектеуге болады:
; 125 – 1000 санының бөлгіші, сондықтан бөлшегін ондық бөлшек
түрінде өрнектеуге болады: .
Жай бөлшекті ондық бөлшек түрінде өрнектеу туралы жалпы қорытынды мынадай:
егер бөлшектің бөлімінің жай көбейткіштерге жіктелуінде тек екіліктер мен
бестіктер ғана бар болса, онда бұл бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазуға
болады; егер де бөлшек қысқармайтын болса және оның бөлімінің жай
көбейткіштерге жіктелуінде екіліктер мен бестіктерден басқа да көбейткіштер
бар болса, онда бұндай бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазуға болмайды.
7,234 ондық бөлшегін қарастырайық. Сонда ; ; . Олай болса,
7,234 = 7,2340 = 7,23400. Сонымен, егер ондық бөлшекке оң жағынан нольді
немесе бірнеше нольді қосып (жалғастырып) жазса, онда оған тең бөлшек
алынады. Егер ондық бөлшек бір немесе бірнеше нольмен аяқталатын болса,
онда бұл нольдерді тастап кетуге болады – сонда оған тең бөлшек алынады.
Ондық бөлшектер үшін мағыналы цифр ұғымы енгізіледі. Санның мағыналы
цифрлары деп алдыңғы нольдерден басқа оның барлық цифрларын айтады. Мысалы,
23,0009 санында мағыналы алты цифр бар; 0,1023 санында төрт мағыналы цифр
бар: 1, 0, 2, 3; 0,00004 санында бір мағыналы цифр бар: 4.
Ондық бөлшектерге арифметикалық амалдар қолдану.
Ондық бөлшектерді қосқан кезде оларды бірінің астына бірін, бірдей
разрядтар бірінің астына бірі, ал үтір үтірдің астында болатындай етіп жазу
керек те, бөлшектерді натурал сандарды қосқандағыдай етіп, қосу керек.
Мысалы, 12,7 мен 3,442 бөлшектерін қосайық.
Бірінші санда үтірден кейін бір цифр, ал екінші бөлшекте – үш цифр бар:
12,7 = 12,700, сонда
12,700
+ 3,442
16,142
Ондық бөлшектерді азайту амалы да осы сияқты орындалады. 13,1 мен 0,37
сандарының айырымын табайық:
13,10
‾ 0,37
12,73
Ондық бөлшектерді көбейткен кезде берілген сандарды, үтірлерге көңіл
аудармай (натурал сандар сияқты), көбейту жеткілікті, содан кейін
көбейткіштерде үтірден кейін (қоса есептегенде) неше цифр болса,
көбейтіндіде (нәтижеде) оң жағынан сонша цифрды үтірмен анықтау керек.
Мысалы, 2,7-ні 1,3-ке көбейтейік. Сонда 27 ∙ 13 = 351. Оң жағынан үтірмен
екі цифрды (көбейткіштердегі үтірден кейінгі цифрлардың қосынды саны екіге
тең) ажыратамыз. Нәтижеде 2,7 ∙ 1,3 = 3,51 екенін аламыз. Егер көбейтіндіде
цифрлар саны үтірмен ажыратуға керек цифрлар санынан аз болса, онда алдыңғы
жағынан жетіспейтін цифрлар орнына нольдер жазады, мысалы:
2,12 3,43
х 0,13 х 0,0002
636 0,000686
+ 212
0,2756
Ондық бөлшектерді 10, 100, 1000 және т.с.с. сандарға көбейтуді
қарастырайық. 12,733 бөлшегін 10-ға көбейту керек болсын. Сонда 12733 ∙ 10
= 127330. Оң жағынан үтірмен үш цифрды ажыратамыз: 12,733 ∙ 10 = 127,330.
Бірақ 127,330 = 127,33. Олай болса, 12,733 ∙ 10 = 127,33. Сонымен, ондық
бөлшекті 10-ға көбейту үтірді оңға қарай бір орынға жылжытуға келтіріледі.
Жалпы ондық бөлшекті 10, 100, 1000 сандарына көбейту үшін берілген
бөлшектегі үтірді 1, 2, 3 орынға (қажет болған жағдайда бөлшектің оң жағына
нольдерді жалғап жазып) жылжыту керек. Мысалы, 1,47 ∙ 10000 = 14700.
Ондық бөлшекті натурал санға бөлу натурал санды натурал санға бөлу сияқты
орындалады, ал бөліндіде үтірді бүтін бөлікті бөлу аяқталғаннан кейін
қояды. 22,1 санын 13-ке бөлу керек болсын:
22,1 13
‾ 13 1,7
91
‾ 91
0
Егер бөлінгіштің бүтін бөлігі бөлгіштен кіші болса, онда бөліндінің бүтін
бөлігі ноль болады, мысалы:
0,221 13
‾ 13 0,017
91
‾ 91
0
Енді ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлуді қарастырайық. 2,576 санын 1,12-ге
бөлу керек болсын. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz