Лаплас түрлендіру қасиеттері

1. Лаплас түрлендіру.
2. Түпнұсқа және бейне. Лаплас интегралы.
3. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері

Лаплас түрлендіру. Бұл өрнектер Фурье түрлендірумен тығыз байланысқан. Өңдеу теориясында Фурье түрлендіруі жоқ болатын бір неше функциялар бар, мысалы, немесе , себебі түрлендіруді белгілейтін интегралдың шешімі жоқ. Бірақ осындай функциялар да үшін спектрлік түрлендірудің аппараты құрастырылған.
Әр түрлі геофизикалық процесті зерттегенде уақыт ден -ке дейін өзгереді деп санайды. Бірақ практикалық жағдайда процесс 0-ге тең деп алуға болатын белгілі бір уақыт мезгілінде басталады. Осылайша, . Осындай жағдай болуы мүмкін, егер <0 болғанда . Онда Фурье түрлендіру былай жазылады:
(1.1)
Интегралдың шешімі жоқ функциялардың Фурье түрлендіру есептеунің мүмкін еместігін аттап өтуге болады, егер Фурье түрлендірудегі уақыттық функциясын басылатын функциясына аустырсақ (мұндағы - тең болатындай кез-келген нақты, оң және жоғары параметр). Бұл жағдайда функциясының Фурье түрлендіруі болады, бірақ оны функциясынан Лаплас түрлендіруі деп атайды. Егер <0 болған жағдайда болса, онда біржақты Лаплас түрлендіруін аламыз:

Бұл интегрдаың шешімі барлық жағдайларда болады, егер . Бұл формуланы келесі түрге келтірейк:

комплексті компонента пайда болғанын көріп отырмыз. Ауыстыруларды енгізейк: . Онда
(1.2)
Бұл өрнекті түрлендіру ретінде қарастыруға болады. Оның көмегімен уақыттық функциясынан спектріне аусуға болады.
Физикалық түсіндіруден басқа Лаплас түрлендіруінің келесі түсініктемесін қосайық. Қалайша фотокамера оригиналдан кескінді алуға мүмкіндік береді, солайша Лаплас түрлендіруі функция-оригиналдың функция-кескінін анықтайды. Сонымен, Лаплас түрлендіруінің нақты мағынасы функцияны оригинал кеңістігінен кескін кеңістігіне ауыстыруда болып табылады және оригинал кеңістігімен салыстырғанда кескін кеңістігіндегі математикалық түрлендірулер бір неше қарапайым және көрнекті.