Ортогональ матрицаны құру


Презентация қосу



Дәріс №15
Ортогональ
матрицаны құру
Бағаналары
нормальданған
және қос-қостан
Анықтама. ортогональ болатын
матрицаны
ортогональ матрица
деп атаймыз
X1,X2,…,Xk- ұзындығы
n-ге тең
нормальданған қос-
қостан ортогональ
Лемма. нақты элементті
бағаналар және де
k X1,X2,…,Xk
бағаналарымен
ортогональ болатын
нормальданған Xk+1
бағанасы табылады.
X 1 ( x11 , x21 ,..., xn1 )T
x11 z1 x21 z 2 ... xn1 z n 0
Ортогональдық және
X 2 ( x12 , x22 ,..., xn 2 )T x12 z1 x22 z 2 ... xn 2 z n 0
нормальдық шарттарды

............................... ..........жазып,
...............................
теңдеулер түрінде
x z x z ... x z 0
X k ( x1k , x2 k ,..., xnk )T мына жүйені аламыз:
1k 1 2 k 2 nk n

z12 z 22 ... z n2 1
X k 1 ( z1 , z 2 ,..., z n )T
Алғашқы к тендеулер сызықтық біртектес жүйені құрады
және теңдеулер саны к белгісіздер саны n-нен кіші, яғни
кболады. Оның біреуі z10,z20,…,zn0 болсын және
r2= 1 z10²+1 z20²+…+
1 zn0²
онда z10r,z20,…,zn0rсандары жүйенің барлық теңдеулерін
r

қанағаттандырады, яғни жүйенің шешімі болады.
Мұнда kортогональды матрица құрады, ол азғындалмаған және
хк+1-ді анықтау үшін жүйе үйлесімсіз, яғни n-нен артық
қос-қостан ортогональ нормальданған бағаналар болуы
мүмкін емес.
Салдар.
Қос-қостан ортогональ нормальданған
бағаналардан тұратын кез-келген матрицаны
ортогональ матрицаға дейін толықтыруға
болады.
Шынында да мұндай матрицаның бағынасы
n-нен үлкен болуы мүмкін емес. Егер ол n-ге
тең болса, матрица ортогональ. Егер ол n-нен
кіші болса, онда оған ортогональ матрица
болғанға дейін жаңа бағаналар тіркеуге
болады.
Дербес жағдайда, кез-келген
нормальданған бағананы ортогональ
матрицаның бірінші бағанасы ретінде алуға
болады.
( 1 , 2 , 2 )T
3 3 3 бағана ортогональ матрицаның бірінші
бағанасы болсын. Бұл бағана нормальданған және
оған нормальданған өзара ортогональ жәнеде
берілген бағанаға ортогональ болатын екі бағананы
тіркеуге болады. Оларды бірден тіркейік
1 2 2
z1 z2 z3 0
1/3 z1+1 / 2 z2-1 / 2z3=0 3 3 3

z12+z22+z312=1
1 1
Келесі
z2 z3 0
2 2 2
z1=0,z2=z3= z12 z22 z32 1
z2 z3 , z1 4 z3
 Бұдан 16 z32 z32 z32 1 z
Нормальдық
3 2
шарттан 1
0
бұдан

іздеп отырған матрицаның
2 1
3 2
біреуі

  3

2 3 2
2 1 1

2 1
  12

3 3 3 2
Ортогональ түрлендіру
арқылы квадраттық
форманы канондық
түрге келтіру
Дәлелде
у.n-белгісіздер саны бойынша математикалық индукция
әдісін қолданайық. n=1 болғанда дәлелденетін
ештеңе жоқ, индукцияның базасы тривиалды.
Теорема n-1 белгісізді квадраттық форма үшін
дәледенді деп алайық.
φ(x1,x2,…,xn)=XTAX а11 ,...а1n

болсын, мұнда X=(x1,x2,…,xn) ,А .............
T

а ...а
n1 nn
 
-нақты элементті симметриялы матрица X 1=(p11,p21,…,pn1)-
-деген А матрицасының λ1–меншікті мәніне сәйкес
келетін нормальданған меншікті вектор. Осы Х 1 –
векторын ортогональ матрицаның бірінші бағанасы
деп аламыз:
p11 , p12 ... p1n

  p p ... p 2n
P 21 22
  ..................

p p ... p
n1 n 2 nn
Осындай матрицасы бар түрлендіру квадраттық форманы
канондық түрге келтіретінін көрсетейік. Түрленген
квадраттықPформаның T
AP матрицасы ( AP P ) болады
  a11 P11 a12 P21 ... a1n Pn1... 1 P11 ...

  A P
a 21 P11 a 22 P21 ... a 2 n Pn1 ...

1 P 21 ...
.......... .................... ............ ..........
 
a P a P ... a P ... P ...

n1 11 n 2 21 nn n1 i n1
Мұнда бірінші бағанда АХ1=λ1X1бағанасы орналасқан.Енді
 
P11 P21 ...Pn1 1 P11 ... 1 ( P112 P212 ... Pn21 )... 1...
 
P P ... P P ... ( P P P P ... P P )... 0...
  P T AP 12 22 n 2 1 21 1 21 11 22 21 n 2 n1

.......... ........ .......... .....
.......... .......... .......... .......... ....
P P ...P P ... ( P P P P ... P P 0.....
1n 2 n nn 1 n1 1 1n 11 2 n 21 nn n1
Mұнда Р-матрицасының бағаналарының өзара қос-
қостан ортогональ және нормальданғандығын
ескердік.pTAР -матрицасы
0...0
симметриалы, сондықтан ,мұнда
b22 ...b2 n

0b ...b
-симметриялы матрица ............ B ...........
22 2n

b ...b
  0b ...b
n 2 nn n2 nn

 
 
Матрицасы В болатын квадраттық форманы
қарастырайық. Индуктивтік талқылау бойынша,
Q-ортогональ QT BQ diag ( ,..., ) матрицасы
2 n

1 0 табылып болады. Айталық болсын.
Q1
  0 Q
Q- матрицасы ортогональ болғандықтан Q 1 – дің
ортогональ матрица болатыны түсінікті. Оның
бірінші бағанасы нормальданған және ол қалған
бағаналарымен ортогональ, ал қалған бағаналарыда
қос-қостан ортогональ және нормальданған. Ендеше

және
Т 1 0 T T
Q 1
0 В
Q1 diag ( 1 , 2 ,..., n )
Q1 P АРQ1 diag ( 1 , 2 ,..., n )
 
мұнда PQ1–ортогональ,себебі ортогональ
матрицалардың көбейтіндісіне тең. Теорема толық
дәлелденді.
Канондық түрдегі квадраттық
форманың коэффициенттері
мен ортогональ матрицаға
түрлендіретін бағаналары
А-квадрат матрица және С-азғындалмаған матрица берілсін
матрицасы А матрицасына ұқсас және А-дан C -1AC
көшу (ауысу) ұқсас түрлендіру деп аталады.
Ұқсас қатнасы симметриалы, яғни, A=C(C-1AC)C-1 және
транзитивті. Шынында да
B1=C1-1AC1 және B2=C2-1AC2 болсын. Онда.
B2= C2-1C1 BC1-1 C2 = (C1-1C2)-1 B (C1-1C2).
 Енді ұқсас матрицалардың характеристикалық
көпмүшеліктері бірдей (тең) екенін көрсетейік. Шынында
да 1 1 1 1 1 1
tE C AC C tEC C AC C (tE A)C C tE A C tE A C C tE A

Квадраттық
T
форманың ортогональ түрлендіруіне оралайық
P AP diag ( 1 , 2 ,..., n )
Теңдеуін былай жазуға болады: P 1 AP diag ( 1 , 2 ,..., n )
мұнда Р-ортогональ матрица, демек А матрицасы
диагональды diag(λ1,λ2,...,λn)-матрицасына ұқсас. Сондықтан
олардың характеристикалық көпмүшеліктері тең.
Диагональды матрицаның характеристикалық
көпмүшелігі (t – λ1)(t - λ2)… (t – λn) тең.

Бұдан, (t-λ1)(t-λ2)…(t-λn)=|tE-A|. Демек, төмендегі теореманы
дәлдедік.
Квадраттық форманы
канондық түрге келтіретін
ортогональ түрлендіру қaндай
болса да, бұл канондық
форманың коэффициенттері
4-теорема. берілген квадраттық форманың
матрицасының меншікті
мәндеріне тең, және де әрбір
меншікті мән
характеристикалық теңдеудің
қанша еселі түбірі болса, сонша
рет қайталанады.
Ортогональ матрица
5-теорема. құрайтын бағаналар
квадраттық форманың
матрицасының
меншікті векторлары
  болып табылады.

Дәлелдеу.
PT AP diag ( 1 , 2 ,..., n )
теңдеуін былай жазуға боладыАР=Pdiag(λ1,λ2,
λ ).
…, n
P1,P2,…,Pn - дер арқылы P матрицасының
бағаналарын белгілейік. Бұдан
(AP1, AP2,…, APn)=(λ1P1, λ2P2,…, λnPn) және .
APi =λi Pi ; i =1,2,…,n
6-теорема. Нақты элементті
матрицаның әртүрлі
меншікті мәндеріне
сәйкес келетін меншікті
векторлары ортогональ.
Дәлелдеу.

X=(x1,x2,…,xn)
мен Y=(y1,y2,…,yn)-екі бағананың ортогональдық
x1y1+x2y2+…+xnyn=0 шартын матрицалық түрде өзара
мәндес екі формула: XT. Y=0 немесе YT. X=0 түрінде
жазуға болады.
А-нақты элементті симметриалық матрица. λ 1 мен λ2
меншікті мәндеріне ( λ1 ≠ λ2)сәйкес келетін векторлар X1
мен X2 болсын.
a= X2TAX, санын екі тәсілмен есптейік.
Бірінішіден AX1=λ1X1 сондықтан
X2TAX1=X2Tλ1X1=>a=λ1Х2TХ1 (1). Екіншіден
AX2 = λ2X2 =>Х2TA =λ2Х2T =>Х2TAX1 =λ2Х2TХ1 => a =λ2Х2TХ1 (2)
 
( 1 2 ) Х 2T Х 1 0,
(1) мен (2)ден T
1 2 Х
бұдан 2 Х 1 0
болғандықтан болады.
Демек X1 мен X 2 бағаналары ортагональ. Теорема
дәлелденді.
Мысал.
Ортогональ түрлендіру арқылы
квдраттық форманы канондық
түрге келтіру:

( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 4 x1 x2 4 x2 x3
Алдымен квадраттық форманың матрицасын табайық:

2 2 0

A 2 1 2
0 2 0
А матрицасының меншікті мәндерін табамыз:

2 2 0
E A 2 1 2 0 ( 2)( 1) 4 4( 2) 0 ( 1)( 2 2 8) 0
0 2
1 4; 2 1; 3 форманың
квадраттық
1-теорема бойынша 2

канондық түрі:

φ=4x11²+x21² -2x31² болады.

А матрицасының табылған λ1=4λ2=1λ3=-2 меншікті мәндеріне
сәйкес меншікті векторларын нормальданған және қос-қостан
ортогональ болатындай етіп анықтаймыз:
 
 
2 2 0 x1 0 x1 x2 0
x1 x2 0
a ) 1 4, ( 1 E A) Х 0 2 3 2 x2 0 2 x 3 x2 2 x3 0 ;
0 2 4 x 0 x 2 x 0 x 2 2 x3 0
3 2 3

x1 2 2
x1 x2 0 x1 2 x3 x1 2 x3 3 3

x2 2 x3 0 x2 2 x3 x2 2 x3 x2 2 3 Х 2 3
2 2 2 2 2 2 2
x1 x2 x3 1 4 x3 4 x3 x3 1 9 x3 1 x3 1 3 1

-нормальданған меншікті
вектор
1 2 0 y1 0 у1 2 у2 0 у1 2 у2 0

b) 2 1, ( 2 E A)Y 0 2 0 2 y2 0 у1 у3 0 ; 2 у2 у3 0
0 2 1 y 0 2 у у 0 2 2 2
3 2 3 у1 у2 у3 1
y1 2 2
у1 2 у2 3 3

у3 2 у2 y3 2 3 У 13
2 2
4 у2 у2 4 у2 1 y2 13

2 -нормальданған меншікті
вектор

4 2 0 z1 0 2 z1 z 2 0

c) 2, ( 3 E A) Z 0 2 3 2 z 2 0 2 z1 3 z 2 2 z3 0;
0 2 2 z 0 z z 0
3 2 3

z1 1 1
z 2 2 z1 3 3

-нормальданған

z3 2меншікті
z1 z 2 2 Z 2
2 2 2
вектор

z
1 z 2 z 3 1 2
z3 3 2
Табылған X,Y,Z меншікті векторлары
нормальданған және қос-қостан
ортогональ, бұдан ортогональ
матрица , 2 2 1
3 3 3
 
P 2 1 2
3 3 3

1 2 2
3 3 3

Ал ортогональ
1 2
түрлендіру:
2 1
x1 x1 x x
3 3 2 3 2
1 2
x2 3 x1 13 x2 2 3 x3
x3 13 x1 2 3 x2 2 3 x3
Нақты квадраттық
форманы
3-теорема. ортогональ
матрицалы
түрлендіру
арқылы канондық
түрге келтіруге
болады.



Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь