Ортогональ матрицаны құру

Презентация қосу

Дәріс №15
Ортогональ
матрицаны құру
Бағаналары
нормальданған
және қос-қостан
Анықтама. ортогональ болатын
матрицаны
ортогональ матрица
деп атаймыз
X1,X2,…,Xk- ұзындығы
n-ге тең
нормальданған қос-
қостан ортогональ
Лемма. нақты элементті
бағаналар және де
k X1,X2,…,Xk
бағаналарымен
ортогональ болатын
нормальданған Xk+1
бағанасы табылады.
X 1 ( x11 , x21 ,..., xn1 )T
x11 z1 x21 z 2 ... xn1 z n 0
Ортогональдық және
X 2 ( x12 , x22 ,..., xn 2 )T x12 z1 x22 z 2 ... xn 2 z n 0
нормальдық шарттарды

............................... ..........жазып,
...............................
теңдеулер түрінде
x z x z ... x z 0
X k ( x1k , x2 k ,..., xnk )T мына жүйені аламыз:
1k 1 2 k 2 nk n

z12 z 22 ... z n2 1
X k 1 ( z1 , z 2 ,..., z n )T
Алғашқы к тендеулер сызықтық біртектес жүйені құрады
және теңдеулер саны к белгісіздер саны n-нен кіші, яғни
кболады. Оның біреуі z10,z20,…,zn0 болсын және
r2= 1 z10²+1 z20²+…+
1 zn0²
онда z10r,z20,…,zn0rсандары жүйенің барлық теңдеулерін
r

қанағаттандырады, яғни жүйенің шешімі болады.
Мұнда kортогональды матрица құрады, ол азғындалмаған және
хк+1-ді анықтау үшін жүйе үйлесімсіз, яғни n-нен артық
қос-қостан ортогональ нормальданған бағаналар болуы
мүмкін емес.
Салдар.
Қос-қостан ортогональ нормальданған
бағаналардан тұратын кез-келген матрицаны
ортогональ матрицаға дейін толықтыруға
болады.
Шынында да мұндай матрицаның бағынасы
n-нен үлкен болуы мүмкін емес. Егер ол n-ге
тең болса, матрица ортогональ. Егер ол n-нен
кіші болса, онда оған ортогональ матрица
болғанға дейін жаңа бағаналар тіркеуге
болады.
Дербес жағдайда, кез-келген
нормальданған бағананы ортогональ
матрицаның бірінші бағанасы ретінде алуға
болады.
( 1 , 2 , 2 )T
3 3 3 бағана ортогональ матрицаның бірінші
бағанасы болсын. Бұл бағана нормальданған және
оған нормальданған өзара ортогональ жәнеде
берілген бағанаға ортогональ болатын екі бағананы
тіркеуге болады. Оларды бірден тіркейік
1 2 2
z1 z2 z3 0
1/3 z1+1 / 2 z2-1 / 2z3=0 3 3 3

z12+z22+z312=1
1 1
Келесі
z2 z3 0
2 2 2
z1=0,z2=z3= z12 z22 z32 1
z2 z3 , z1 4 z3
Бұдан 16 z32 z32 z32 1 z
Нормальдық
3 2
шарттан 1
0
бұдан

іздеп отырған матрицаның
2 1
3 2
біреуі

3

2 3 2
2 1 1

2 1
12

3 3 3 2
Ортогональ түрлендіру
арқылы квадраттық
форманы канондық
түрге келтіру
Дәлелде
у.n-белгісіздер саны бойынша математикалық индукция
әдісін қолданайық. n=1 болғанда дәлелденетін
ештеңе жоқ, индукцияның базасы тривиалды.
Теорема n-1 белгісізді квадраттық форма үшін
дәледенді деп алайық.
φ(x1,x2,…,xn)=XTAX а11 ,...а1n

болсын, мұнда X=(x1,x2,…,xn) ,А .............
T

а ...а
n1 nn

-нақты элементті симметриялы матрица X 1=(p11,p21,…,pn1)-
-деген А матрицасының λ1–меншікті мәніне сәйкес
келетін нормальданған меншікті вектор. Осы Х 1 –
векторын ортогональ матрицаның бірінші бағанасы
деп аламыз:
p11 , p12 ... p1n

p p ... p 2n
P 21 22
..................

p p ... p
n1 n 2 nn
Осындай матрицасы бар түрлендіру квадраттық форманы
канондық түрге келтіретінін көрсетейік. Түрленген
квадраттықPформаның T
AP матрицасы ( AP P ) болады
a11 P11 a12 P21 ... a1n Pn1... 1 P11 ...

A P
a 21 P11 a 22 P21 ... a 2 n Pn1 ...

1 P 21 ...
.......... .................... ............ ..........

a P a P ... a P ... P ...

n1 11 n 2 21 nn n1 i n1
Мұнда бірінші бағанда АХ1=λ1X1бағанасы орналасқан.Енді

P11 P21 ...Pn1 1 P11 ... 1 ( P112 P212 ... Pn21 )... 1...

P P ... P P ... ( P P P P ... P P )... 0...
P T AP 12 22 n 2 1 21 1 21 11 22 21 n 2 n1

.......... ........ .......... .....
.......... .......... .......... .......... ....
P P ...P P ... ( P P P P ... P P 0.....
1n 2 n nn 1 n1 1 1n 11 2 n 21 nn n1
Mұнда Р-матрицасының бағаналарының өзара қос-
қостан ортогональ және нормальданғандығын
ескердік.pTAР -матрицасы
0...0
симметриалы, сондықтан ,мұнда
b22 ...b2 n

0b ...b
-симметриялы матрица ............ B ...........
22 2n

b ...b
0b ...b
n 2 nn n2 nn

Матрицасы В болатын квадраттық форманы
қарастырайық. Индуктивтік талқылау бойынша,
Q-ортогональ QT BQ diag ( ,..., ) матрицасы
2 n

1 0 табылып болады. Айталық болсын.
Q1
0 Q
Q- матрицасы ортогональ болғандықтан Q 1 – дің
ортогональ матрица болатыны түсінікті. Оның
бірінші бағанасы нормальданған және ол қалған
бағаналарымен ортогональ, ал қалған бағаналарыда
қос-қостан ортогональ және нормальданған. Ендеше

және
Т 1 0 T T
Q 1
0 В
Q1 diag ( 1 , 2 ,..., n )
Q1 P АРQ1 diag ( 1 , 2 ,..., n )

мұнда PQ1–ортогональ,себебі ортогональ
матрицалардың көбейтіндісіне тең. Теорема толық
дәлелденді.
Канондық түрдегі квадраттық
форманың коэффициенттері
мен ортогональ матрицаға
түрлендіретін бағаналары
А-квадрат матрица және С-азғындалмаған матрица берілсін
матрицасы А матрицасына ұқсас және А-дан C -1AC
көшу (ауысу) ұқсас түрлендіру деп аталады.
Ұқсас қатнасы симметриалы, яғни, A=C(C-1AC)C-1 және
транзитивті. Шынында да
B1=C1-1AC1 және B2=C2-1AC2 болсын. Онда.
B2= C2-1C1 BC1-1 C2 = (C1-1C2)-1 B (C1-1C2).
Енді ұқсас матрицалардың характеристикалық
көпмүшеліктері бірдей (тең) екенін көрсетейік. Шынында
да 1 1 1 1 1 1
tE C AC C tEC C AC C (tE A)C C tE A C tE A C C tE A

Квадраттық
T
форманың ортогональ түрлендіруіне оралайық
P AP diag ( 1 , 2 ,..., n )
Теңдеуін былай жазуға болады: P 1 AP diag ( 1 , 2 ,..., n )
мұнда Р-ортогональ матрица, демек А матрицасы
диагональды diag(λ1,λ2,...,λn)-матрицасына ұқсас. Сондықтан
олардың характеристикалық көпмүшеліктері тең.
Диагональды матрицаның характеристикалық
көпмүшелігі (t – λ1)(t - λ2)… (t – λn) тең.

Бұдан, (t-λ1)(t-λ2)…(t-λn)=|tE-A|. Демек, төмендегі теореманы
дәлдедік.
Квадраттық форманы
канондық түрге келтіретін
ортогональ түрлендіру қaндай
болса да, бұл канондық
форманың коэффициенттері
4-теорема. берілген квадраттық форманың
матрицасының меншікті
мәндеріне тең, және де әрбір
меншікті мән
характеристикалық теңдеудің
қанша еселі түбірі болса, сонша
рет қайталанады.
Ортогональ матрица
5-теорема. құрайтын бағаналар
квадраттық форманың
матрицасының
меншікті векторлары
болып табылады.

Дәлелдеу.
PT AP diag ( 1 , 2 ,..., n )
теңдеуін былай жазуға боладыАР=Pdiag(λ1,λ2,
λ ).
…, n
P1,P2,…,Pn - дер арқылы P матрицасының
бағаналарын белгілейік. Бұдан
(AP1, AP2,…, APn)=(λ1P1, λ2P2,…, λnPn) және .
APi =λi Pi ; i =1,2,…,n
6-теорема. Нақты элементті
матрицаның әртүрлі
меншікті мәндеріне
сәйкес келетін меншікті
векторлары ортогональ.
Дәлелдеу.

X=(x1,x2,…,xn)
мен Y=(y1,y2,…,yn)-екі бағананың ортогональдық
x1y1+x2y2+…+xnyn=0 шартын матрицалық түрде өзара
мәндес екі формула: XT. Y=0 немесе YT. X=0 түрінде
жазуға болады.
А-нақты элементті симметриалық матрица. λ 1 мен λ2
меншікті мәндеріне ( λ1 ≠ λ2)сәйкес келетін векторлар X1
мен X2 болсын.
a= X2TAX, санын екі тәсілмен есптейік.
Бірінішіден AX1=λ1X1 сондықтан
X2TAX1=X2Tλ1X1=>a=λ1Х2TХ1 (1). Екіншіден
AX2 = λ2X2 =>Х2TA =λ2Х2T =>Х2TAX1 =λ2Х2TХ1 => a =λ2Х2TХ1 (2)

( 1 2 ) Х 2T Х 1 0,
(1) мен (2)ден T
1 2 Х
бұдан 2 Х 1 0
болғандықтан болады.
Демек X1 мен X 2 бағаналары ортагональ. Теорема
дәлелденді.
Мысал.
Ортогональ түрлендіру арқылы
квдраттық форманы канондық
түрге келтіру:

( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 4 x1 x2 4 x2 x3
Алдымен квадраттық форманың матрицасын табайық:

2 2 0

A 2 1 2
0 2 0
А матрицасының меншікті мәндерін табамыз:

2 2 0
E A 2 1 2 0 ( 2)( 1) 4 4( 2) 0 ( 1)( 2 2 8) 0
0 2
1 4; 2 1; 3 форманың
квадраттық
1-теорема бойынша 2

канондық түрі:

φ=4x11²+x21² -2x31² болады.

А матрицасының табылған λ1=4λ2=1λ3=-2 меншікті мәндеріне
сәйкес меншікті векторларын нормальданған және қос-қостан
ортогональ болатындай етіп анықтаймыз:

2 2 0 x1 0 x1 x2 0
x1 x2 0
a ) 1 4, ( 1 E A) Х 0 2 3 2 x2 0 2 x 3 x2 2 x3 0 ;
0 2 4 x 0 x 2 x 0 x 2 2 x3 0
3 2 3

x1 2 2
x1 x2 0 x1 2 x3 x1 2 x3 3 3

x2 2 x3 0 x2 2 x3 x2 2 x3 x2 2 3 Х 2 3
2 2 2 2 2 2 2
x1 x2 x3 1 4 x3 4 x3 x3 1 9 x3 1 x3 1 3 1

-нормальданған меншікті
вектор
1 2 0 y1 0 у1 2 у2 0 у1 2 у2 0

b) 2 1, ( 2 E A)Y 0 2 0 2 y2 0 у1 у3 0 ; 2 у2 у3 0
0 2 1 y 0 2 у у 0 2 2 2
3 2 3 у1 у2 у3 1
y1 2 2
у1 2 у2 3 3

у3 2 у2 y3 2 3 У 13
2 2
4 у2 у2 4 у2 1 y2 13

2 -нормальданған меншікті
вектор

4 2 0 z1 0 2 z1 z 2 0

c) 2, ( 3 E A) Z 0 2 3 2 z 2 0 2 z1 3 z 2 2 z3 0;
0 2 2 z 0 z z 0
3 2 3

z1 1 1
z 2 2 z1 3 3

-нормальданған

z3 2меншікті
z1 z 2 2 Z 2
2 2 2
вектор

z
1 z 2 z 3 1 2
z3 3 2
Табылған X,Y,Z меншікті векторлары
нормальданған және қос-қостан
ортогональ, бұдан ортогональ
матрица , 2 2 1
3 3 3

P 2 1 2
3 3 3

1 2 2
3 3 3

Ал ортогональ
1 2
түрлендіру:
2 1
x1 x1 x x
3 3 2 3 2
1 2
x2 3 x1 13 x2 2 3 x3
x3 13 x1 2 3 x2 2 3 x3
Нақты квадраттық
форманы
3-теорема. ортогональ
матрицалы
түрлендіру
арқылы канондық
түрге келтіруге
болады.

Ұқсас жұмыстар

ТАКЫРЫБЫ МАТРИЦАЛАР

Матрицаларды көбейту

Квадратты матрица және тік бұрышты матрица

Матрицаны матрицаға көбейту

Матрицаларға амалдар қолдану

Электронды қағаз

Матрицалық шешім әдісі

МАТРИЦАЛАРДЫ ЕНГІЗУ - ШЫҒАРУ

КӨПТІК СЫЗЫҚТЫҚ РЕГРЕССИЯ МОДЕЛЬ

Инверсия және шеңберлер

Пәндер