Сайтқа презентация қосу

Ортогональ матрицаны құру

Дәріс №15

Ортогональ матрицаны құру

Анықтама.

Бағаналары нормальданған және қос-қостан ортогональ болатын матрицаны ортогональ матрица деп атаймыз

Лемма.

X1,X2, ,Xk- ұзындығы n-ге тең нормальданған қосқостан ортогональ нақты элементті бағаналар және де k
X 1 = ( x11 , x21 ,..., xn1 )T X 2 = ( x12 , x22 ,..., xn 2 )T ............................... X k = ( x1k , x2 k ,..., xnk )T X k +1 = ( z1 , z 2 ,..., z n )T

 x11 z1 + x21 z 2 + ... + xn1 z n = 0 Ортогональдық және  x z + x z + ... + xn 2 z n = 0 нормальдық шарттарды  12 1 22 2  ......................................... теңдеулер түрінде жазып,   x1k z1 + x2 k z 2 + ... + xnk z n = 0 мына жүйені аламыз: 2 2  z12 + z 2 + ... + z n = 1 

Алғашқы к тендеулер сызықтық біртектес жүйені құрады және теңдеулер саны к белгісіздер саны n-нен кіші, яғни к
Салдар.
Қос-қостан ортогональ нормальданған бағаналардан тұратын кез-келген матрицаны ортогональ матрицаға дейін толықтыруға болады. Шынында да мұндай матрицаның бағынасы n-нен үлкен болуы мүмкін емес. Егер ол n-ге тең болса, матрица ортогональ. Егер ол n-нен кіші болса, онда оған ортогональ матрица болғанға дейін жаңа бағаналар тіркеуге болады. Дербес жағдайда, кез-келген нормальданған бағананы ортогональ матрицаның бірінші бағанасы ретінде алуға болады.

бағана ортогональ матрицаның бірінші бағанасы болсын. Бұл бағана нормальданған және оған нормальданған өзара ортогональ жәнеде берілген бағанаға ортогональ болатын екі бағананы тіркеуге болады. Оларды бірден тіркейік 1/3 z1+1 / 2 z2-1 / 2z3=0 1 2 2 z +z2 +z3 =1
2 1 2 2

( 1 , 2 ,− 2 )T 3 3 3

z1=0,z2=z3=

1 2

Келесі

z1 + z 2 − z3 = 0 3 3 3 1 1 z2 + z3 = 0 2 2 2 2 z12 + z2 + z3 = 1

1  Бұдан Нормальдық 2 2 2 16 z3 + z3 + z3 = 1 z3 = ± 3 2 шарттан бұдан 4  матрицаның біреуі 1 0   3 3 2     2 1 1   −  
3   2 −   3  2 −   3 2 1 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 2

z 2 = − z3 , z1 = 4 z3

іздеп отырған

 

      

Ортогональ түрлендіру арқылы квадраттық форманы канондық түрге келтіру

Дәлелдеу.
n-белгісіздер саны бойынша математикалық индукция әдісін қолданайық. n=1 болғанда дәлелденетін ештеңе жоқ, индукцияның базасы тривиалды. Теорема n-1 белгісізді квадраттық форма үшін дәледенді деп алайық.  а11 ,...а1n    φ(x1,x2, ,xn)=XTAX болсын, мұнда X=(x1,x2, ,xn) ,
T

А = .............   а ...а   n1 nn 

  -нақты элементті симметриялы матрица X1=(p11,p21, ,pn1)-деген А матрицасының λ1–меншікті мәніне сәйкес келетін нормальданған, меншікті вектор. Осы Х1 – векторын ортогональ  p11 p12 ... p1n   бірінші  матрицаныңp21 p22 ... p2бағанасы деп аламыз:  n  P =   ..................     p p ... p    nn   n1 n 2

Осындай матрицасы бар түрлендіру квадраттық форманы канондық түрге келтіретінін көрсетейік. Түрленген квадраттық форманың матрицасы PT AP болады ( AP = λP)  a P + a P + ... + a P ...   λ P ...         a P + a P + ... + a P ...   λ P ... A⋅ P =  =   ..........................................   ..........       a P + a P + ... + a P ...   λ P ...        Мұнда бірінші бағанда АХ1=λ1X1бағанасы орналасқан.Енді
11 11 12 21 1n n1 1 11 21 11 22 21 2 n n1 1 21 n1 11 n 2 21 nn n1 i n1

     

2 2   λ1...   P11 P21...Pn1   λ1 P11...   λ1 ( P11 + P21 + ... + Pn2 )... 1        P12 P22 ...Pn 2   λ1 P21...  λ1 ( P21 P11 + P22 P21 + ... + Pn 2 Pn1 )...  0...   P T AP =  = = ..................   ..........   ............................................   .....          P P ...P   λ P ...   λ ( P P + P P + ... + P P   0.....   1n 2 n nn   1 n1   1 1n 11 2 n 21 nn n1  

Mұнда Р-матрицасының бағаналарының өзара қос-қостан ортогональ және нормальданғандығын ескердік.pTAР -матрицасы λ 0...0    b22 ...b2 n    0b ...b  ,мұнда симметриалы, сондықтан -симметриялы B = ...........  ............  матрица   b ...b  0b ...b   n 2 nn         
1 22 2n n2 nn

 

Матрицасы В болатын квадраттық форманы қарастырайық. Индуктивтік талқылау бойынша, Q-ортогональ QT BQ = diag (λ2 ,..., λn ) матрицасы 1 0  табылып болады. Айталық болсын.  Q1 = 
0 Q  

Q- матрицасы ортогональ болғандықтан Q1 – дің ортогональ матрица болатыны түсінікті. Оның бірінші бағанасы нормальданған және ол қалған бағаналарымен ортогональ, ал қалған бағаналарыда қос-қостан ортогональ және нормальданған. Ендеше
λ1 0   Q1   0 В  Q1 = diag (λ 1 , λ 2 ,..., λ n ) және  
Т

Q1T PT АРQ1 = diag (λ 1 , λ 2 ,..., λ n )

  мұнда PQ1–ортогональ,себебі ортогональ матрицалардың көбейтіндісіне тең. Теорема толық дәлелденді.

Канондық түрдегі квадраттық форманың коэффициенттері мен ортогональ матрицаға түрлендіретін бағаналары

А-квадрат матрица және С-азғындалмаған матрица берілсін матрицасы А матрицасына ұқсас және А-дан C-1AC көшу (ауысу) ұқсас түрлендіру деп аталады. Ұқсас қатнасы симметриалы, яғни, A=C(C-1AC)C-1 және транзитивті. Шынында да B1=C1-1AC1 және B2=C2-1AC2 болсын. Онда. B2= C2-1C1 BC1-1 C2 = (C1-1C2)-1 B (C1-1C2).  Енді ұқсас матрицалардың характеристикалық көпмүшеліктері бірдей (тең) екенін көрсетейік. Шынында да − 1 −1 −1 −1 −1 −1
tE − C AC = C ⋅ tEC − C AC = C (tE − A)C = C ⋅ tE − A ⋅ C = tE − A C ⋅ C = tE − A

Квадраттық форманың ортогональ түрлендіруіне оралайық T
P AP = diag (λ1 , λ2 ,..., λn )

Теңдеуін былай жазуға болады: мұнда Р-ортогональ матрица, демек А матрицасы диагональды diag(λ1,λ2,...,λn)-матрицасына ұқсас. Сондықтан олардың характеристикалық көпмүшеліктері тең. Диагональды матрицаның характеристикалық көпмүшелігі (t – λ1)(t - λ2) (t – λn) тең. Бұдан, (t-λ1)(t-λ2) (t-λn)=|tE-A|. Демек, төмендегі теореманы дәлдедік.

P −1 AP = diag (λ1 , λ2 ,..., λn )

4-теорема.

Квадраттық форманы канондық түрге келтіретін ортогональ түрлендіру қaндай болса да, бұл канондық форманың коэффициенттері берілген квадраттық форманың матрицасының меншікті мәндеріне тең, және де әрбір меншікті мән характеристикалық теңдеудің қанша еселі түбірі болса, сонша рет қайталанады.

5-теорема.

 

Ортогональ матрица құрайтын бағаналар квадраттық форманың матрицасының меншікті векторлары болып табылады.

Дәлелдеу.

P T AP = diag (λ1 , λ 2 ,..., λ n )
теңдеуін былай жазуға боладыАР=Pdiag(λ1,λ2, ,λn). P1,P2, ,Pn - дер арқылы P матрицасының бағаналарын белгілейік. Бұдан (AP1, AP2, , APn)=(λ1P1, λ2P2, , λnPn) және . APi =λi Pi ; i =1,2, ,n

6-теорема.

Нақты элементті матрицаның әртүрлі меншікті мәндеріне сәйкес келетін меншікті векторлары ортогональ.

Дәлелдеу.
X=(x1,x2, ,xn) мен Y=(y1,y2, ,yn)-екі бағананың ортогональдық x1y1+x2y2+ +xnyn=0 шартын матрицалық түрде өзара мәндес екі формула: XT. Y=0 немесе YT. X=0 түрінде жазуға болады. А-нақты элементті симметриалық матрица. λ1 мен λ2 меншікті мәндеріне ( λ1 ≠ λ2)сәйкес келетін векторлар X1 мен X2 болсын. a= X2TAX, санын екі тәсілмен есптейік. Бірінішіден AX1=λ1X1 сондықтан X2TAX1=X2Tλ1X1=>a=λ1Х2TХ1 (1). Екіншіден   AX2 = λ2X2 =>Х2TA =λ2Х2T =>Х2TAX1 =λ2Х2TХ1 => a =λ2Х2TХ1 (2) T (λ1 − λ2 ) Х 2 ⋅ Х 1 = 0, T λ1 ≠ λ2 Х 2 Х1 = 0 (1) мен (2)ден бұдан болғандықтан болады. Демек X1 мен X 2 бағаналары ортагональ. Теорема дәлелденді.

Мысал.
Ортогональ түрлендіру арқылы квдраттық форманы канондық түрге келтіру:
2 ϕ ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + x2 − 4 x1 x2 − 4 x2 x3

Алдымен квадраттық форманың матрицасын табайық:
2 − 2 0    A =  − 2 1 − 2 0 − 2 0   

А матрицасының меншікті мәндерін табамыз:

λ −2 2 0 λE − A = 2 λ − 1 2 = 0 ⇒ (λ − 2)(λ − 1)λ − 4λ − 4(λ − 2) = 0 ⇒ (λ − 1)(λ2 − 2λ − 8) = 0 0 2 λ

⇒ λ1 = 4; λ 2 = 1; λ 3 = − 2

1-теорема бойынша квадраттық форманың канондық түрі: φ=4x11²+x21² -2x31² болады. А матрицасының табылған λ1=4λ2=1λ3=-2 меншікті мәндеріне сәйкес меншікті векторларын нормальданған және қос-қостан ортогональ болатындай етіп анықтаймыз:  

 2 2 0   x1   0  x1 + x2 = 0       x + x 2 = 0 a) λ1 = 4, (λ1 E − A) Х = 0 ⇒  2 3 2   x2  =  0  ⇒ 2 x + 3x2 + 2 x3 = 0 ⇒  1 ; x2 + 2 x3 = 0  0 2 4   x   0  x + 2 x = 0   3     2 3 x1 = 2 2   3  x1 + x2 = 0 x1 = 2 x3 x1 = 2 x3 3        ⇒ x2 = −2 x3 ⇒ x2 = −2 x3 ⇒ x2 = − 2 ⇒ Х =  − 2  − x2 + 2 x3 = 0 3 3  2  2  2  2 2 2 2   x1 + x2 + x3 = 1 4 x3 + 4 x3 + x3 = 1 9 x3 = 1 1 1    x3 = 3   3 

-нормальданған меншікті вектор
 − 1 2 0   y1   0   у1 − 2 у2 = 0  у1 − 2 у2 = 0        b) λ2 = 1, (λ2 E − A)Y = 0 ⇒  2 0 2   y2  =  0  ⇒  у1 + у3 = 0 ; 2 у2 + у3 = 0 ⇒  0 2 1   y   0  2 у + у = 0  2 2 2   3    2 3  у1 + у2 + у3 = 1  y1 = 2 2   3   у1 = 2 у2 3      ⇒  y3 = − 2 ⇒ У =  1   у3 = −2 у2 3 3  2  2 2   4 у2 + у2 + 4 у2 = 1  y2 = 1 − 2  3 3  

-нормальданған меншікті вектор

2 z1 − z 2 = 0  − 4 2 0   z1   0        c ) λ = −2, (λ3 E − A) Z = 0 ⇒  2 − 3 2   z 2  =  0  ⇒ 2 z1 − 3 z 2 + 2 z3 = 0; 0 2 − 2   z  0 z − z = 0   3    3  2 z1 = 1 1   3 z 2 = 2 z1 3      ⇒ z 2 = 2 ⇒ Z =  2  z3 = 2 z1 3 3  2  2 2   z1 + z 2 + z3 = 1 z3 = 2 2  3   3

-нормальданған меншікті вектор

Табылған X,Y,Z меншікті векторлары нормальданған және қос-қостан ортогональ, бұдан ортогональ матрица , 2 1   2 
 3 3 3   1 2  P = − 2 3 3 3   1 −2 2   3 3  3
1  x1 = 2 x1 − 2 x2 + 1 x2 3 3 3   1 2  x2 = 3 x1 + 13 x2 − 2 3 x3  1  x3 = 13 x1 + 2 3 x2 + 2 3 x3 

Ал ортогональ түрлендіру:

3-теорема.

Нақты квадраттық форманы ортогональ матрицалы түрлендіру арқылы канондық түрге келтіруге болады.


Пән: Математика, Геометрия


Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь