Ортогональ матрицаны құру

Дәріс №15

Анықтама.

Бағаналары нормальданған және қос-қостан ортогональ болатын матрицаны ортогональ матрица деп атаймыз

Лемма.

X1, X2, …, Xk- ұзындығы n-ге тең нормальданған қос-қостан ортогональ нақты элементті бағаналар және де k

Ортогональдық және

нормальдық шарттарды

теңдеулер түрінде жазып,

мына жүйені аламыз:

Алғашқы к тендеулер сызықтық біртектес жүйені құрады және теңдеулер саны к белгісіздер саны n-нен кіші, яғни к

r2= z10²+ z20²+…+ zn0²

онда z10, z20, …, zn0сандары жүйенің барлық теңдеулерін қанағаттандырады, яғни жүйенің шешімі болады.

Мұнда k

Салдар.

Қос-қостан ортогональ нормальданған бағаналардан тұратын кез-келген матрицаны ортогональ матрицаға дейін толықтыруға болады.

Шынында да мұндай матрицаның бағынасы n-нен үлкен болуы мүмкін емес. Егер ол n-ге тең болса, матрица ортогональ. Егер ол n-нен кіші болса, онда оған ортогональ матрица болғанға дейін жаңа бағаналар тіркеуге болады.

Дербес жағдайда, кез-келген нормальданған бағананы ортогональ матрицаның бірінші бағанасы ретінде алуға болады.

бағана ортогональ матрицаның бірінші бағанасы болсын. Бұл бағана нормальданған және оған нормальданған өзара ортогональ жәнеде берілген бағанаға ортогональ болатын екі бағананы тіркеуге болады. Оларды бірден тіркейік

1/3 z1+1 / 2 z2-1 / 2z3=0

z12+z22+z32=1 Келесі

z1=0, z2=z3=

Бұдан Нормальдық

шарттан бұдан іздеп отырған матрицаның біреуі

Ортогональ түрлендіру арқылы квадраттық форманы канондық түрге келтіру

Дәлелдеу.

n-белгісіздер саны бойынша математикалық индукция әдісін қолданайық. n=1 болғанда дәлелденетін ештеңе жоқ, индукцияның базасы тривиалды.

Теорема n-1 белгісізді квадраттық форма үшін дәледенді деп алайық.

φ(x1, x2, …, xn) =XTAX

болсын, мұнда X=(x1, x2, …, xn) T,

-нақты элементті симметриялы матрица X1=(p11, p21, …, pn1) -

-деген А матрицасының λ1-меншікті мәніне сәйкес келетін нормальданған меншікті вектор. Осы Х1 - векторын ортогональ матрицаның бірінші бағанасы деп аламыз:

Осындай матрицасы бар түрлендіру квадраттық форманы канондық түрге келтіретінін көрсетейік. Түрленген квадраттық форманың матрицасы болады

Мұнда бірінші бағанда АХ1=λ1X1бағанасы орналасқан. Енді

Mұнда Р-матрицасының бағаналарының өзара қос-қостан ортогональ және нормальданғандығын ескердік. pTAР -матрицасы

симметриалы, сондықтан, мұнда -симметриялы матрица

Матрицасы В болатын квадраттық форманы қарастырайық. Индуктивтік талқылау бойынша,

Q-ортогональ матрицасы

табылып болады. Айталық болсын.

Q- матрицасы ортогональ болғандықтан Q1 - дің ортогональ матрица болатыны түсінікті. Оның бірінші бағанасы нормальданған және ол қалған бағаналарымен ортогональ, ал қалған бағаналарыда қос-қостан ортогональ және нормальданған. Ендеше

және

мұнда PQ1-ортогональ, себебі ортогональ матрицалардың көбейтіндісіне тең. Теорема толық дәлелденді.

Канондық түрдегі квадраттық форманың коэффициенттері мен ортогональ матрицаға түрлендіретін бағаналары

А-квадрат матрица және С-азғындалмаған матрица берілсін матрицасы А матрицасына ұқсас және А-дан C-1AC көшу (ауысу) ұқсас түрлендіру деп аталады.

Ұқсас қатнасы симметриалы, яғни, A=C(C-1AC) C-1 және транзитивті. Шынында да

B1=C1-1AC1 және B2=C2-1AC2 болсын. Онда.

B2= C2-1C1 BC1-1 C2 = (C1-1C2) -1 B (C1-1C2) .

Енді ұқсас матрицалардың характеристикалық көпмүшеліктері бірдей (тең) екенін көрсетейік. Шынында да

Квадраттық форманың ортогональ түрлендіруіне оралайық

Теңдеуін былай жазуға болады:

мұнда Р-ортогональ матрица, демек А матрицасы диагональды diag(λ1, λ2, . . ., λn) -матрицасына ұқсас. Сондықтан олардың характеристикалық көпмүшеліктері тең. Диагональды матрицаның характеристикалық көпмүшелігі (t - λ1) (t - λ2) … (t - λn) тең.

Бұдан, (t-λ1) (t-λ2) …(t-λn) =tE-A. Демек, төмендегі теореманы дәлдедік.

Квадраттық форманы канондық түрге келтіретін ортогональ түрлендіру қaндай болса да, бұл канондық форманың коэффициенттері берілген квадраттық форманың матрицасының меншікті мәндеріне тең, және де әрбір меншікті мән характеристикалық теңдеудің қанша еселі түбірі болса, сонша рет қайталанады.

4-теорема.