Математиканы тереңдетіп оқытудағы туындының алгебралық қолданылуы

Математиканы тереңдетіп оқытудағы туындының алгебралық қолданылуы

Міндеттері:
– туындының қолданылуы туралы түсінік беру; – туындының алгебралық қолданылуын оқып үйрену, меңгеру және оны қолдана білуге дағдыландыру; – математикалық модельдеудің әдiстерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру.

Туынды арқылы тепе – теңдіктерді дәлелдеу
Тепе – теңдікті дәлелдеу төмендегі алгоритм бойынша жүргізіледі. 1. f x = g x немесе ϕ x = f x − g 2. 3. 4.

( ) ( ) f ′( x ) = g ′( x )
c =0

( )

( ) ( x)

немесе

ϕ ′( x ) = 0

онда

ϕ ′( x) = f ′( x) − g′( x) ϕ ( x) = f ( x) − g ( x) = c

ϕ ( x) = f ( x) − g ( x) = 0

= 2 sin 2 x( 2 sin 2 x + cos 2 x ) = 2 sin 2 x(1 − cos 2 x + cos 2 x ) = 2 sin 2 x
′ 3   g ′( x ) =  − cos 2 x  = 2 sin 2 x 4 

f ′( x ) = 8 sin 3 x + sin 4 x = 4 sin 2 x ⋅ sin 2 x + 2 sin 2 x cos 2 x =

Мысал 1. Тепе-теңдікті дәлелде: 1 3 2 sin x − cos 4 x = − cos 2 x (1) f ′( x ) = g ′( x ) (2) 4 4

(3)

(4)

f ′( x ) = g ′( x )

ϕ ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = 0 (5)
x=0

1 3 с = 2 sin ⋅ 0 − cos 4 ⋅ 0 − + cos 2 ⋅ 0 = 0 4 4

ϕ ( x) = 0
(6)

ϕ ( x) = 0 → f ( x) = g ( x)

Туынды арқылы өрнектерді ықшамдау
Мысал 2. Өрнекті ықшамдау керек:

( a + b + c)

f ′( a ) = 3 ( a + b + c ) − ( a + b − c ) + ( b + c − a ) − ( c + a − b ) = (2) = 3( 2( a + b ) 2c + 2( a − b )( − 2c ) ) = 24bc
2 2 2 2

(

− ( a + b − c) + ( b + c − a) − ( c + a − b)
3 3

(1)

)

C = f ( 0) = ( b + c ) − ( b − c ) − ( b + c ) − ( c − b ) = 0
3 3 3 3

f ′( a ) = 24bc + C (3)

(4)

Бірінші ретті туынды арқылы теңсіздікті дәлелдеу Теорема 1. Егер f ( x ) , g ( x )

функциялары үшін [ a; b] да үзіліссіз және туындылары бар f ( x ) , g ( x ) өспелі функциялар үшін f ′( x ) < g ′( x ) шарты орындалатын болса, онда сол интервалда f ( x ) < g ( x ) шарты да орындалады.

Мысал 3. Теңсіздікті дәлелдеу: p > 0; q > 0; p ≠ q ( p + q ) < 32( p + q ) (1) p6 6 6
6 6 6

f ′ ( x ) = 6[( p + x ) − ( 2 x ) ] < 0
5 5

0< p
f ( q ) < f ( p ) (4)
6 6 6

(3)

] p; ∞[

( p + q)

− 32( p + q ) < ( p + 1) − 32( p + 1 ) = 0 (5)
6 6

( p + q)

< 32 p + q

(

)

Екінші ретті туындынының көмегімен теңсіздіктерді дәлелдеу Теорема 1. Егер [a; b] аралығында f ′′( x ) ≥ 0
теңсіздігі орындалса, онда кез келген λ ∈ [ 0,1] үшін f ( λ b + ( 1 − λ ) a ) ≤ λ f ( b ) + ( 1 − λ ) f ( a ) (1) теңсіздігі орындалады. Егер [ a; b] аралығында f ′′( x ) ≤ 0 болса, λ f ( b ) f ( λ b + ( 1 − λ ) a ) ≤ онда+ ( 1 − λ ) f ( a ) (2) теңсіздігі орындалады.

Туындының көмегімен Ньютон биномының формуласын есептеу n ( a + x ) = A0 + A1 x + A2 x 2 + A3 x 3 + ... + An x n (1)
x =0

n( a + x )

n −1

( a + x)
x= 0



A0 = a

n

= A1 + 2 A2 x + 3 A3 x 2 + ... + nAn x n −1(2) A1 = na n −1
n−k

n( n − 1)...( n − k + 1)( x + a )

= k ( k − 1)...2 ⋅ 2 ⋅ Ak + ( k + 1) ⋅ k ...2 x + ... + n( n − 1)...( n − k + 1) x n − k (3)

=

n( n − 1)...( n − k + 1) a = 1⋅ 2... Ak n( n −1)...( n −k +1) n( n − 1)( n − 2) ...( n − k + 1) n − k (4) k (5) Сn = Ak = a

x= 0

n−k

1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k

k Ak = Cn a n −k

(6)

1 ⋅ 2 ⋅... ⋅ k

Туындының физикада қолданылуы
y = ky (1)
 u  kt e 

v = y′ y′ = ky (2) y = ce (3) u′ = ku  = e ( u ′ −ku ) = 0 (4)  = (u ′e ) = ue −kue
kt
−kt −kt −kt −kt

′  u   kt  = 0 e 

(5)

u e kt

=c

u = ce (6)
kt

t =0

y = y0

y0 = ce = c
k0

c = y0

y = y0 e

kt

Туындының биологиялық үрдістерде қолданылуы
Ферхюльс-Перл моделінің теңдеуі:

x0 µe x= x µ − x0 + x0 e
x

Туындының экономикада қолданылуы
Кобба – Дугластың өндірістік функциясы: α 1−α (1) a > 0,0 < α < 1 Q = aK L Изокванта теңдеуі:

Изокоста теңдеуі: C0 = ωL + rK (3) немесе

Q  0 K =   L a 

α 

α1  −    α 

(2)

C0 ω (4) K = − L+ r r

Есеп шешудің алгоритмі:
Кобба – Дугластың өндірістік функциясы (1) және α 1−α Q0 , r , ω берілген: Q = aK L (1) a > 0,0 < α <1 1 − α 1  α Q0   α  (1) теңдігінен K =  L  = f ( L ) (2) 
a 
1 1 α Q −  0  α 1 − ( f ′ L0 ) = L0 α   ⋅ α a 

(3)

1  1 α α− Q0  1 ω −  α = −   L0  α a  r  α 1− α Q aK 0 L0  0 =  C0 = L0 + ω rK 0   


Пән: Математика, Геометрия


Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь