Сайтқа презентация қосу

Көп айнымалы функция туралы түсінік

Көп айнымалы функция туралы түсінік

Анықтама. Егер x, y, z,..., t айнымалылардың әрбір n мәндер жиынтығына w айнымалысының бір мәні сәйкес қойылса, онда w тәуелсіз n айнымалыдан функция деп аталады да, былай белгіленеді: w=F(x,y,z,...,t) Үш не одан да көп айнымалылардың функцияларының графиктерін кескіндеудің геометриялық мағынасы болмайды.

y

S = xy
x

z

V = xyz
x y

Екі айнымалы функция және анықталу облысы
Анықтама. Егер D облысына тиісті x және y тәуелсіз айнымалы шамалардан құралған әрбір ( х, у) жұбы үшін f арқылы z шамасының анық бір мәні сәйкес қойылса, онда z шамасы D облысында анықталған екі тәуелсіз x және y айнымалыдан функция деп аталады және z=f(x,y) түрінде белгіленеді. Анықтама. z=f(x,y) функциясының мәндері анықталатын x және y мәндерінен тұратын (х,у) жұптарының жиынтығы осы функцияның анықталу облысы немесе бар болу облысы деп аталады.

Мысалы: Шешуі:

Функцияның анықталу табыңдар:                          
                        

облысын

Бөлшектің бөлімін 0-ға тең емес деп алып:

Жауабы: координаталық жазықтығында берілген нүктеден басқа барлық нүктелерді түзуінде қиып y өтеді.                              5 x 0 5

Мысалы: Шешуі: 

Функцияның анықталу облысын табыңдар: Түбірдің астындағы таңба теріс болмауы керек  : 

у

Жауабы: жарты жазықтық                           
   

x

y =

Мысалы:

Функцияның анықталу облысын табыңдар және оның суретін салып көрсетіңдер:

Шешуі:   Түбірдің астындағы таңба теріс болмауы керек:                           және , бөлгіш нөлге тең болмайтынын ескере отырып, теңсіздік қатаң болып табылады:

теңдеуі шеңбер болып табылады. Радиусы , координаталық жазықтықты екі бөлікке бөледі– «ішкі» және «сыртқы» шеңберге. Теңсіздік қатаң болғандықтан, шеңбердің өзі функцияның анықталу облысына кірмейді және сондықтан оны үзік сызықтармен сызу қажет.

y

-

x

-

Жауабы: шеңбердің сыртқы бөлігі

                    

             

 

Көп айнымалы функцияның геометриялық кескіні

z = f ( x, y ), функциясын қарастырайық,
Оху жазықтығының G облысында анықталған және Охуz тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі.
z P z=f(x,y) у у х х G

Нәтижесінде Р нүктесін

O

кеңістікте

және х, у, z = f(x, y) координаталарын аламыз.

Анықтама. Р нүктесінің геометриялық орны z = f ( x, y ) , функциясының теңдеуінің координаталарын қанағаттандыратын болса, онда ол аталады. екі айнымалыдан z= f (x, y) функциясының геометриялық кескіні деп

Екі айнымалыдан z= f (x, y) функциясының геометриялық кескіні (графигі) Oxyz кеңістігіндегі бет болып табылады.

Айналу параболоиды
z = x2 + y2

Көп айнымалы функцияның шегі мен үзіліссіздігі

Анықтама. M0(x0, y0) нүктесінің радиусы
мына

( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2

r маңайы деп, координаталары

< r,

теңсіздікті қанағаттандыратын

жазықтықтың барлық М (х,у) нүктелерінің жиынын айтады, яғни бұл нүктелер центрі M0(x0, y0) нүктесінде радусы r болатын шеңберге тиісті нүктелер. Енді Oxy жазықтығының G облысында анықталған z=(х,у) функциясы берілсін және M0(x0, y0) нүктесі осы G облысының ішкі немесе шекаралық нүктесі болсын.

y

M0(x0,y0) M(x,y) r

O

x

Ескерту: Бұл жерде екі айнымалыдан функцияның шегі ұмтылуынан тәуелсіз болатынын ескеруіміз керек.

М(х,у)

нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне қалай (қандай сызықтың бойымен)

Анықтама.

A

саны

f(x,y)

функциясының

M0(x0,

y0)

нүктесіндегі шегі деп аталады, егер әрбір ε > 0 саны үшін r > 0 саны табылып, M0(x0, y0) нүктесінің радиусы r -ге тең маңайына тиісті барлық М(x,y)нүктелері үшін келесі f ( x, y ) − A < ε . теңсіздік орындалса: Егер A саны f(x,y) функциясының M0(x0, y0) нүктесіндегі шегі болса (М(х,у)) нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне ұмтылғандағы шегі , онда ол былай жазылады:
x →x0 y →y0

lim f ( x, y ) = A

Анықтама. M0(x0, y0) нүктесі f(x, y) функциясының анықталу облысына тиісті болсын. Егер келесі теңдік
x →0 x y→0 y

lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ),

орындалса, онда z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде үзіліссіз деп аталады және М(х,у) нүктесі M0(x0, y0) функцияның анықталу облысында қала отырып, кез-келген жолмен ұмтылады.
Осы анықтамадан функция нүктеде үзіліссіз болу үшін келесі шарттардың орындалуы қажет екендігі шығады: 1. z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде анықталған; 2.                         шегі бар; lim f ( x, y ) ; 3.Функцияның шегі оның сол нүктедегі мәніне тең:
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0

lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) ,

Мысалы:

Функцияның үзіліс нүктесін есепте: A = lim 3x + 4 y x , y →0 , 2

1 + ln ( x + y )

( x, y ) = 3x + 4 y функциясында Шешуі: (0; 2) нүктесі f 1 + ln ( x + y )

анықталады, олай болса функцияның осы нүктелеріндегі мәнін есептеуге болады. Онда функцияны шешуге мына теңсіздікті қолданамыз: x , ylim, y f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ). →x
0 0

Сонда:

3x + 4 y 3⋅ 0 + 4 ⋅ 2 8 A = lim = = . x , y →0 , 2 1 + ln ( x + y ) 1 + ln ( 0 + 2 ) 1 + ln 2 8 . Жауабы:A = 1 + ln 2

Мысалы:

Функцияның үзіліс  sin ( xy ) A = lim нүктесін есепте: x , y →0 , 3 x

Шешуі: (0; 3) нүктелері функцияның анықталу облысына кірмейді , онда х = 0 болғанда 0/0 анықталмағандығына келеді. Сондықтан алымында, бөлімінде у-ке көбейтіп бөлеміз және u = xy ауыстыруын жасаймыз. Сонда:

sin ( xy ) y ⋅ sin ( xy ) y ⋅ sin u A = lim = lim = lim = x , y →0 , 3 x , y →0 , 3 x , y →0 , 3 x x⋅ y u y ⋅u = [ sin u ~ u ] = lim = lim y = 3. x , y →0 , 3 u x , y →0 , 3
Жауабы:

A = 3.

Көп айнымалы функцияның дербес туындылары Анықтама. z = f(x, y) функциясының x айнымалысы бойынша дербес туындысы деп, осы x айнымалы бойынша дербес x x өсімшенің өсімшесіне қатынасының нөлге ұмтылғандағы шегін (егер ол шек бар болса) айтады:
= lim f ( x + x, y ) − f ( x, y ) . x→ 0 x
= lim f ( x + x, y ) − f ( x, y ) . y

Дәл сол сияқты ,
y→ 0

Мысалы: Функцияның дербес туындыларын табыңдар: 3 4 1) z = x sin y + y − 2 x; ∂z Шешуі: Дербес ∂x туындысын у мәні бекітілген (өзгермейтін) деп алып есептейік: ∂z Ал ∂x есептегенде х мәні өзгермейді деп аламыз: ∂z = x3 cos y + 4 y3. ∂x z = x y , ( x  0). 2) Шешуі: Бұл z= x y функцияның х аргументі бойынша дербес туындысын есептеген кезде, оны тек осы бір ғана х айнымалыдан тәуелді деп есептейміз, яғни, у мәні өзгермейді. Осы кезде z = x y функциясы х аргументіне тәуелді дәрежелік функция болады, яғни y =a⇒z =x n . Бұдан бізге белгілі ∂z ∂z = yx формула бойынша . Осылайша талқылай отырып, ∂x ∂x y x= a⇒ дербес туындысынz = a көрсеткіштік функциясынан аламыз. ∂z Сонда . y
y −1

∂x

=x ln x

функциялары берілсін, сонда функциясы z= f (u( x, y),v( x, y)) у аргументтерінен тәуелді күрделі функция x, болады. Берілген f (u, v), u ( x, y ), v( x, y ) функциялары өз аргументтері бойынша дифференциалданатын функциялар. Мына дербес туындыларды есептейік: ∂z ∂z , . ∂x ∂y x аргументіне x өсімшесін берейік те, y аргументін өзгеріссіз u, v қалдырайық, сонда u,v функциялары сәйкес өсімшелерін, ал z = f(u, v) функциясы z өсімшесін алады: z = ∂f u + ∂f v +γ u +γ v.
x x

z = f (u,v),u =u ( x, y ),v =v( x, y )

Көп айнымалы күрделі функцияның туындысы

∂u x

∂v x

1 x

2 x

x Егер x → 0, онда x себебі u, v үзіліссіз функциялар, және x → 0 орындалады. Осыларды ескере отырып шекке көшсек

x Соңғы теіңдіктің екі жағын да -ке бөліп мынаны аламыз: u v z ∂f xu ∂f x v x +γ x . = ⋅ + ⋅ +γ 1 x 2 x x ∂u x ∂v x u → 0, v → 0,

γ 1 → 0, γ 2 → 0

та

∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

Осылайша, х-ті өзгеріссіз қалдырып у-ке

y

∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ . ∂y ∂y ∂y ∂v ∂y

өсімше берілсе

аламыз.

Мысалы:

Төмендегі функцияның дербес туындыларын табыңдар: z = u 2 + uv + v 2 ,u = ( x + y ) 2 ,v = ( x − y ) 2. Шешуі:
∂z ∂z ∂ u = ⋅ + ∂x ∂u ∂ x

∂f ∂v  ⋅ =  2u + v  ⋅ 2 x + y  +  u + 2v  ⋅ 2 x − y  = 12x3 + 20xy2; ∂v ∂x

∂z ∂f ∂ u = ⋅ + ∂y ∂u ∂ y

∂f ∂v  ⋅ =  2u + v  ⋅ 2 x + y  −  u + 2v  ⋅ 2 x− y  = 12 y3 + 20x2 y. ∂v ∂y

Көп айнымалы функцияның толық дифференциалы
z = f  u,v , u = u x, y , v = v x, y              dz =
z= функциялары берілсін. Осыf (u(x, y),v(x, y)) күрделі функциясынан толық дифференциал алайық:

бірақ сондықтан немесе

∂z ∂z dx + dy, ∂x ∂y ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

 ∂z ∂u ∂z ∂v  ∂z  ∂u ∂u  ∂z  ∂v ∂v  ∂z ∂z  ∂z ∂u ∂z ∂v   dx + dy  +  dx + dy  = dz =  ⋅ + ⋅ dx +  ⋅ + ⋅ dy =  ∂u ∂y ∂v ∂y   ∂x  ∂v  ∂x  ∂u du + ∂v dv ∂u  ∂y  ∂y   ∂u ∂x ∂v ∂x    

dz =

∂z ∂z du + dv. ∂u ∂v

Осы жерде біз КАФ толық дифференциалының өрнегі (бірінші ретті дифференциал) u,v - тәуелсіз айнымалы немесе тәуелсіз айнымалылардан функция болғанына қарамастан бірдей түрде жазылатынын көрсеттік. Бұл бірінші ретті дифференциал түрінің инварианттығы деп аталады.

Мысалы:

1. Берілген

x2 − 2 y z= x2 + 2 y

функциясы бойынша оның толық дифференциалы dz-ті табу керек. Шешуі: Дербес туындылар:
2 2 2 2 4 xy 2 ′ 2x x + y − x − y 2x zx = = x2 + y2 x2 + y2

(

(

) (

)

)

(

)

′ ; zy = − 2′

(x

4x2 y

+ y2

)

2′

демек, 2.
z= yx y

dz =

4 xy
 2 x +y  

2 2
  

( ydx − xdy ).

функциясы берілген. dz- ті табу керек.

Шешуі:

болғандықтан,

∂z y −1 ∂z y y =y2x ; =x + yx x ln x =x (1+ y ln x ) ∂x ∂y
dz = y 2 x y −1 y dx + x (1+ y ln x)dy.

Жоғары ретті дифференциалдар z = f(x,y) функциясының бірінші ретті дифференциалы - функцияның толық өсімшесінің аргументтер өсімшелеріне қатысты сызықты бөлігі z ∂ z аталады: dz =∂ dx + y dy. ∂ x ∂ 2 z=f(x,y) функциясының II ретті дифференциалы d z оның I ретті дифференциалынан x,y айнымалыларының функциясы ретінде (dx,dy бекітілген мәндерінде) алынған дифференциал, яғни: d z = d (dz ). Ескерту. dz тек x,y айнымалыларынан функция ретінде қарастырылады. ∂z ∂z Дербес ∂x , ∂y туындыларынан дифференциал есептеу кезінде x,y тәуелсіз айнымалыларынан өсімшелер dz өрнегіндегідей болады, яғни сәйкес мыналарға тең болады: dx, dy. Сонымен екінші дифференциалдың түрі мынадай:

′ ′  ∂z  ∂z ∂z   ∂z ∂z  ∂z  ∂2z ∂ 2z ∂ 2z ∂2z ∂ 2x ∂ 2z ∂ 2z d z = d (dx) = d  dx + dy  =  dx + dy  dx +  dx + dy  dy = 2 d 2 x + dxdy + 2 d 2 y + dydx = 2 d 2 x + 2 dxdy + 2 d 2 y.  ∂x  ∂x ∂y   ∂x ∂y  ∂y  ∂x ∂ x∂ y ∂y ∂ y∂ x ∂x ∂ x∂ y ∂y      

Соңғы теңдіктен кейінгі өрнекті неғұрлым ықшам түрде жазу үшін, ∂z ∂z мынадай символ енгізіп оны d = ∂x dx + ∂y dy дифференциалдау операторы деп атайық. Бұл операторды z функциясына қолдансақ, оның ∂z ∂z дифференциалын аламыз:
dz = ∂x dx + ∂y dy.

Осы дифференциалдау операторының n-ші дәрежесін екі мүшелігінің n-ші дәрежесі түрінде анықтайық. Дербес жағдайда, n=2 2 болса  ∂z  ∂2 z ∂2 z ∂2 z  ∂z 
d 2 z =
 ∂x 

∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y

dx +

∂y

dy  =
 

∂x 2

dx 2 +2

∂x∂y

dxdy +

∂y 2

dy 2.

d2 z функциясына операторын қолдансақ, функцияның II ретті дифференциалы d z аламыз. Осылайша II ретті дифференциалды оператор арқылы жазсақ:  2 ∂  ∂  2

d z =

 ∂x 

dx +

∂y

dy  z.
 

Ал z(x,y) функциясының n-ші ретті дифференциалы d 2 z индукция арқылы мына формуламен анықталады d n z = d (d n −1z). n-ші ретті d z дифференциалы үшін операторлық формула

Егер x,y тәуелсіз айнымалылар емес, қайсыбір айнымалылардан n дифференциалданатын функциялар болса, онда соңғы формула ≥ 2 болған кезде, жалпы жағдайда дұрыс болмай шығады, себебі жоғары ретті дифференциалдар түрі инвариантты емес. Дербес жағдайда, n=2 болғанда 2
    2 z = ∂z dx + ∂z dy  z +  ∂z d 2 x + ∂z d 2 y . d      ∂x  ∂y  ∂y  ∂y    

 n z  z n z = ∂ dx +∂ dy  z. d   ∂  ∂ y  x 

Егер u = f ( x1 , x2 ,..., xm ) функциясы m тәуелсіз айнымалылардан тәуелді функция болса, n- ші ретті дифференциал индукция бойынша анықталады. ∂z ∂z d= dx + ... + dx болады да, Дифференциалдау операторының түрі ∂x ∂x операторлық формула былайша жазылады:  n
1 m 1 m

Мысалы:
y z= x ,M (1;0). 0

d nu =  

Берілген функцияның берілген нүктедегі дифференциалын есептеңдер: Шешуі: Екінші ретті дербес туындыларын есептейік:
y − 2; ∂ z ∂2z = y ( y − 1) x ∂x 2 ∂y∂x 2 2 2 y −1(1+ y ln x); ∂ z = x y −1(1+ y ln x); ∂ z = x y (ln x)2. =x ∂x∂y ∂y 2
2 2 2 2 ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z (M ) = ; 0 (M ) = (M ) =; 1 (M ) = . 0 0 0 0 0 ∂∂ y x ∂∂ x y ∂2 x ∂2 y

 ∂z ∂z dx +...+ dx  u. 1 m ∂x  ∂x  m  1  

Олардың көрсетілген нүктедегі мәндері мынадай

Алынған мәндері екінші дифференциалдың формуласына апарып қойып, мынаны аламыз: 2 z
d M 0 = 2dxdy.

Берілген u = x + y + xy функциясының дифференциалдары табу керек. Шешуі:∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u Демек,
du =(1+ y)dx + (1+ x)dy,

Мысалы:

du,d 2u,d 3u

– ларды

∂3u ∂3u ∂3u =1+ y, =1+ x, = =1; = 0; = 0; = = = 0. 2 2 3 ∂x∂y 2 ∂y3 ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x ∂x ∂y ∂x

d 2u = 2dxdy,d 3u = 0.

Есептер

Төмендегі шектерді табыңыздар :

2x ; y→ ∞ y +5x Мына функциялардың +y 3x үзіліссіздік нүктелерін табыңдар: 4. f ( x, y) = ; x 3.Ф( x, y) =
5.z = arctg x y

xy 1. lim ; 1 1 x → xy +− 0 y→ 0 x+ y 2. lim ; x →x 2 − + 2 ∞ xy x

1−t 2t ,x = ; 1+t 1+t 7. y = sin t − t cos t, x = cos t + t sin t; 6. y = x 8.u = ln sin ; y xy 9.u = arc sec ; z

Функциясы берілген. Дербес туындыларын табыңыздар. Мына функциялар үшін dy –ті табыңыздар: dx

Келесі функциялардың толық дифференциалын табыңыздар:

d 2 z -ті табыңыздар. Функция үшін u=xyz функциясының d u -ын табыңыздар.
z= y x2

Жауаптары!!!

′ zx =

y x ′ ; zy = − 2 2 ; x2 + y2 x +y
ydu − xdy x ctg ; 2 y y yzdx + xzdy − xydz
xy x y − z
2 2 2

du =
du =

;

6y 2 4 dx − 3 dxdy; x4 x

Екі айнымалы функция және анықталу облысы. Көп айнымалы функцияның геометриялық кескіні. Көп айнымалы функцияның шегі мен үзіліссіздігі. Көп айнымалы функцияның дербес туындылары дегеніміз не Көп айнымалы күрделі функцияның туындысы дегеніміз не Көп айнымалы функцияның толық дифференциалы деген не Жоғары ретті дифференциалдың анықтамасын айт.


Пән: Математика, Геометрия



Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь