Көп айнымалы функция туралы түсінік

Презентация қосу

Көп айнымалы функция туралы
түсінік

Анықтама. Егер x, y, z,..., t айнымалылардың әрбір
n мәндер жиынтығына w айнымалысының бір
мәні сәйкес қойылса, онда w тәуелсіз n
айнымалыдан функция деп аталады да, былай
белгіленеді: w=F(x,y,z,...,t)
Үш не одан да көп айнымалылардың
функцияларының графиктерін кескіндеудің
геометриялық мағынасы болмайды.
y S = xy
x

z V = xyz
y
x
Екі айнымалы функция және анықталу
облысы

Анықтама. Егер D облысына тиісті x және y тәуелсіз айнымалы
шамалардан құралған әрбір ( х, у) жұбы үшін f арқылы z
шамасының анық бір мәні сәйкес қойылса, онда z шамасы D
облысында анықталған екі тәуелсіз x және y айнымалыдан
функция деп аталады және z=f(x,y) түрінде белгіленеді.
Анықтама. z=f(x,y) функциясының мәндері анықталатын x және
y мәндерінен тұратын (х,у) жұптарының жиынтығы осы
функцияның анықталу облысы немесе бар болу облысы деп
аталады.
Функцияның анықталу облысын
Мысалы:
табыңдар:


Бөлшектің бөлімін 0-ға тең емес деп
Шешуі:
алып:

Жауабы: координаталық жазықтығында берілген нүктеден
басқа барлық нүктелерді түзуінде қиып
өтеді.                              y

x
0 5
Мысалы: Функцияның анықталу облысын табыңдар:

Шешуі: Түбірдің астындағы таңба теріс болмауы керек  :

у

Жауабы: жарты жазықтық


x

y =
Мысалы:
Функцияның анықталу облысын
табыңдар және оның суретін салып
көрсетіңдер:

Шешуі:   Түбірдің астындағы таңба теріс болмауы керек:
және , бөлгіш нөлге тең болмайтынын ескере отырып,
теңсіздік қатаң болып табылады:

теңдеуі шеңбер болып табылады. Радиусы ,
координаталық жазықтықты екі бөлікке бөледі– «ішкі»
және «сыртқы» шеңберге.
Теңсіздік қатаң болғандықтан, шеңбердің өзі
функцияның анықталу облысына кірмейді және сондықтан
оны үзік сызықтармен сызу қажет.
y

- x

-

Жауабы: шеңбердің сыртқы бөлігі
Көп айнымалы функцияның
геометриялық кескіні

z f x, y , функциясын қарастырайық,
Оху жазықтығының G облысында анықталған және
Охуz тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі.
z

P
• Нәтижесінде
z=f(x,y)
O у кеңістікте Р нүктесін
у
және х, у, z = f(x, y)
х
координаталарын аламыз.
х
G
Анықтама. Р нүктесінің геометриялық орны z f x, y , функциясыны ң
теңдеуінің координаталарын қанағаттандыратын болса, онда ол екі
айнымалыдан z= f (x, y) функциясының геометриялық кескіні деп
аталады.

Екі айнымалыдан z= f (x, y) функциясының
геометриялық кескіні (графигі) Oxyz кеңістігіндегі
бет болып табылады.

Айналу
параболоиды

z x 2 y 2
Көп айнымалы функцияның шегі мен
үзіліссіздігі

Анықтама. M0(x0, y0) нүктесінің радиусы r маңайы деп, координаталары
мына x x0 2 y y0 r , те ңсіздікті қана ғаттандыратын

жазықтықтың барлық М (х,у) нүктелерінің жиынын айтады, яғни бұл
нүктелер центрі M0(x0, y0) нүктесінде радусы r болатын шеңберге тиісті
нүктелер.
Енді Oxy жазықтығының G облысында анықталған z=(х,у)
функциясы берілсін және M0(x0, y0) нүктесі осы G облысының ішкі немесе
шекаралық нүктесі болсын. y

M0(x0,y0)
M(x,y) r

O x
Ескерту: Бұл жерде екі айнымалыдан функцияның шегі М(х,у)
нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне қалай (қандай сызықтың бойымен)
ұмтылуынан тәуелсіз болатынын ескеруіміз керек.

Анықтама. A саны f(x,y) функциясының M0(x0, y0)
нүктесіндегі шегі деп аталады, егер әрбір ε > 0 саны үшін r >
0 саны табылып, M0(x0, y0) нүктесінің радиусы r -ге тең
маңайына тиісті барлық М(x,y)нүктелері үшін келесі
теңсіздік орындалса: f x, y A .
Егер A саны f(x,y) функциясының M0(x0, y0)
нүктесіндегі шегі болса (М(х,у)) нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне
ұмтылғандағы шегі , онда ол былай жазылады:
lim f x, y A
x x0
y y0
Анықтама. M0(x0, y0) нүктесі f(x, y) функциясының
анықталу облысына тиісті болсын. Егер келесі теңдік
lim f x, y f x0 , y0 ,
x x0
y y0

орындалса, онда z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде
үзіліссіз деп аталады және М(х,у) нүктесі M0(x0, y0)
функцияның анықталу облысында қала отырып, кез-келген
жолмен ұмтылады.
Осы анықтамадан функция нүктеде үзіліссіз болу үшін келесі
шарттардың орындалуы қажет екендігі шығады:
1. z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде анықталған;
lim f x, y ;
2.                         шегі бар;
x x0
y y0
3.Функцияның шегі оның сол нүктедегі мәніне тең:
lim f x, y f x0 , y0 ,
x x0
y y0
Мысалы:
Функцияның үзіліс нүктесін есепте: A lim 3x 4 y
x , y 0, 2 1 ln x y
3x 4 y

Шешуі: (0; 2) нүктесі f x, y 1 ln x y функциясында
анықталады, олай болса функцияның осы нүктелеріндегі
мәнін есептеуге болады. Онда функцияны шешуге мына
теңсіздікті қолданамыз: x , ylim f x, y f x0 , y0 .
x ,y 0 0

Сонда:

3x 4 y 3 0 4 2 8
A lim .
x , y 0 , 2 1 ln x y 1 ln 0 2 1 ln 2
Жауабы:A .
1 ln 2
Функцияның үзіліс sin xy
Мысалы:
нүктесін есепте: A lim
x , y 0,3 x
Шешуі: (0; 3) нүктелері функцияның анықталу облысына
кірмейді , онда х = 0 болғанда 0/0 анықталмағандығына
келеді. Сондықтан алымында, бөлімінде у-ке көбейтіп
бөлеміз және u = xy ауыстыруын жасаймыз.
Сонда:

sin xy y sin xy y sin u
A lim lim lim
x , y 0,3 x x , y 0 , 3 x y x , y 0 , 3 u
y u
sin u ~ u lim lim y 3.
x , y 0,3 u x , y 0,3

Жауабы: A 3.
Көп айнымалы функцияның дербес
туындылары

Анықтама. z = f(x, y) функциясының x айнымалысы бойынша
дербес туындысы деп, осы x айнымалы бойынша дербес
өсімшенің x
өсімшесіне қатынасының x нөлге
ұмтылғандағы шегін (егер ол шек бар болса) айтады:
f ( x x, y ) f ( x, y )
lim .
x 0 x
Дәл сол сияқты ,
f ( x x, y) f ( x, y)
lim .
y 0 y
Мысалы:

Функцияның дербес туындыларын табыңдар:
3 4
1) z x sin y y 2 x;
z
Шешуі: Дербес x туындысын у мәні бекітілген (өзгермейтін)
деп алып есептейік:
z z
Ал x есептегенде х мәні өзгермейді деп аламыз: x3 cos y 4 y3.
y
x
2) z x , ( x 0).
Шешуі: Бұл z x y функцияның х аргументі бойынша дербес
туындысын есептеген кезде, оны тек осы бір ғана х
айнымалыдан тәуелді деп есептейміз, яғни, у мәні
өзгермейді.z Осы x y кезде функциясы х аргументіне тәуелді
n
дәрежелік функция болады, y a я
z ғxни . Бұдан бізге
z z
белгілі формула бойынша . Осылайша тал қ
xылай
y 1
yx
x
отырып, дербес
x a z туындысын
a y көрсеткіштік
функциясынан z y аламыз. Сонда .
x ln x
x
Көп айнымалы күрделі функцияның
туындысы
z f u,v ,u u x, y ,v v x, функцияла
y ры берілсін, сонда функциясы
z f (u( x, y),v(тxә, уелді
x,у аргументтерінен y)) күрделі функция болады. Берілген
функциялары өз аргументтері
f (u , v), u ( x, yбойынша
), v( x, y ) дифференциалданатын функциялар. Мына
дербес туындыларды есептейік:
z z
, .
x y
x аргументіне өсімшесін x берейік те, y аргументін өзгеріссіз қалдырайық, сонда u,v
функциялары сәйкес өсімшелерін, ал z = f(u, v) функциясы
xu, x v
өсімшесін
алады:
z f f
z u v u v.
Соңғы теіңдіктің екі жағын да u x аламыз:
-ке бөліп мынаны v x 1 x 2 x
x

z f xu f xv u
x
v
x .
Егер

онда x u x себебі

u,xv үзіліссіз

1 x функциялар,
2 x және та
v
орындалады.
x 0, Осыларды
x u ескере
0, x v отырып
0, шекке көшсек 1 0, 2 0
x 0
z f u f v
Осылайша, х-ті өзгеріссіз қалдырып .
у-ке өсімше берілсе
x u x v x
y

аламыз. z f u f v
.
y y y v y
Мысалы:

Төмендегі функцияның дербес туындыларын
табыңдар:
z u 2 uv v 2 ,u x y 2 ,v x y 2.

Шешуі:
z z u f v
2u v 2 x y u 2v 2 x y 12x3 20xy2;
x u x v x

z f u f v
2u v 2 x y u 2v 2 x y 12 y3 20x2 y.
y u y v y
Көп айнымалы функцияның толық
дифференциалы

z f (u( x, y),v( x, y)) күрделі
функциялары берілсін. Осы
z f u,v , u u x, y , v v x, y
функциясынан толық дифференциал алайық:
z z
dz dx dy,
x y
z z u z v z z u z v
бірақ , ,
x u x v x y u y v y
сондықтан
z u z v z u z v z u u z v v z z
dz dx dy dx dy dx dy du dv
u x v x u y v y u x y v x y u v

немесе
z z
dz du dv.
u v
Осы жерде біз КАФ толық дифференциалының өрнегі
(бірінші ретті дифференциал) u,v - тәуелсіз
айнымалы немесе тәуелсіз айнымалылардан функция
болғанына қарамастан бірдей түрде жазылатынын
көрсеттік. Бұл бірінші ретті дифференциал т үріні ң
инварианттығы деп аталады.
Мысалы:
x2 y2
z
1. Берілген x2 y2
функциясы бойынша оның толық дифференциалы dz-ті
табу керек.
Шешуі: Дербес туындылар:
2 2
2 2
2x x y x y 2x
zx

4 xy 2
; z y
4x2 y

x2 y2 x2 y2 2
x 2
y2 2

демек, 4 xy
dz ydx xdy .
x y 2 2

y
2. z yx функциясы берілген. dz- ті табу керек.
Шешуі:
z y 1 z y y
y 2 x ; x yx x ln x x 1 y ln x
x y
болғандықтан,
y 1 y
dz y 2 x dx x 1 y ln x dy.
Жоғары ретті дифференциалдар

z = f(x,y) функциясының бірінші ретті дифференциалы - функцияның толық
өсімшесінің аргументтер өсімшелеріне қатысты сызықты бөлігі аталады:
z z
z=f(x,y) функциясыны
dz dx ң dy.II ретті дифференциалы оның I ретті
x y
дифференциалынан x,y айнымалыларының функциясы d 2 z ретінде (dx,dy
бекітілген мәндерінде) алынған дифференциал, яғни:
Ескерту. dz тек x,y айнымалыларынан функция ретінде d z dқ( dz
арастырылады.
). 2

Дербес туындыларынан дифференциал есептеу кезінде x,y тәуелсіз
айнымалыларынан
z z
, өсімшелер dz өрнегіндегідей болады, яғни сәйкес
x y
мыналарға тең болады: dx, dy.
Сонымен екінші дифференциалдың түрі мынадай:

z z z z z z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 x 2 z 2 z
d z d (dx) d dx dy dx dy dx dx dy dy 2 d 2 x
dxdy 2 d 2 y dydx 2 d 2 x 2 dxdy 2 d 2 y.
Соңғы теңдіктен кейінгі өрнекті неғұрлым ықшам т үрде жазу үшін, мынадай
x y x y x y x x y y y x x x y y
символ енгізіп оны дифференциалдау операторы деп атайық.
Бұл операторды z функциясына z қолданса z қ, оның дифференциалын
d dx dy
аламыз: x y

z z
dz dx dy.
x y
z z
Осы дифференциалдау операторының n-ші дәрежесін екі x
dx
y
dy

мүшелігінің n-ші дәрежесі түрінде анықтайық. Дербес жағдайда, n=2
болса z

z
2 z 2 z 2 z
d 2 z dx dy dx 2 2 dxdy dy 2.
x
y x 2 x y y 2
z функциясынаd 2 операторын қолдансақ, функцияның II ретті
дифференциалы d z аламыз. Осылайша II ретті дифференциалды оператор

арқылы жазсақ: 2
d z dx dy z.
x y

Ал z(x,y) функциясының n-ші ретті дифференциалы d z индукция арқылы
мына формуламен анықталады d n z d (d n 1z).
n-ші ретті d z дифференциалы үшін операторлы қ формула

n
z z
d n z

dx dy z.
x y

Егер x,y тәуелсіз айнымалылар емес, қайсыбір айнымалылардан
дифференциалданатын функциялар болса, онда соңғы формула
n 2

болған кезде, жалпы жағдайда дұрыс болмай шығады, себебі жоғары
ретті дифференциалдар түрі инвариантты емес. Дербес жағдайда,
n=2 болғанда 2
z z z z

d 2 z dy z d 2 x d 2 y .

dx
x y y y

Егер u f ( x1, x2 ,..., xm ) функциясы m тәуелсіз айнымалылардан тәуелді функция
болса, n- ші ретті дифференциал индукция бойынша анықталады.
z z
Дифференциалдау операторының түрі x d dx ...
x
dx
1 болады да,
m
m

операторлық формула былайша жазылады: n
z z
d nu dx ... dx u.
Мысалы: x
1 x m
1 m
Берілген функцияның берілген нүктедегі дифференциалын есептеңдер:
y
z x ,M (1;0).
0
Шешуі: Екінші ретті дербес туындыларын есептейік:
2 2 2
2 z
y ( y 1) x
y 2; z x y 1(1 y ln x); z x y 1(1 y ln x); z x y (ln x)2.
y 2
x y x x y
Олардың көрсетілген
нүктедегі2мәндері мынадай
z z z 2 z
(M ) 0; (M ) (M ) 1; (M ) 0.
0 0 0 0
x 2 y x x y y 2

Алынған мәндері екінші дифференциалдың формуласына апарып
қойып, мынаны аламыз: 2 z
d 2dxdy.
M0
Мысалы:
Берілген u x y xy
функциясының дифференциалдары du,d 2u,d 3u – ларды
табу керек.
Шешуі: u u 2u 2u 2u 2u 3u 3u 3u
1 y, 1 x, 1; 0; 0; 0.
x y x y y x x 2 y 2 3
x x y 2 y 3

Демек, du (1 y)dx (1 x)dy,

d 2u 2dxdy,d 3u 0.
Есептер 1. lim
xy
;
x 0 xy 1 1
• Төмендегі шектерді табыңыздар : y 0
x y
2x 2. lim ;
3.Ф( x, y) ; x x 2 xy x 2
y 5x y

• Мына функцияларды 3ңx үзіліссіздік
y нүктелерін табыңдар:
4. f ( x, y) ;
x
x
• Функциясы берілген. Дербес туындыларын табыңыздар.
5.z arctg
y
• Мына функциялар үшін dydx
–ті табыңыздар:
1 t 2t
6. y , x ;
1 t 1 t
7. y sin t t cos t, x cos t t sin t;
• Келесі функциялардың толық дифференциалын табыңыздар:
x
8.u ln sin ;
y
xy
9.u arc sec ;
z
y
z d 2z
• Функция үшін x2 -ті табыңыздар.
d u
• u=xyz функциясының -ын табыңыздар.
Жауаптары!!!

y x
zx ; z y ;
x2 y 2 x2 y2

ydu xdy x
du 2
ctg ;
y y
yzdx xzdy xydz
du ;
2 2 2
xy x y z
6y 2 4
dx 3 dxdy;
x4 x
Екі айнымалы функция және аны қталу облысы.

Көп айнымалы функцияның геометриялық
кескіні.
Көп айнымалы функцияның шегі мен
үзіліссіздігі.
Көп айнымалы функцияның дербес
туындылары дегеніміз не?
Көп айнымалы күрделі функцияның туындысы
дегеніміз не?
Көп айнымалы функцияның толық
дифференциалы деген не?
Жоғары ретті дифференциалдың
анықтамасын айт.

Ұқсас жұмыстар

Функцияның дербес туындыларын табыңдар

Периодты функциялар

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУҒА КІРІСПЕ

Алгоритмдер туралы түсінік

Нақты сандар жиыны

Функциялар мен процедуралар

Айнымалы ұғымы. Айнымалымен жұмыс істейтін процедуралар мен функциялар. Тармақталу алгоритмін орындайтын программа

Графиктерді анимациялау тәсілдері

Функцияның кестемен берілуі

Білімділік қызығушылығын мен жігерін арттыру, мақсаты арттыру

Пәндер