Анықталған интеграл. Анықталған интегралдың бар болу шарты. Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері. Орта мән туралы теорема. Ньютон-Лейбнец формуласы. Анықталған интегралды интегралдау әдістері. Анықталған интегралдың қолданылуы

Тарихи мағлұмат

Интегралдық есептеудің негізгі

ұғымдары мен идеялық жүйесін

бір-біріне тәуелсіз түрде

Иссак Ньютон мен

Готфрид Лейбниц жасады.

«Интегралдық есептеу» термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді.

Интегралдық есептеудің әрі

қарай дамуы швейцариялық

математик Якоб Бернулидің,

әсіресе, Леонард Эйлердің

есімдерімен тығыз байланысты.

Анықталған интегралдың

қазіргі бізге белгілі түрін

Фурье ойлап тапқан

f(x) -[a, b] аралығындағы үзіліссіз функция болсын, мұндағы а b, және F(x) - алғашқы образ, яғни F′(x) =f(x) .

Анықтама. Анықталған интеграл деп алғашқы образдың сәйкес өсімшесін айтамыз:

Сонымен қатар, кез келген f(x) функциясы үшін бар болады, (а - кез келген)

a және b сандары интегралдау шекаралары, сәйкесінше төменгі және жоғарғы, [a, b] - интегралдау аралығы, ал f(x) - интеграл асты функциясы деп аталады.

Анықталған интеграл

Анықталған интегралдың бар болу шарты

Функциясы [a, b] кесіндісінде анықталған және шенелген болсын. Онда ол әрбір кесіндісінде де шенелген болады. Сондықтан кесіндісінде функцияның төменгі шекарасы мен жоғары шекарасы бар. Енді мынадай қосындылар жасалық:

Бұл қосындылардың біріншісі Дарбудың төменгі қосындысы, екіншісі- жоғары қосындысы деп аталады.

Дарбу қосындысының мынадай екі қасиеті бар.

Бірінші қасиеті. Бөліктеу нүктелеріне жаңадан нүктелер қосқаннан Дарбудың төменгі қосындысы кемімейді де, жоғарығы қосындысы өспейді.

Екінші қасиеті. Дарбудың әрбір төменгі қосындысы әрбір жоғарығы қосындысынан (тіпті жоғарығы қосынды басқа бір бөліктеуге сәйкес болса да) артық болмайды.

Теорема. Функциясы [a, b] сегментінде интегралданатын функция болуы үшін -да Дарбудың жоғарғы және төменгі қосындыларының айырымының шегі нөлге тең болуы яғни болуы қажетті және жеткілікті.

Егер функциясы [a, b] кесіндісінде үзіліссіз болса, ол функция сол кесіндіде интегралданатын болады.

[a, b] кесіндісінде бірнеше үзіліс нүктелері бар шенелген функциясы сол кесіндіде интегралданатын функция

[a, b] кесіндісінде шенелген және бір сарынды функциясы сол кесіндіде интегралданатын функция.

[a, b] кесіндісінде интегралданатын функциясының сол кесіндінің ақырлы сан нүктелеріндегі мәні өзгеретін болса, онан анықталған интегралдың бар болуы бұзылмайды да, шамасы өзгермейді.

Анықталған интегралдың мәні белгілеуден тәуелсіз

Интегралдау шекаралары бірдей анықталған интеграл нолге тең болады

Интегралдау шекараларының орнын ауыстырғанда интеграл таңбасы қарама қарсыға өзгереді

Анықталған интегралдың қасиеттері

Егер [a, b] аралығы бірнеше кесінділерге бөлінсе, онда [a, b] аралығы бойынша алынған инатеграл оның бөлінген кесінділері бойынша алынған интегралдардың қосындысына тең

b c b

∫f(x) dx = ∫f(x) dx + ∫f(x) dx

a a c

Тұрақты көбейткіш интеграл белгісінің алдына шығаруға болады.

Қосындының анықталған интегралы қосылғыштардың анықталған интегралдарының қосындысына тең болады.

Егер интеграл астындағы функция үзіліссіз және теріс емес, ал оның жоғары шекарасы төменгісінен үлкен немесе оған тең болса, онда анықталған интеграл теріс емес болады.

Орта мән туралы теорема

Теорема. Егер φ(х) мен һ(х) функциялары [a, b] кесіндісінде (a және b нүктелері қалай орналасқан болса да) үзіліссіз, ал һ(х) функциясының [a, b] кесіндісіндегі мәндерінің таңбасы өзгермейтін болса, [a, b] кесіндісіндегі ең кемінде бір нүкте с табылып

теңдігі орындалады.

Ньютон-Лейбниц формуласы

Теорема. Ньютон-Лейбниц.

Анықталған интеграл интеграл асты функциясының алғашқы образының жоғарғы және төменгі шекараларындағы мәндерінің айырымына тең болады:

Мысалы:

Анықталған интегралды интегралдау әдістері

Айнымалыны ауыстыру. Егер φ(t) функциясы [α, β] кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын және а=φ(α), b=φ(β) болып, сонымен бірге [a, b] кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда келесі теңдік орындалады

Мысалы:

)