Туындылар

Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар

Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы

Айқындалмаған функцияның туындысы

Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы

Тәуелсіз айнымалы x пен оның функциясы y-тің тәуелділік бір ғана теңдеу арқылы берілмей, оның орнына екі теңдеу системасы арқылы, яғни

түрінде берілетін жағдай жиі-жиі кездесіп отырады. (1) формула аргумент х-ті де, функция у-ті де параметр деп аталатын үшінші бір айнымалы t-нің функциясы етіп өрнектейді. Функцияны осылайша анықтау тәсілін функцияның параметрлік түрде берілуі деп атайды. Егер:

1) x=φ(t) мен y=ψ(t) функцияларының туындылары пен бар және ақырлы, сонымен бірге болса;

2) егер берілген функциясына кері функция бар және оның туындысы

онда функциясының да туындысы бар болады және ол туынды мына формула бойынша табылады:

Шынында, (2) функция - күрделі функция, олай болса:

та бар болса;

Бірақ,

Сонда (4) формула мына түрге келеді:

Дәлелдемекшіміз де осы болатын.

Егер мен функцияларының жоғары ретті ақырлы туындылары бар болса, дәлелденген (3) формуланың оң жағы t-нің функциясы екендігін, сол себепті оның x-тің күрделі функциясы болатынын ескергенде, екінші туынды

болып шығар еді.

х-тің функциясы у параметрлік түрде берілсе, оның туындылары да осы сияқты есептеліп табылады.

Мысал. Функция параметрлік түрде берілсін делік.

Табу керек:

Шешуі.

Сонымен бірге

Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар

Қайсыбір ашық Q облысында функциясы берілген. Бұл функцияның сол облыстың еркін нүктесінде дербес туындылары бар болсын. Сонда бұл дербес туындылары да сол

айнымалыларының функциялары болады, яғни

Ендеше, (2) функциялардан да аргументтері бойынша дербес туындылар алуға болады, олар берілген (1) функция үшін екінші ретті дербес туындылар немесе екінші дербес туындылар болады. Берілген (1) функцияның екінші дербес туындылары былай белгіленеді

а) немесе

бойынша екінші дифференциалдау деп аталады.

б) немесе

бірінші рет бойынща, екінші бойынща дифференциалдау,

в) немесе

бірінші рет, екінші рет бойынша дифференциалдау,

г) немесе

бойынша екі рет дифференциалдау деп аталады.

Көп аргумент функцияларының үшінші, төртінші, жалпы s-інші ретті дербес туындылар ұғымы да осылайша енгізіледі.

деген жазылыс бойынша s рет дербес туындыны табу, ал

q рет бойынша r рет бойынша туынды табу деген сөз (мұндағы p=q+r)

Мысал. функциясы берілсе,

болады.

Егер функциясының қайсыбір Q облысында үзіліссіз дербес дифференциалдары бар болса, оның сол облыста толық дифференциалы

(мұндағы болатыны белгілі. Демек, толық

дифференциал -да -лердің функциясы болатыны даусыз. Ендеше

толық дифференциал -дан дифференциал табуға болады және ол функция

-тің екінші ретті дифференциалы немесе екінші дифференциалы деп аталады да, түрінде белгіленеді. Сөйтіп анықтама бойынша

Көп аргумент функцияның үшінші, төртінші, т. т ретті дифференциалдары да екінші дифференциалға ұқсас түрде енгізіледі.

Егер - ретті дифференциал бар болса, k-ретті дифференциал

дифференциалының толық дифференциалы болады, яғни k-ретті дербес туындыларының бар және үзіліссіз болуы k-ретті дифференциалдың бар болуының кепілі болып табылады. Кейде жоғары ретті дифференциалдардың жазылысын жеңілдету мақсатында мынадай символдық жазылыста жиі қолданылады:

а) Бірінші дифференциал мына түрде жазылады:

б) Екінші дифференциал

в) Жалпы түрде k-шы дифференциал

Мысал.

Берілген функциясының дифференциалдары -ларды табу керек

Шешуі:

Демек,

Айқындалмаған функцияның туындысы

Теңдеу айқындалмаған функция -ті анықтайды деп жорылық. Сонда функция нольге теңбе-тең күрделі функция болып шығады. (1) теңдеуден анықталатын айқындалмаған функция үшін

Теорема. Егер функциясы:

а) центрі нүктесіндегі тікбұрышында анықталған және үзіліссіз;

б) бұл Q тікбұрышында дербес туындылар пен бар және үзіліссіз;

Олай болса, туынды -ті табу үшін күрделі функциянытуындылау әдісін қолданамыз, яғни (1) теңдеудің сол жағын x-тің күрделі функциясы деп қарап, туындылау нәтижесінде мына теңдікке келеміз:

Мұнан екенін ескерсек,

формула шығады.

Ұқсас жұмыстар

Туынды табу ережелерін пайдаланып есептер шығару

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ АУМАҒЫНДА АВТОРЛЫҚ ҚҰҚЫҚТЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ

Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері

АВТОРЛЫҚ ҚҰҚЫҚ ОБЪЕКТІЛЕРІ

Авторлық құқықтың ауысуы

Интеллектуалдық меншік құқығы

Шерхан Мұртаза Бесеудің хаты

Өмірбаяны 1934 - 1937 жылдары Қазақ саяси баспасының редакторы, сонымен бір мезгілде

Жас Ілияс ұлы