Туындылар

Презентация қосу

р і л г ен
ү рд е бе
р л і к т ды сы
а ме т т уы н
П а р ны ң
нк ци я а р м ен
фу н ды л
іт у ы
р ет т лд а р
ры и а
Жоға ифференц я н ың
д у нк ц и
ған ф
а лм а
й қ ы нд н ды сы
А туы
Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы
Тәуелсіз айнымалы x пен оның функциясы y-тің тәуелділік бір ғана теңдеу арқылы берілмей , оны ң орнына екі те ңдеу
системасы арқылы , яғни

x (t )
(1)
түрінде берілетін жағдай жиі-жиі кездесіп отырады. (1) формула аргумент х-ті де, функция у-ті де параметр деп аталатын
y (t )
үшінші бір айнымалы t-нің функциясы етіп өрнектейді. Функцияны осылайша аны қтау т әсілін функцияны ң параметрлік
түрде берілуі деп атайды. Егер:
1)x=φ(t) мен y=ψ(t) функцияларының туындылары пен бар және ақырлы, сонымен бірге болса;
2)егер берілген функциясына кері функция бар ж әне оны ң туындысы

онда функциясыны ң да туындысы бар болады ж әне ол туынды мына
формула бойынша табылады:
(t ) (t )
(t ) 0
Шынында, (2) функция x– к
ү (t ) функция, олай болса:
рделі t (x)
dt
(x) та бар болса;
dx
y [ ( x)](2)
dy
dy (t )
dt (3)
dx (t ) dx
dt

y x [ ( x)] ( x)(4)
dt 1
Бірақ, ( x)
dx dx
dt d (t ) dy
dy
Сонда (4) формула мына түрге келеді: dt dt
dx d (t ) dx
dt dt
Дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Егер (t ) мен (t ) функцияларыны ң жо ғары ретті а қырлы туындылары бар
болса, дәлелденген (3) формуланың о ң жағы t-нің функциясы екендігін, сол
себепті оның x-тің күрделі функциясы болатынын ескергенде, екінші туынды
d 2 y (t ) dt (t ) (t ) (t ) (t ) 1 (t ) (t ) (t ) (t )

(t ) dx
dx2 (t ) 2 dx (t ) 3
болып шығар еді. dt
3 4
х-тің функциясы у параметрлік түрде берілсе, оның 3 , y4 ,... туындылары да
d y d
осы сияқты есептеліп табылады. dx dx
Мысал. Функция параметрлік x arcsin t , түрде берілсін делік.

Табу керек: dy
y arcsin 1 t

dx
Шешуі.
1 2t

dy (arcsin 1 t 2 ) 1 (1 t 2 ) 2 1 t 2 dy 1, егер0 t 1болса
1 Сонымен бірге
dx (arcsin t ) 1 dx 1, егер 1 t 0болса
1 t 2
Жоғары ретті туындылар мен
дифференциалдар
Қайсыбір ашық Q облысындаu f ( x1 ,..., xn )(1) функциясы берілген. Бұл
функцияның сол облыстың еркін ( x1 , x2 ,..., xn ) Q нүктесінде дербес туындылары
бар болсын. Сонда бұл дербесu x1 , u x2 ,..., u xn туындылары да сол x1 , x2 ,..., xn

айнымалыларының функциялары болады, яғни
u x1 g1 ( x1 ,..., xn ),..., u xn g n ( x1 ,..., xn )(2)
Ендеше , (2) функциялардан да x1 , x2 ,..., xn аргументтері бойынша дербес
туындылар алуға болады, олар берілген (1) функция үшін екінші ретті дербес
туындылар немесе екінші дербес туындылар болады. Берілген (1) функцияның
екінші дербес туындылары былай белгіленеді
f ( x1 ,..., xn ) 2 f ( x1 ,..., xn ) 2 x 2 2
а) немесе 2
, u x1 , f x1 ( x1 ,..., xn )
x1 x1 x12 x1

x1бойынша екінші дифференциалдау деп 2аталады.
f ( x1 ,..., xn ) 2 f ( x1 ,..., xn ) u
б)
немесе x x , u x1 x2 , f x1 x2 ( x1 ,..., xn )
x2 x2 x1 x2 1 2

бірінші рет x1 бойынща, екінші x2 бойынща дифференциалдау,
f ( x1 ,..., xn ) f ( x1 ,..., xn ) 2u
в) x x

x x
немесе x x , u x2 x1 , f x2 x1 ( x1 ,..., xn )
1 2 2 1 2 1
бірінші рет x
, екінші рет
2 x1 дифференциалдау,
бойынша
г) f ( x1 ,..., xn ) 2 f ( x1 ,...,
немесе
xn ) 2u 2 2
, u x2 , f x2 ( x1 ,..., xn )
x2 x2 x22 x22
бойынша екі рет дифференциалдау деп аталады.
x2 Көп аргумент функцияларының үшінші, төртінші, жалпы s-інші ретті дербес туындылар ұғымы да
осылайша енгізіледі.
деген жазылыс бойынша s рет дербес туындыны табу, ал
s f ( x1 ,..., xn )
q рет xk
бойынша r рет бойынша туынды табу деген сөз (мұндағы
xks
p=q+r)
p
f ( x1 ,..., xn )
Мысал. функциясы берілсе,
x2q xnr
x2 xn

z x 4 cos y
z 2 2 z
4 x cos y , 4 x 3 sin y
x x y
2 z 2 z
12 x cos y , x 4 sin y
x
болады. y
2 z 4 2 z
x cos y , 4 x 3 sin y
y y x
3 z
12 x 2 sin y
y x
Егер u f ( x1 ,..., xфункциясыны
n) ң қайсыбір Q облысында үзіліссіз дербес
дифференциалдары бар болса, оның сол облыста толы қ дифференциалы
u u (мұндағы белгілі. Демек, толы қ
du dx1 ... dxn x1 x1 ,..., болатыны
dxn )
x1 xn
дифференциал -да -лерді ң функциясы болатыны даусыз. Ендеше
du x1 , x2 ,..., xn
толық дифференциал -дан дифференциал табуға болады және ол функция
-тің екіншіduретті дифференциалы немесе екінші дифференциалы деп
u f ( x1да,
аталады ,..., xn ) түрінде белгіленеді. Сөйтіп анықтама бойынша
d 2u
u u
d 2u d ( du ) d dx1 ... dxn
x1 xn
u u
d dx1 ... d dxn
x
1 x1

2u 2u 2u 2u
2 dx1 ... dxn dx1 ... dx1 ... 2 dxn dxn
x1 функцияның
Көп аргумент x1ү шінші,
xn xn дифференциалдары
т өртінші, т.т ретті x1 xn да екінші
дифференциал ға2uұқсас2
түрде енгізіледі.
2u 2 2u 2u
2 dx1 ... 2 dxn 2 dx1dx2 ... 2 dxn 1dxn
Егер - xретті
дифференциал
x n бар
x1 xболса,
k-ретті дифференциал
x n 1 x n

(k 1) d k 1u d k 1u
k k 1
дифференциалының толық дифференциалы болады, яғниd u d (d u ) k-ретті
дербес туындыларының бар және үзіліссіз болуы k-ретті дифференциалдың бар
болуының кепілі болып табылады. Кейде жоғары ретті дифференциалдарды ң
жазылысын жеңілдету мақсатында мынадай символдық жазылыста жиі
қолданылады:

а) Бірінші дифференциал мына түрде жазылады: du
x 1x ... dx n u

1 xn

б) Екінші дифференциал d u
x dx1 ... dx n u

1 xn
k
k
в) Жалпы түрде k-шы дифференциал d u x dx1 ... x dxn u (1)
1 n
Мысал.
2 3
Берілген u x y xy функциясының дифференциалдары du , d u , d u -ларды
табу керек
u u 2u 2u
Шешуі: 1 y , 1 x, 1
x y x y y x
2u 2u 3u 3u 3u
0, 0, 0
x 2 y 2 x 3 x y 2 y 3
Демек,
du (1 y )dx (1 x)dy
d 2u 2dxdy, d 3u 0
Айқындалмаған функцияның туындысы
Теңдеу f ( x, y ) 0(1) айқындалмаған функцияy f (x ) -ті аны қтайды
деп жорылық. Сонда функция F ( x, y ) нольге теңбе-тең күрделі функция
болып шығады. (1) теңдеуден анықталатын айқындалмаған функция үшін
Теорема.Егер F ( x, y ) функциясы:
а) центрі x0 , y0 нүктесіндегі Q x0 a, x0 a; y0 b, y0 b тікб ұрышында
анықталған және үзіліссіз;
б)бұл Q тікбұрышында дербес туындылар Fx пенFy бар және үзіліссіз;
Олай болса, туынды y f (x) -ті табу үшін күрделі функциянытуындылау әдісін
қолданамыз, яғни (1) теңдеудің сол жағын x-тің күрделі функциясы деп қарап,
туындылау нәтижесінде мына теңдікке келеміз:
Fx ( x, y ) Fy ( x, y ) y 0(2)
Мұнан Fy ( x, y ) 0 екенін ескерсек,
Fx ( x, y )
y x (3)
Fy ( x, y )
формула шығады.
Егер функция F ( x, y ) үзіліссіз екінші ретті дербес туындылары бар болса,
онда (3) теңдіктің екі жағын туындылап мына формуланы аламыз:
F F y F 2 F F y F
x2 xy x y xy y2 x x
y

x2

Fy 2

Fx Fx
F
xy
F
F F
F
F
y2
F x y2 xy
F y
y y

(4)
Fy
2 2
2 Fx Fy Fxy
Fy Fx
2 Fx Fy 2
.
Fy
Ал функциясының үшінші ретті үзіліссіз дербес туындылары болса,
F ( x , y )
алдыңғыға ұқсас үшінші туынды -ті табамыз. Сөйтіп, функциясыны ң s
y

реттіге дейінгі үзіліссіз туындыларыx(3s ретті де соның ішінде) F (бар
x, yболуы
) (1)
теңдеумен анықталатын айқындалмаған функцияның да – s ретті туындысы бар
және үзіліссіз болатындығын қамтамасыз етеді.
Мысал. Айқындалмаған функция теңдеуімен берілген,
болатын х-тің мәнін табу керек. x 3 y 3 3axy 0 y x 0
Шешуі: Берілген теңдеуді туындыласақ,
Ал біз х-тің болатын мәнін іздеп отырамыз. 3 x 2 3Демек,
y 2 y со
3ayңғ ы3те
axңyдеу
мына
0 те ңдеуге
ауысады:
y x 0
мұнан у-тің осы мәнін берілген теңдеуге апарып қойсақ,
2 x2
3 x 3ay 0 y
a
x
x 3 3 3 x 3 0 x 3 ( x 2 2a 3 ) 0 x a 2a
a
Есептер
№1
Берілгені Табу керек Жауабы:
x a cos3 t d2y b
; ?
y b sin t dx 2
3a 2 cos 4 t sin t
№2
Берілгені Табу керек Жауабы:
y 6y 2 4
z ; d 2z ? dx 3 dxdy
№3 x 2 4
x x
Берілгені Табу керек Жауабы:

u xyz;
№4 d 3u ? 6dxdydz
Берілгені Табу керек Жауабы:

a№5
x y
x y 0 dy
?
x ln a y
Берілгені Табу
dxкерек Жауабы:
x ln(ax)

dy x c
2 2
x y x y c 2 2
?
dx y x2 y2 x2 y2
Сұрақтар
1. Функцияның параметрлік түрде берілуі дегеніміз не?
2. Екінші ретті дербес туындылар дегеніміз не?
3. Екінші ретті дифференциал дегеніміз не?
4. Айқындалмаған функцияның туындысы дегеніміз не?

Ұқсас жұмыстар

Туынды табу ережелерін пайдаланып есептер шығару

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ АУМАҒЫНДА АВТОРЛЫҚ ҚҰҚЫҚТЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ

Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері

АВТОРЛЫҚ ҚҰҚЫҚ ОБЪЕКТІЛЕРІ

Авторлық құқықтың ауысуы

Интеллектуалдық меншік құқығы

Шерхан Мұртаза Бесеудің хаты

Өмірбаяны 1934 - 1937 жылдары Қазақ саяси баспасының редакторы, сонымен бір мезгілде

Жас Ілияс ұлы

Графика өнері

Пәндер