Ықтималдықтар теориясы. Негізгі түсініктері. Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы. Математикалық күтім

Ықтималдықтар теориясы. Негізгі түсініктері. Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы. Математикалық күтім.

Ықтималдылық Теориясы –  кездейсоқ  бір  оқиғаның  ықтималдығы  бойынша  онымен  қандай  да  бір  байланыста  болатын  басқа  бір  кездейсоқ  оқиғаның  ықтималдығын  анықтауға  мүмкіндік  беретін  математика  білімі.  Ықтималдылық  теориясында  кездейсоқ  құбылыстардың  заңдылығы  зерттеледі.  Кездейсоқ  құбылыстарға  анықталмағандық,  күрделілік,  көп  себептілік  қасиеттері  тән.  Сондықтан  мұндай  құбылыстарды  зерттеу  үшін  арнайы  әдістер  құрылады.  Ол  әдістер  мен  тәсілдер  Ықтималдылық  теориясында  жасалынады.  Мысалы,  біркелкі  болып  келетін  кездейсоқ  құбылыстарды  жан-жақты  бақылай  отырып  қандай  да болмасын бір заңдылықты (тұрақтылықты), яғни статистик.  заңдылықты  байқаймыз.  Ықтималдылық  теориясының  негізгі  ұғымдары  элементар  ықтималдылық  теориясы  шегінде  қарапайым түрде анықталады.

Ықтималдылық  теориясының  негізін  құрудағы  қазіргі  ең  жиі  тараған  логик.  сұлбаны  1933  ж.  кеңес  математигі  А.Н.  Колмогоров  жасаған.  Бұл  сұлбаның  негізгі  белгілері  төмендегідей.  Ықтималдылық  теориясының  тәсілдерімен қандай да болмасын нақты  бір  есепті  зерттегенде  ең  алдымен  U  элементтерінің (элементар оқиғалар деп  аталатын)  U  жиыны  бөлініп  алынады.  Кез  келген  оқиға  оған  қолайлы  жағдайлардың  элементар  оқиғаларының  жиыны  арқылы  толық  сипатталынады.  Сондықтан  ол  элементар  оқиғалардың  белгілі  бір  жиыны  ретінде  де  қарастырылады.  Белгілі  бір  А  оқиғалары  мен  олардың  ықтималдығы  деп  аталатын  Р(А)  сандары  байланыстырылады  және  олар  мынадай шарттарды қанағаттандырады:

оқиғалары  қос-қостан  үйлесімсіз  болып,  ал  А  –  олардың  қосындысы  болса,  онда:  Р(А)=Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn)  болады.  Толық  матем.  теория  құру  үшін  3-шарттың  қос-қостан  үйлесімсіз  оқиғалардың  шектеусіз  тізбегі  үшін  де  орындалуы  қажет.  Теріс  еместік  пен  аддитивтілік  қасиеттері  –  жиын  өлшеуінің  негізгі  қасиеттері.  Сондықтан  Ы.  т.  формалды  түрде  өлшеуіштер  теориясының  бөлігі  ретінде  де  қарастырылуы мүмкін.

Ықтималдылық  теориясы  17  ғ-дың  орта  кезінде  пайда  болды.  Ықтималдылық  теориясы  17  ғ-дың  орта  шенінде  әйгілі ғалымдар.

Б.Паскаль  (1623 – 62) 

П.Ферма  (1601 – 65) 

Х.Гюйгенс  (1629 – 95) 

Я.Бернулли  (1654  –  1705) 

Ықтималдылық  теориясының  жаңа  кезеңі 
С.Н.  Бернштейннің  зерттеулерімен  байланысты.  Ресейде  А.Я.  Хинчин  мен  А.Н.  Колмогоров  ықтималдылық  теориясының  мәселелеріне  нақты  айнымалы  функциялар  теориясының  тәсілдерін  қолдана  бастады.  Кейінірек  (30-жылдары)  олар  процестер  теориясының  негізін  қалады.  Қазақстан  ғалымдары  да  (І.Б.  Бектаев,  Б.С.  Жаңбырбаев)  Ықтималдылық  теориясы  бойынша  зерттеулер  жүргізіп  келеді.

Бернштейн  (1896 - 1966)

Кездейсоқ шамалар жайында түсiнiк.   Дискреттi  кездейсоқ  шамалардың  үлестiрiм  заңдары  Анықтама.  Мүмкiн  болатын  мәндерден  тәжiрибе  нәтижесiне  байланысты  бiр  мәндi  қабылдайтын  айнымалыны  кездейсоқ шама деп атайды. Яғни, кездейсоқ шама сан мәндерiн қабылдайды, бірақ  дәл  қандай  мән  қабылдайтынын  алдын  ала  айта  алмаймыз.  Кездейсоқ  шамаларды  және  басқа  да  бас  әрiптермен,  ал  олардың  қабылдайтын  мәндерiн  және  басқа  да  кiшi  әрiптермен  белгiлеймiз.  Z,Y,X  z,y,x  Қабылдайтын  мәндер  жиынына  орай  кездейсоқ  шамаларды  екi  топқа  бөледi:  дискреттiк  және  үзiлiссiз.  Егер  кездейсоқ  шамалардың  мәнiн  тiзбек  түрiнде  жазуға  болса,  онда  оны  дискреттiк  деп,  ал  мәндерi  белгiлi  бiр  аралықта  жатса,  онда  оны  үзiлiссiз  деп  атайды.  Кездейсоқ  шаманың  мәндерi  мен  олардың  ықтималдықтарының  арасындағы  сәйкестiктi  дискреттi  кездейсоқ  шаманың  үлестiрiм  заңы  немесе  функциясы  деп  атайды.  Бұл  сәйкестiк  таблица,  график  және  аналитикалық  түрiнде  берiлуi  мүмкiн.  Таблица  түрiнде  функция  х1  х2  х3    хn  p1  p2  p3    pn  немесе  үлестiрiм  заңы  осылай  берiледi. Бұл жерде, бiрiншi жолда кездейсоқ шама x-тың мәндерi, екiншi жолда сол  мәндердiң  қандай  ықтималдықтармен  қабылданатыны  жазылған.  Кездейсоқ  шама  Х-тың мәндерi толық жүйе жасайтын болғандықтан, )n,...2,1i,0P(1P...PP . 21 n i =≥=+ ++  Үлестiрiм  заңның  мысалы  ретiнде  биномиальдық  заңдылықты  келтiрейiк.  Бұл  заңда, ықтималдықтарды Бернулли формуласымен есептейдi және мына түрде: Х n  −1n  −  2n    k    0  Р  n  P  qnp  −1n  22n2nn  qpC  −−    knkkn  qpC  −    n  q  кестесi  жазылады.

Дискреттi  кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары  және  олардың  қасиеттерi  Кездейсоқ  шаманы  үлестiрiм  заңы  толық  сипаттайтынын  жоғарыдан  бiлемiз.  Бірақ  кейде  заңдылық  толық  берiлмегенде,  басқа  шамалар арқылы кездейсоқ шаманы зерттеуге  болады.  Күнделікті  өмірде  орындалатын  да,  орындалмайтын  да  оқиғалар  жиі  кездеседі.  Таңертең  тұрып  терезеден  далаға  қарасақ,  далада күн ашық болуы да, бұлтты болуы да,  жаңбыр  жаууы  да,  қар  жаууы  да  мүмкін.  Бұлардың  бәрінің  орындалу  мүмкіндіктері  тең.  Мұнда  бірі  орындалса,  басқалары  орындалмайтын  жағдай  бар.  Және  олар  кездейсоқ  оқиға  болып  табылады.  Асықты  лақтырғанда  оның  бүк,  шік,  тәйкі  немесе  алшы жағы жоғары қарап түсуі де – кездейсоқ  оқиға.  Сонымен,  кездейсоқ  оқиға  деп  белгілі  бір  тұрақты  жағдайда  орындалуы  мүмкін  немесе  орындалмауы  мүмкін  оқиғаны  айтады.

Мысалдары

Асықты  лақтырып  ойнағанда,  ол  асықтың  бүк  жағы  жоғары  қарап  немесе  шік  жағы  жоғары  қарап,  әлде  болмаса,  тәйкі  жағы  немесе  алшы  жағы  жоғары  қарап  түсуі  мүмкін.  Мұнда  бірі  орындалса,  басқалары  орындалмайтын  жағдай  бар.  Асықты  лақтырғанда  оның  бүк, шік, тәйкі немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі кездейсоқ оқиға  болып табылады. 

1. Тиынды лақтырғанда — екі нәтиже:  елтаңба және цифр жағының түсуі

2.Ойын тасын лақтырғанда — 6 нәтиже: 1,  2, 3, 4, 5, 6 жағының түсуі

Оқиғаның ықтималдығы әрқашан оң сан болады немесе нөлге тең болады. Ол 1ден  артық  бола  алмайды,  себебі  ықтималдық  анықталатын  бөлшектің  алымы  бөлімінен  үлкен  сан  бола  алмайды  (себебі  қолайлы  оқиғалар  саны  барлық  оқиғалар  санынан  артпайды).  Ықтималдықты кездейсоқтықтың сипаттамасы деп қарастырамыз. А оқиғасының  ықтималдығын  Р(А)  деп  белгілейік,  онда  оқиға  қандай  болса  да,  . Оқиғаның  орындалуы  айқын  болған  сайын  ықтималдық  1-ге,  ал  оқиғаның  орындалу  мүмкіндігі  азайған  сайын  немесе  жалған  ықтималдық  0-ге  жақындайды.

Ықтималдықтың

классикалық

анықтамасы.

Сонымен,  біз  кездейсоқ  оқиғаның  ықтималдығы  сол  оқиғаны  құрайтын  нәтижелер  ықтималдығынан  шығады  деп  қарастырдық.  Егер  осы  нәтиженің  ақырғы  саны  мен  олардың  ықтималдықтары  белгілі  болса,  онда  кездейсоқ  оқиғаның  ықтималдығын  сол  оқиғаға  кіретін  нәтижелер  ықтималдығының  қосындысы  ретінде  қарастыруға болады.   Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы. Алдыңғы  тақырыпта  біз  тәжірибенің  ақырлы  санға  тең  теңмүмкіндікті  нәтижелер  бойынша  оқиғаның  ықтималдығын  анықтадық. Ал егер нәтижелер саны ақырсыз болса не істейміз  Мұндай жағдай  кейбір геометриялық есептеулерде кездеседі. 

Мысал 1:   Әлемнің  географиялық  картасында  (мысалға  көзімізді  жұмып)  кездейсоқ  нүктені  көрсетейік.  Бұл  нүктенің  Қазақстан  жері  болып  шығу  ықтималдығы  қандай   Бұл  сұраққа  жауап  беру  үшін  Қазақстан  әлем  картасының  қанша  бөлігін  алатынын  білу  қажет.  Яғни  картаның  барлық  ауданының  Қазақстан  қанша  бөлігін  алатынын  білу  қажет.  Бұл  аудандардың  қатынасы  ізделінді  ықтималдықты  береді. Берілген  бір  шектелген  облысты  деп  белгбелгілейік.  Егер  облысының  кез  келген  нүктесіне  түсу  теңмүмкін  болса,  онда  кездейсоқ  нүктенің  берілген  А  жиынына  түсу  ықтималдығы  аудандардың  қатынасына  тең  болады: мұндағы  Р  —  ықтималдық,  S  –  аудан.  Бұл  ықтималдықтың  геометриялық  анықтамасы.

  Ықтималдықтың қасиеттері. Кері  оқиға  және  оның  ықтималдығы.  Эйлер  диаграммасы. Тәжірибенің барлық мүмкін нәтижелерінің жиынын деп белгілеп, біз әрбір элементер  нәтижені осы жиынның элементі ретінде , ал әрбір кездейсоқ оқиғаны осы жиынның  ішкі  жиыны  деп  қарастырдық. Оқиғаны  бұлай  қарастырғаннан  кейін,  оларға  біріктіру,  қиылыстыру,  толықтыру  операцияларын  қолдану  қажетті.  Толықтырудан  бастайық.  Ескерту:  Аталмыш  жиындардың  барлығы  жиынынң  ішкі  жиындары. Анықтама  (жиындар  үшін):  Егер  жиыны  жиынының  А  жиынына  кірмейтін  элементтерінен  құралса,  онда  жиыны  А  жиынының  толықтауышы  деп  аталады. Анықтама  (оқиғалар  үшін):  Егер  А  оқиғасы  орындалмағанда  оқиғасы  орындалса,  онда  оқиғасы  А  оқиғасының  кері  оқиғасы  деп  аталады. Анықтамалар  екі  түрде  берілгенімен,  мағынасы  жағынан  бірдей  екенін  көруге  болады. 

Назарларыңызға рахмет!


Пән: Математика, Геометрия


Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь