Ықтималдық теориясы

Орындаған: Раимбеков Ә ГК-407

Тексерген: Мухаметов Е. М.

Ықтималдық теориясының негізгі мақсаты - біртекті кездейсоқ оқиғалардың жалпы ықтималдық заңдылықтарын зерттеу болып табылады. Оқиғалар: ақиқатты, мүмкін емес және кездейсоқ болып бөлінеді. Кездейсоқ оқиғалар дегеніміз кейбір жағдайларға байланысты сынау кезінде оқиғалардың пайда болуы не болмау мүмкін оқиғаларды айтамыз. Кездейсоқ оқиғалар: үйлесімсіз, бір ғана мүмкіндікті, тең-мүмкіндікті болып бөлінеді. Оқиғалар үйлесімсіз деп аталады, егер бір сонау кезінде оқиғаның пайда болуы оқиғалар бір-бірін шығару орын алатын болса. Бір ғана мүмкіндікті оқиғалар - егер оқиғалардың пайда болуы сынаудың нәтижесінде тек қана бір оқиғаның пайда болуы ақиқаты оқиға болып саналуын айтамыз. Мүмкіндіктегі бірдей оқиғалар - оқиғалардың пайда болуы басқа оқиғалардың пайда болу мүмкіндігінен аспайтын оқиғаларды айтады. Оқиғаларды А, В және С т. с. с. ретінде белгілейді. Мысалы, мерген нысананы мылтықпен атады. Нысана үш бөліктен тұрады. Оқиғалар: “мерген бірінші аймаққка тигізді”, “мерген екінші аймаққка тигізді”, “мерген үшінші аймаққка тигізді”, “мерген нысанаға тигізе алмады”. Бір-бірімен үйлесімсіз, бір ретті мүмкіндікті, мүмкіндігі тең емес саналады. Оқиғаның пайда болуының сандық мәнін ықтимал деген ұғым сипаттайды

Анықтама (классикалық ықтималдық) : А оқиғасының ықтималдығы үшін барлық қолайлы оқиғаның нәтижесінің санынының (m), барлық элементтер оқиғалардың n-санының қатынасымен анықталады. Р(А) = (1) шамасын алады. Ықтималдықтың анықтамасы бойынша: 1) Оқиғаның ақиқаттығының ықтималдығы 1-ге тең Р(А) =1. 2) Оқиғаның орындалмайтындығының ықтималдығы Р(В) =С нөлге тең. 3) Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы - оң сан болады, ал сан мәні нөл мен 1-дің аралығында 0<Р(х) <1. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Теорема. Екі немесе бірнеше оқиғалардың біреуінің немесе бірнешеуінің пайда болуының ықтималдығы әр оқиғаның ықтималдықтарының алгебралық қосындысына тең: Бір-біріне байланыссыз толық группалар құрайтын оқиғалардың ықтималдығы 1-ге тең. Р(А+В+С+…) =Р(А) +Р(В) +Р(С) +…=1. Қарама - қарсы оқиғалар, мысалы, А-ға қарама - қарсы оқиға деп белгілейді. Егер Р(А) =Р болса, онда Р( ) =1-р=q. Р(А немесе ) =Р(А) +Р( ) =р+q=1.

Мысалдар: А) “ашықкүн”, “күн бұлынғыр” яғни жаңбырлы күн. Б) “нысанаға дәл тию”, “нысанаға тимеу”, яғни қалт кету, т. с. с. 1-теорема. Бір-бірінен байланысты емес оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту: бір-біріне байланыссыз оқиғалардың екеуінің немесе бірнешеуінің бірдей пайда болуының ықтималдығы: Р(және А, және В) =Р(А) •Р(В), Р(и А1, и А2, …и АП) =Р(А1) •Р(А2) •Р(АП) . 2 теорема. Бір-біріне байланысты оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту: бір-біріне байланысты оқиғалардың біреуі немесе бірнешеуі орындалдының ықтималдығы біреуінің ықтималдығын бірінші оқиға орындалуы деп Рв(А) екіншісінің ықтималдығының көбейтіндісіне тең, яғни Р (и А1 и В) =Р(А) •Ра(В), Р(и А1, и А2, …и Ап) =Р(А1) •Ра1(А2) •… •Р а1…п-1 (Ап) . А оқиғаларының: А1… Ап-ең болмағанда біреуінің орындалуының оқиғалары және В оқиғаларының - орындалмайды дегеннің оқиғалары, яғни Р(А) +Р(В) =1, немесе Р(А) +Р( ) =1, Р(А) =1-Р( ) =1, Р() •Р() •…•Р( ) =1-g1…gп . Если Р( ) =Р( ) =…=Р( ) =р, то Р(А) = 1-gп .

Толық ықтималдықтың формуласы. Оқиғалардың толық тобын құрайтын бір-бірімен үйлеспейтін оқиғалардың біреуі А оқиғасынан орындалатын болса. Онда А оқиғасының ықтималдығы: формуласымен анықталады, мұнда Р(В1А), . . . бір-бірімен үйлеспейтін оқиғалардың ықтималдығы теңдеулермен анықталады. Байланыссыз қайталанатын сынау Егер А оқиғасының ықтималдығы әр сынаудың нәтижесінде байланыссыз болса, онда ондай сынауларды А оқиғасына қарағандығы бір-бірімен байланыссыз сынаулар деп атаймыз. Есептің шарты: n байланыссыз сынаудың нәтижесінде А оқиғасы m рет пайда болады дегеннің ықтималдығын табу керек, егер әр сынауда осы оқиға белгіленген ықтималдықпен Р(А) =р, (Р( ) =1-р-q) пайда болады десек. Енді Бернулли формуласымен қолданамыз: n сынау кезінде А оқиғасының n рет пайда болуы немесе 0, немесе 1, немесе 2, . . . толық оқиғасының қатарын құрайды, яғни . Бұл ықтималдықтың биномальдық орналасуы деп аталады, өйткені (q+p) n - биномының мүшелерімен сәйкес келеді. Муавр-Лаплас теоремасы. Егер сынау саны өте көп болғанда байланыссыз п сынаулардың А оқиғасының m рет пайда болуының ықтималдығы жуықтан теңдеуімен анықталады.

Ескерту: φ(х) -мәні таблица бойынша анықталады. Кейбір есептерде оқиғаның белгілі бір шектер аралығындағы ықтималдығын табу керек. Ықтималдықтың қосу теоремасы бойынша түрінде есептеледі. Мұндай жағдайда Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы: егер сынау саны көп болса, онда байланыссыз п сынау кезінде А оқиғасы m1 және m2 аралығында орындалатындағының ықтималдығы жуықтан:теңдеулерімен есептелінеді. Егер А оқиғасының орындалатындығы m1=np-r, және m2=np+r аралығында болса, онда:яғни (5) формула бойынша оқиғаның жиілігімен ықтималдығының (р) айырымының (ауытқуының) абсолют мәні п байланыссыз сынауларда өте аз оң шамадан (ε) аспайды дегеннің ықтималдығы қандай: . Кездейсоқ шамалар Сынаудың нәтижесінде, алдын ала белгісіз немесе алдын ала болжауға келмейтін кездейсоқ жағдайларға байланысты бірақ мәнге сәйкес келетін шаманы - кездейсоқ шама деп атаймыз. Мысалы: 1) 1, 2, 3, . . . 100 жаңа туған бұзаулардың ішінде ауру бұзаудың болуы; 2) сабаққа қатысып отырған студенттердің саны; 3) адамның өмір сүруінің мерзімін ұзақтығы; 4) малдың (қойдың, сиырдың) температурасын өлшеген кезде жіберетін қателер т. с. с.