Негізі айнымалы болып келген көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерді шешу

Презентация қосу

Жамбыл атындағы №5
мектеп-гимназиясының 11 “Г”
сынып оқушысы
Құрманбаева Сымбат
Жобаның тақырыбы

Негізі айнымалы болып
келген көрсеткіштік
және логарифмдік
теңсіздіктерді шешу
Мақсаты:
Көрсеткіштік және
логарифмдік теңсіздіктерді
шешу кезеңдерін оқып-үйреніп,
шешудің әр түрлі әдістерін білу
ерттеу жаңалығы:
Жұмыста негізі айнымалы
болып келген кейбір
логарифмдік теңсіздіктерді
шешудің оқулықтарда
және талапкерлерге
арналған әдебиеттерде
келтірілген тәсілдерден
басқа тиімді жолы
Логарифмнің негізгі қасиеттері
,(alog>1 0,
a 0 a 1) – негізі а болатын бір санының логарифмі нөлге те
,(a
log a >a 10, a 1) - негізі а болатын а санының логарифмі бірге те
a a ,(ac > 0, a 1) , b > 0, с > 0 екі немесе бірнеше оң са
log b c log b log
a

тіндісінің логарифмі көбейткіштердің логарифмдерінің қосындысын
b
log log b log
a
c
a ,(ac > 0, a 1, b > 0, с > 0) қатынастың немесе бөлше
a

ифмі алымының логарифмі мен бөлімінің логарифмінің айырымына т
log a b n n log ,(aa b> 0, a 1, b > 0) дәреженің логарифмі дәреже көр
е негізінің логарифміне көбейткенде тең;
log b ,(a
am
log >
a b 0, a 1, b > 0)
m
log b
log, b(a
a > 0, a 1, b > 0, с > 0, с 1) жаңа негізге көшу формулас
c
log a
c

log, b(a
> 0, a 1, b > 0, b 1) ( 7-қасиеттің дербес жағдайы);
a
log a
b
a,log(a
a b
> b 0, a 1, b > 0)
өрсеткіштік функцияның графи

функциясының
a 1 y a x
1) Анықталу облысы бол ғанда
- на қтығсандар
ы қасиеттері:
жиыны, я ғни

R=( - ;
0; – оң сандар жиыны, яғни R+=
2) Мәндер жиыны ;
3) Функция тақ та емес, жұп та емес.
4) Барлық сан түзуінде өседі.

0 a 1 y a x
болғандағы функциясының қасиеттері:
1)Анықталу облысы - нақты сандар жиыны, яғни
R=( - ;
0; – оң сандар жиыны, яғни R+=
2) Мәндер жиыны
3) Функция тақ та емес, жұп та емес.
4) Барлық сан түзуінде кемиді
Логарифмдік
функцияның графигі

,
y log a x a 0, a 1
1) ұндағы
Анықмталу
0;
облысы-
, 2) Мәндерінің облысы -
3) Функция тақ та емес, жұп та емес.
4) 0; аралығында a 1 болғанда функция өседі, ал0 a 1 болғанда функция кемиді.
Pn ( x )
f(x)=Q ( x) >0, немесе f(x)<0, немесе f(x) 0, немесе f(x) 0
m

егі теңсіздіктерді интервалдар тәсілімен шешу

не f(x)функциясының барлық нөлдері мен үзіліс нүктелерін боялмаған
шелермен белгілейді.
ияның барлық жұп дәрежелі көбейткіштерін алып тастайды.
ияның тақ дәрежелі көбейткіштері бірінші дәрежелі көбейткіштерге ауысты
ктің алымы мен бөлімінде бірдей көбейткіштер қалса, оларды шығарып таст
еңсіздіктегі функцияның нөлдері мен үзіліс нүктелерінің ең үлкенінің оң жағ
ндегі кез келген нүктеден шығатын,
иясының нөлдері мен үзіліс нүктелері арқылы өтетін толқын сызық жүргізіле
ңсіздік f (x) < 0 болса, онда осы толқын сызық астында жататын аралықтар б
ңсіздіктің шешімі.
айнымалы болып келген логарифмдік тең
log f ( x ) (1)
g ( x ) теңсіздігі
b өзінің анықталу облысында
f ( x) 0

f ( x )(2)
g( x) 0
келесі теңсіздік мәндес:

( f ( x) 1)( g ( x) f ( x) b ) (3)
0 яғни, f ( x ) 0, f ( x ) 1, g ( x) 0 болса, онда

log f ( x ) g ( x ) b ( f ( x ) 1)( g ( x ) f ( x ) b ) 0 (4)

Айталық, (2) шарт орындалсын. Онда
f ( x) 1 f ( x) 1 0
b b
g ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x) 0
log f ( x ) g ( x) b
f ( x) 1 f ( x) 1 0

g ( x) f ( x) b g ( x) f ( x) b 0
( f ( x) 1)( g ( x) f ( x) b ) 0
дәлелденді.

шешудің алгоритмі:
ні шеше отырып, теңсіздіктің анықталу облысын (D) табамыз..
дікті шешіп, шешімдер жиынын А арқылы белгілейміз.
мен (3) теңсіздіктің шешімдер жиынының қиылысуын,
жиынынA D анықтаймыз.
log 2 x 3 x 2 1Мысалы. Теңсіздікті
шешіңіз1-тәсіл. [2,72б]
Шешуі. берілген теңсіздік келесі жүйелер жиынтығына
log 2 x 3 x 2 log 2 x 3 (2 x 3)
эквивалент:

0 2 x 3 1
2 (5)
x 2 x 3,
2x 3 1

0 x 2 2 x 3, (6)
(5) жүйені шеше отырып, келесі жүйені
аламыз:
x 1,
( x 3)( x 1) 0 (7)
(7) жүйе келесі екі жүйелер жиынтығына
3 эквивалент:
x 1,
x 3.
(8)
x 1,
x 1 (9) 3
x ( жо
(8) жүйенің шешімі ; қ1.)(9) жүйенің
ып, келесі жүйені шешімі
аламыз
x 1, x 1,
(10)
( x 3)( x 1) 0 1 x 3 x ( 1;3)
яғни,
3 Жау
( ; 1) ( 1;3)
2 абы:
Ескерту: Жауапқа анықталу облысына енбейтін x=0 н үктесі қате енгенін
оңай байқауға болады. Бұл қате (6) жүйені оған эквивалент емес (10) ж үйемен
алмастырғаннан туды.

Ұсынылған алгоритмді пайдаланып шешу.
1.Жүйені шеше отырып, теңсіздіктің анықталу облысын
анықтаймыз.
2 x 3 0, x 1.5,

2 x 3 1, x 1,
2 x 0
x 0,
Сонымен, анықталу D ( 1.5; 1) ( 1; 0) (0; )
облысы
эквиваленттілікті ескере отырып, берілген теңсіздіктің орнына
(2 x 3 1)( x 2 2 x 3) 0 ( x 1)( x 1)( x 3) 0 ( x 1) 2 ( x 3) 0
теңсіздігін аламыз.Интервалдар әдісін пайдалана отырып, теңсіздіктің шешімін
табамыз:
А ( ; 1) ( 1; 3)
3.А және D жиындарының қиылысуын
анықтаймыз:
A D ( 1,5; 1) ( 1; 0) (0; 3)

( 1,5; 1) ( 1; 0) (0; 3)
Жауабы:
2-мысал: Теңсіздікті шешіңіз:
log x 3 ( x 1) 2
1-тәсіл. x 1
log
Берілген теңсіздікті оған мәндес теңсіздікпен алмастырамыз:
x 3 1
x 3

Соңғы теңсіздікті шешу барысында келесі екі жағдайды қарастырамыз:
1) егер логарифм негізі бірден үлкен болса, онда берілген теңсіздік
мына теңсіздіктер
x 1жүйесіне
x 1мәндес:
( x 3) 2 ( x 2 7 x 10) x 2немесе x 5
x 3 0 0
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3 1 x 4 x 4 x 4

2) егер логарифм негізі бірден кіші болса, онда берілген теңсіздік мына
теңсіздіктер жүйесіне
x 1 мәндес:
x 2 7 x 10
x 3 x 3 0 x 2
x 3 x 5
x 3
x 3 1 x 4
x 3 0 x 3 x 3 x 4
x 4

Сонымен теңсіздіктің шешімдер жиыны: (3;4) (5;∞)
2 тәсіл. 1) Теңсіздіктің анықталу облысын (D) табамыз:
x 3 0
x 3
x 3 1 D (3;4) ( 4; )
x 1 0 x 4

2) Берілген теңсіздіктің орнына келесі теңсіздікті шешіп, шешімдер
жиынын А арқылы ( x 3) 2 ) 0 ( x 4)( x 2 7 x 10) 0 ( x 4)( x 2)( x 5) 0
( x 3 1)( x 1 белгілейміз:
A=(2;4) (5; ∞) A D (3;4) (5; )
3) Жүйе мен теңсіздіктің шешімдер жиынының қиылысуын анықтаймыз
айнымалы болып келген көрсеткіштік тең
) f ( x ) теңсіздігі
a ( x(1) b өзінің анықталу облысында
b
( f ( x ) 1)( g ( x ) f ( x ) )(2)
0 теңсіздігіне эквивалент, яғни, егер
a( x) 0, a( x) 1, b (3) 0 болса, онда
a( x) f ( x)
b (a ( x ) 1)( f ( x ) log a ( x ) b) 0 (4)
Айталық, (3) шарт орындалсын. Онда
a( x) 1 a( x) 1 0

f ( x) log a ( x ) b f ( x) log a ( x ) b 0
a( x) f ( x ) b
a( x) 1 a( x) 1 0

f ( x) log a ( x ) b f ( x) log a ( x ) b 0
(a ( x) 1)( f ( x) log a ( x ) b) 0
дәлелденді.
шешудің алгоритмі:
ні шеше отырып, теңсіздіктің анықталу облысын (D) табамыз..
здікті шешіп, шешімдер жиынын А арқылы белгілейміз.
мен (3) теңсіздіктің шешімдер жиынының қиылысуын, яғни
ынын
A D анықтаймыз.
ҚОРЫТЫНДЫ

Қорытынды
Логарифмдік теңдеу және теңсіздіктер тақырыптары мектеп
Логарифмдік
бағдарламасытеңдеу
бойыншажәне теңсіздіктер тақырыптары мектеп
11-сыныпта
бағдарламасы бойынша 11-сыныпта
қарастырылады.Логарифмдік теңсіздіктерді шешу негізінің
қарастырылады.Логарифмдік
мәніне байланысты (негізі а>1теңсіздіктерді шешужағдай
немесе 0<а<1)екі негізінің
мәніне байланысты
қарастырылады. (негізі
Егер а>1 немесе
логарифмнің 0<а<1)екі
негізі тұрақтыжағдай
болса, онда
қарастырылады.
осы жағдайдың біреуіЕгер болады
логарифмнің негізі тұрақты
да, логарифмнің болса, онда
анықталу
осы жағдайдың
облысын ескере біреуі
отырыпболады
тек бірда, логарифмнің
жүйе анықталу
ғана қарастырылады. Ал
облысын ескере отырып
егер логарифмнің тек бір жүйе
негізі айнымылы ғанакелсе,
болып қарастырылады.
онда бұл екіАл
егер логарифмнің
жағдайды негізіекі
ескеру үшін айнымылы болып келсе,
жүйенің жиынтығы онда бұл
ретінде алыпекі
жағдайды ескеру
шешеді. Мектеп үшін екі жүйенің
оқулықтарында жиынтығы
мұндай есептер ретінде алып
берілгенмен
шешеді. Мектеп оқулықтарында
шығару мысалдары көрсетілмеген,мұндай есептер
ал жоғары оқуберілгенмен
орнына
шығару мысалдары
түсушілерге арналғанкөрсетілмеген,
әдебиеттердегі ал жоғары оқу орнына
келтірілген
түсушілерге
мысалдардың арналған
шығару әдебиеттердегі
жолдары өте үлкен:келтірілген
әр жағдайды жеке-
мысалдардың
жеке қарастырып,шығару жолдары
соңында өте үлкен:
олардың шешімдерәр жағдайды
жиынының жеке-
жеке қарастырып,
бірігуін соңында олардың
алу керек. Жұмыста шешімдер
осы екі жағдай жиынының
бірге
бірігуін алу керек.
қарастырылады да,Жұмыста
оқушының осыбарлық
екі жағдай бірге бірден
жағдайды
қарастырылады да, оқушының
қарастыруына мүмкіндік береді.барлық
Жұмыстажағдайды
ұсынылыпбірден
отырған
қарастыруына мүмкіндік
әдістің тиімділігін көрсету береді. Жұмыста ұсынылып
үшін мысалдардың отырған
екі шығару
зар аударғандарыңызғ
рахмет!

Ұқсас жұмыстар

Теңсіздікті шешудің алгоритмі

Көрсеткіштік және логарифмдік функция. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер

Мектеп математикасындағы квадраттық теңдеулерді шешу жолдары

Логарифмдік теңдеулерді шешу туралы ақпарат

Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін шешу тақырыбына қайталау

Теңсіздіктерді шешу

Логарифмнің анықтамасы

Ондық логарифм

САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ ЛОГАРИФМ

Логарифмдік таблицалардың эволюциясы

Пәндер