Еркін материялдық нүктенің динамикасы

Презентация қосу

Еркін материялдық нүктенің
динамикасы

2– дәріс.

Динамиканың негізгі түсініктері мен
анықтамалары.
1.Еркін материялық нүкте қозғалысының
дифференциалдық теңдеулері.
2.Нүкте динамикасының негізгі екі есебі.
Динамиканың негізгі түсініктері мен анықтамалары

Динамика деп теориялық механиканың денеге
түсірілген күштер мен олардың әсерінен болатын
қозғалыс арасындағы тәуелділікті зерттейтін бөлімін айтады.
Осы бөлімдегі негізгі ұғымдардың бірі - дененің массасы.
Масса - дененің инерттілігін сипаттайтын шама. Динамикада
қозғалысы зерттелетін қарапайым объект - материялық нүкте.
Материялық нүкте деп берілген есеп жағдайында өлшемдерін
ескермеуге болатын белгілі массасы бар геометриялық нүкте
деп қарастыруға болатын дене. Қозғалысы еш бағытта
шектелмейтін материялық нүкте еркін нүкте деп аталады.
Динамиканың негізгі түсініктері мен анықтамалары
Динамиканың аксиомалары:
1 - аксиома. (Ньютонның бірінші заңы) Егер еркін
материялық нүктеге ешқандай күш әсер етпесе, онда
ол өзінің тыныштық күйін немесе түзу сызықты
бірқалыпты қозғалысын сақтайды. Бұл аксиома
екпін заңы деп те аталады.
Динамиканың негізгі түсініктері мен анықтамалары

Динамиканың аксиомалары:
2 - аксиома. (Ньютонның екінші заңы) Егер еркін
материялық нүктеге бір күш әсер етсе, онда ол осы
күшке пропорционал үдеумен қозғалады.
Осы аксиоманы динамиканың негізгі заңы
деп те атайды.

m - материялық нүктенің
массасы;
w – оның үдеуі;
Ғ – нүктеге әсер етуші күш.
Динамиканың негізгі түсініктері мен анықтамалары

Динамиканың аксиомалары:
3 - аксиома. (Ньютонның екінші заңы) Екі материялық
нүкте бір-біріне модульдері тең, бір түзудің бойында
жататын бағыттары қарсы күштермен әсер етеді.
Динамиканың негізгі түсініктері мен анықтамалары

Динамиканың аксиомалары:
4 - аксиома.Еркін материялық нүктеге бір
мезетте бірнеше күштер әсер етсе, онда нкүүкте штердің
әрқайсысы нүктеге беретін үдеулерінің
қосындысына тең үдеумен қозғалады. Осы векторлы
аксиома күш әсерінің тәуелсіздігі туралы заң қдеп те
аталады.
n n
1 R (3)
m F m.
v v

v 1 v 1
Бұл аксиома нүктеге әсер ететін бірнеше
күшті тең әсерлі күшпен алмастыруға болатындығын
көрсетеді.
1, 2, 4 - аксиомалардағы орындалатын
координат жүйелерін екпіндік жүйедеп атайды.
Динамиканың негізгі түсініктері мен анықтамалары

Динамиканың аксиомалары:
5 - аксиома. Еркін емес нүктедегі байланыс әсерлерін
байланыс реакцияларымен алмастырып, нүктені еркін
нүкте ретінде қарастыруға болады.

m F a (4)

F a
әсерліN ,
нүктеге әсер ететін берілген күштердің тең
күші, (бұл күштерді актив
күштер деп
атайды);

N - байланыс реакцияларының тең әсерлі күші .
Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық
теңдеулері
1 ВЕКТОРЛЫҚ ТҮРІ

(5)

- нүктеге әсер етуші күштердің бас
векторы, жалпы жағдайда
нүктенің ол орнына,
және уақыт қа тәуелді ғболуы
жылдамды ына мүмкін
Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық
теңдеулері
2 КООРДИНАТТЫҚ ТҮ РІ

(6)
Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық
теңдеулері
3 ТАБИҒИ ТҮРІ

Жанама (тангенсалды) үдеу:

(7)

Нормальды (8)
үдеу:
Бинормальды үдеу:
Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық
теңдеулері
3 ТАБИҒИ ТҮРІ

(9)
Динамиканың негізгі екі есебі
(5), (6) теңдеулерінің оң жағындағы күштердің нүкте
координаттарына, жылдамдығына, уақытқа тәуелді болуы
мүмкін екендігін материялық нүкте
қозғалысының дифференциалдық теңдеулері
ескерсек,
жазылады былайша

m x Fx x, у, z, x ,
у , z , t , m y Fу (10)

x, у, z, х , у , z , t ,
m z Fz x, у, z, x , динамиканың

у , z , t .
Динамиканың негізгі екі есебі

Динамиканың бірінші (тура) есебі
Массасы белгілі, берілген заңдылықпен
қозғалатын материялық нүктеге әсер етуші
күштерді анықтау

Динамиканың екінші (кері) есебі
Алғашқы шарттар бойынша, берілген
күштер әсер ететін массасы белгілі
материялық нүктені қозғалы заңдылығын
ң қы шарттар
анықтау. Алғаш с деп уақыттың
алғашқы мезетіндегі нүктенің орны мен оның
жылдамдығы аталады.
Динамиканың негізгі екі есебі

Нүкте динамикасының бірінші шешу үшін
берілген нүкте қозғалысыны
есебін ң кинематикалық
теңдеулерінен уақыт бойынша екінші ретті туынды алып,
(6) немесе (10) теңдеулер жүйесін тұрғызып, оны шеше
отырып ізденді күштің өстерге проекцияларын табамыз

(11
Fx m x , Fy )
Осы m
күш , Fz m z .
у проекциялары арқылы күштің
модулі мен бағыты анықталады.
Динамиканың негізгі екі есебі
Нүкте динамикасының екінші есебін шешу (6) немесе (10)
дифференциалдық теңдеулер жүйесін құрастырып, жүйенің
әрбір теңдеуін екі рет интегралдау керек. Интегралдағанда
алты интегралдық тұрақтылар С1, С2,..., С6 пайда болып,
толық шешімі мына түрде жазылады:

 x f1 t;C1 ,C 2 , ,C6 ;

 y f 2 t;C1 ,C 2 , ,C 6 (12)
 z f t;C ,C , ,C
 ; 3 1 2 6
.
Осы шешімдерден уақыт бойынша туынды алсақ,
нүкте жылдамдығының проекцияларын анықтаймыз
Динамиканың негізгі екі есебі


 x f1 t;C1 ,C 2 , ,C6 ;

 y f 2 t;C1 ,C 2 , ,C6 ; (13)

 z f 3 t;C1 ,C 2 , ,C 6

.
Әсер етуші күштер бірдей болғанмен (12)
формуладан шығатын жалпы шешімі
тұрақтыларға байланысты әр интегралдық түрлі
болатыны көрініп тұр. Интегралдаудың белгісіз тұрақты
дербесшешім
шамалары алғашқы шарттардан анықталады, яғни уақыт
t0 болған сәттегі нүктенің орны x0, y0, z0
жылдамдығының проекцияларының V0x, мен
шамалары бойынша. Көбінесе t0 = 0 деп алынады.
V0y, V0z
Динамиканың негізгі екі есебі

Бастапқы шарттарды (12) және (13) теңдеулеріне қойып
интегралдық тұрақтыларды анықтап, берілген шарт үшін
нүктенің қозғалыс заңы анықталады

 x f1 t; x0 , y0 , z0 , 0 x , 0 y , 0 z
 ;y f 2 t; x0 , y0 , z 0 , 0

, 0 y , 0 (14)
 z f t; x, yx , z , z ,
 ; 3 0 0 0 0
.
0 0
x y z
,
Сонымен, материялы нүктені дифференциалдық
теңдеулерініңқ ң шартты
алғашқы нүктенің нақты қозғалысынқанағаттандыраты
шешімдері
анықтайды. н
Динамиканың негізгі екі есебі

Динамиканың негізгі есебін шешкенде көбіне мынадай
ретті ұстаған ыңғайлы:
1Координаталар жүйесін қабылдағанда координатаның
басын нүктенің бастапқы орнымен беттестіріп, өстер
бағыттары күш, жылдамдық пен үдеулерді проекциялауға
ыңғайлап салу керек.
2Қабылданған координаталар жүйесіне қарағанда
қозғалыстағы нүктенің бастапқы шарттарын жазу керек.
3Қозғалып бара жатқан нүктенің кез келген уақыт
аралығындағы қозғалысының орнын (көбінесе,
координатасы және жылдамдығы оң болатындай) салу
керек.
4Нүктеге әсер етуші активтік және реакция күштерін
салу керек.
Динамиканың негізгі екі есебі
5Материялық нүкте қозғалысын анықтайтын
дифференциалдық теңдеулерді құру қажет.
6Теңдеуге кіретін айнымалы күштерді неге байланысты
екенін көрсету керек.
7Дифференциалдық теңдеулерді интегралдап, шыққан
интегралдық тұрақтыларды бастапқы шарттан анықтау
қажет.
8Есептің шешулерін пайдаланып, іздеп отырған қажетті
шамаларды тауып, зерттеу керек.
9 Егер де нүкте қозғалысы бірнеше аралықтардан
тұратын болса, онда әр аралық үшін айтылған
операцияларды керек. Әр аралықтың
істеу
шешкенде, бастапқы шарт есебінде алдыңғы те ңдеулерін
аралы қтың
соңғы нүктесінің кинематикалық шамалары алынып
отырылады.
Динамиканың негізгі екі есебі
1- мысал. Массасы m материялдық
нүкте қозғалысы мынадай заңдылықпен
берілген:

Нүктеге әсер ететін күшті анықтаңыз.
Шешуі: Динамиканың бірінші есебін координаттық
түрде шешеміз.
Динамиканың негізгі екі есебі
Динамиканың негізгі екі есебі
2- мысал. Массасы m материялдық нүкте радиусы
а шеңбердің бойымен s = bt заңдылықпен
қозғалады. Осы қозғалысты туындататын күшті
анықтаңыз.
Шешуі: Есепті шешуге табиғи түрдегі
теңдеуді қолданамыз
Динамиканың негізгі екі есебі
Динамиканың негізгі екі есебі
3- мысал. Массасы m = 0,5 кг материялдық нүкте
тыныштық күйден F = 2t күштің әсерінен
қозғалады. Нүктенің қозғалыс заңын анықтаңыз.
Шешуі: Есепті шешуге координаттық түрдегі
дифференциялдық теңдеуді қолданамыз
Динамиканың негізгі екі есебі

болғандықтан

Егер онда
Динамиканың негізгі екі есебі
4- мысал. Еркін материялдық нүкте ауырлық күш
өрісінде қозғалады. Нүкте қозғалысының
троекториясын анықтаңыз. Қозғалыстың алғашқы
шарты
Динамиканың негізгі екі есебі

Шешуі: Нүкте қозғалысының дифференциялдық
теңдеуді

Координата өстеріндегі
проекциялыры:

Бірінші интегралдар:
Динамиканың негізгі екі есебі

Екінші интегралдар:

Координаттар жүйесінің бас нүктесінен горизонтқа
бұрыш жасай лақтырылған дене қозғалысын
қарастырамыз
Динамиканың негізгі екі есебі

Интегралдың тұрақтыларын анықтаймыз:

Нүкте қозғалысының теңдеуі:
Динамиканың негізгі екі есебі

Нүкте қозғалысының траекториясын анықтаймыз
Дәрістің соңы

Ұқсас жұмыстар

МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕНІҢ САЛЫСТЫРМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ ДИНАМИКАСЫ

Материялық нүктенің түзу сызықты тербелістері

Материялық нүкте динамикасы

ЕРКІН ЕМЕС МАТЕРЯЛЫҚ НҮКТЕ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРІ ЖӘНЕ ОНЫ НҮКТЕ ДИНАМИКАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ЕСЕПТЕРІН ШЕШУ ҮШІН ҚОЛДАНУ

ГАРМОНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІСТЕР

Айналмалы қозғалыстың теңдеуі

Тәуекелді басқару әдістерін таңдау

НАРЫҚ ЖӘНЕ БӘСЕКЕ

Баға қалыптастыру әдістерін ата

Коммерциялық құпияның мәні және оны құрайтын мәліметтердің жіктелуі

Пәндер