Бас жиынтық және таңдама. Таңдамалы сипаттамалар

Бас жиынтық және таңдама. Таңдамалы сипаттамалар.

1. Бас жиынтық және таңдама.

Көптеген кездейсоқ құбылыстардың бағынатын заңдылығын анықтау мәселесі, бақылау нәтижесінің статистикасын зерттейтін ықтималдық теориясының әдістеріне негізделген.

Математикалық статистиканың мынадай есептерін қарастырамыз:

Жүргізілген тәжірибенің немесе бақылаудың нәтижесінде, алынған статистикалық мағлұматтарды жинау және оларды топқа бөлу әдістерін көрсету.

Зерттеудің мақсатына байланысты статистикалық мағлұматтарға анализ жасау әдістерін іздеп табу.

Математикалық статистиканың міндеті ғылыми және практикалық тұжырымдар жасау үшін статистикалық мағлұматтарды жинау.

Кейде қажетті белгісі бойынша, заттар жиынтығындағы әрбір затты түгелдей тексеруге тура келеді. Іс жүзінде бұлай түгелідей тексеру өте сирек кездеседі.

Таңдап алынған жиынтық немесе жай ғана таңдамалы деп кездейсоқ таңдап алынған заттардың жиынын айтады.

Бас жиынтық деп, таңдама жасалатын заттардың жиынтығын айтады.

Көлем жиынтығы деп, осы жинақтың ішіндегі заттардың санын айтады. Мысалы, егер 1000 бөлшектен тексеру үшін 100 бөлшек бөліп алынса, онда бас жиынтықтың көлемі N=1000, ал таңдамалы жиынтығының көлемі n=100 болады.

2. Статистикалық мәліметтерді өндеу және көрсету тәсілі.

Бақылау нәтижесінде қарастырылып отырған белгілер жиынтықтағынан, әрбір бірлікке қатысты сандық немесе сапалық өзгерісі туралы мәлімет аламыз. Статистикалық бақылаудың мақсаты сол жиынтықта белгінің өзгеруін (вариациясын) шешу. Ал белгінің мүмкін мәндерін статистикада варианта деп атайды.

Варианталар сандық (дискретті немесе үздіксіз) болады.

Тәжірибе жүргізілгенде белгі мәндері қалай болса солай орналасуы мүмкін. Мысалы, тексерілген 100 вал диаметрі сантиметырымен 15, 12, 16, 12, 13, 14, 16, 13, 14, 12 болып шықты. Мұны реттеп жазсақ 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16 болар еді. Мұны ықшамдап кесте түрінде жазсақ, мынадай болады:

1- кесте

Бұл кестенің жоғарғы жолында белгі мәндері (варианталары), ал төменгі жолында әрбір мәнінің неше рет кездескені келтірілген. Осылай реттелген кестені вариациялық қатар деп атайды.

Әдетте белгіні (вариантаны) кездейсоқ шамалар сияқты Х, У, . . әріптерімен белгілеп, оның қабылдайтын мәндерін (варианталарды)

арқылы белгілейміз.

Варианта қайталап отыруы мүмкін. Ол қайталаулардың абсолютті санын (жиілігін) n1, n2… nk деп белгілесек, онда вариациялық қатардың жалпы түрін мына кесте көрсетеді:

2 - кесте

Xᵢ

X₁

X₂

…. .

nᵢ

n₁

n₂

……

Мұнда, хі - варианталары;

ni - жиіліктер;

Іс жүзінде варианта абсолютті жиілікпен қатар салыстырмалы жиілік түрінде де беріледі. Бұл жағдайда екінші кесте былай жазылады:

3 - кесте

Xᵢ

X₁

X₂

…. .

Wᵢ

W₁

W₂

……

Мұндағы салыстырмалы жиілік

вариация қатардың көлемі.

салыстырмалы жиіліктердің қосындысы тең бірге.

Егер варианталар үздіксіз өзгеретін болса, онда вариациялық қатарды интервал бойынша құруға тура келеді.

Жалпы түрде интервалдық қатар мынадай болады:

4 - кесте. Жиіліктің интервалдық түрі:

(X1; X2)

(X2; X3)

(X3; X4)

…. .

(Xm; Xm+1)

…. .

немесе

5 - кесте. Салыстырмалы жиіліктің интервалдық түрі:

(X1; X2)

(X2; X3)

(X3; X4)

…. .

(Xm; Xm+1)

……

Мұндағы (x1; x2), (x2; x3), (x3; x4) . . . , (xm; xm+1) аралықтары белгінің мүмкін мәндері жататын интервалдар. к1= x2-x1; к2= x3-x2, . . . , кm= xm+1-xm - айырымдары интервал узындығын сипаттайды.

Полигон және гистограмма.

Жиілік полигоны деп (xі; ni), (x2; n2), . . . , (xк; nк), нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады.

Полигон салу үшін абсцисса осіне xі - варианттары, ал оларға сәйкес жиіліктері ордината осіне салынады. (xі; ni) нүктелерін кесінділермен қоссақ жиілік полигонын аламыз .

Салыстырмалы жиілік полигоны деп (x1; w1), (x2; w2), . . . , (xк; wк) нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады.

Салыстырмалы жиілік полигонын салу үшін, абсцисса осіне xі - варианттары, ал оларға сәйкес wi - салыстырмалы жиіліктер ордината осіне салынады.

(xі; wі) - нүктелерін кесінділермен қоссақ салыстырмалы жиілік полигонын аламыз.

Жиілік гистограммасы деп табандарының ұзындықтары һ - қа тең дербес интервалдан, ал биіктері қатынасындай болатын тік төртбұрыштардан құрылған сатылы фигураны айтады.

Жиілік гистограммасын салу үшін абсцисса осіне дербес интервалды, ал олардың жоғарғы жағынан абсцисса осіне паралелль және одан ара қашықтықтары - қа тең кесінділер жүргіземіз.

Мұндағы - жиілік тығыздығы. Жиілік гистограммасының ауданы барлық жиіліктердің қосындысына тең, яғни таңдау көлеміне тең.

Салыстырмалы жиілік гистограммасы деп, табандарының ұзындықтары һ - қа тең интервалдар, ал биіктіктері (салыстырмалы жиілік тығыздығы) қатынасына тең тік төртбұрыштардан құрылған фигураны айтады.

Салыстырмалы жиілік гистограммасын салу үшін абсцисса осіне интервалдарды, ал оның жоғарғы жағынан абсцисса осіне паралелль және одан

қашықтықтары

қатынасына тең кесінділерді саламыз.

і - ші тік төртбұрыштың ауданы:

- ге тең.

Сонымен салыстырмалы жиілік гистограммасының ауданы, барлық салыстырмалы жиіліктер қосындысына, яғни бірге тең.

3. Таңдамалы сипаттамалар.

Статистикалық үлестірімнің сандық сипаттамалары мен оларды есептеу формулаларын қарастырайық.

Арифметикалық таңдамалы орта. Белгінің (Х) арифметикалық ортасы деп варианталардың жалпы санын таңдаманың көлеміне қатынасын айтады, яғни (егер барлық варианталар әртүрлі болса) :

жай түрі

Мұнда,

варианталар (белгі) мәндері:

- таңдама көлемі.

Егер таңдама вариациялық қатармен берілсе, онда

Xᵢ

X₁

X₂

……

nᵢ

n₁

n₂

…….

өлшенген түрі

Мұнда,

nі - варианталар cалмағы (жиілігі) ;

- таңдама көлемі;

хі - варианталар.

Мода (М0) . Берілген вариациялық қатардың ең жиі кездесетін вариантасын мода деп атайды. Басқаша айтқанда, ең жоғары жиілікке сәйкес варианта мәні мода болады.

Медиана (Ме) . Жиынтықты тең етіп екіге бөлетін белгі мәнін медиана деп атаймыз. Егер белгінің өзгеруші мәндері тақ болып, ұлғаю ретімен орналасса x1, x2, . . . , xm-1, , xm, xm+1, . . . , , x2n-1, онда бұл үйлестіру үшін Ме медианасы хm вариантасына тең, яғни Ме =хm, өйткені Ме =хm - нен төмен де жоғары да белгінің саны бірдей m-1 мәндері орналасқан.

Ал варианта саны жұп болса, x1, x2, . . . , xm-1, , xm, xm+1, . . . , , x2m, онда бұл жиынтықты тең екіге бөлетін медиана мәні (xm, xm+1) аралығында болады. Бұл жағдайда медиана Ме - нің мәні осы екі вариантаның арифметикалық ортасы болады, яғни