Жұптық сызықтық регрессия және корреляция

1. Жұптық сызықтық регрессия.

Оқып білетін белгілер арасындағы мөлшерлі тәуелділіктердің орнықтылығы әр түрлі экономикалық зерттеулер үшін маңызды мән атқарады. Белгілер арасындағы байланыс корреляциялық( статистикалық ) және функционалдық ( толық ) болуы мүмкін.

Функционалдық дегеніміз, функцияның бір айнымалысының әрбір мәніне міндетті түрде анықталған басқа бір айнымалының мәні сәйкес келетін белгілер арасындағы байланыс.

Әлеуметтік - экономикалық құбылыстарда белгілер арасындағы функционалдық байланыс сирек кездеседі. Мұнда біреуінің әрбір мәніне екіншісінің бірнеше мәні сәйкес келетін белгілер арасындағы байланыс кездеседі. Мұндай байланыс корреляциялық деп аталады. Корреляциялық байланыс бақылаулардың үлкен санында айқындалады және сәйкес математикалық теңдеулермен көрсетіледі.

Түзу сызықты және қисық сызықты, тура және кері, жай және жиынтық корреляциялық байланыстарды ажыратады. Корреляциялық талдау әдісінің көмегімен екі негізгі мәселе шешіледі:

Байланыс теңдеуінің тұлғасын (формасын) және параметрлерін анықтау;

Байланыс тығыздығын өлшеу ;

Белгілер арасындағы тәуелділіктер үшін теңдеулерді таңдап алу корреляциялық талдау үшін қиыныраққа түседі. Қос корреляция үшін математикалық байланыс теңдеуі графиктер көмегімен, корреляциялық кестелерді құрастыру арқылы, әр түрлі функцияларды жаңадан қарастыру арқылы орнықтылуы мүмкін.

Экономикалық зерттеулерде көбінесе

ỹx =a+b*x түзу сызық теңдеуімен анықталатын түзу сызықты тәуелділік қарастырылады.

Мұндағы ỹx- нәтижелі белгінің түзетілген мәндері (тәуелді айнымалы),

x- факторлы белгінің мәндері (тәуелсіз айнымалы),

b-тәуелді айнымалының орташа өзгертілуін көрсететін регрессия коэффициенті, егер тәуелсіз айнымалы бірге өзгерсе.

Егер b › 0 болса, онда х-пен у арасындағы байланыс -тура, егер b ‹ 0 болса, онда байланыс кері. Бұл теңдеу регрессия теңдеуі немесе корреляция теңдеуі деп аталады.

2. Ең кіші квадраттар әдісі.

Регрессия теңдеудің а және b параметрлерін корреляциялық өріс нүктелеріне жақынырақ өтетін регрессияның теориялық сызығын табуға болатындай ең кіші квадраттар әдісімен анықталады, яғни нәтижелі белгінің фактылық мәнінің түзетілген мәндердің ауытқуының ең кіші квадраттар қосындысы береді:

Ал a және b параметрлерін анықтау үшін нормальдық теңдеулер жүйесін шешу керек:

Бұл теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешуге болады. Басқаша а және b коэффициенттерін мына формулалар бойынша табуға болады :

3. Корреляция коэффициентi.

Корреляциялық байланыс теңдеуі регрессияның теориялық сызығын есептеу үшін қолданылады. Белгілер арасындағы тығыздық байланыс дәрежесін анықтау үшін корреляция коэффициенті қолданылады. Қос сызықтық корреляция тәуелділігінде корреляция коэффициенті r мына формула бойынша анықталады :

Қос сызықтық корреляция тәуелділігінде корреляция коэффициенті r мына форм

формула бойынша анықталады :

Мұндағы

;

Корреляция коэффициенттің мәндері

[ -1; 1] аралықта өзгереді, яғни

Егер бұл коэффициент онда

белгілер арасындағы байланыс әлсіз ;

Егер онда байланыс орташа;

егер онда байланыс күшті

немесе тығыз.

Егер r =1 онда байланыс функционалдық.

Егер r= 0 онда белгілер арасында сызықтық байланыс жоқ деп айтады. Корреляция коэффициенті r- дың мәндері әлеуметтік - экономикалық құбылыстар зерттеуіне үлкен әсер көрсетеді.

Корреляция коэффициентін есептегенде және регрессия теңдеуінің коэффициентін тапқанда, кездейсоқ сипаттамалары бар мәліметтер пайдаланылады. Сондықтан, сондай мәліметтер негізінде, орнатылған екі шама арасындағы кездейсоқ байланыс туралы сұрақ туады. Екі айнымалылар арасындағы байланысты тексеру үшін корреляциялық түзетуні қолданады: Мұндағы r- корреляция коэффициенті, п-таңдама көлемі.

Егер Х пен У арасындағы байланыс маңызды болса, онда Регрессия теңдеуінің көмегімен көрсеткіштің тегістелген мәндерін және ауытқуларын есептеуге болады. Ауытқулардың қосындысы әрқашан нөлге тең. Тегістелген қателік көрсеткіштер ретінде орташа ауытқуының абсолюттық шамасы болуы мүмкін: