Метрикалық кеңістіктер. Метрикалық кеңістіктегі жиындар

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС Тақырыбы: Метрикалық кеңістіктер. Метрикалық кеңістіктегі жиындар

Топ: М - 14 - 3

Орындаған: Абдумалик Ұ.

Қабылдаған: Баяндиев Е. Н.

Мазмұны

КІРІСПЕ

1 МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІК

1. 1 Метрикалық кеңістік ұғымы

1. 2 Тізбектің жинақтылығы

1. 3 Метрикалық кеңістіктерге келтірілетін мысалдар

2 АШЫҚ ЖӘНЕ ТҰЙЫҚ ЖИЫНДАР

2. 1 Ашық жиынның сипаттамасы

2. 2 Тұйық жиынның сипаттамасы

ҚОРЫТЫНДЫ

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1 МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІК 1. 1 Метрикалық кеңістік ұғымы

Анықтама 1. 1 X={x¸y¸z¸. . . } жиыны метрикалық кеңістік деп аталады, егер оның әрбір x¸y элементтер жұбына төменгі шарттарды қанағаттандыратын нақты сан ρ(x, y) сәйкес қойылса:

׀. ρ(x, y) 0 ρ(x, y) = 0, (ρ(x, y) =0 <=> x=y)

. ׀׀ρ(x, y) =ρ(y, x)

׀׀׀. Кез келген x, y, z X үшін ρ(x, y) ρ(x, z) +ρ(z, y)

ρ(x, y) саны - X кеңістігінің метрикасы

І, ІІ, ІІІ шарттар - метрика аксиомалары деп аталады.

X - метрикалық кеңістік (X, ρ)

1. 2 Тізбектің жинақтылығы

X метрикалық кеңістігінің элементтерінен тұратын тізбегі нүктесіне жинақты дейміз, егер, болса. Қысқаша немесе түрінде Осы x нүктесі жинақты тізбектің шегі деп аталады.

Төмендегі маңызды сөйлемдерге қысқаша болса да тоқтаған жөн:

а) Метрика ρ(x, y) өзінің аргументтерінің үзіліссіз функциясы.

ә) Жинақты тізбектің шегі біреу ғана.

б) Жинақты тізбек іргелі.

в) Егер тізбегінің шегі x болса, онда оның кез келген іштізбегі де осы x-қа жинақты.

2 АШЫҚ ЖӘНЕ ТҰЙЫҚ ЖИЫНДАР 2. 1 Ашық жиынның сипаттамасы

Анықтама 2. 1 Χ - метрикалық кеңістік, - оның тиянақты бір элементі, ал r › 0 кез -келген нақты сан болсын. ρ( ) < r теңсіздігін қанағаттандыратын x Χ элементтерінің жиыны ашық шар деп аталады. элементі - шардың центрі, ал r саны -шардың радиусы деп аталады.

Ашық шар қысқаша символымен таңбаланып, анықталады. Егер осы анықтамада теңсіздігін алсақ, онда бұл теңсіздікпен анықталған жиын тұйық шар деп аталады.

Теорема 2. 1 Ашық жиындардың ақырлы қиылысуы және олардың кез - келген бірігуі ашық жиын болады.

2. 2 Тұйық жиынның сипаттамасы

Теорема 2. 2 X метрикалық кеңістігіндегі кез келген ашық жиынның толықтауышы тұйық жиын, ал кез келген тұйық жиынның толықтауышы ашық жиын болады.

ҚОРЫТЫНДЫ

X кеңістігінде берілген метрика ρ(x, y) кеңістіктің әрбір M ішжиынынында да метрика болатыны анық. Сондықтан M жиыны да ρ(x, y) (x, y ) метрикасымен өз алдына метрикалық кеңістік болады.

Әртүрлі ашық шарлардың ақырлы қиылысуы және ақырлы не саналымды бірігуі - ашық жиын.

Егер кез келген саны үшін теңсіздігі барлық үшін орындалатындай саны табылса, онда тізбегі x элементіне жинақталады дейміз.

Қорыта келгенде, қазіргі таңда функционалдық анализдің әдістері мен қағидалары математиканың іргелі және қолданбалы салаларында, информатикада, теориялық физикада және тағы да басқа бағыттарда нәтижелі қолданып келеді.