Векторлардың векторлық көбейтіндісі

Презентация қосу

Қолданбалы курс “Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия”

Сабақ тақырыбы:

Екі векторды векторлық
көбейту

№79 орта мектептің математика пәнінің мұғалімі
Мажитова Н.М.

Сабақ мақсаты:
Оқушыларға екі вектордың векторлық
көбейтіндісі туралы түсінік беру, олардың
геометриялық және алгебралық
қасиеттерімен таныстыру.
Оқушыларға екі вектордың векторлық
көбейтіндісі көмегімен кейбір
геометриялық есептерді шығаруды үйрету.
Оқушыларды өз білімдерін жүйелеуге
және векторларға берілген есептерді
шығаруға бейімдеу.

Қайталау сұрақтары:
1. Вектор деген не? Векторды қалай белгілейді?
2. Вектордың абсолют шамасы деген не?
3. Нөлдік вектор деген не?
4. Қандай векторлар тең деп аталады?
5. Векторларды қосудың «үшбұрыш ережесін»

тұжырымдап беріңдер.
6. Векторларды қосудың «параллелограмм ережесін»
тұжырымдап беріңдер.
7. Қандай векторлар коллинеар векторлар деп аталады?
Қоллинеар векторлардың қасиеті.
8. Векторлар арасындағы бұрыш қалай анықталады?
9. Векторлардың скаляр көбейтіндісі дегенге анықтама
беріңдер.
10. Бірлік векторлар. Векторды үш оське жіктеу.

Анықтама. Нөлдік емес а және

b векторларының
векторлық көбейтіндісі деп с а b символымен
белгіленген мына үш шартты қанағаттандыратын c
векторын
атайды:

1. c векторының ұзындығы а және b векторларының ұзындықтарын олардың арасындағы бұрыш
тың синусына көбейткенге
тең, яғни c a b sin ,

мұндағы - а және b векторларының
арасындағы
бұрыш.

2. c векторы а және b векторларының әрқайсысына
перпендикуляр
орналасқан.

3. c векторының бағыты а , b , c векторлары оң
жақты үштік болатындай бағытта бағытталған.

с а b

а
φ

b

Егер а және b векторларының
кемінде біреуі нөлдік вектор
болса, онда олардың векторлық
көбейтіндісі нөлдік векторға тең
деп алынады.

Екі вектордың векторлық көбейтіндісі
туралы түсінік механикадан алынған.

Егер bвекторы қандай болса да бір М

нүктесіне түсірілген күшті бейнелесе, ал а
векторы ОМ а болып О нүктесіне

түсірілсе, онда с а b векторы О

нүктесіне қатысты b күшінің моментіне
тең болады.

II. Векторлық көбейтіндінің геометриялық
қасиеттері.

1 - Теорема. Нөлдік емес екі а және b
векторлары коллинеар болуы үшін,
олардың векторлық көбейтіндісінің нөлге
тең болуы қажетті
және
жеткілікті:

а 0, b 0

а b 0 а ║ b

а және bвекторлары

Қажеттілік.
коллинеар болсын. Мына жағдайлар болуы
мүмкін:

1. a b , яғни ажәне bвекторлары
бағыттас болсын, сонда олардың арасындағы
0
бұрыш 0 -қа тең
болады. Сондықтан,

0
с а b a b sin 0 0 , бұдан а b 0
болады;

2. a b , яғни ажәне b қарама-қарсы
бағытталған векторлар болсын. Сонда олардың
0
180
арасындағы бұрыш
болады.0
-қа
тең
с а b a b sin 180 0,
Сондықтан,

бұдан а b 0 , яғни, екі жағдайда да а b 0.

Жеткіліктілік.

a b болсын.

0 a b a b sin .
Сонда

а 0, b 0 болғандықтан, бұдан sin 0
теңдігі шығады, яғни
Ал бұл

0

0

немесе

180

0

а және bвекторларының коллинеар

векторлар екенін көрсетеді.

.

2-теорема. а және b векторларының
векторлық көбейтіндісінің
ұзындығы
ортақ
бас

нүктеден шыққан а және b
векторларына салынған параллелограмның
ауданына тең.

Анықтама бойынша a b a b sin

с а b

b
φ

S

а

Параллелограмның ауданы:

S a b

b

Үшбұрыштың ауданы:

S a b

S

а

Бірлік векторлардың векторлық көбейтіндісі:

i j k

j i k

j k i

k j i

k i j

i k j

Екі вектордың векторлық көбейтіндісінің
алгебралық қасиеттері:

1-қасиет. a b b a
қарсы ауыстырымдылық

қасиет

2-қасиет. ( a ) b ( a b )

сан көбейткішіне
қатысты терімділік
қасиет

3-қасиет. ( a b ) c a c b c
үлестірімділік қасиет

4-қасиет. Кез келген a векторы үшін

a a 0

Декарттық тік бұрышты координаталарымен
берілген векторлардың векторлық көбейтіндісінің
өрнегі.

a ( x1 ; y1 ; z1 ) , b ( x2 ; y2 ; z 2 )

a b x1

j

k

y1

z1

x2

y2

z2

i

Есеп №1. Параллелограмның
қабырғаларындағы
векторлар

берілген:
b 2i j 3k
а i 3 j k
Осы параллелограмның ауданын табайық.

Шешуі:

а 1; 3 ;1

b 2; 1;3

,

Параллелограмның ауданы:

S a b ,

i
j k

3 1 1 1 1 3

a b 1 3 1 i
j
k
8i j 5k 8; 1;5
1 3
3 2
2 1
2 1 3

S a b 64 1 25 90 9 10 3 10

Жауабы: 3 10

Есеп №2. Төбелері А(-1;0;-1), В(0;2;-3), С(4;4;1)
нүктелерінде жатқан үшбұрыш ауданын тап.
B(0;2;-3)

Шешуі:
S

A(-1;0;-1)

АВ АС

АВ (1;2; 2)
C(4;4;1)

i j

k

АС (5;4;2)

2 2 2 1 1 2

АВ АС 1 2 2 i 4 2 j 2 5 k 5 4 12i 12 j 6k
5 4 2
(12; 12; 6) AB AC (12; 12; 6)
АВ АС 122 ( 12) 2 ( 6) 2 144 144 36 324 18
S

1
АВ АС 18 9;
2

S 9.

Есеп №3. Жақшаларды ашып өрнектерді ықшамда:

i j k j i k k i j k

1 – тапсырма:

i j k j i k k i j k i j i k j i j k k i k j k k

k j k i j i 0 2k 2i 2 k i

2 – тапсырма:

а b c c a b c b b c a

а b c c a b c b b c a a c b c c c a b b b c b b a c a
2a c b c b c a b a b 0 0 2a c

m n және 4m 5n болып
n - бірлік векторлар және олардың

Есеп №4. Диагональдары

табылатын, мұнда m,
0
арасындағы бұрыш 45 , параллелограмның ауданын табыңдар.

а

b

a b 2m n , a b 4m 5n

Шешуі:
көбейтсек

бір-біріне

a a a b b a b b 8m m 10m n 4n m 5n n

0 2b a 0 6m n 6n m 6 3 2 ,
3 2
b a
S 1,5 2

Есеп №5. a k j және b i j k векторларына
салынған параллелограмның диагональдары мен ауданын
табыңдар.

а (0; 1;1)

Шешуі:

а

b

а b

b (1;1;1)

а b (1;0;2)

а b ( 1; 2;0)

а b

k
1 1 1 0 0 1
1 i
j
k

1 1
1 1
1 1

i
j

S a b , a b 0 1
1 1

2i j k ( 2;1;1)

S a b 4 1 1 6
Жауабы:

Тест сұрақтары:
1. А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1) үшбұрышының төбелері
болса, А төбесіндегі үшбұрыштың бұрышын табыңыз.
0

0

0

0

0

А) 90
B) 60
C) 30
D) 45
E)180

a
,
b
,
c
векторлары өзара перпендикуляр. а у

болса, а 2b 3a c скаляр көбейтіндісін
анықтаңыз.
2
А) y
B) y
C) 3 y
D) 3y
E) 3

3. Төбелері А(7;3;4), В(1;0;6), С(4;5;-2) нүктелерінде
жатқан үшбұрыш ауданын тап.
А) 24

B) 23

C) 24,5

D) 23,5

E) 21

4. Егер b 4 2 , a b 17 және a b 15

a

болса, онда
А) 15

табыңыз.

B) 13

C) 16

D) 14

E) 12

0
a
5. Егер
және b векторлар арасындағы бұрыш
,

әрі скаляр көбейтіндісі

a b 3

болса, онда осы

векторлар арқылы салынған параллелограмның ауданы
қаншаға тең болады?
А)

B) 2

C)

D) 1

E)

Тест сұрақтары:
1. А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1) үшбұрышының төбелері
болса, А төбесіндегі үшбұрыштың бұрышын табыңыз.
0

0

0

0

0

А) 90
B) 60
C) 30
D) 45
E)180

a
,
b
,
c
векторлары өзара перпендикуляр. а у

болса, а 2b 3a c скаляр көбейтіндісін
анықтаңыз.
2
А) y
B) y
C) 3 y
D) 3y
E) 3

3. Төбелері А(7;3;4), В(1;0;6), С(4;5;-2) нүктелерінде
жатқан үшбұрыш ауданын тап.
А) 24

B) 23

C) 24,5

D) 23,5

E) 21

4. Егер b 4 2 , a b 17 және a b 15

a

болса, онда
А) 15

табыңыз.

B) 13

C) 16

D) 14

E) 12

0
a
5. Егер
және b векторлар арасындағы бұрыш
,

әрі скаляр көбейтіндісі

a b 3

болса, онда осы

векторлар арқылы салынған параллелограмның ауданы
қаншаға тең болады?
А)

B) 2

C)

D) 1

E)

В
Ұшы
А
Басы

Векторларды белгілеу:

АВ немесе а

Вектордың абсолют шамасы немесе модулі деп
векторды кескіндейтін кесіндінің ұзындығын
атайды және

а , АВ

деп белгілейді.

В ( х2 ; у 2 ; z 2 )

а ( а1 ; а2 ; а3 )

А( х1 ; у1 ; z1 )

а

а1 а2

а3

АВ ( х2 х1 ) 2 ( у2 у1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2

Егер вектордың бас нүктесі оның
ұшымен дәл келіп беттесіп жатса,
онда ол векторды
нөлдік вектор деп
атайды және

0

деп белгілейді.

Нөлдік вектордың абсолют шамасы
нөлге тең.

0 0

Векторлардың теңдігі

а

b

а b

«Үшбұрыш» ережесі
B

C

A

АВ ВС АС

“Параллелограмм” ережесі
B

C

а
A

b

АС а b

D

DВ а b

Параллелограмның қасиеті бойынша:

а b

a b a b

Бір түзу бойында немесе параллель түзулер
бойында жатқан нөлдік емес екі вектор
коллинеар векторлар деп аталады. Коллинер
векторлардың сәйкес координаталары
пропорционал болады.
Белгілеуі:

а b

a ( a1 ; a2 ; a3 )

b (b1 ; b2 ; b3 )

a3
a1
a2

b1
b2
b3

Нөлдік емес АВ мен АC

b

векторларының

арасындағы бұрыш деп ВАС бұрышын атайды. Кез
келген

а

мен

екі вектордың арасындағы

бұрыш деп бас нүктесі ортақ әрі олармен тең
векторлардың арасындағы бұрышты айтады. Бірдей
бағытталған векторлардың арасындағы бұрыш нөлге
тең деп есептеледі, ал қарама-қарсы бағытталған
0

векторлардың арасындағы бұрыш 180 -қа тең.

1800
00

a (a1 ; a2 ; a3 ) мен b (b1 ; b2 ; b3 ) векторларының
скаляр көбейтіндісі деп

a1b1 a2b2 a3b3

санын атайды.

a b a11b11 a22b22 a33b33

а

b

a
b
b
а
а
b
b
cos
cos
a

Ұзындығы бірге тең векторды бірлік вектор немесе орт
дейміз.

ОМ 1 xi

ОМ 2 yj

ОМ ОМ 1 ОМ 2 ОМ 3
z

ОМ 3 zk

M3
M ( x ; y ; z)

k
j
y

M2

x

i
M1

ОМ xi yj zk

Үйге тапсырма:
№421, №427 есептер (В.П.Минорский)

Ұқсас жұмыстар

Векторға анықтама

Вектор

Екі вектор арасындағы бұрыш

Стереометриядағы векторлық әдіс

Векторлық кеңістік

Вектор және шешу жолдары

Гендік инженерияда қолданылатын векторлар

Векторлардың түрлері және анықтамалары

Матрицаларға амалдар қолдану

Векторлар туралы

Пәндер