Теңдеулер жүйесін шешудің Зейдель әдісі

Презентация қосу

Жуықтап шешу тәсілдері итерациялық әдістер деп аталады.
Олар жүйе шешімін біртіндеп жуықтау шегі ретінде анықтайды.
Оларға жататын әдістер: Зейдель, қарапайым итерация,
релаксация, градиентті т.б. Практикада бұл әдістерді 106 ретті
сандармен есептеу жүргізуде қолданады.
САТЖ-ны шешу үшін оның жалпы шешімі қай уақытта бар болады,
және неше шешімі болуы мүмкін деген сұрақтарға жауап беру керек.
N белгісізді m теңдеуден тұратын САТЖ-ны қарастырайық:
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 ... a1m x n b1 (3.1)
a x a x a x ... a x b
21 1 22 2 23 3 2m n 2

a31 x1 a32 x 2 a33 x3 ... a3m x n b3
...

a n1 x1 a n 2 x 2 a n 3 x3 ... a nm x n bm

немесе векторлық-матрицалық түрде жазсақ:
Ax=b (3.2)
Мұндағы А-коэффициенттерден құралған матрица,
х- белгісіздерден құралған вектор, b – бос мүшелерден құралған вектор.
Қарапайым итерация әдісі.
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 ... a1n x n b1
a x a x a x ... a x b
21 1 22 2 23 3 2n n 2

a 31 x1 a 32 x 2 a 33 x3 ... a 3n x n b3
...

a n1 x1 a n 2 x 2 a n 3 x 3 ... a nn x n bn

жүйені қандай да бір амалдар қолданып келесі түрге келтірейік,

x1 11 х1 12 x2 13 x3 ... 1n xn 1
x x x x ... x
2 21 1 22 2 23 3 2n n 2

x3 31 x1 32 x2 33 x3 ... 3n xn 3
...

x4 n1 x1 n 2 x2 n 3 x3 ... nn xn n
Бұл жүйені қарапайым итерация әдісімен шешкенде
итерациялық процесстің
әр қадамы белгілі бастапқы жуықтаудан белгісіздің жаңа
жуықтауына көшуден тұратын еді.
Белгілі бастапқы жуықтаудың элементтерін x1, x2, … , xn деп,
ал есептелетін келесі жуықтауларды
y1, y2, … , yn деп белгілейік.
Сонда есептеу формулалары келесі түрге көшеді:

n
y i ij x j i , i 1,2,..., n.
j 1
Зейдель әдісінің негізгі идеясы итерациялық процестің
әр қадамында yi-дің мәндерін есептеу барысында
оның алдында есептелген y1, y2, … , yi-1 мәндері
қолданылады да формуланы ашып жазсақ,
Зейдель формуласы келесідей болады:
n

y1 1 j x j 1
j 1

n

y 2 21 у1 2 j x j 2
j 1
...

n

y n nj y j nn x n n
j 1
Х жиынының х және у нүктелерінің ара қашықтығын
анықтайтын ( x, y )функциясы метрика деп аталады,
егер төмендегі шарттар орындалса:
1) ( x, y ) 0
2) ( x, y ) 0 , егер х=у болғанда ғана
3) ( x, y ) ( y, x)
4) ( x, y ) ( x, z ) ( z , y )

метрикасы енгізілген жиын метрикалық
кеңістік деп аталады.
итерациялық процесінің жинақтылығы үш
метрикалық кеңістікте мына шарттардың
бірі орындалуымен бекітіледі:
1 ( x, y ) max xi yi
1 i n
1. кеңістікте
n
max ij 1 шарты
1 i n
j 1

n
2 ( x , y ) x i y i
2. i 1 кеңістікте
n
max ij 1 шарты
1 j n
i 1

n

3 ( x, y ) (x
i 1
i yi ) 2
кеңістікте
n n

i 1 j 1
ij 1 шарты
Егер бұл шарттардың біреуі орындалса, итерациялық процесс
кез келген бастапқы жуықтауда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады.
Зейдель әдісін жүйенің матрицасы симметриялы
элементтерден тұрған жағдайда қолданады. Егер матрица
симметриялы болмаса оны симметриялы түрге келтіру үшін
жүйенің матрицасын және векторларын транспонирленген
матрицаға көбейтеді:
АТ*А*х=AT*b
Белгілеулер енгіземіз:
AT*A=C
AT*b=D
Сонда
Cx=D
Ал бұл жүйені қалыпты жүйе деп атайды.
Қалыпты жүйенің элементтері симметриялы және диагональды
элементтері нөлден өзгеше болады.
Қалыпты жүйені алдында қарастырған амалдарды қолданып
n

y1 1 j x j 1
j 1

n

y 2 21 у1 2 j x j 2
j 1
...

n

y n nj y j nn x n n
j 1

– итерациялық жүйеге келтіруге болады.
Cx=D – қалыпты жүйеге эквивалентті келтірілген
итерациялық жүйе үшін Зейдельдің итерациялық процесі өзінің
жалғыз шешіміне кез келген бастапқы
жуықтауларда жинақталады.
Егер е дәлдік берілсе, итерациялық әдіс
i=0,1,2,… шарты xi y i
i=0,1,2,… орындалғанға дейін жалғасады.
Берілген жүйе үшін матрицасын,
транспонирленген матрицасын құрып,
мысал: жоғарыда айтылған әрекеттерді
орындаймыз:
x1 x 2 x3 3
1 1 1 3
2 x1 x 2 x3 4
x 3 x x 5 A 2 1 1 b 4
1 2 3
1 3 1 5

1 2 1 6 6 4 16
T
T
T

A 1 1 3 C A A 6 11 5 D A b 22
1 1 1 4 5 3 12

Сонымен анықталған матрица бойынша қалыпты жүйе құраймыз:
6 x1 6 x 2 4 x3 16

6 x1 11x 2 5 x3 22
4 x 5 x 3x 12
1 2 3

Итерациялық түрге келтіреміз:
x1 x 2 0.6667 x3 2.6667

x 2 0.5455x1 0.4545x3 2
x 1.3333x 1.6667 x 4
3 1 2

Бұл жүйе үшін 1-3 жинақтылық шарттары орынды.
Ендеше бастапқы жуықтау таңдаймыз: х1=1, х2=1, х3=1.
Зейдель процесі келесідей жазылады:
y1 x 2 0.6667 x3 2.6667

y 2 0.5455 y1 0.4545 x3 2
y 1.3333 y 1.6667 y 4
3 1 2

Есептеу xi y i i=0,1,2,… шарты орындалғанға дейін жалғасады
З
Е С ЕПТ І К
Й
МӘ Н Д Е С
Р Е Л А К С А ЦИ Я
ЖА Л ҒЫ З
Ь
МӘ Н Д Е Р І
Д
Б І Р Л Е С К Е Н
С
І
Көп
білдіңдер
ме?
Жарайсыңдар!

Ұқсас жұмыстар

Дифференциалданатын барлық нақты функцияларды табыңдар, егер

БІРТЕКТЕС СЫЗЫҚТЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУДІҢ ФУНДАМЕНТАЛДЫ ЖҮЙЕСІ

Біртектес тригонометриялық теңдеулерді шешу

Квадратты матрица және тік бұрышты матрица

Жоғары дәрежелі теңдеулер

Матрицалық шешім әдісі

Теңдеуді шешудің тәсілдері

Логарифмдік теңдеулерді шешу туралы ақпарат

Фотоматика калькуляторының көмегімен есептер шығару

Теңдеулер жүйесін шешу

Пәндер