Сызықтық теңдеулер жүйелерін итерациялық әдістер арқылы шешу: қарапайым итерация, Зейдель әдісі және жинақталу шарттары

Теңдеулер жүйесін

шешудің Зейдель

әдісі

Жуықтап шешу тәсілдері итерациялық әдістер деп аталады.

Олар жүйе шешімін біртіндеп жуықтау шегі ретінде анықтайды.

Оларға жататын әдістер: Зейдель, қарапайым итерация,

релаксация, градиентті т. б. Практикада бұл әдістерді 106 ретті

сандармен есептеу жүргізуде қолданады.

САТЖ-ны шешу үшін оның жалпы шешімі қай уақытта бар болады,

және неше шешімі болуы мүмкін деген сұрақтарға жауап беру керек.

N белгісізді m теңдеуден тұратын САТЖ-ны қарастырайық:

(3. 1)

немесе векторлық-матрицалық түрде жазсақ:

Ax=b (3. 2)

Мұндағы А-коэффициенттерден құралған матрица,

х- белгісіздерден құралған вектор, b - бос мүшелерден құралған вектор.

Қарапайым итерация әдісі.

жүйені қандай да бір амалдар қолданып келесі түрге келтірейік,

Бұл жүйені қарапайым итерация әдісімен шешкенде

итерациялық процесстің

әр қадамы белгілі бастапқы жуықтаудан белгісіздің жаңа

жуықтауына көшуден тұратын еді.

Белгілі бастапқы жуықтаудың элементтерін x1, x2, …, xn деп,

ал есептелетін келесі жуықтауларды

y1, y2, …, yn деп белгілейік.

Сонда есептеу формулалары келесі түрге көшеді:

Зейдель әдісінің негізгі идеясы итерациялық процестің

әр қадамында yi-дің мәндерін есептеу барысында

оның алдында есептелген y1, y2, …, yi-1 мәндері

қолданылады да формуланы ашып жазсақ,

Зейдель формуласы келесідей болады:

Х жиынының х және у нүктелерінің ара қашықтығын

анықтайтын функциясы метрика деп аталады,

егер төмендегі шарттар орындалса:

2) , егер х=у болғанда ғана

метрикасы енгізілген жиын метрикалық

кеңістік деп аталады.

итерациялық процесінің жинақтылығы үш

метрикалық кеңістікте мына шарттардың

бірі орындалуымен бекітіледі:

1. кеңістікте

шарты

кеңістікте

шарты

3. кеңістікте

шарты

Егер бұл шарттардың біреуі орындалса, итерациялық процесс

кез келген бастапқы жуықтауда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады.

Зейдель әдісін жүйенің матрицасы симметриялы

элементтерден тұрған жағдайда қолданады. Егер матрица

симметриялы болмаса оны симметриялы түрге келтіру үшін

жүйенің матрицасын және векторларын транспонирленген

матрицаға көбейтеді:

АТ*А*х=AT*b

Белгілеулер енгіземіз:

AT*A=C

AT*b=D

Сонда

Cx=D

Ал бұл жүйені қалыпты жүйе деп атайды.

Қалыпты жүйенің элементтері симметриялы және диагональды

элементтері нөлден өзгеше болады.

Қалыпты жүйені алдында қарастырған амалдарды қолданып

- итерациялық жүйеге келтіруге болады.

Cx=D - қалыпты жүйеге эквивалентті келтірілген

итерациялық жүйе үшін Зейдельдің итерациялық процесі өзінің

жалғыз шешіміне кез келген бастапқы

жуықтауларда жинақталады.

Егер е дәлдік берілсе, итерациялық әдіс

i=0, 1, 2, … шарты

i=0, 1, 2, … орындалғанға дейін жалғасады.

мысал:

Берілген жүйе үшін матрицасын,

транспонирленген матрицасын құрып,

жоғарыда айтылған әрекеттерді

орындаймыз:

Сонымен анықталған матрица бойынша қалыпты жүйе құраймыз:

Итерациялық түрге келтіреміз:

Бұл жүйе үшін 1-3 жинақтылық шарттары орынды.

Ендеше бастапқы жуықтау таңдаймыз: х1=1, х2=1, х3=1.

Зейдель процесі келесідей жазылады:

Есептеу i=0, 1, 2, … шарты орындалғанға дейін жалғасады

Сөзжұмбақ

Көп білдіңдер ме?

Жарайсыңдар!

Назарларыңызға

рахмет!

Ұқсас жұмыстар

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін матрицалық әдіспен шешу

Иррационал теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу әдістері

Теңдеулер мен олардың жүйелерін шешуді қайталау сабағы

Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу: сабақ жоспары мен жаттығулар

Экономикалық есептерді симплекс-әдіспен шешу: сызықтық бағдарламалау теориясы мен алгоритмі

Дифференциалдық теңдеулер: бірінші ретті теңдеулер, шешу әдістері және медициналық-биологиялық қолданбалар

Тұрақты коэффициентті екінші реттік сызықтық дифференциалдық теңдеулер: біртекті және біртекті емес жағдайлар мен шешу әдістері

Ашық сабақ: Тригонометриялық теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Логикалық есептерді теңдеулер арқылы шешу: алгоритм және сабақ жоспары

Көрсеткіштік теңдеулер және оларды шешу әдістері

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz