Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы: дискретті, үздіксіз және аралас түрлері мен қасиеттері

КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАНЫҢ

ҮЛЕСТІРІМ

ФУНКЦИЯСЫ

кездейсоқ шамасының ықтималдықтар үлестірімінің заңдылықтарын әр түрлі әдіспен сипаттауға болады. Ол үшін -дің мәндері тиянақты бір х санынан кіші болу ықтималдығы қарастырылады.

Дискретті кездейсоқ шамасы үшін: (1)

Мұндағы х1, х2 . . . , хn - кездейсоқ шаманың

қабылдайтын мәндері,

р1, р2, . . . рn - сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары,

ал қосынды теңсіздігіне сәйкес барлық

рі сандары бойынша алынады.

Ықтималдық үлестірім тығыздығы функциясы болатын үзіліссіз кездейсоқ шамасы үшін

(2)

функциясын кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы деп атайды да, оны арқылы белгілейді:

Сонымен, үлестірім функциясы дискретті, сондай - ақ үзіліссіз кездейсоқ шамаларға қатысты. Сондықтан да ол кездейсоқ шаманың жалпы сипаттамасы болады.

Мысалдар.

кездейсоқ шамасының үлестірім таблицасы мынадай болсын:

0, 2

0, 5

0, 2

0, 1

үлестірім функциясын табалық. Ол үшін (1) теңдікті қолданамыз. Егер болса, онда -дің қабылдайтын мәні жоқ; болғанда -дің қабылдайтын мәні 0; болғанда -дің қабылдайтын мәндері 0 мен 1; егер болса, онда -дің қабылдайтын мәндері 0, 1 мен 2; ақырында, болғанда, кездейсоқ шамасы өзінің мәндерінің бәрін қабылдайды. Міне, осы айтылғандарды біріктіріп жазсақ, (1) теңдік негізінде үлестірім функциясы мынадай болады.

функциясының графигі суретте келтірілген.

Кездейсоқ шаманың үлестіру функциялары. Кездейсоқ шама үздіксіз болғанда, мәніндегі оқиғалар ұғымын пайдаланбайды, мұның орнына теңсіздігін алады. Мұндағы х - айнымалы шама. Бұл теңсіздікті, кездейсоқ шама Х - тен кіші болатын барлық мүмкін мәндерді қабылдайды деп айтылады, яғни . Сөйтіп, оның ықтималдығын түрінде жазады.

Бұдан кездейсоқ шама Х-тің қабылдайтын мәндерінің ықтималдығы х айнымалысы мәніне байланысты екенін көреміз.

Сондықтан бұл ықтималдық Х-тің кейбір функциясы

болады, оны деп белгілесек,

онда немесе (1) болады.

Бұл функцияның үлестіру

функциясы немесе үлестірудің интегралдық функциясы,

немесе кездейсоқ шама үлестіруінің интегралдық заңы,

немесе кездейсоқ шамаықтималдықтарының үлестіру

функциясы деп атайды. Бұл функция әрі, дискретті,

әрі үздіксіз кездейсоқ шамаларды сипаттайды.

Х дискретті кездейсоқ шама болса,

онда ол шекті немесе саналымды

шексіз мәнді қабылдайды және оның

әрбір мәніндегі ықтималдық болады.

Сондықтан

символы теңсіздігінің

барлық мүмкін

мәндері үшін алынды деп ұғылады.

өрнегі туралы барлық

информациянытолық береді.

Бұл функция графигі суретте

Х-тің қабылдаған дербес

х1, х2 . . . хn мәндері үшін келтірілді.

Графикте бұларға сәйкес ықтималдықтары

вертикаль кесінділер қосындысына тең.

Бұл кесінділер (х, 0) нүктесінен өтетін ордината

осіне параллель түзуден сол жаққа орналасқанын байқауға болады.

Графикті біртұтас қарастырса, онда үлестіру функциясы

баспалдақты, үзілісті болып кездейсоқ шаманың

(Х-тің) іргелес жатқан және мәндерінен жасалған

әрбір аралықта тұрақты болуын байқаймыз.

2 - мысал. Лоторея ұтысының үлестіру

таблицасы бойынша үлестіру

функциясын анықтап және графигін сызу керек.

Шешуі: болсын, ал есептің шарты бойынша

Х теріс таңбалы мәнді қабылдамайды, сондықтан Х-тің

мәні - ден кіші болуы мүмкін емес, олай болса, ,

өйткені мүмкін емес оқиға ықтималдығы нөлге тең.

Демек, , болса, онда, яғни

Сондай - ақ болғанда,

яғни . болғанда

, яғни . болғанда,

яғни .

Мұның графигі:

Бұл үлестіру

функциясының графигі

баспалдақты сынық сызық.

Дискретті кездейсоқ

шаманың

әрбір мәні секірімі Х-тің

ықтималдығына тең.

Осы мысалдан дискретті

кездейсоқ шаманың

үлестіру функциясы

бойынша

оның үлестіру заңын

қалпына келтірудің қиын

еместігін байқаймыз.

Жалпы функциясының

барлық

секірмелері қосындысы

1-ге тең.

Ал кездейсоқ шаманың қабылдайтын

мүмкін мәндерін арттыра берсек, олардың

арасындағы интервалы

кеми береді де, секірме саны арта түседі,

бірақ ол секірмелер шамасы азая түседі.

Сөйтіп,

баспалдақты

қисық жатық бола

отырып кездейсоқ

шама үздіксіз

кездейсоқ шамара

бірте-бірте

жақындай

түседі де,

кумулятивтік

функция үздіксіз

үлестіру

функциясына

жуықтайды.

Ал бұл екі кездейсоқ шамадан басқа үшінші түрдегі шама

аралас кездейсоқ шама деп аталады.

Бұл жағдайда кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері кейбір аралық үздіксіз,

оны біртұтас толтырады, бірақ үлестіру функциясы оның барлық

нүктесінде үздіксіз емес, яғни кейбір нүктеде үзіледі.

Сонымен, аралас кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы

секірме саны саналымды саннан артық емес,

бөлікті-үздіксіз функция екен көреміз.

Мұның үлестіру функциясын түрінде жазуға болады.

Мұндағы үздіксіз дифференциялданатын функция,

нүктесінен солға қарай жатқан секірмелер қосындысы.

Дискретті, үздіксіз және аралас кездейсоқ шамалардың

үлестіру функцияларының жазылуы бірізді

болу үшін және үлестіру функцияларына қолданатын

операцияларды формальдау үшін, болғанда, 1-ге тең,

болғанда, 0-ге тең болатын бірлік функция -ті енгізеді.

Сонда дискретті кездейсоқ шама үшін

аралас кездейсоқ шама үшін

болады.

Үлестіру

функциясының

қасиеттері:

Ұқсас жұмыстар

Дәріс №9: Кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және үлестіру тығыздығы

Дәріс №8 Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары: математикалық үміт, дисперсия және қасиеттері

Үздіксіз кездейсоқ шамалардың үлестіру функциясы мен ықтималдық тығыздығы: қасиеттері және өзара байланысы

Кездейсоқ айнымалылар мен тармақталған алгоритмдер: анықтамалар, түрлері және қасиеттері

Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдықтары мен үлестіру заңы

Кездейсоқ шамалардың үлестіру функциялары: дискретті және үзіліссіз үлестірулер (бірқалыпты, Пуассон, экспоненциалды, Гаусс, дельта)

Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірімі және эконометрикалық моделдеудің кезеңдері

Биномдық үлестірім және Бернулли схемасы: есептеу әдістері мен статистикалық сипаттамалары

Кездейсоқ оқиғалардың ықтималдығы мен қасиеттері

Ықтималдық теориясы: негізгі ұғымдар, кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz