КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАНЫҢ ҮЛЕСТІРІМ ФУНКЦИЯСЫ

Презентация қосу

кездейсоқ шамасының ықтималдықтар үлестірімінің
заңдылықтарын әр түрлі әдіспен сипаттауға болады. Ол
үшін -дің мәндері тиянақты бір х санынан кіші болу
ықтималдығы қарастырылады.
Дискретті кездейсоқ шамасы үшін: Р( x) pi (1)
xi x

Мұндағы х1, х2..., хn – кездейсоқ шаманың
қабылдайтын мәндері,
р1, р2, ... рn – сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары,
ал қосынды теңсіздігіне сәйкес барлық
рі сандары бойынша алынады.
Ықтималдық үлестірім тығыздығы f (x )
функциясы болатын үзіліссіз кездейсоқ
шамасы үшін x
Р( x) f (t )dt (2)
x
Р( x) функциясын кездейсоқ шамасының
үлестірім функциясы деп атайды да, оны F (x)
арқылы белгілейді:
F ( x) P ( x)
Сонымен, үлестірім функциясы дискретті,
сондай – ақ үзіліссіз кездейсоқ шамаларға
қатысты. Сондықтан да ол кездейсоқ шаманың
жалпы сипаттамасы болады.
Мысалдар.
1. кездейсоқ шамасының үлестірім таблицасы мынадай болсын:

0 1 2 3
р 0,2 0,5 0,2 0,1

үлестірім функциясын табалық. Ол үшін (1)
теңдікті қолданамыз. Егер х 0 болса, онда -дің
қабылдайтын мәні жоқ; 0 x 1 болғанда -дің
қабылдайтын мәні 0; 1 x 2 болғанда -дің
қабылдайтын мәндері 0 мен 1; егер 2 x 3 болса,
онда -дің қабылдайтын мәндері 0, 1 мен 2;
ақырында, x 3 болғанда, кездейсоқ шамасы
өзінің мәндерінің бәрін қабылдайды. Міне, осы
айтылғандарды біріктіріп жазсақ, (1) теңдік негізінде
үлестірім функциясы мынадай болады.
0, егерх 0;
0.2, егерх0 x 1;

F ( x) 0.7, егерх1 x 2;
0.9, егер 2 х 3;

1, егерх 3.

F (xфункциясының
) графигі суретте келтірілген.
Кездейсоқ шаманың үлестіру функциялары. Кездейсоқ
шама үздіксіз болғанда, X xi мәніндегі оқиғалар ұғымын
пайдаланбайды, мұның орнына X x теңсіздігін алады.
Мұндағы х – айнымалы шама. Бұл теңсіздікті, кездейсоқ
шама Х – тен кіші болатын барлық мүмкін мәндерді
қабылдайды деп айтылады, яғни X x . Сөйтіп,
оның ықтималдығын P( X x) түрінде жазады.

Бұдан кездейсоқ шама Х-тің қабылдайтын мәндерінің
ықтималдығы х айнымалысы мәніне байланысты екенін
көреміз.
Сондықтан бұл ықтималдық Х-тің кейбір функциясы
болады, оны деп белгілесек,
онда F ( x) P( X x) немесе F ( x) P( X x) (1) болады.
Бұл функцияның үлестіру
функциясы немесе үлестірудің интегралдық функциясы,
немесе кездейсоқ шама үлестіруінің интегралдық заңы,
немесе кездейсоқ шамаықтималдықтарының үлестіру
функциясы деп атайды. Бұл функция әрі, дискретті,
әрі үздіксіз кездейсоқ шамаларды сипаттайды.

Х дискретті кездейсоқ шама болса,
онда ол шекті немесе саналымды
шексіз мәнді қабылдайды және оның
әрбір мәніндегі ықтималдық P( X xi pi )болады.
Сондықтан
F( x) P( X xi ) P( X x) pi
xi x xi x
P( X x1 ) символы теңсіздігінің
( xi x1 ) барлық мүмкін
мәндері үшін алынды деп ұғылады.
(1) өрнегі туралы F(x) барлық
информациянытолық береді.
Бұл функция графигі суретте
Х-тің қабылдаған дербес
х1, х2... хn мәндері үшін келтірілді.
Графикте бұларға сәйкес P ( X x1 ) ықтималдықтары
xk 1
вертикаль кесінділер қосындысына тең.
Бұл кесінділер (х, 0) нүктесінен өтетін ордината
осіне параллель түзуден сол жаққа орналасқанын байқауға болады.

Графикті біртұтас қарастырса, онда үлестіру функциясы
баспалдақты, үзілісті болып кездейсоқ шаманың
(Х-тің) іргелес жатқан x k және x k 1 мәндерінен жасалған
әрбір аралықта тұрақты болуын байқаймыз.
2 – мысал. Лоторея ұтысының үлестіру
таблицасы бойынша үлестіру
функциясын анықтап және графигін сызу керек.

Шешуі: х 0 болсын, ал есептің шарты бойынша
Х теріс таңбалы мәнді қабылдамайды, сондықтан Х-тің
мәні х 0 - ден кіші болуы мүмкін емес, олай болса, P( X 0) 0 ,
өйткені мүмкін емес оқиға ықтималдығы нөлге тең.
Демек, F ( x) P( X 0) 0, x 1 , болса, онда F ( x) P( X 1) P( X 0) 0.35, яғни
F ( x) 0.35(0 x 1). Сондай – ақ x 2 болғанда ,
F ( x) P( X 2) P( X 0) P ( X 1) 0.35 0.50 0.85

яғни F ( x) 0.85(1 x 2). x 3 болғанда
F ( x) P( X 3) P( X 2) P( X 2) 0.85 0.10 0.95
, яғни F ( x) 0.95(2 x 3) . x 3 болғанда F ( x) 0.95 0.05 1 ,
яғни F ( x) 1( x 3) .
Мұның графигі:
Бұл үлестіру
функциясының графигі
баспалдақты сынық сызық.
Дискретті кездейсоқ
шаманың
әрбір мәні секірімі Х-тің
ықтималдығына тең.
Осы мысалдан дискретті
кездейсоқ шаманың
үлестіру функциясы
бойынша
оның үлестіру заңын
қалпына келтірудің қиын
еместігін байқаймыз.
Жалпы функциясының Ал кездейсоқ шаманың қабылдайтын
мүмкін мәндерін арттыра берсек, олардың
барлық
арасындағы интервалы
секірмелері қосындысы кеми береді де, секірме саны арта түседі,
1-ге тең. бірақ ол секірмелер шамасы азая түседі.

Сөйтіп,
баспалдақты
қисық жатық бола
отырып кездейсоқ
шама үздіксіз
кездейсоқ шамара
бірте-бірте
жақындай
түседі де,
кумулятивтік
функция үздіксіз
үлестіру
функциясына
жуықтайды.
Ал бұл екі кездейсоқ шамадан басқа үшінші түрдегі шама
аралас кездейсоқ шама деп аталады.
Бұл жағдайда кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері кейбір аралық үздіксіз,
оны біртұтас толтырады, бірақ үлестіру функциясы оның барлық
нүктесінде үздіксіз емес, яғни кейбір нүктеде үзіледі.
Сонымен, аралас кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы
секірме саны саналымды саннан артық емес,
бөлікті-үздіксіз функция екен көреміз.
Мұның үлестіру функциясын F ( x ) F (1) ( x) F ( 2 ) ( x) түрінде жазуға болады.
Мұндағы F (1) ( x) үздіксіз дифференциялданатын функция,
F ( 2 ) ( x) нүктесінен солға қарай жатқан секірмелер қосындысы.

Дискретті, үздіксіз және аралас кездейсоқ шамалардың
үлестіру функцияларының жазылуы бірізді
болу үшін және үлестіру функцияларына қолданатын
операцияларды формальдау үшін x 0 , болғанда, 1-ге тең,
x 0 болғанда, 0-ге тең болатын бірлік функция (x) -ті енгізеді.
Сонда дискретті кездейсоқ шама үшін
F ( x) pi ( x xi )
i
аралас кездейсоқ шама үшін
F ( x ) F((x1)) pi ( x xi )
i
болады.
1° - қасиет. х-тің әрбір мәнінде 0 F ( x) 1 болады.
2° - қасиет. Кездейсоқ шама Х-тің үлестіру функциясын
аргументінің теріс теріс емес, кемімейтін функциясы
болады, яғни x1 x2
болғанда, . F ( x2 x1 )

3° - қасиет. x1 , x2 аралығындағы мәндерді қабылдайтын
кездейсоқ шама Х-тің ықтималдығы осы
интервалдығы F (x) функциясының өсімшесіне тең,
яғни P ( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
4° - қасиет. F (x) функциясы , аралығының кез
келген нүктесінде сол жағынан үздіксіз, яғни
P ( X x ) F ( x 0 0)
5° - қасиет. Егер x0 нүктесінде жинақталатын өспелі
емес х1 , x2 ..., тізбегі берілсе, онда P( X x) F ( x0 0)
6° -қасиет. F (x) функциясының секірмелі саналымды
жиыннан артық болмайды.
7° -қасиет. Егер Х кездейсоқ шамасы аралығындағы а, b
барлық мәндерді қабылдаса, онда х-тің а-дан кіші
барлық мәндерінде F ( x) 0
, ал мәндерінде x b .
8° -қасиет.Егер 1
F ( x)кездейсоқ шама аралығындағы
кез келген мәнді қабылдаса, онда мына , теңдіктер
орындалады.
9° -қасиет. Үздіксіз x) 0
lim F (шаманың ( x) 1мәніндегі
lim Fжеке
әрбір
n n

ықтималдығы 0-ге тең. Яғни Бұны былай
деп атауға болады. нүктесі
P( X x) -тің
0. үздіксіздік
нүктесі болса, ондаX x оқиғасының F (x) ықтималдығы
X тең.
x
P ( X x ) 0.
Осы келтірілген 9 қасиет
негізінде үздіксіз кездейсоқ шамаға
мынадай анықтама
беруімізге мүмкіндік туады.
Егер х-тің әрбір мәнінде F (x) үлестіру
функциясын үздіксіз деп айтады.

Егер кездейсоқ шаманың әрбір мәніндегі
ықтималдығы нөлге тең болса,
ондай шаманы үздіксіз кездейсоқ шама деп атаймыз.

Ұқсас жұмыстар

Кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы

Ықтималдықтар теориясы. Негізгі түсініктері. Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы. Математикалық күтім

Кездейсоқ шамалардың үлестірімін компьютерде модельдеу

Биномдық үлестірім

Кездейсоқ айнымалы және тармақталған алгоритм

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті

Статистикалық болжамдарды тексеру

Кездейсоқ шаманың. эпсилон-энтропиясы

КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАРДЫҢ ҮЛЕСТІРУ

Үзіліссіз кездейсоқ шамаларының үйлестіру зананың тапсырыс формасы

Пәндер