Математиканы оқыту әдістемесі Комбинаторика элеметтері. Логикалық есептер

Математиканы оқыту әдістемесі

Комбинаторика элеметтері. Логикалық есептер

Сабақтың мақсаты: Оқушыларды жалпы ықтималдықтар теориясы элементтерімен таныстыру, комбинаторика туралы түсінік беру және логикалық есептер шығарту.

Білімділігі: Оқушыларға комбинаторика және ықтималдықтар теориясы элементтері жайлы толық мағлұматтар беру, соған байланысты есептер және логикалық есептер шығарту;

Дамытушылығы: Оқушыларға білім бере отырып, олардың ой жүйріктігін, логикалық ойлау қабілеттерін жан-жақты дамыту;

Тәрбиелігі: Оқушыларды адамгершілікке, шапшаңдыққа, тез түсініп, қабылдауға тәрбиелеу.

Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтерін сендер мектеп кезінен бастап оқып үйреніп келесіңдер. Сондықтан жаңа материалдарды оқып үйренуге қажетті өтілген материалдарды қысқаша қайталап аламыз.

Математикада болған оқиғаның, құбылыстың санын зерттейтін бөлім - комбинаторика деп аталады. Бұл ұғым негізгі үш түрі бар: алмастыру, орналастыру, теру. Ал енді, осы ұғымдармен бүгінгі сабақта толығырақ танысып, есептер шығару арқылы білімімізді шыңдаймыз.

Іс жүзінде адамдарға заттардың өзара орналасуының барлық мүмкін жағдайларын есептеуге немесе қандай да бір іс-әрекеттің барлық мүмкін нәтижелерін білуге және оны орындауға қажетті барлық мүмкін тәсілдер санын есептеуге тура келеді. Мысалы,

5 оқулықты 2 оқушыға неше түрлі тәсілмен үлестіріп беруге болады? Немесе 5 ұл бала мен 5 қыз баладан тұратын үміткерлер арасынан мектепте өткізілетін «Күзгі баллдың» «королі» мен «корлевасын» неше түрлі тәсілмен таңдап алуға болады және т. с. с. Мұндай есептерді комбинаторика есептері деп, ал оны оқытып үйрететін математика саласын комбинаторика деп атайды.

1. Қосынды ережесі: Егер А жиынының элементтерінің саны санаулы болса, онда оның элементтері санын n(А) арқылы белгілейік.

Кез келген санаулы А және В жиындары үшін:

n(АUВ) =n(А) + n(В) - n(А∩В)

теңдігі орындалады.

2. Көбейтінді ережесі: Кез келген санаулы А және В жиындары мен барлық (а; b), (аϵА, bϵВ) түріндегі қос элементтер саны т үшін:

т=n(А) ∙ n(В)

теңдігі орындалады.

3. Қайталанбалы орналастырулар: Элементтерінің саны n-ге тең Х жиыны берілсін. Осы жиынның элементтерінен құрастырылған мынадай тізімді қарастырайық:

х1, х2, . . . , хR, (хіϵХ),

мұндағы кейбір элементтер қайталанып орналасуы мүмкін. х1, х2, . . . , хR, (хіϵХ) түрдегі әрбір тізімді ұзындығы R-ға тең шеру деп атайды.

Х жиынының элементтерінен түзілген ұзындығы R-ға тең әрбір шеруді n-нен R бойынша алынған қайталанбалы орналастырулар деп атайды. Ал барлық n-нен R бойынша алынған қайталанбалы орналастырулар саны

R R

Ãn = n формуласы бойынша анықталады.

4. Қайталанбайтын орналастырулар: Егер шерудегі элементтер қайталанбайтын болса, онда әрбір осындай шеруді n-нен R бойынша алынған қайталанбайтын орналастырулар деп атайды. Ал барлық n-нен R бойынша алынған қайталанбайтын орналастырулар саны

R R n!

Аn = n(n - 1) . . . (n - R + 1) немесе Аn = (n - R) !

формуласы бойынша анықталады.

5. Алмастырулар: Егер n-нен R бойынша алынған қайталанбайтын орналастыруларда

n = R деп алсақ, онда бұл қайталанбайтын орналастыруды n элементтен алынған алмастыру деп атайды. Барлық n элементтен алынған алмастырулар саны Р n = n!

формуласымен анықталады.

6. Қайталанбайтын терулер: Айталық, n(Х) = n болсын, онда Х жиынының әрбір R элементтен тұратын ішкі жиынын n-нен R бойынша алынған қайталанбайтын теру деп атайды. Ал барлық n-нен R бойынша алынған қайталанбайтын терулер саны

R n!

Сn =

R! (n - R) !

формуласымен анықталады.

Алмастыру - n элементтің бір-бірімен орналасу реттілігі арқылы ажыратылатын комбинаторикалық ұғым.

Сағымжан Шынар Біржан А3=3!=1*2*3=6

Біржан Шынар Сағымжан ! - дейінгі сан көбейтіндісі,

Шынар Біржан Сағымжан факториал

Аn=n! n=1, 2, 3, . . . n, . . .

Шынар Сағымжан Біржан 0! = 1 4! = 24

Сағымжан Біржан Шынар 7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5040

Орналастыру - n элементтің m элементі бойынша (n →m) құрамы мен орналасу реті өзгеше болатын комбинация.

7, 8, 9 - 3 элемент

78; 87; 79; 89; 98; 97. (6)

m n!

Вn = −−−

(n - m)

Теру - n элементтен m элементі бойынша тек құрамы өзгешеленетін комбинация.

6; 7; 8; 6*7=42

6*8=48

8*7=56 3 рет құрамы өзгереді.

m n!

Сn =

m! (n - m) !

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы және оларға амалдар қолдану

Элементар оқиға деп сынақтың (эксперимент, тәжірибе) қандай да бір жіктелмейтін нәтижесін айтады.

Егер U жиынының әрбір элементі қандай да бір элементар оқиғаны білдірсе және керісінше, әрбір элементар оқиға U жиынын элементар оқиғалар кеңістігі деп атайды. Элементар оқиғалар кеңістігінің әрбір ішкі жиынын кездейсоқ оқиға деп атайды. Егер кездейсоқ оқиғаның сынақтың кез келген нәтижесінде орындалатыны белгілі болса, онда бұл оқиғаны ақиқат оқиға (U) деп, ал сынақтың ешбір нәтижесінде орындалмайтын оқиғаны жалған оқиға (Ø) деп атайды. Бір сынақ нәтижесінде қатар орындалуы мүмкін емес екі кездейсоқ оқиғаны өзара үйлесімсіз оқиғалар деп атайды. Ал өзге оқиғаларды, яғни сынақтың қандай да бір нәтижесінде қатар орындалуы мүмкін оқиғаларды үйлесімді оқиғалар деп атайды.

1-амал: «+»

2 оқиғаның кемінде біреуі орындалғанда пайда болған оқиға оқиғалардың қосындысы деп аталады. Қосындының ықтималдықтары жеке-жеке ықтималдықтардың қосындысына тең.

Р - ықтималдық А - оқиға Р(А+В) = Р (А) + Р (В)

2-амал: Үйлесімсіз екі оқиғаның бірінің орындалуы екіншісін болдырмаса, мұны қарама-қарсы оқиға деп атайды. Ықтималдықтары 1-ге тең болады.