Тікелей интегралдау деп кестеде келтірілген анықталмаған интегралдар мен анықталмаған интегралдардың негізгі қасиеттерін қолданып алғашқы функцияларды табу

Презентация қосу

Тікелей интегралдау деп кестеде келтірілген
анықталмаған интегралдар мен
анықталмаған интегралдардың негізгі
қасиеттерін қолданып алғашқы
функцияларды табу.
Интегралды анықтау:

(2 sin x 6
3 x )dx

( 2 sin x 6 3 x ) dx

2 sin xdx 6dx 3x dx

2 sin xdx 6 dx 3 x dx

2 cos x 6 x x C
2

3x x x 2
4 3

x 2
dx
3x 4 x 3 x 2
x 2
dx

2 1 1
3 x x 2 2 dx
x x

1 1
3 x dx xdx dx 2 2 dx

x x
3 x 2
x ln x C
2 x
3

2 2 x
x 2 1 sin 2 dx
2 2 x
x 2 1 sin 2 dx
1 2 x
2 2 dx sin dx
x 1 2

2arctgx (1 cos x)dx
1 1
2arctgx x sin x C
2 2
Айнымалыны алмастыру әдісі келесі формула
түрінде жазылады:

f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
Айнымалыны алмастыру
әдісі

f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
Қарастырылған аралықта
дифференциалданатын х=φ(t) – функциясы.
Осы формуланың әділдігін көрсетейік. Оң
жағына сол жағынан t-ға қатысты
туындыны тауып көрейік (1):

f ( x)dx f ( x)dx
t x
xt f ( x) (t )

f ( (t )) (t )dt t

f ( (t )) (t ) f ( x) (t )
Бірдей нәтиже алдық, демек Лагранжа
теоремасының нәтижесінде өрнектің сол
және оң жағы (1) кейбір тұрақтылыққа
ажыратылады.

Анықталмаған интегралдар өздері еркін
тұрақты мерзімге дейін анықталғаннан
бастап,содан кейін осы тұрақтыны
төмендетуге болады.

f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
Алынған формула жаңа айнымалыға көшу
кезінде, интеграл астындағы өрнектің
айнымалысын ауыстыру жеткілікті.

Айнымалыны ауыстыру бастапқы
интегралды жеңілдетуге мүмкіндік береді
және кейбір жағдайларда кестелік түрге
әкеледі.
Интегралды анықтау:

x( x 1)
dx
x 1 t
x( x 1)
dx x t 1
dx dt

(t 1) t 12 dt t 12 dt t 13dt

13 14 13 14
t t ( x 1) ( x 1)
C C
13 14 13 14
2

sin
x cos xdx
sin x t
sin x cos xdx dt cos xdx

dt

1 5 1
t dt t C sin 5 x C

5 5
F(x)функциясы – кейбір
f(x)функциясы үшін алғашқы
функция.
Сонда
f (kx b)dx k F (kx b) C
Интегралды анықтау:

3 x dx
k 1 3 4

3 x dx (3 x) C

b 3 4
2

4 x 3 dx
1 k 4 1
4 x 3 dx b 3 4 ln 4 x 3 C
u(x) және v(x) функциялары бір Х
аралығында анықталған
дифференциалданатын
функциялар болсын,сонымен қатар
осы аралықта
u ( x) v( x) функциясының
. алғашқы
функциясы бар болсын.
Сонда
Х аралығында v ( x ) u ( x )
функциясының да алғашқы
функциясы бар және төмендегі
формула орындалады.

u( x) v ( x)dx u( x) v( x) v( x) u ( x)dx
Функцияның туындысын табайық :

u ( x) v( x) u ( x) v( x) u ( x) v ( x)
Осыдан, өрнектін оң жағындағы екінші
өрнегін табайық:

u ( x) v ( x) u ( x) v( x) u ( x) v( x)
Өрнектің оң жағы Х аралығында теореманың
шарты бойынша алғашқысына ие ,демек,
өрнектің сол жағы да алғашқысына ие және
теңдікті интегралдау кезінде,келесіге ие
болады :

u ( x) v ( x)dx u ( x) v( x) dx u ( x) v( x)dx
u ( x ) v( x)

u ( x) v ( x)dx u ( x) v( x) u ( x) v( x)dx
Демек,
u ( x)dx du
v ( x)dx dv
Онда, соңғы теңдік келесідей түрде
жазылады:

u dv u v v du
Интегралды анықтау:

x e
x
dx
x
u x dv e dx
x e dx du dx
x
x

v e

x e e dx x e e C
x x x x
2

ln xdx
u ln x dv dx
ln xdx 1
du dx v x

x

x
x ln x dx x ln x x C
x
3

x
cos xdx
2
u x dv cos xdx
cos xdx du 2 xdx
x
v sin x

x cos x 2 x sin xdx

u x dv sin xdx

du dx v cos x
x cos x 2 x cos x 2 cos xdx

x cos x 2 x cos x 2 sin x C
Бөліктеп интегралдау формуласын
интегралдардың келесідей түрлерінде
қолдануға болатынын көрсетеміз:

x
n
e dx
ax
x
n
sin mxdx

x
n
cos mxdx x
k
ln xdx
n
x
k
arcsin xdx x
k
arccos xdx

x
k
arctgxdx x
k
arcctgxdx

a, m, k – нақты сандар, n – бүтін оң сон.

Ұқсас жұмыстар

Меншіксіз интегралдар

Анықталмаған интеграл қасиеттері

Анықталған интеграл және оның қолданылулары

Анықталмаған интеграл

Анықталған интегралдың қолданылуы

Интегралдық есептеу термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып

Қос интеграл

Алғашқы функция және интеграл

Анықталған интеграл. Анықталған интегралдың бар болу шарты. Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері. Орта мән туралы теорема. Ньютон-Лейбнец формуласы. Анықталған интегралды интегралдау әдістері. Анықталған интегралдың қолданылуы

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҚЫЛМЫСТЫҚ КОДЕКСІ

Пәндер