Теңсіздікті шешудің алгоритмі

Презентация қосу

Жамбыл атындағы №5
мектеп-гимназиясының 11 “Г”
сынып оқушысы
Құрманбаева Сымбат
Жобаның тақырыбы

Негізі айнымалы болып
келген көрсеткіштік
және логарифмдік
теңсіздіктерді шешу
Мақсаты:
Көрсеткіштік және логарифмдік
теңсіздіктерді шешу кезеңдерін оқып-
үйреніп, шешудің әр түрлі әдістерін білу

Зерттеу жаңалығы:
Жұмыста негізі айнымалы болып
келген кейбір логарифмдік
теңсіздіктерді шешудің оқулықтарда
және талапкерлерге арналған
әдебиеттерде келтірілген тәсілдерден
басқа тиімді жолы көрсетілген.
Логарифмнің негізгі қасиеттері
1. log 1 0 ,(a > 0, a 1) – негізі а болатын бір санының логарифмі нөлге тең;
a

2. log a a 1 ,(a > 0, a 1) - негізі а болатын а санының логарифмі бірге тең;
3. log b c log b log c ,(a > 0, a 1) , b > 0, с > 0 екі немесе бірнеше оң сандардың
a a a

көбейтіндісінің логарифмі көбейткіштердің логарифмдерінің қосындысына тең;
b
4. log c log b log c ,(a > 0, a 1, b > 0, с > 0) қатынастың немесе бөлшектің
a a a

логарифмі алымының логарифмі мен бөлімінің логарифмінің айырымына тең;
5. log a b n n log a b ,(a > 0, a 1, b > 0) дәреженің логарифмі дәреже көрсеткішін
дәреже негізінің логарифміне көбейткенде тең;
6. log b m log b ,(a > 0, a 1, b > 0)
am a

a , (a > 0, a 1, b > 0, с > 0, с 1) жаңа негізге көшу формуласы;
log b
7. log b log
a
c
c

8. log b log1 a , (a > 0, a 1, b > 0, b 1) ( 7-қасиеттің дербес жағдайы);
a

9. a log b b , (a > 0, a 1, b > 0)
b
a
Көрсеткіштік функцияның графигі

функциясының
a 1 y a x
1) Анықталу облысы болғандағы
- нақты қасиеттері:
сандар жиыны, яғни ;

R=( - ;
0; – оң сандар жиыны, яғни R+=
2) Мәндер жиыны ;
3) Функция тақ та емес, жұп та емес.
4) Барлық сан түзуінде өседі.

0 a 1 болғандағы y a x функциясының қасиеттері:
1)Анықталу облысы - нақты сандар жиыны, яғни ;

R=( - ;
0; – оң сандар жиыны, яғни R+=
2) Мәндер жиыны
3) Функция тақ та емес, жұп та емес.
4) Барлық сан түзуінде кемиді
Логарифмдік функцияның графигі

,
y log a x a 0, a 1
1) мұндағы
Анықталу
0;
облысы-
, 2) Мәндерінің облысы -
3) Функция тақ та емес, жұп та емес.
4) 0; аралығында a 1 болғанда функция өседі, ал 0 a 1 болғанда функция кемиді.
Pn ( x )
f(x)=Q ( x) >0, немесе f(x)<0, немесе f(x) 0, немесе f(x) 0
m

түрдегі теңсіздіктерді интервалдар тәсілімен шешу

1.Сан түзуіне f(x)функциясының барлық нөлдері мен үзіліс нүктелерін боялмаған
дөңгелекшелермен белгілейді.
2.а) функцияның барлық жұп дәрежелі көбейткіштерін алып тастайды.
б) функцияның тақ дәрежелі көбейткіштері бірінші дәрежелі көбейткіштерге ауыстырылады.
в) бөлшектің алымы мен бөлімінде бірдей көбейткіштер қалса, оларды шығарып тастайды.
3. Соңғы теңсіздіктегі функцияның нөлдері мен үзіліс нүктелерінің ең үлкенінің оң жағынан, сан
өсінің үстіндегі кез келген нүктеден шығатын,
f(x) функциясының нөлдері мен үзіліс нүктелері арқылы өтетін толқын сызық жүргізіледі.
4. Егер теңсіздік f (x) < 0 болса, онда осы толқын сызық астында жататын аралықтар берілген
түрдегі теңсіздіктің шешімі.
Негізі айнымалы болып келген логарифмдік теңсіздік
log f ( x ) g ( x ) b (1) теңсіздігі өзінің анықталу облысында
f ( x) 0

f ( x ) 1 (2)
g( x) 0
келесі теңсіздік мәндес:

( f ( x) 1)( g ( x) f ( x) b ) 0 (3) яғни, f ( x ) 0, f ( x ) 1, g ( x) 0 болса, онда

log f ( x ) g ( x ) b ( f ( x ) 1)( g ( x ) f ( x ) b ) 0 (4)

Дәлелдеуі. Айталық, (2) шарт орындалсын. Онда
f ( x) 1 f ( x) 1 0
b b
g ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x) 0
log f ( x ) g ( x) b
f ( x) 1 f ( x) 1 0

g ( x) f ( x) b g ( x) f ( x) b 0
( f ( x) 1)( g ( x) f ( x) b ) 0
дәлелденді.

Теңсіздікті шешудің алгоритмі:
1. (2) жүйені шеше отырып, теңсіздіктің анықталу облысын (D) табамыз..
2. (3) теңсіздікті шешіп, шешімдер жиынын А арқылы белгілейміз.
3. (2) жүйе мен (3) теңсіздіктің шешімдер жиынының қиылысуын,
яғни A D жиынын анықтаймыз.
log 2 x 3 x 2 1Мысалы. Теңсіздікті
шешіңіз1-тәсіл. [2,72б]
Шешуі. берілген теңсіздік келесі жүйелер жиынтығына
log 2 x 3 x 2 log 2 x 3 (2 x 3)
эквивалент:

0 2 x 3 1
2 (5)
x 2 x 3,
2x 3 1

0 x 2 2 x 3, (6)
(5) жүйені шеше отырып, келесі жүйені
аламыз:
x 1,
( x 3)( x 1) 0 (7)
(7) жүйе келесі екі жүйелер жиынтығына
3 эквивалент:
x 1,
x 3.
(8)
x 1,
x 1
(9) 3
x ( ; 1)
(8) жүйенің шешімі жоқ.
2 (9) жүйенің шешімі
ып, келесі жүйені
аламыз
x 1, x 1,
(10)
( x 3)( x 1) 0 1 x 3 x ( 1;3)
яғни,
3 Жау
( ; 1) ( 1;3)
2 абы:
Ескерту: Жауапқа анықталу облысына енбейтін x=0 нүктесі қате енгенін оңай
байқауға болады. Бұл қате (6) жүйені оған эквивалент емес (10) жүйемен
алмастырғаннан туды.

Ұсынылған алгоритмді пайдаланып шешу.
1.Жүйені шеше отырып, теңсіздіктің анықталу облысын
анықтаймыз.
2 x 3 0, x 1.5,

2 x 3 1, x 1,
2 x 0
x 0,
Сонымен, анықталу D ( 1.5; 1) ( 1; 0) (0; )
облысы
эквиваленттілікті ескере отырып, берілген теңсіздіктің орнына
(2 x 3 1)( x 2 2 x 3) 0 ( x 1)( x 1)( x 3) 0 ( x 1) 2 ( x 3) 0
теңсіздігін аламыз.Интервалдар әдісін пайдалана отырып, теңсіздіктің шешімін
табамыз:
А ( ; 1) ( 1; 3)
3.А және D жиындарының қиылысуын
анықтаймыз:
A D ( 1,5; 1) ( 1; 0) (0; 3)

( 1,5; 1) ( 1; 0) (0; 3)
Жауабы:
2-мысал: Теңсіздікті шешіңіз: log x 3 ( x 1) 2
1-тәсіл. x 1
Берілген теңсіздікті оған мәндес теңсіздікпен алмастырамыз: log x 3 1
x 3

Соңғы теңсіздікті шешу барысында келесі екі жағдайды қарастырамыз:
1) егер логарифм негізі бірден үлкен болса, онда берілген теңсіздік мына теңсіздіктер
жүйесіне мәндес: x 1 x 1 ( x 3) 2 ( x 2 7 x 10) x 2немесе x 5
x 3 0 0
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3 1 x 4 x 4 x 4

2) егер логарифм негізі бірден кіші болса, онда берілген теңсіздік мына теңсіздіктер
жүйесіне мәндес: x 1 x 2 7 x 10
x 3 x 3 0 x 2
x 3 x 5
x 3
x 3 1 x 4
x 3 0 x 3 x 3 x 4
x 4

Сонымен теңсіздіктің шешімдер жиыны: (3;4) (5;∞)
2 тәсіл. 1) Теңсіздіктің анықталу облысын (D) табамыз:
x 3 0
x 3
x 3 1 D (3;4) ( 4; )
x 1 0 x 4

2) Берілген теңсіздіктің орнына келесі теңсіздікті шешіп, шешімдер жиынын А арқылы
2 2
белгілейміз: ( x 3 1)( x 1 ( x 3) ) 0 ( x 4)( x 7 x 10) 0 ( x 4)( x 2)( x 5) 0 A=(2;4) (5; ∞)
3) Жүйе мен теңсіздіктің шешімдер жиынының қиылысуын анықтаймыз A D (3;4) (5; )
Жауабы: (3;4) (5;∞)
Негізі айнымалы болып келген көрсеткіштік теңсіздік
a( x) f ( x ) b (1) теңсіздігі өзінің анықталу облысында
( f ( x ) 1)( g ( x ) f ( x ) b ) 0 (2) теңсіздігіне эквивалент, яғни, егер
a( x) 0, a( x) 1, b 0 (3) болса, онда
f ( x)
a( x) b (a ( x ) 1)( f ( x ) log a ( x ) b) 0 (4)
Дәлелдеуі: Айталық, (3) шарт орындалсын. Онда
a( x) 1 a( x) 1 0

f ( x) log a ( x ) b f ( x) log a ( x ) b 0
a( x) f ( x ) b
a( x) 1 a( x) 1 0

f ( x) log a ( x ) b f ( x) log a ( x ) b 0
(a ( x) 1)( f ( x) log a ( x ) b) 0
дәлелденді.
Теңсіздікті шешудің алгоритмі:
1. (2) жүйені шеше отырып, теңсіздіктің анықталу облысын (D) табамыз..
2. (3) теңсіздікті шешіп, шешімдер жиынын А арқылы белгілейміз.
3. (2) жүйе мен (3) теңсіздіктің шешімдер жиынының қиылысуын, яғни
A D жиынын анықтаймыз.
ҚОРЫТЫНДЫ

Қорытынды
Логарифмдік теңдеу және теңсіздіктер тақырыптары мектеп бағдарламасы
Логарифмдік теңдеу және
бойынша 11-сыныпта теңсіздіктер тақырыптарытеңсіздіктерді
қарастырылады.Логарифмдік мектеп бағдарламасы
шешу
бойынша 11-сыныпта
негізінің мәніне қарастырылады.Логарифмдік
байланысты (негізі а>1 немесе 0<а<1)екі теңсіздіктерді
жағдай шешу
негізінің мәніне байланысты
қарастырылады. (негізі а>1
Егер логарифмнің немесе
негізі 0<а<1)екі
тұрақты жағдай
болса, онда осы жағдайдың
қарастырылады.
біреуі болады да, Егер логарифмнің
логарифмнің негізі облысын
анықталу тұрақты болса,
ескереонда осы тек
отырып жағдайдың
бір жүйе
біреуі болады да, логарифмнің
ғана қарастырылады. анықталу облысын
Ал егер логарифмнің ескере отырып
негізі айнымылы болыптек бір жүйе
келсе,
ғана
ондақарастырылады.
бұл екі жағдайдыАл егер логарифмнің
ескеру үшін екі жүйеніңнегізі айнымылы
жиынтығы болыпалып
ретінде келсе,
онда бұлМектеп
шешеді. екі жағдайды ескеру үшін
оқулықтарында екі жүйенің
мұндай есептержиынтығы ретінде
берілгенмен алып
шығару
шешеді.
мысалдары Мектеп оқулықтарында
көрсетілмеген, мұндай
ал жоғары оқуесептер
орнынаберілгенмен
түсушілергешығару
арналған
мысалдары
әдебиеттердегікөрсетілмеген, ал жоғары оқушығару
келтірілген мысалдардың орнынажолдары
түсушілерге
өтеарналған
үлкен: әр
әдебиеттердегі келтірілген
жағдайды жеке-жеке мысалдардың
қарастырып, соңында шығару
олардыңжолдары өте үлкен:
шешімдер әр
жиынының
жағдайды
бірігуін алужеке-жеке қарастырып,
керек. Жұмыста осы екісоңында олардың
жағдай бірге шешімдер жиынының
қарастырылады да,
бірігуін
оқушының алу барлық
керек. Жұмыста
жағдайды осы екі жағдай
бірден бірге қарастырылады
қарастыруына да, Жұмыста
мүмкіндік береді.
оқушының барлық жағдайды
ұсынылып отырған бірден қарастыруына
әдістің тиімділігін мүмкіндік береді.
көрсету үшін мысалдардың Жұмыста
екі шығару
ұсынылып отырған әдістің тиімділігін көрсету үшін мысалдардың екі шығару
жолдары келтірілген:
жолдары келтірілген:
-басқа әдебиеттердегі
-басқа әдебиеттердегі
-жұмыстағы көрсетілген тәсілмен.
-жұмыстағы көрсетілген тәсілмен.
Назар аударғандарыңызға
рахмет!

Ұқсас жұмыстар

Квадраттық функцияны интервалдар әдісімен шешу, әдістің мәнін түсіну

Интервалдар әдісі

Негізі айнымалы болып келген көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерді шешу

Квадрат теңсіздік

Логарифмнің анықтамасы

Математиканы тереңдетіп оқытудағы туындының алгебралық қолданылуы

Логарифмдік теңдеулерді шешу алгоритмі

Квадрат теңсіздіктер

Квадрат теңдеулерді шешудің әр түрлі тәсілдері

Алгоритм туралы мәлімет

Пәндер