Логарифмдік таблицалардың эволюциясы

Презентация қосу

«.... логарифдерді ойлап табу, бірнеше айлық есептеуді
бірнеше күннің жұмысына дейін қысқарта отырып,
астрономдардың ғұмырларын екі есе ұзартқандай болды.»
Лаплас.
Математикалық
Логариф жетінші амал
м
Логарифмдік
таблицалардың эволюциясы
Логарифмдік
таңғажайыптар
Эстрададағы
логарифмдер
Музыкадағы
логарифмдер

Жұлдыздар,
шу және логарифмдер
Математикалық жетінші амал
Біз бұрын бесінші амал- дәрежелеудің кері
амалы бар екенін айтқан болатынбыз. Егер
болса, онда а- ны табу кері амалдарының бір
түрі- түбір табу; б- ны табу оның екіншісі-
логарифмдеу.
Логарифмдер не үшін ойлап табылған?
Әрине, есептеулерді жеңілдетіп тездету әрі
ықшамдау үшін табылған. Логарифмдердің
жәрдемінсіз іске асыру өте қиын болатын
амалдарды ( кез келеген дәрежелі түбір
табу) орындауға мүмкіндік беретін
айтпағанның өзінде, логарифмдер
есептеулерді аса жеңілдетеді әрі тездетеді.
Логарифмдерді пайдалануға және бұлардың
есептеулер орындау кезінде тигізетін
жеңілдіктеріне үйреніп кеткен біздерге,
бұлардың алғашқы шыққан кезінде қандай
таңырқатқаны мен қуатқанын көзге елестету
қиын.
Логарифмдік таблицалардың эволюциясы
Біздерде күні бес таңбалы лограрифмдік таблицалар
пайдаланылған болатын, қазір техникалық есептеулер
үшін әбден жеткілікті төрт таңбалы логарифмдік
таблицаларға көшкен. Көптеген іс жүзінде
қажеттіліктер үшін тіптен үш таңбалы мантиссалармен-
ақ ойдағыдай қанағаттануға болады.
Лондондық математик Генри Бригтің еңбегімен
жасалған (1624) алғашқы ондық логарифмдер он төрт
таңбалы болған.Бірнеше жыл өткен соң бұларды
голланд математигі Андриан Влакктың он табалы
таблицалары алмастырды.
Мантиссалардың таңбаларының санын азайту
практикалық маңызы бар салдарға соқтырады:
таблицалардың көлемі елеулі түрде азайды және
бұлайша жеңілдету олар арқылы орындалатын
есептеулерді тездетті.
Сандардың жеті таңбалы логарифмдері үлкен
форматты 200-ге жуық бетті алса, бес таңбалы-екі есе
кіші форматты 30 бетті, төрт таңбалы- он есе аз көлем
алады, бұл үлкен форматты екі бетке, ал үш таңбалы-
бір бетке-ақ сыяды екен.
Есептің шапшаңдығына келетін болсақ, бес таңбалы
таблицамен есептеу, жеті таңбалыға қарағанда, үш есе
кем уақыт қажет ететіндігі анықталған.
Логарифмдік таңғажайыптар
Егер күнделікті өмір мұқтаждары мен техникалық
қолданыстарда кездесетін есептеулердің
қажеттіліктерін үш және төрт таңбалы таблицалар
әбден қанағаттандыратын болса, екінші жағынан теория
жүзінде зерттеу жүргізушіде Бриггтің он төрт таңбалы
логарифмдерінен де көп таңбалы таблицалар болады.
Жалпы айтқанда, көпшілік жағдайларда логарифмдер
ирроционал сан болады, сондықтан цифрлардың
ешқандай санымен дәл өрнектеле алмайды, көптеген
сандардың логарифмдері қанша таңба алынғанына
қарамастан, тек жуық түрде ғана өрнектеледі,
мантиссаларында көп цифрлар болған сайын дәлдігі
арта түседі. Кейбір кездері ғылыми зертттеулер үшін он
төрт таңбалы логарифмдердің дәлдігі жеткіліксіз,
зерттеушілер логарифмдер ойлап табылғаннан кейін
жарық көрген таблицалардың 500 түрінің арасынан
әрқашан өзінің мұтаждығына сәйкес келетіндерін таба
алады. Мысалы, Францияда Калле қаласында 1795 жылы
басылып шыққан 2-ден 1200- дейінгі сандарға арналған
жиырма таңбалы логарифмдерін атауға болады. Тым
шектеулі сандар тобына арналған, қисапсыз көп ондық
таңбалары бар логарифмдік таблицалар- нағыз
логарифмдік таңғажайыптар бар екенін дәлелдейді.
Бұл алып логарифмдер мыналар, бұлардың
бәрі де- ондық логарифмдер емес, натурал
логарифмдер:
10 000- ға дейінгі сандарға арналған
Вольфрамның 48 таңбалы таблицалары;
Шарптың 61 таңбалы таблицалары;
Паркхерстің 102 таңбалы таблицалары, ең
соңында, логарифмдік аса таңғажайып таблица:
Адамстың 260 таңбалы логарифмдері.

Егерде есептеу сызғышы- «ағаш
логарифмдер», кеңсе қызметкерлерінің үйреншікті
есепшоты секілді, өздері қолайлылығы мен
техниктердің әдеткі есептеу құралына
айналмағанда, бұл зерделі приборды да
логарифмдік таңғажайыпқа жатқызу әбден
орынды болар еді. Алайда логарифмдер принципі
бойынша жұмыс істейтін, солай бола тұра
пайдаланушылардан логарифм дегеннің не екенін
Эстрададағы логарифмдер
Кәсіби есепшілердің көпшілік алдында
көрсететін аса таңқаларлық нөмерлерінің бірі
мынау екені шүбәсіз.Жарнамада асқан шебер-
есепшінің ойша жоғары дәрежелі көп
таңбалы сандардан түбір табатындығы
жөнінде күні бұрыцн хабарлануы себепті, сіз
үйде кез келген санның 31-\дәрежесін есептеп
шығарып, есепшіні 35 таңбалы сан линкормен
есінен таңдыруға ниеттенесіз. Тиісті кезде сіз
есепшіге былай дейсіз:
Мына 35 таңбалы санның 31 дәрежелі түбірін
тауып көріңіз!Айтайын, жазып алыңыз.
Әлгі шебер есепші қолына бор алады да , сіз
бірінші цифрды айту үшін ауызыңызды
ашып үлгергенше, ол 13 деп нәтижені жазып
та үлгереді.
Есепші сіз айтпақшы, санды білмей-ақ одан 31
дәрежелі түбірді ойша, жай түскендей
шапшаңдықпен тез тапты!...
Сіз қайран қаласыз, еңсеңіз түседі, ал мұнда
ешқандай ғажайыптылық жоқ . Мұның құпияся
мынада, 31-дәрежесінде 35 таңбалы нәтиже беретін
тек бір ғана сан бар, ол-13 саны. 13-тең кіші сандар
35-тең аз цифр, үлкендері- одан көп цифр береді.
Есепші мұны қайдан білді? Ол 13-санын қалай іздеп
тапты? Оған екі таңбалы логарифмдер көмектесті,
ол алғашқы 15-20 санның логарифмдерін жатқа
біледі.Егер, әсіресе құрама санның логарифмінің
жай сандардың қосындысына тең болатыны
пайдаланылса, бұларды жаттап алу онша қиынға
түспейді. 2-нің,3-тің және 7-нің логарифмдерін
жақсы біле отырып, сіз алғашқы он санның
логарифмдерін біле аласыз, 2-ші ондықтың
логарифмдерін білу үшін тағы да төрт санның
логарифмдерін білу керек.
Қандай болғанның өзінде, есепші эстрадалық екі
таңбалы логарифмдердің таблицасын жатқа біледі.
Музыкадағы логарифмдер
Музыканттар математикамен сирек айналысады;
олардың көпшілігі бұл ғылымға деген ілтипат
сезіммен одан қашығырақ болуды қалайды.
Соның өзінде музыканттар – Пушкиннің
Сальериіне ұқсас «гармонияны алгебрамен»
тексермейтіндерінің өздері де математикамен,
сонда тіпті логарифм секілді үрейлі нәрсемен де
жиірек ұшырасатындарын сезіне бермейді.
Шапшаңдатылған хроматикалық гаммалардағы
әрбір келесі үннің тербеліс саны, алдынғысына
қарағанда 12√2 есе көп юолғандақтан кез
келген үннің тербеліс санын мына формуламен
өрнектеуге болады:
Ν ρm =n * 2m (12√2)p.
Осы формуланы логарифм десек, былай болады:

lqΝ ρm =lqn+m lq2+p lq2/12

lqΝ ρm =lqn+(m+p/12)lq2
Жұлдыздар, шу және логарифмдер
Бір бірімен байланыспайтын болып көрінетін
нәрселерді біріктірушіосы тақырып, Кузьма
Плутковтың шығармаларының пародиясы болуды
көздемейді. Шынында да сөз логарифмдермен тығыз
байланыстағы жұлдыздар мен шу туралы болмақшы.
Бұл жерде шу мен жұлдыздардың біріктірілу себебі
шудың қаттылығы және жұлдыздардың
жарықтылығы бірдей түрде – логарифмдік шкалалар
бойынша бағаланады.
Астрономдар жұлдыздарды көрінерлік жарықтылығы
боцынша бірінші шамадағы, екінші шамадағы, үшінші
шамадағы т.с.с. шырақтар деп бөледі. Бірінен соң бірі
келетін жұлдыздық шамалар көзбен арифметикалық
прогрессияның мүшелері секілді қабылданады.
Бұлардың физикалық жарықтылығы басқаша
заңдылықпен өзгереді: обьективті жарықтылық еселігі
2,5-ке тең геометриялық прогресске тең болады.
Жұлдыз «шамасы» оның физикалық жарықтылығының
логарифмі болып табылатынын түсіну оңай.Қысқаша
айтқанда, астроном жұлдыздардың көрінерлік
жарықтылығын бағалағанда негізі 2,5 болатын
логарифмдерден құрылған таблицаны
пайдаланылады.
Шудың қаттылығы осыған ұқсас бағаланады,
Өнеркәсіп шудың жұмысшылардың денсаулығы мен
еңбек өнімділігіне залалды әсер етуі, шудың
қаттылығын сан түрінде дәл анықтау тәсілін жасауға
итермеледі. Шу қаттылығының бірлігіне «бел», іс
жүзінде оның ондық үлесі «децибел» алынған. Шу
қаттылығының бірінен соң бірі келетін тізбегінің
дәрежесі -1бел, 2бел т.с.с.- біздің құлағымыз үшін
арифметикалық прогрессия болады. Осы шудың
физикалық айырмасы 1бел болғанда, шу күштерінің
қатынасы 10 болады. Сондықтан шудың белмен
өрнектелген қаттылығы оның физикалық күшінің
ондық логарифмне тең.
Шырақтардың көрінерлік жарықтылығын бағалауда
және шудың қаттылығын өлшегенде біздің түйсік
пен оны тудырған тітіркендіру шамасының
арасындағы логарифмдік тәуелділікпен істес
болуымыз кездейсоқтақ па? Жоқ, бұл да, басқасы
да жалпы заңдылықтың салдары, бұл заң боцынша
түйсік шамасы тітіркендіру шамасының логарифміне
пропорционал.
Осыдан логарифмнің психология саласына енгендігін
көреміз.
Логарифмдік функция
Логарифм таңбасы арқылы жазылатын функцияның
анықталу облысын табуға, логарифмдер қасиеттері
негізінде логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді
шешуге, әр түрлі негіздегі логарифмдік функциялардың
графиктерін схема түрінде кескіндеуге болады.Мысалы:
q(x)= lqx/lq0,7 lq0,7<0, сондықтан берілген
функцияның графигі
y=lq x функциясының графигінен екі түрлендіру: абцисса
осіне қарағанда шағылу және ордината осі бойымен
1/lq0,7≈1/1-0,8451≈6,6 есе созу арқылы алынады(1-сурет)
Логарифмдік функцияның көрсеткіштік функциядан
өзгешілігі оның кез келген оң сан емес, тек қана 1-ге тең
емес оң сан болады.
Есеп:
Loq1/7x ≥ 5 ↔ loq1/7x > loq1/7(1/7)5 ↔ 0 < x ≤ (1/7)5.

Жауабы: [0;1/16807].
Кері функцияның туындысы
Кері функцияның туындысының формуласына мысал
келтірейік,
y=f(x)=2x+3 функциясын қарастырайық, f ' (x)=2. Кері
функцияны табамыз:y=q(x)=1/2x-2/3, q'(x)=0,5. Бұдан q'
(y)=1/f '(x0) ( бізде2=1/0,5).
Кері функция туындысының формуласын қорытып
шығаруға болатын геометриялық түсініктердің де
маңызы зор. Функция графигінің A0=M (x0;f(x0))
жанамасы бар болса, және де f’ (x0) осы жанаманың
көлбеулік бұрышының тангенсі болса ғана, тек сонда ғана
бұл функция x0 нүктесінде
дифференциалданады.Геометриялық тұрғыда f
функциясына кері q функциясы графигінің B0=M(y0;q) (y0))
нүктесінде, мұндағы y0=f(x0) жанамасының
болатындығы ап-айқын. Бұл f және q функцияларының
графиктерінің y=x түзуіне қарағанда
симметриялылығынан шығады. B0 нүктесіндегі q–ның
графигінің жанамасы A0 нүктесіндегі f–тің графигі
жанамасының y=x түзуіне қарағандағы симметриясының
бейнесі, сондықтан осы түзудің бұрыштық
коэффициенті 1/f’(x0) -ге тең, яғни q’(f(x0))=1/f’(x0).

Ұқсас жұмыстар

Логарифмнің анықтамасы

Логарифмдік теңдеулерді шешу туралы ақпарат

Логарифмдік теңдеулерді шешу туралы

Логарифмдік теңдеулерді шешу

Ондық логарифм

Көрсеткіштік және логарифмдік функция. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер

Көрсеткіштік функцияның графигі мен қасиеттері

Логарифмдік теңдеулерді шешу алгоритмі

Логарифмдік функцияның анықталу облысы

Логарифмдік теңдеулерді қайталау

Пәндер