Комплекс сандардың геометрияда қолдануы

Презентация қосу

Комплекс сандардың
геометрияда қолдануы
Кіріспе
Комплекс сан ұғымы тұңғыш рет ХVІ ғасырда итальяндықтар Дж.Кардано және Р.Бомбелли
қарастырған дискриминантты теріс квадрат теңдеулердің, әсіресе кубтық теңдеулердің,
шешімдеріне байланысты шыққан ұғым. 1572 жылы шыққан «Алгебра» атты кітабында
Р.Бомбелли комплекс сандарға арифметикалық операциялар қолданған.
Комплекс сандардың жан-жақты қолданылуы тек ХVІІІ ғасырда басталды. Міне осы кезде
комплекс сандардың интегралдық есептеуде механикада және геометрияда қолданулары
комплекс аргументті функцияларды қарауға әкеп соқты. Осы мәселелер жайындағы зерттеулерде
туған жері Швейцария болса да, отыз жылдан аса Петербург академиясында жұмыс істеп, өзін
«орыс ғалымымын» деп атап өткен Леонард Эйлер (1707-1783) мен француз математигі және
философы Даламбердің (1717-1783) үлесі көп.
Комплекс сандарға жазықтықтағы нүкте не вектор деп геометриялық түсінікті 1797 жылы
даниялық жер өлшеуші К. Вессель (1745-1818) берген, бірақ тек атақты неміс математигі Карл
Фридрих Гаусстың (1777-1855) комплекс сандарды арифметикаға, алгебраға, геометрия және
математикалық анализге қолданған еңбектерінен кейін ғана көпшілік комплекс сандардың
геометриялық мағынасын қолданып, оны толық пайдалана бастайды.
КОМПЛЕКС САНДАР МЕН ОЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР

1.1 Комплекс сандар ұғымы
1637 жылы француз математигі Р. Декарт «жорамал сан» терминін енгізді, ал XVІІІ
ғасырдың ең атақты математиктердің бірі Л. Эйлер 1977 жылы (жорамал бірлік) санын
белгілеу үшін француз сөзінің іmаgіnаіrе (жорамал) бірінші әрпін қолдануды ұсынды.
1831 жылы К. Гаусс «комплекс сан» терминин енгізді.
Жалпы комплекс сандарын интегралдық есептеуде, механикада, геометрияда
қолданымдарына байланысты қалыптаса бастаған комплекс айнымалы функциялар теорясының
дамуына француз математигі Даламбер, негізі швециялық болса да, өзін «орыс ғалымы» деп
атап өткен Л.Эйлер көптеген үлестерін қосқан. Теорияның одан әрі дамуына неміс ғалымдары
К.Гаусс, Б.Риман, француз ғалымы О.Кошилердің аттарымен қатар орыс ғалымдары
Н.Е.Жуковский, М.А.Лаврентьев, М.В.Келдыштің де еңбектері зор.

Анықтама. Комплекс сандар деп түріндегі сандарды айтамыз, мұндағы - нақты сандар,
жорамал бірлік деп аталады және сандары комплекс санының сәйкес нақты және
жорамал бөлігі деп аталады әрі олар таңбаларымен белгіленеді.
Сонымен, егер бізге комплекс саны берілсе, онда нақты сандары берілді деп түсінуіміз
керек.
Егер болса, онда комплекс саны нақты бөлігіне тең, яғни осы сияқты, егер болса,
онда
Анықтама. комплекс сандары тең деп аталады, егер комплекс сандардың нақты
бөліктері нақты бөліктеріне, ал жорамал бөліктері жорамал бөліктеріне тең болса, яғни =
= = , = мен комплекс сандардың теңдігі таңбамен белгіленеді. пен комплекс сандары
өзара түйіндес комплекс сандар деп аталады. Бұл жағдайда пен нүктелері нақты OX өсі
арқылы симметриялы болады.
1.2 Комплекс сандарға амалдар қолдану
Комплекс сандарды қосу және азайту.
Анықтама. комплекс сандардың мен қосындысы деп z комплекс санын айтамыз:

Анықтама. мен комплекс сандарының айырымы деп комплекс санын айтамыз:
=

Комплекс сандарды көбейту және бөлу.
Анықтама. мен комплекс сандарының көбейтіндісі деп комплекс санын айтамыз:
=
Комплекс сандарды көбейтудің келесі қасиеттері бар:
1. Коммутативтік:
2. Ассоциативтік:
3. Дистрибутивтік:
Тригонометриялық түрде берілген және комплекс сандарының көбейтіндісі мына
формула арқылы анықталады:

Бұдан мынадай қорытынды шығады:

Комплекс сандарды кескіндеу үшін векторларды пайдалана отырып, көбейтіндісінің
векторы векторынан соңғыны бұрышына бұру және есе созу арқылы алынады деп айтуға
болады.
Дербес жағдайда , егер бірдей көбейткіші бар болса,
(Муавр формуласы )

Мысалы: есепте.
Шешімі. Алдымен i комплекс санын тригонометриялық түрге түрлендірейік Онда
Сонда i
Муавр формуласы б-ша:
2. КОМПЛЕКС САНДАРДЫҢ ГЕОМЕТРИЯДА ҚОЛДАНЫЛУЫ
2.1 Комплекс сандардың геометриялық кескіні

Кез келген z= x+іy комплекс санын Оxy жазықтығында М(x;y) нүктесімен кескіндеуге
болады (1-сурет ).Сонда санын М нүктесінің аффиксі деп, а жазықтық комплекс
жазықтық (кейде Гаусс жазықтығы) деп аталады. Комплекс сандарды осылайша
кескіндегенде нақты сандар абсциссалар осінің нүктелерімен кескінделеді де, ал
ординаталар осінің нүктелері таза жорамал сандарды кескіндейді.Сондықтан абсцисса
осін нақты ось деп, ал ордината осін жорамал ось деп атайды.
z=x+іy комплекс санын =О = (х,у) радиус-векторының көмегімен беруге болады. r
векторының ұзындығын z комплекс санының модулі деп атайды және ол z немесе r
арқылы белгіленеді:
Демек, φ - Ох осін векторының бағытымен беттестіру үшін оң бағытқа бұратын
бұрышты кескіндейді, егер бұру сағат тіліне қарсы бағытта іске асырылса, онда бұл
бұрыш оң, қарсы жағдайда – теріс деп есептелінеді.
комплекс саны үшін аргумент анықталмайды. Әрбір комплекс саны үшін оның
аргументінің бірінен- бірінің айырмашылығы болатын көп мәндері болады.
Ескерту. Көп жағдайда есеп шығару барысында аргументтің бас мәні

формуласымен анықталады.
түрінде жазуға болады. Комплекс санының мұндай жазылуын комплекс
санының көрсеткіштік түрі деп атайды.
2.2 Комплекс сандарды оқыту әдістері
Комплекс саны деп түрлері аталады, мұнда және – кез келген нақты сан, – арнайы сан,
ол жалған бірлік болып аталады. Мұндай теңдеу ұғымы және қосу көбейту операциялары
келесі түрде енгізіледі:
1. екі комплекс саның және c тең деп мына жағдайда айтуға болады егер, және болса;
2. екі комплекс санның сомасы деп және c мына комплекс саны аталады
3. екі комплекс санның туындысы деп және c мына комплекс санды атаймыз ;
Комплекс санының модулі деп вектордың ұзындығы аталады, ол мына санға сәйкестікте
болады: =
Комплекс санның модулі әдетте z санымен немесе r белгіленеді. Көрсетілген
формуладағы анықтама Пифагор теоремасының көмегімен оңай шығарылады (2-сурет ).
Қорытынды

Курстық жұмысты жазу барысында геометрияның тарихына шолу жасадық. Оның ішіндегі
комплекс сандар деген тақырыпқа тереңірек тоқталдық. Комплекс сандардың тарихымен,
алгебрада және геометрияда қолданылуымен таныстық. Комплекс сандардың интегралдық
есептеуде, механикада және геометрияда қолдануларын қарастырдық. Комплекс сандардың
көптеген сұрақтарда, жазықтықта вектормен көрсетілетін шамалары бар, керекті екендігі
белгілі болды: су ағынын зерттеу кезінде, серпімділік теориясы тапсырмаларында,
теориялық электротехникада.
Курстық жұмысты жазу барысында С.А.Бадаев,А.Т.Мусин және тағы басқа
ғалымдардың еңбектерін қолдандық. С.А.Бадаевтың “Аналитикалық геометрия және
сызықтық алгебра курсы” оқу құралында комплекс сандарға қолданылатын амалдар және
қасиеттері нақты және түсінікті жазылған. А.Т.Мусиннің “Аналитикалық геометрия және
сызықтық алгебра курсы” оқу құралында комплекс санның тригонометриялық нұсқасы
және кескінделуі жайлы қысқаша айтылған.Бірнеше мысалдар да келтірілген.
НАЗАРЛАРЫҢЫЗҒА
РАХМЕТ!

Ұқсас жұмыстар

Векторлық кеңістік

Инверсия және шеңберлер

Бөлшек сандар немересі

Оқыту әдістемесі

Стереометриядағы векторлық әдіс

Ревизор шығармасы ның авторы кім

Ферменттік препараттардың әсер ету механизмі

Жаңаөзен қаласы

Элементтердің комплекс түзу қабілеттіліктерінің периодтық жүйедегі орналасқан орнына тәуелділігі

Комплексті қосылыстардың биологиялық рөлі

Пәндер