БЕТТІҢ АНЫҚТАМАСЫ

Презентация қосу

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ГЕОМЕТРИЯНЫҢ
БЕТТЕР ТЕОРИЯСЫ, ЕСЕПТЕРІ
Кіріспе
Менің курстық жұмысымның тақырыбы «дифференциалдық геометрияның беттер теориясы,
есептері».
Беттер теориясы — дифференциалдық геометрияның беттерінің қасиетін зерттейтін саласы.
Классикалық беттер теориясында беттің қозғалыс кезінде өзгермейтін қасиеттері
қарастырылады. Оның негізгі есептерінің бірі — беттегі өлшеулер. Беттегі өлшеулердің
көмегімен алынған фактілер жиынтығы беттің ішкі геометриясын құрайды. Сызықтың
ұзындығы, екі бағыттың арасындағы бұрыш, сондай-ақ, геодезиялық сызық, геодезиялық
сызықтың қисықтығы, т.Б. Ұғымдар беттің ішкі геометриясының ұғымдарына жатады.
Жалпы жағдайда беттің табиғаты сан алуан болып келеді. Сондықтан оны жазықтықтың
бөлігінен деформация арқылы алу мүмкін емес. Олар өзін-өзі қиятын немесе беттескен
бөліктері де бар болуы мүмкін. Дегенмен, мұндай беттің әрбір нүктесінің маңайының
құрылымы элементарлық бет тәрізді болып келеді.
Беттердің геометриялық қасиеттерін зерттеу үшін оларға кейбір шарттар – регулярлық
шартын қоямыз. Ерекшеліктері жоқ беттерді қарастыруымен ғана шектеліп қоймай және
оларды зерттеу үшін тиімді тәсілдерді дамытып, біз беттердің кейбір маңызды
сипаттамаларын: бетке жүргізілген жанама жазықытық және нормаль, бірінші және
екінші квадраттық формалар және т.б. енгіземіз.
БЕТТІҢ АНЫҚТАМАСЫ
• Жай және регулярлық беттер. Біз бұдан былай евклидтік кеңістіктерді
қарастырамыз.Бұл кеңістіктерде декарттық координаталар системалары берілген деп,
яғни кеңістігінің әрбір нүктесіне екі нақты сан, кеңістігінің әрбір нүктесінде үш
нақты сан сәйкестікке қойылған деп есептейміз. кеңістігінің метрикасы болсын. Онда
кеңістігінің теңсіздігін қанағаттандыратын барлық М нүктелерінің жиынын, центрі
нүктесі, радиусы ε, ашық дөңгелек дейміз. Мұндағы ε – тұрақты, берілген нүкте және
Анықтама. кеңістігіндегі ашық дөңгелектің гомеоморфты бейнесі болатын,
кеңістігіндегі нүктелердің жиынын жай бет деп атаймыз.
G - деп кеңістігіндегі ашық дөңгелекті белгілейік.
Р⊂ осы ашық дөңгелектің гомеоморфты бейнесі болсын.Онда бір f
гомеоморфизмі табылып, f(g)=p. Келісуіміз бойынша кеңістіктерінде координаталар
системасы берілген. Олай болса, f бейнелеуі (u,v)∊g нүктесіне (x,y,z)=p нүктесін
сәйкестікке қояды. Яғни төмендегідей:
• (2.1.1)

(2.1.1) теңдіктер системасын Р бетінің параметрлік теңдеуі деп атаймыз.
Ал, мына

(2.1.2)

Теңдікті р бетінің векторлық теңдеуі деп атаймыз.
ЖАНАМА ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ АНЫҚТАМАСЫ
• Бізге бір P регулярлық беті берілсін. M – осы P бетінің кез келген нүктесі болсын.
Анықтама. P бетінің M нүктесі арқылы өтетін, P бетінде жатқан барлық
регулярлық қисықтардың M нүктесіндегі жанама түзулердің жиынын, P бетінің M
нүктесіндегі контингенциясы деп атайды. Егер ол жазықтық болса, онда оны P
бетінің M нүктесіндегі жанама жазықтығы деп атаймыз.
нүктесі арқылы өтетін, векторлары арқылы анықталатын жазықтықты деп
белгілейік, бетке нүктесінде жүргізілген жанама жазықтық болады.
Берілген нүкте, жанама жазықтықтың ағым нүктесі болсын, онда векторлары
компланар, яғни
(2.2.1)
үштігі М нүктесінің координаталары, ал үштігі нүктелерінің координаталары
болсын. Онда (2.2.1) теңдік координаталар түрінде төмендегідей жазылады:
•
(2.2.2)

алып жазуға болады. Бұл параметрлік түрде берілген бетке жүргізілген жанама
жазықтықтың теңдеуі.
Егер бет айқын түрде

Теңдеуімен берілсе, және деп алсақ, (2.2.9) теңдіктен:

(2.2.3)
шығады.
БЕТТІҢ НОРМАЛІ
• Енді беттің нормалінің теңдеулерін қарастырайық. Векторлары жанама жазықтықты
анықтап тұрған векторлар болғандықтан, олардың әрқайсысы нормальдің бағыттаушы вектор
болады. Егер векторын координаталық түрде жазсақ былай болады:

Мұндағы анықтауыштардың төменгі жағындағы м индекс анықтауыштың осы нүктеде
есептелетінін көрсетеді. болсын. X, Y, Z деп нормальдің ағым координаталарын белгілейік.
Онда нормальдің канондық теңдеуін жазуға болады:
•
Мысал 1. Берілген нүктедегі беттің жанама жазықтығы мен нормалінің теңдеуін құру
керек:
•
•
БЕТТІҢ БІРІНШІ КВАДРАТТЫҚ ФОРМАСЫ
• Анықтама. Беттің вектор функциясының дифференциалының скалярлық
квадратын беттің бірінші квадраттық формасы деп атайды.
Вектор функцияның дифференциалының анықтамасы бойынша:

Егер бірінші квадраттық форманы деп белгілесек, онда

Төмендегідей белгілеулер енгізейік:
• Онда бірінші квадрттық форманы былай жазуға болады:

Ал шамаларын бірінші квадраттық форманың коэфициенттері деп атайды.
Егер бет параметрлік теңдеумен берілсе, онда болатындықтан,

деп жазуға болады.
•Мысал 2. бірінші квадраттық форманы табыңыз:

Жауабы:
БЕТТІҢ ЕКІНШІ КВАДРАТТЫҚ ФОРМАСЫ
•
Анықтама. Беттің екінші квадраттық формасы деп, формасын айтамыз. Нормаль
вектордың анықтамасы бойынша ендеше, олай болса, теңдігі орындалады. Осы теңдіктен
тағы да толық дифференциал алсақ, онда

Сонымен .
.
Соңғы теңдікдің екі жағын – ға скаляр түрде көбейтіп, екенін ескере отырып, теңдігін
табамыз. Енді

белгілеулерін енгізейік.
• Онда екінші квадраттық форманы

Түрінде жазуға болады. Векторының анықтамасын және екенін ескере отырып,
формулаларды

Түрінде жазамыз. Егер бет параметрлік түрде берілсе, онда

болады.
•МЫСАЛ 1.
•
•

Жауабы:
Қорытынды
Менің бұл курстық жұмыста қамтыған мәселелерім: бет туралы ұғым, бетке жүргізілген жанама
жазықтық және нормаль, беттің бірінші квадраттық формасы, беттің екінші квадраттық формасы және
осы қарастырған тақырыптарыма арналған есептер.
Есеп мағынасын білу үшін, әрине, оның шығару жолын түсініп алуымыз міндетті. Сондықтан да
беттер теориясын көп ізденіп есептерге тоқталдым.
Дифференциалдық геометрияның беттер теориясын іздестіру барысы маған аса қиындық тудырған
жоқ. Беттер теориясының бастапқы ұғымын А.Т.Мусин, Ж.Нұрпейісов, А.В.Погорелов және т.Б
кітаптарынан талдай отырып жаздым.
Ізденістер барысында «беттің бірінші және екінші квадраттық формасы» жақсы ашылған кітап –
н.Хайруллина (дифференциалдық гоеметрия) екендігін байқадым.
Мен бұл курстық жұмысты жаза отырып беттер теориясын толық білдім және оны шығару
түрлерін зерттедім, іздендім және білімімді одан әрі шыңдадым. Теориялық материалды жақсы біліп
қана қоймай, оны есептер шығаруда тиімді пайдалана білу қажет. Беттер теориясын есептеудің бірнеше
түрлерімен және көптеген шығару тәсілдерімен таныстым. Енгізген формулалардың әрқайсысына
тоқталып кеттім.
Қорыта келгенде, жеке жұмыс жазғанда ең бастысы талпыныс болу керек. Менің зерттеген
тақырыбым қызықтырарлық болды. Өз алдыма қойған сұрақтарға жауап беріп, қойған мақсатыма
жеттім деп айта аламын.

Ұқсас жұмыстар

Терінің зақымдануы - басты белгісі

Сұйықтың стакан түбіне қандай күш түсіретінін есептеңдер

Геодезиялық сызықтар

Жүректің зақымдануы

Беттің белгілі бір орнына сілтеме

Құжат беттерін рәсімдеу

Сканерлеуші электронды микроскоптар

Сканирлеуші зондтық микроскопия: туннельдік, атомдық-күштік және магниттік-күштік микроскопия

HTML программалау тілі

Сканерлейтін зондты микроскоптар және жұмыс істеу принциптері

Пәндер