Векторлық кеңістік: анықтамалар, аксиомалар және қолданылуы

Векторлық кеңістік

Орындаған: А. Кицул

Тобы: М-21

Тексерген: Ж. Хырхынбай

Векторлық кеңістіктің аксиомалары 1) a+b=b+a; 2) (a+b) +c=a+(b+c) ;

;

, c=-a;

;

Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі анықтамасы. V векторлық кеңістікте келесі шарттарды қанағаттандыратын L векторлар жиынтығы болсын: 10 L құрамындағы u1 және u2 қандай болғанына қарамастан, олардың жалпы сомасы да L жиынтығына тиесілі болады. 20 L құрамындағы u векторы мен λ саны қандай болғанына қарамастан, λu векторы да L жиынтығына тиесілі болады. Осы екі шартты қанағаттандыратын кез келген L жиынтығы V векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі деп аталады.

Векторлық кеңістіктің қосымшалары Векторлық кеңістіктің қосымшалары дегеніміз векторлық кеңістіктің әр жерде қолданылуы. Мысалы геметрияда, сызықты алгебрада, функционалдық анализде қолдануы.

Геометрияда.

Геометрияда векторды бағытталған кесінділер ретінде қарастырады. Ол түсіндірмені жарықтандыра карталарын құру кезінде компьютерлік графикада жиі пайдаланады. Сондай-ақ, векторлардың көмегімен әр түрлі фигуралардың аудандарын табуға болады, мысалы үшбұрыштардың немесе параллелограммдардың, сонымен қатар денелердің көлемдерін: тетраэдр және параллелепипед.

Кей кездері вектор арқылы бағыттарды теңестіреді.

Вектор геометрияда тасымалға (параллельді тасымал) теңестіріледі, ал ол оның атауының шығу негізін түсіндіреді (лат. Vector, тасымалдаушы) . Шынымен де, кез келген бағытталған кесінді жазықтық немесе кеңістіктің параллельді көшуін анықтайды және керісінше, параллельлі көшу міндетті түрде жалғыз бағытталған кесіндіні анықтайды (міндетті түрде - кесіндінің барлық бағыттарын тең және ұзындықтары бірдей деп алса - яғни оларды еркін векторлар ретінде қарастырса) .

Векторды тасымалдаушы ретінде түсіндіру векторларды екі (немесе бірнеше) композиция (кезектес пайдаланылатын) ретінде қосу операциясын табиғи және интуитивті айқын тәсілмен енгізу мүмкіндігін береді; ол векторды санға көбейту операциясына да қатысты.

Сызықтық алгебрада.

Сызықтық алгебрада вектор деп сызықтық кеңістіктің элементі аталады, ал ол төмендегі жалпы анықтамаға сәйкес келеді. Векторлар табиғаты әр түрлі болуы мүмкін: бағытталған кесінділер, матрицалар, сандар, функциялар және басқалары, бір шамалы барлық сызықтық кеңістіктер өзара изоморфты.

Вектордың аталған түсінігін көбінесе сызықтық алгебралық теңдіктерді шешу кезінде, сондай-ақ сызықтық операторлармен (сызықтық операторға мысал - бұрылыс операторы) жұмыс кезінде қолданылады. Ол анықтаманы норманы немесе скалярлық туындыны (мүмкін екеуін бірге) анықтай отырып, әдетте кеңейтеді, ал содан кейін нормаланған және евклидтік кеңістіктермен операция жүргізеді, скалярлық туындымен көбінесе векторлар арасындағы бұрышты ал нормамен - вектор ұзындығы түсінігін байланыстырады. Көптеген математикалық нысандар (мысалы, матрицалар, тензорлар және т. б. ), соның ішінде соңғы реттелген тізімге қарағанда (кей кездері есептіктен де жалпы) жалпырақ құрылымға ие нысандар векторлық кеңістік аксиомаларын қанағаттандырады, яғни алгебра тұрғысынан векторлар болып табылады.

Функциялық анализде

Функциялық анализде функциялық кеңістіктер - шексіз сызықтық кеңістіктер қарастырылады. Олардың элементтері болып функциялар болуы мүмкін. Осы тұжырым негізінде Фурье қатарлары теориясы құрылған. Сызықтық алгебраға балама ретінде функция кеңістігінде норманығ скалярлық туындыны немесе метриканы енгізеді. Гильбер кеңістігі элементі ретіндегі функцияға дифференциялық теңдіктерді шешудің кейбір тәсілдері негізделеді, мысалы, соңғы элементтер тәсілі.