Аксиомалар системасының интерпретациясы

Геометрия аксиоматикасы

Кіріспе

Гильберттің ең маңызды ғылыми шығармаларының бірі «Геометрияның негіздемесі» атты еңбегі. Пиери еңбектері сияқты, Гильберттің бұл еңбегі 1899 жылы бірінші баспадан шыққан. Қазіргі аудармасы 1930 жылы жетінші баспадан бастап істеген. Осы еңбегінде Евклидтің геометриясының аксиомасының толық жүйесін берді. Гильберт жүйелі түрде өз аксиомаларының өзара тәуелсіздігін үйренеді және өзі іргелі геометриялық теоремалардың аксиомаларын жасады.

Гильберттің «Геометрияның негіздемесі» атты еңбегіндегі аксиоматикаға арналған бөлімінің алғы сөзінде былай деп жазылған «Геометрия - арифметика сияқты өзінің құрастырған тек қана бір шама негізгі ережелерін талап етеді. Бұл негізгі ережелер геометриялық аксиомалар деп аталады. Геометриялық аксиомалардың анықталуы және олардың арақатынастарының зерттелуі Евклид заманындағы математикалық әдебиеттің көп ғажайып шығармаларының тақырыбы болып табылған.

Зерттеулердің жаңа талаптарын ескере отырып толық және оңай аксиомалар жүйесін геометрия үшін орнатуға болады, сонымен қатар ең маңызды геометриялық аксиомалар мен теоремалар түсінікті болу үшін аксиомалардың әр түрлі топтарынан жеке аксиомалар пайда болды».

Мақсаты: Гильберт аксиоматикасын, теоремаларын, тұжырымдамалары мен системаларын толық қарастыру.

Міндеті: Гильберт аксиоматикасымен танысу, олардың салдарын, сызбаларын ажырата білу.

Аксиоматикалық метод

Аксиоматикалық методты зерттеп жасау мәселесіне еңбек сіңірген математиктер - Паш, Пеано, Веронезе, Гильберт. Әсіресе Д. Гильбертті ерекше атау керек, оның «Геометрияның негіздері» деген 1899ж. басылып шыққан классикалық еңбегінде Евклид геометриясының қайшылықсыз және толық аксиомалар системасы туралы баяндалады.

Енді Евклид геометриясының аксиомалар системасын келтірейік. (Бұл аксиомалар системасын Д. Гильберт құрған, сол себептен олар Гильберт системасы деп аталады) .

Объектілердің немесе кез келген заттардың үш түрлі жиынын қарастырамыз. Бірінші жиын объектілерін нүктелер деп, екінші жиын объектілерін түзулер деп, ал үшінші жиын объектілерін жазықтықтар деп атауға келісейік. Нүктелер, түзулер және жазықтықтар бір-бірімен үш түрлі қатынаста болуы мүмкін деп ұйғарайық. Ол қатынастарды байланыс, реттік, конгруэнттік (немесе теңдік) қатынастары деп атайық.

Негізгі объектілер (яғни нүктелер, түзулер, жазықтықтар және олардың арасындағы байланыс, реттік, конгруэнттік қатынастар) төменде келтірілген аксиомалардың шарттарын қанағаттандыруға тиіс. Евклид геометриясының аксиомалары бес топқа бөлінеді, олар:

I - байланыс аксиомалары,

II - рет аксиомалары,

III - конгруэнттік аксиомалары,

IV - үзіліссіздік аксиомасы,

V - параллельдік аксиомасы.

I. Байланыс аксиомалары

II. Рет аксиомалары

III. Конгруэнттік аксиомалары

IV. Үзіліссіздік аксиомасы

IV (Дедикиндтің аксиомасы) . АВ кесіндісінің барлық нүктелерін (А мен В-ні қамти) екі жинаққа, яғни екі класқа, бөлейік, сонымен бірге:

1) кесіндінің әр нүктесі тек қана бір класқа жатсын, ал А - бірінші кластың, В - екінші кластың нүктелері болсын; әрбір класта А мен В-ден өзгеше нүктелер бар дейік;

2) бірінші кластың әрбір нүктесі А мен екінші кластағы кез келген нүктенің арасында жатсын.

Үзіліссіздік аксиомасынан және I, II, III топтағы аксиомалардан шығатын өте маңызды мынадай бір салдар бар: түзуде, жазықтықта, кеңістікте координаталар методын қолдануға болады. Сондықтан геометрияда анализдің теоремаларын пайдалануға мүмкіншілік туады.

Анықтама. I, II, III, IV топ аксиомалары мен осыдан шығатын салдарды абсолюттік геометрия дейді.

Абсолюттік геометрияға жататын бізге белгілі теоремалардан басқа тағы да бірнеше теоремаларды келтірейік.

Теорема. Үшбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы 2d-ден кем я 2d-ге тең болады.

Теорема. Кез келген нүктеден кез келген түзуге перпендикуляр жүргізуге, онда да тек жалғыз перпендикуляр жүргізуге болады.

Теорема. Кез келген үшбұрыштың әрбір қабырғасы басқа екі қабырғасының қосындысынан кем де, олардың айырмасынан артық болады.

Анықтама. Бір жазықтықтағы ортақ нүктесіз екі түзуді параллель түзулер дейді.

Параллель түзулердің бар екендігін дәлелдейік.

Теорема. Егер де a, b, c түзулері бір жазықтықта жатып, с түзуі а және b түзулерін қиып өткендегі сәйкес бұрыштар тең болса, онда а мен b параллель болады.

Дәлелдеме. с түзуі а түзуін А нүктесінде, b түзуін В нүктесінде қиятын болсын. Керісінше жориық, яғни а және b параллель болмасын. Онда а мен b-нің ортақ бір О нүктесі болады да, АВО үшбұрышының сыртқы бұрышы сыбайлас емес ішкі бұрышқа тең болады. Бұл бұрын қарастырылған теорема қайшы, демек, а түзуі мен b түзуінің ортақ нүктесі болмайды, яғни олар параллель.

Теорема. Берілген а түзуінің бойында жатпайтын А нүктесі берілсін. Осы түзумен және осы нүктемен анықталған жазықтықта А нүктесі арқылы а түзуіне параллель түзу жүргізуге болады.

Дәлелдеме. А нүктесінен а түзуіне АР перпендикулярын жүргізейік, бұл перпендикулярға перпендикуляр болатын, А нүктесі арқылы өтетін түзу а-ға параллель болады.

V. Параллельдік аксиомасы

Евклидтің V постулатының баламасы ретінде әр кезде әр түрлі пікірлер, тұжырымдамалар айтылғандығы туралы бұрын ескертілген болатын. Сондай тұжырымдамалардың бірі - ағылшын математигі Плейфердің тұжырымдамасы. Параллельдік аксиома ретінде осы тұжырымдаманы келтіреміз.

V (параллельдік аксиомасы) . а түзуінің бойында жатпайтын А нүктесі берілсін. Осы түзумен және сол нүктемен анықталған жазықтықтағы А нүктесі арқылы өтетін а түзуін қимайтын түзулердің саны бірден артық болмайды.

Бұл аксиомадан мынадай салдар шығады:

Теорема. Егер параллель екі түзуді үшінші бір түзу қиып өтетін болса, онда пайда болған сәйкес бұрыштар тең болады.

Бұл теореманы пайдаланып, мынадай теореманы дәлелдеуге болады.

Теорема. Кез келген үшбұрыштың барлық ішкі бұрыштарының қосындысы 2d-ге тең.

I - V аксиомаларға сүйеніп, Евклид геометрияының кез келген теоремасын дәлелдеуге болады. Бірақ біздің мақсатымыз Евклид геометриясының лигокалық негіздерімен танысу болғандықтан, ол теоремаларды қарастырмаймыз.

Аксиомалар системасының интерпретациясы

Аксиомалар системасын зерттеу

Геометрияны аксиоматикалық әдіспен құрғанда аксиомалар ретінде тиянақты ой-пікірлер, яғни тұжырымдамалар, системасы алынады. Сонда кез келген тұжырымдамалар системасын аксиомалар ретінде қарастыруға бола ма? Жоқ, ол үшін аксиомалар системасы белгілі бір талаптарды қанағаттандыруы тиіс, атап айтқанда, ол система қайшылықсыз (яғни үйлесемді), тәуелсіз және толық болуы керек. Осы мәселелерді жеке-жеке қарастырайық.

Анықтама. Егер қандай да бір аксиомалар системасының екі салдары бір-біріне қайшы болмаса, онда осындай аксиомалар системасын қайшылықсыз дейді.

Берілген аксиомалар системасының қайшылықсыздығын байқау үшін кемінде бір кемінде бір интерпретациясын табу керек. Сол интерпретациядағы негізгі ұғымдардың түсініктемелері қайшылықсыз болса, онда берілген аксиомалардан бір-біріне қайшы салдарлар шықпауға тиіс.

Аксиомалар системасының тәуелсіз болуы оның ішінде артық, яғни басқа аксиомалардан салдар ретінде шығатын аксиомалардың болмауына байланысты. Сонда бұл системада әрбір аксиома басқа аксиомаларға тәуелді боламайды. Осындай аксиомалар системасын минимумдық аксиомалар системасы дейді.

Берілген теорияның минимумдық аксиоматикасын құру оңай емес. Евклид геометриясының аксиоматикасы миниимумдық емес. Кейбір аксиомалар басқа аксиомаларға тәуелді. Мысалы, рет аксиомаларында бір түзудің бойында жатуы басқа, бірінші топтағы, аксиомалармен анықталады, сондықтан да оларға тәуелді болады.

Аксиомалар системасына қойылатын үшінші талап - толықтық. Бір тоерияның аксиомалар системасын қарастырайық. Бұл теорияның барлық тұжырымдаларын үш категорияға бөлуге болады:

1) берілген аксиомалар системасына сүйеніп, шындығын дәлелдеуге болатын тұжырымдамалар;

2) берілген аксиомалар системасына сүйеніп, жалғандағын айқындауға болатын тұжырымдамалар;

3) берілген аксиомалар системасына сүйеніп шындығын дәлелдеуге де, жалғандығын айқындауға да болмайтын тұжырымдамалар. Басқаша айтқанда, бұл тұжырымдамалар берілген аксиомалар системасына қайшы болмайды да, олардан шығатын салдар да болмайды. Мұндай тұжырымдамалар аксиомалар системасына тәуелсіз болады.