Қос интеграл

Презентация қосу

Интегралдар және

қолданылулары
Кіріспе
Мен өзімнің курстық жұмысымда «Интегралдар және олардың қолданылуларын» қарастырамын.
Интеграл (лат.integer-бүтін)-математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан-
туындысы бойынша функцияны іздеу(мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін
функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан – аудан, көлем және доға
ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда
болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады.
“Интеграл” сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған; өзінің шексіз аз
бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама.
Интеграл ұғымы көп айнымалысы бар функцияларға да қолданылады. Интегралдық есептеудің аудан мен
көлемді табуға байланысты бірқатар есептерін ежелгі грек математиктері шешкен. 9-15 ғғ. Орта және Таяу
Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканың табыстарын кейінгі
ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі дамыта алмады. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен
идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. “Интегралдық
есептеу” термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып. Жалпы үш еселі интеграл
дененің көлемін есептеу және пайдалану жолдары, физикалық және механикалық қолданулары
қарастырылады.
Мақсаты: Интегралдар және оның қолданылуларын толық қарастыру
Міндеті: интегралдармен танысу, есептерін шығаруды үйрену, қолданылуларын ажырата білу.
Анықталмаған интеграл
Анықтама. Егер кез келген х бір F(х) табылып F'(х)= f(x) тең болып, F(х) –ті берілген аралықта
f(x) үшін оның алғашқы функциясы деп айтады.
Анықтама. Барлық алғашқы функцияның жиынтығын F(х)+С, f(x) функция анықталмаған
интеграл дейді.
Төмендегі символмен белгіленеді:

f(x) – интеграл астындағы функция

Қасиеттері:
1) ʃ d F(x)=F(x)+C
2) d(ʃ f(x)dx)=f(x)dx
3) ʃ k f(x)dx=kʃ f(x)dx
4) ʃ (f(x)±g(x))dx=ʃ f(x)±ʃ g(x)dx
Негізгі кестесі:
1)
2)
3)
4) →
5)
6)
7)
8)
9) → Дербес түрі
10) →
11) →
12)
Анықталған интеграл
Қисықсызықты трапецияның ауданы туралы есеп:
1.a=x0x1x2…. xi˂xi+1˂ …xn-1 ˂xn=b
2.ξiЄ[xi;xi+1]
3. f(ξi)
4. ; (1)-сигма интегралдық қосынды
S
ρ=
Р=

P-қисықсызықты трапецияның ауданы
Егер интегралдық қосынды 2)] болса, онда ол санды а-дан в-ға дейінгі алынған x→0 f(x) функциясының
анықталған интеграл деп атайды.
a-төменгі шек, b-жоғарғы шек
Қисықсызықты трапецияның ауданы: S
Анықталған интегралдың қолданылуы
Қисық доғасының ұзындығы.
Егер

(1)
теңдеулеріндегі φ мен ψ функциялары [а,b]-да үзіліссіз болса, онда ол
теңдеулер t параметрінің көмегімен берілген жазықтағы үзіліссіз қисықты
анықтайды. t параметрі өссе, (φ(t),ψ(t)) нүктесі жазықтықта қозғалып отырады. t-
нің әр түрлі мәндеріне, мысалы, t=t1, t=t2 (t1≠t2) мәндерінде жазықтықтын бiр ғана
нүктесі сәйкес келуі де мүмкін:

Егер φ(t) мен ψ(t) функцияларының [а,b]-да үзіліссіз туындылары бар болса және
(2)
орындалса, онда (1) – тегіс қисық деп аталады.
Жазық фигура ауданы.
Егер [а,b] кесіндісінде функция f(x)≥0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасы бойынша y =
f(x) қисығымен, Ох-өсімен және х=а, х=b түзулерімен шенелген қисық сызықты трапеция ауданы
S=abfxdx=abydx (3)
тең.
Егер [а,b]-де f(x)≤0 болса, онда (3) анықталған интегралда ≤0 болады, ал оның абсолют шамасы
сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына тең.
Егер f(x) таңбасы [а,b]-де ақырлы сан рет өзгерсе, онда y = f(x), Ох, х=а, х=b қисықтарымен
шенелген жазық фигура ауданы үшін [а,b] кeciндiciн f(x) таңбасы тұрақты болатындай бөліктерге
бөліп, осы бөліктер бойынша алынған интегралдардың абсолют шамаларының қосындысын алуға
болады немесе
S=ab|f(x)|dx (4)
интегралын есептеу керек (29-сурет)
Айналу дененің көлемі.
Тік бұрыш х,y координаталар жуйесіне үзіліссіз оң y = f(x), a≤x≤b функциясымен
сипатталған Г қисығы берілсін. Г қисығының х өсін айналуынан шыққан бетпен
және х = а, х=b жазықтықтарымен шенелген

32-сурет
айналу денесінің V көлемінт есептеу керек болсын (32-сурет). Айналу денесінің
көлемі
V=πabf2dx (5)
Қос интеграл

Қос интеграл анықталған интегралдың интегралдың екі айнымалыға тәуелді функция
жағдайының жалпыламасы болып табылады. XOY жазықтығының тұйық D облысында
үзіліссіз функциясы берілсін.
D облысын саны n-ге тең элементар бөліктеріне бөлшектеп, олардың аудандарын ал
диаметрлерін (облыс нүктелері арасындағы ең үлкен қашықтықты) деп белгілейміз.
Әрбір облысында кез келген нүктесін алып, сол нүктедегі ) түріндегі функция мәнін көбейтіп,
барлық осындай көбейтінділерден

қосындысын тұрғызымыз. Мұндай қосынды D облысындағы функциясының интегралдық
қосындысы деп аталады. n шартында (5.1) интегралдық қосындысының шегін қарастырайық.
Егер осы шек бар болып және ол не D облысының бөлшектену тәсіліне, не ондағы нүктелердің
қалай алынатынына тәуелсіз болса, онда ол D облысы бойынша функциясынан алынға қос
интеграл деп аталады және

деп белгіленеді.
Қос интегралдың қолданылулары
Жазық фигураның ауданын есептеу
Қос интеграл астындағы екі айнымалының функциясы f(x,y)=1 болса, онда қос
интеграл (D) жазық фигурасының ауданын беретінін қос интеграл қасиетінен білеміз.
Ал енді (D) облысы
а x b,

1 ( x ) y 2 ( x)
теңсіздіктерімен анықталатын болса, онда аудан
b 2 ( x)
S dx dy
a 1 ( x)

қайталама интеграл бойынша есептелінетін болады.
Ал егер (D) фигурасы поляр координат жүйесінде
a ,
теңсіздіктерімен анықталатын
1 ( ) 2 ( ) болса,
2( ) онда
S
d d d d
D
1( )
Пластинканың массасы

Берілген пластинканың тығыздығы бойынша оның массасын табайық. Ол үшүн
тығыздығы және айнымалары D облыста үзіліссіз болсын. Облысты еркімізше
бөліктерге бөлейік әрі әрбір бөліктен кез келген нүкте алайық. Онда әрбір
бөліктердің массасы жуық шамамен көбейтіндіге тең, ал барлық пластинканың
масасы бөліктердің массаларының қосындысына тең, яғни

Мұндағы таңба бөліктің ауданы. Пластинканың дәл массасын табу үшүн, облысты
жеткілігінше кіші бөліктерге бөлеміз де, интеграл қосындыдан шекке көшіп
анықтаймыз:
Пластинканың ауырлық центрінің координаттары

Берілген D облысты (пластинканы) бөліктерге бөлейік және әрбір
бөліктерден нүкте алайық . Әрбір бөліктің массасы жуық шамамен
көбейтіндіге тең. Егер әрбір бөліктің массасы бір нүктеге шоғырланса,
онда пластинканың ауырлық центрінің координаттары жуық шамамен
мына формуладан анықталады:
Пластинканың инерция моменттері
D облысты бөліктерге бөлеміз, әр бір бөліктен нүктені таңдап аламыз және массасы нүктеге
шоғырланған пластинканы массалар жүйесіне алмастырамыз. Онда массалар жүйесінің
инерция моменттері жуық шамамен мына формуладан анықталады:

осыдан шекке көшіп, пластинканың осі бойынша инерция моментін табамыз:

осылайша, пластинканың осі бойынша инерция моментін анықтаймыз:

осы сияқты, координат осінің бас нүктесі бойынша пластинканың инерция моментін табамыз:
Үш еселі интеграл

Кеңістіктегі кубтелетін V аймағында үзіліссіз функциясы берілсін. V аймағын көлемдері ∆V 1,
∆V2, ∆V3,…, ∆Vn болатын n бөліктерге бөлшектейміз. V аймағы және элементар ∆V 1, ∆V2, ∆V3,
…, ∆Vn облыстардың көлемдері де солай белгіленеді деп ұйғарайық. Әрбір бөлік ∆V k (k=1, … ,
n) бойынан қалауымызша кез келген нүктесін алып, бұл нүктедегі берілген f(x, y, z)
функциясының мәнін ∆Vk көлеміне көбейтеміз де, қосынды
(9)
құрастырып, оны интегралдық қосынды деп атаймыз. ∆V k бөліктің диаметрін , ал
диаметрлерінің ең үлкенін деп белгілеп, λ=0 интегралдық қосындысының шегін қарастырайық.
Анықтама Егер ұмтылғанда (9) интегралдық қосындының шегі бар болып және ол шек V
аймағын ∆Vk бөліктерге бөлшектеу тәсілінен де, олардың әрбіреуінен нүктесін қалап алу
әдісінен де тәуелсіз болса, онда бұл шек f(x, y, z) функциясының V аймағы бойынша алынған
үш еселі интеграл деп аталады да, былай белгіленеді:
Үш еселі интегралдарда айнымалыны алмастыру

Айталық, XOYZ кеңістігінде V облысы шенелген, жабық UOVW кеңістігінде берілген
V облысымен мына формулалар арқылы x = x(U,V,W), y = y(U,V,W), z = z(U,V,W) бір
– бірін бейнелейтін болсын, сонымен қатар, берілген функциялардың өзі және
туындылары үзіліссіз болсын. Егер якобиан
,
Онда
(10)
болады.
Енді бұл формуланың көп кездесетін дербес жағдайларын қарастырып көрейік.
1) Цилиндрлік координаттар. Мынандай түрдегі координаттарға көшейік (34-сызба, а):

Онда (37) формула:
(11)
2) Сфералық координаттар. Осы координаттар системасында М нүктесінің орны
координаттар арқылы анықталады (34-сызба, ә). Бұл жерде , - ға тең болады. Осыдан
үш еселі интегралды есептейтін формула мына түрде жазылады:
(12)
Қорытынды
Менің бұл курстық жұмыста қамтыған мәселелерім: анықталмаған интеграл, анықталған интеграл, қос
интеграл, қос интегралдың геометриялық мағыналары, айнымалымен ауыстыру және есептеулері, қос
интегралдың геометриялық және физикалық қолданулары, үш еселі интеграл.
Есеп мағынасын білу үшін, әрине, оның шығару жолын түсініп алуымыз міндетті. Сондықтан да қос
интегралдың геометриялық және физикалық анықтауларда маңызды орын алатынын ескере отырып, оның
есептеу жолдарын, тәсілдерін дәлелдеулер арқылы қысқаша баяндадым.
Интегралдарды қолдана білу өте маңызды. Себебі, техника және технологияның дамуына қос
интегралдың үлесі зор. Мысалы: физиканың негіздері болып табылатын масса, ауырлық центрі, инерция
және статикалық моменттер қос интегралдық есептеулерді қажет етеді. Ал геометрияда (физикалық
байланыстарды ескере отырып) жазық фигураның ауданы, дененің көлемі, бет ауданын есептеуде оңай
және тиімді шығару жолымен үлесі зор екендігін білеміз. Сол себептен мен қос интегралдың
қолдануларын толыққанды қарастыра алу үшін геометриялық және физикалық (механикалық) деп
қолдануларын екіге бөліп қарастырдым. Және де оларды тармақтай отырып, ережелері мен мысалдарын
келтірдім. Ізденістер барысында физикалық мағынасы жақсы ашылған кітаптар – А. Т. Мусин, Дүйсек. А.
К (қысқаша анықтама), Н. М. Махмеджанов (Жоғары математика есептер жинағы) екендігін байқадым.
Әйткенмен бұл кітаптармен тоқталып қалмай тағы да басқа кітаптардан ізденіс жүргіздім.
Қорыта келе интегралдардың біздің өмірімізде маңызы зор екендігін байқадым. Және де оны үйрену
барысында математиканың физикаға қажеттілігін тереңінен ұғындым.
Назар аударғандарыңызға
рахмет!

Ұқсас жұмыстар

Интегралдық есептеу термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып

Анықталмаған интеграл

Меншіксіз интегралдар

Анықталған интеграл және оның қолданылулары

Анықталған интеграл. Анықталған интегралдың бар болу шарты. Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері. Орта мән туралы теорема. Ньютон-Лейбнец формуласы. Анықталған интегралды интегралдау әдістері. Анықталған интегралдың қолданылуы

Алғашқы функция және интеграл

Анықталмаған интеграл қасиеттері

Алғашқы функция және интеграл тарауын қайталап, бекіту

Математика пәнінің мұғалімі

Фотоматика калькуляторының көмегімен есептер шығару

Пәндер