Иррационал сандар

Презентация қосу

НАҚТЫ САНДАР
КІРІСПЕ
Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп әрі жалпылана түскен.
Адамзат мәдениетінің тууы және оның дамуымен тығыз байланысты ұғым — сан ұғымы. Тарихтан
бұрынғы заманда сан ұғымының тууы және дамуы тіл дамуымен байланысты болды, өйткені әр санды
атау үшін тіл керек. Міне осы мәселелерді материалистік тұрғыдан талдап, танып білу жаратылыстану
ғылымдар философиясындағы мақсаттардың бірі болып табылады. Буржуазиялық идеалистік «теория»
сан ұғымы адамға туа біткен табиғи категория деп тұжырымдайды. Неміс математигі Кронекер « 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... натурал сандарды жасаған құдай, қалғандары -адамзаттың қолындағы іс» дейді.
Математиканың алғашқы ұғымы — сан ұғымының тууына түрткі болған адамның еңбек
әрекеті. Еңбектену әрекетінде оған бұйымның мөлшерін өлшеп білу керек болды. Әрине бұл ұғым бір
күннің, әйтпесе бір жылдың тіпті бір ғасырдың ішінде қалыптаса қойған жоқ. Сан ұғымының
қалыптасуына мыңдаған жылдар керек болды.
Адамзат мәдениет есігін аша бастаған шақта, ең алдымен натурал сандарды қолданды. Олар
мыналар: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... жеке заттарды санаудың нәтижесінен келіп шыққан бұл
сандар адамзат мәдениетінің ең негізгі табыстарының бірі болып табылады.
Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз) ондық бөлшек түрінде көрсетуге
болады. XVIII ғасырда Л.Эйлер (1707-1783) мен И. Ламберт (1728-1777) кез келген шектеусіз ондық
бөлшек иррационал сан болатынын көрсетеді. Шектеусіз ондық бөлшектер негізінде нақты сандар
құруды неміс математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын мазмұндаудың
басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р.Дедекинд (1831-1897) пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.
1. Нақты сандар жиыны
1.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері
Натурал сандардың жазылуы. Заттарды санау үшін немесе қандай да бір заттың біртекті заттар
арасындағы реттік номерін көрсету үшін пайдаланылатын 1, 2, 3, 4, 5 . . . сандары натурал сандар
деп аталады. Ондық санау системасында кез келген натурал сан 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
цифрларының көмегімен жазылады. Мысалы, 2457 жазылуы 2 – мыңдықтар цифры, 4 – жүздіктер
цифры, 5 – ондықтар цифры және 7 – бірліктер цифры екенін білдіреді.
Натурал сандарға қолданылатын амалдар.
Екі натурал санды қосудың немесе көбейтудің нәтижесі әрқашан натурал сан болады: егер m, n
натурал сандар болса, онда p = m +n де натурал сан, m мен n – қосылғыштар, p – қосынды; p = mn де
натурал сан, m, n – көбейткіштер, p – көбейтінді. Натурал сандарды қосу мен көбейтудің келесі
қасиеттері орынды:
1°. a + b = b + a (қосудың орын ауыстырымдылық қасиеті).
2°. (a + b) + c = a + (b + c) (қосудың терімділік қасиеті).
3°. ab = ba (көбейтудің орын ауыстырымдылық қасиеті).
4°. (ab)c = a(bc) (көбейтудің терімділік қасиеті).
5°. a (b + c) = ab + ac (көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділік қасиеті).
Мысал. 36 421 санын 25 санына бөлгендегі бөлінді мен қалдықты табу
керек.
Шешуі. «Бұрыштап» бөлуді орындайық:

Сонымен, бөлінді 1456, ал қалдық 21 болды. (1) теңдігін пайдаланып,
36421 = 25 ∙ 1456 + 21 деп жаза аламыз.
Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану

• Жоғарыда байқағанымыздай натурал сан қатары, ноль саны, бірлік ұғымдары
адамдардың практикалық қажеттіліктерінен пайда болған. Сондай-ақ сандарға
қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де айналамыздағы
нәрселердің арасындағы қатынастар болады.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан шығады. Бұл
амалдар – қосу, азайту, көбейту, және бөлу.
Қосу. Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы ол сандарды
қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан
шыққан. Расында да, ортақ элементтері жоқ, әр түрлі және екі жиынға тиісті
элементтерді бір жиын етіп біріктіргенде, біз жаңа жиынын шығарып аламыз, ал бұл
жиын және жиындарының, тек солардың ғана барлық элементтерінен құралады.
Қосудың заңдары. Қосудың зандары деп қосындының мынадай қасиеттері аталады:
Ауыстырымдылық (коммутативтік), терімділік (ассоциативтік) және монотондылық.
• Азайту. Екі санның және бірнеше сандардың қосындысы жөніндегі ұғымды біз
жиындардың бірігуін және сол сандарды қосуды қарастырудан тікелей шығардық. Азайту және
басқа да арифметикалық амалдардың мағынасын анықтағанда, жиындарға қолданатын сәйкес
операцияларды қарастырмай-ақ, екі санның қосындысы жөніндегі ұғымға сүйенуімізге
болады.

Мұндағы - азайғыш, - азайтқыш, – айырма немесе қалдық.
Көбейту. Қосу амалына берілген есептерді екі немесе бірнеше тең сандардың қосындысын
табу керек болатын жағдай жиі кездеседі.
Бірдей екі немесе бірнеше сандардың қосындысын табу жаңа амалға көбейту амалын алып
келді. Теріс емес бүтін сан -ны теріс емес бүтін сан -ге көбейту дегеніміз – әрқайсысы -ға тең
-қосылғыштың қосындысын табу деген сөз.

Математикада көбейту былайша белгіленеді.
Рационал және иррационал сандар
•
Рационал сандар жиыны. 1, 2, 3, 4, 5, . . . натурал сандарын оң бүтін сандар деп те атайды. Натурал
сандарға қарама-қарсы -1, -2, -3, -4, -5, . . . сандарын теріс бүтін сандар деп атайды. 0 санын да бүтін
сан деп есептейді. Сонымен, бүтін сандар – натурал сандар, натурал сандарға қарама-қарсы сандар
және 0 саны.
Бүтін сандар мен бөлшектер (оң және теріс) бірігіп рационал сандар жиынын құрайды. Кез келген
рационал сан қатынасы түрінде (мұндағы бүтін, натурал сан) өрнектеле алатынын, сонымен бірге,
бір ғана санды қатынас түрінде көптеген тәсілдермен жазуға болатынын атап өтейік.
Мысалы:

Иррационал сандар.
Шаманы өлшеу үшін тек рационал сандар ғана емес, басқа табиғатта, яғни бүтін немесе бөлшек
болмайтын сандар да пайдаланылады. Бұндай сандардың бәрі иррационал сандар деп аталады.
квадраты 5-ке, 7-ге, 10-ға тең болатындай рационал сандар жоқ. Сәйкес иррационал сандар √5, √7,
√10 арқылы белгіленеді. Оларға қарама-қарсы сандар да иррационал сандар болады да -√5, -√7, -√10
арқылы белгіленеді.
2. Нақты сандар және олардың қасиеттері
2.1 Нақты сандар және оларды салыстыру, жуықтау.
Нақты сандар. Сандық түзу. Рационал сандар мен иррационал сандар бірігіп нақты сандар
жиынын құрайды. Әрбір нақты санға координаталық түзуде жалғыз ғана нүкте сәйкес келеді.
Координаталық түзудің әрбір нүктесі жалғыз ғана нақты санға сәйкес келеді (осы нүктеден
санаудың басына дейінгі қашықтықты табу және табылған санның алдына берліген нүкте,
санаудың басынан оңға қарай немесе солға қарай орналасуына байланысты «+» немесе «-»
таңбасын қою жеткілікті). Ықшамдық үшін әдетте «а санына сәйкес координаталық түзудің
нүктесі» деудің орнына «а нүктесі» дейді, ал «а саны» терминін қолдана отырып, ол «а нақты
саны» екенін есте сақтайды.
Нақты сандар жиыны сандық түзу деп те атайды. Сандық түзудің геометриялық моделі
координаталық түзу болады.
Кейбір сандық жиындардың белгіленуі.
N – натурал сандар жиыны. Z – нақты сандар жиыны. Q – рационал сандар жиыны. R – нақты
сандар жиыны. n ε N жазылуы («n – N жиынында жатады» деп оқылады). Келесі белгілеулер де
осыған ұқсас мағынаға ие болады: m ε Z (m – бүтін сан); r ε Q (r – рационал сан); х ε R (х – нақты
сан).
Нақты санның модулі және қасиеттері
• Нақты а санының модулі (абсолют шамасы) деп болғанда ол санның
өзі, және болғанда оған қарама-қарсы а - саны аталады. а санның
модулі болып белгіленеді. Сонымен,

Геометриялық тұрғыдан координаталық түзуде а нүктесінің 0
нүктесінен қашықтығын білдіреді. Модульдердің қасиеттеріне тоқталсақ:
Сандардың жуық мәндері. Абсолюттік және салыстырмалы
қателіктер. Оның бөлшекті қандай да бір разрядқа дейін дөнгелектерінде
осы разрядтан кейінгі цифрлары нөльдермен ауыстырады, ал егер олар
үтірден кейін тұрған болса, онда оларды ескермей тастайды. Егер осы
разрядтан кейінгі бірінші цифр беске тең немесе одан үлкен болса, онда
қалған ақырғы цифрды 1-ге ұлғайтады. Егер де осы разрядтан кейінгі
бірінші цифр 5-тен кіші болса, онда қалған ақырғы цифрды өзгертпейді.
Нақты санның кемімен және артығымен алынған ондық
жуықтаулары.
12 2 Иррационал
22 2 санын алайық.
1 2 Сонда:
1.4 2 2 1.5 2 1.4 2 1. 5
1.412 2 1.42 2 1.41 2 1.42
1.414 2 2 1.415 2 1.414 2 1.415
1.4142 2 2 1.4143 2 1.4142 2 1.4143
Нақты сандардың қасиеттері және ережелері
•
Сандық теңсіздіктердің қасиеттері.
Кез келген а, b, с, d нақты сандары үшін келесі қасиеттер орындалады.
1°. Егер а < b болса, онда b > а.
2°. Егер а > b және b > с болса, онда а > с (транзитивтік қасиет).
3°. Егер а > b болса, онда а + с > b + с.
4°. Егер а > b және с – оң сан (с > 0) болса, онда ас > bс.
5°. Егер а > b және с – теріс сан (с < 0) болса, онда ас < bс.
6°. Егер а > b және с > d болса, онда а + с > b + d (егер бірдей мағыналы екі дұрыс
теңсіздікті мүшелеп қосса, онда дұрыс теңсіздік алынады).
7°. Егер а, b, с, d – оң сандар және а > b, с > d болса, онда ас > bd (егер бірдей мағыналы
оң жақтары мен сол жақтары оң сандар болатын екі дұрыс теңсіздікті мүшелеп көбейтсе,
онда дұрыс теңсіздік алынады).
80. Егер және болса, онда
90. Егер болса, онда
100. Егер болса, онда кез келген натурал n саны үшін теңсіздігі орындалады
Нақты сандарға амалдар қолдану ережелері
•
Бірдей таңбалы екі санның қосындысы дәл сондай таңбалы сан болады; бұндай қосындының
модулін табу үшін қосылғыштардың модульдерін қосу керек.
Мысалы. (12) + (8) = 20; (-12) + (-8) = -20.
Әр түрлі таңбалы екі санның қосындысы модулі үлкен қосылғыштың таңбасы бар сан болады; бұл
қосындының модулін табу үшін үлкен модульден кіші модульді азайту керек. Мысалы. (12) + (-8) =
(12-8) = 4; (-12) + (8) = (12-8) = -4:
Бір саннан басқа санды азайту үшін азайғышқа азайтқышқа қарама-қарсы санды қосу керек.
Мысалы, 12 - (-8) = 12 + 8 = 20; 12 - (8) = 12 + (-8) = 4
Бірдей таңбалы екі санның көбейтіндісі оң сан, ал әр түрлі таңбалы екі санның көбейтіндісі теріс
сан болады; көбейтіндінің модулін табу үшін берілген сандардың модульдерін көбейту керек.
Мысалы. (-12) ∙(-8)=12∙8=96;

Нақты
10 a b bсандарға
a қолданылатын арифметикалық
40 a ( a ) 0 0 амалдардың қасиеттері.
7 a(b c) ab ac
2 0 ( a b ) c a (c b ) 50 ab ba 8 0 a 1 a
30 a 0 a 1
60 (ab)c a (bc) 9 0 a 1(a 0)
a
Нақты сандардың қасиеттері
• Барлық рационал және иррационал сандар жиыны нақты сандар жиыны
деп аталып, R арқылы белгіленеді.
Кез келген нақты санды шексіз ондық бөлшек түрінде жазу мүмкін.
Периодты шексіз ондық бөлшек рационал санды, ал периодты емес шексіз
ондық бөлшек иррационал санды өрнектейді.
Мысалы,
1 1
0,200..., 0,333... 0, (3) рационал сандар, 0,101001000...,
5 3
1,21211211121... иррационал сандар болады

1. Нақты сандар жиынының тәртіптелгендігі.
Кез келген екі нақты сандар х және у үшін , , үш арақатыстың тек қана
біреуі орындалады. Сонымен қатар, егер , ал болсаболады.
• 2. Тығыздық қасиет.
Рационал сандар жиынындағы тығыздық қасиет нақты сандар жиынында да болады. Бұны мына
теорема түрінде тұжырымдауға болады.
Теорема. Өзара тең емес кез келген екі нақты сан х және у-тің арасында жататын нақты сан
табылады.
3. Үзіліссіздік қасиет.
Нақты сандар жиынындағы қималар да рационал сандар жиынындағы сияқты анықталады, тап
айтқанда:
Барлық нақты сандар жиынының Х және У кластарына бөлінуі сол жиындағы қима деп аталады, егер
мына үш шарт орындалса:

Рационал сандар жиынындағы үшінші түрдегі қима сандардың жаңа түрін – иррационал сандарды
анықтаса. ал нақты сандар жиынындағы қималар нақты сандардан өзге ешбір жаңа сандар
анықтамайды. Оны мына теоремадан көруге болады.
Теорема. (Дедекинд теоремасы). Нақты сандар жиынындағы қандай
қима болса да, мына екі жағдай ғана кездесуі мүмкін:
Х класында ең кіші сан жоқ. (Х, У) қимасы бұл жағдайда Х класының ең
үлкен санын анықтайды.
У класында ең кіші сан бар да, Х класында ең үлкен сан жоқ. Бұл
жағдайда (Х, У) қимасы У класының ең кіші санын анықтайды.
Қорытынды
Сандар мен оларға қолданылатын амалдардың қасиеттері зерттелетін математиканың бөлімі сандар теориясы
деп аталады. Сандар теориясын құрудың бастамасын ежелгі грек оқымыстылары Пифагор, Евклид,
Эратосфен және т.б. жасаған еді.
Сандар теориясының кейбір мәселелері өте жеңіл тұжырымдалады – оларды бесінші сыныптың кез-келген
оқушысы түсіне алады. Бірақ, бұл мәселелерді шешудің аса күрделілігі сондай, оған жүздеген жыл уақыт
кетеді, ал кейбір мәселелерге осы күнге дейін жауап жоқ. Мысалы, ежелгі грек математиктеріне
ынтымақтас сандардың бір пары (220 мен 284) ғана белгілі болған. Тек 18 ғасырда ғана Петербург ғылым
академиясының мүшесі, атақты математик Леонард Эйлер тағы 65 пар ынтымақтас сандарды тапты (олардың
бірі 17296 мен 18416). Алайда, ынтымақтас сандар парларын табудың жалпы тәсілі осы күнге дейін белгісіз.
Ынтықтамас сандар деп - өзінен басқа бөлгіштерінің көбейтіндісіне тең болатын сандарды айтады.
Ежелгі грек математиктерін,сондай-ақ ежелгі үнді математиктерін де қайсыбір геометриялық фигуралар-
үшбұрыштар, квадраттар және т.б. түрінде орналасқан нүктелердің санына сәйкес келетін сандар
қызықтырды. Мұндай сандарды фигуралық сандар деп атады. Мысалы 10 санын үшбұрыштық сан, 16 санын
квадраттық сан деп атады.Мектеп курсында оқытылатын сандар нақты сандар деп аталады. Нақты сандар
рационал және иррационал
сандардан құралған. Рационал сандар деп оң және теріс бүтін сандар , оң
және теріс бөлшек сандарды және нөлді айтамыз. Ал, иррационал сандар деп ақырсыз периодсыз ондық
бөлшек түрінде жазуға болатын санды айтады.

Ұқсас жұмыстар

Нақты сандар жиыны

Иррационал теңдеулерді шешу

Жалпы білім беретін мектепте нақты сандарды оқытып - үйрету

Квадрат түбірлер

Тәуелсіздік бейбітшілік шыңы

Бөлшек сандар немересі

Сайыстың мақсаты

Математика мен химияның байланысы

Бөліктеп интегралдау әдісі Рационал функцияны интегралдау

РАЦИОНАЛ САН

Пәндер