Күрделі функцияның үзіліссіздігі

Презентация қосу

Үзіліссіз функциялар
Кіріспе
• Айталық функциясы сан жиынында анықталсын.
Анықтама. Егер функциясының нүктесінде шегі бар болып, ол функциясының сол нүктедегі мәні
-ге тең болса, онда функциясын нүктесінде үзіліссіз деп атайды.
Бұл анықтаманы үзіліссіздіктің формальды анықтамасы дейді.
Функция үзіліссіз болатын нүктені үзіліссіздік нүктесі дейді.
Анықтама. (Гейне). Егер Х жиынынан алынған кез келген тізбегі санына жинақты болғанда осы
тізбекке сәйкес келетін тізбегі санына жинақты болса, онда функциясын нүктесінде үзіліссіз дейді.
Анықтама. (Коши). Егер кез келген санына сәйкес саны табылып

теңсіздігін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері үшін

теңсіздігі орындалса, онда функциясын нүктесінде үзіліссіз деп атайды. Оны жазады.
Енді ал сәйкес келетін функция өсімшесін деп белгілейміз.
Егер нүктесіндегі аргументтің шексіз аз өсімшесіне функцияның шексіз аз өсімшесі сәйкес келсе,
онда функциясын нүктесінде үзіліссіз деп атайды да былай жазады:
Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігі
• Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігін анықтау нүктесі
функциясының анықталу облысында жатсын және нүктесінде кез келген
маңайы облысының -ден өзге де нүктелерін қамтиды дейік.
1-анықтама. Егер
(1)
болса, онда нүктесінде f функциясы үзіліссіз деп аталады.
болғандықтан, (1) теңдіктен , яғни үзіліссіз функция үшін шекке көшу «lim»
символы мен функция сипаттамасы «f» символының орындарын ауыстырып
жаза беруге болады.
2-анықтама. Егер
()
теңдігі орындалса, онда f функциясы нүктесінде сол (оң) жақты
үзіліссіз функция деп аталады.
• 3-анықтама. Егер f функциясы қандай болса да бір аралықтың әрбір
нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол сол аралықта үзіліссіз функция деп
аталады.
Мысалы, f функциясы (a,b) интервалының әрбір нүктесінде үзіліссіз
болып, ал a нүктесінде оң жақтан ( және b нүктесінде сол жақтан ( үзіліссіз
функция болса, онда ол кесіндісінде үзіліссіз функция болады.
Мысалдар.
1) функциясы кез келген нүктесінде үзіліссіз функция болады.
Шынында да, яғни
2) f(x)= функциясы бүкіл сан түзуінде үзіліссіз. Өзіміз білетіндей,

Бұдан, егер 1-мысалды ескерсек, функциясы х-тің барлық оң және
теріс мәндерінде үзіліссіз болатыны шығады.
• Функция шегінің 1 және 2-анықтамаларына ұйқастырып нүктесіндегі f
функциясының үзіліссіздігінің анықтамаларын тұжырымдап айтайық.
4-анықтама. Егер кез келген тізбегі үшін теңдігі орындалып, оған сәйкес тізбегі
жинақталып және теңдігі орындалса, онда f функциясы нүктесінде үзіліссіз функция
деп аталады.
1-ескерту. Осы айтылған анықтамада нүктесіндегі функция шегінің 1-
анықтамасымен салыстырғанда
тізбегіне(-ге тең элементтерді тіркеп жазса, онда осы жаңа тізбек те f(-ге
жинақталатын болады.
5-анықтама. Егер кез келген ε 0 саны үшін оған тәуелді δ>0 саны табылып, <δ
шартын қанағаттандыратын барлық x үшін < ε теңсіздігі орындалса, онда f функциясы
нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
2-ескерту. Осы айтылған анықтамада (2-анықтамасымен салыстырғанда) х шарты
талап етілмеген; бұл шартты алып тастаймыз, өйткені x= болса, f( болғандықтан, кез
келген ε> 0 саны үшін теңсіздігі орындалады.
Үзіліссіз функциялардың кейбір жергілікті (локальдік) қасиеттері
• Функциялардың жергілікті қасиеттері деп, оның анықталу облысында
жатқан бекітілген бір нүктенің мейлінше кішкене маңайында орындалатын
қасиеттерді айтады. Мысалы, нүктесіндегі функциясының үзіліссіздігі оның
жергілікті қасиеті болып саналады. Функцияның бұдан өзге тағы екі жергілікті
қасиетін мына теоремалар арқылы береді.
1-теорема. Егер нүктесінде функциясы үзіліссіз болса, онда осы нүктенің
қандай болса да бір маңайында ол функция шенделген болады.
Бұл тұжырымдалған теорема шегі бар функциялардың шенделгендігі
туралы теореманың салдары болады ( нүктесіндегі функциясының
үзіліссіздігінен болатыны шығады).
2-теорема. ( нүктеде үзіліссіз функцияның өз таңбасын сақтауы туралы).
Егер нүктесінде f функциясы үзіліссіз болып және f( мәні оң (теріс) болса,
онда ол функция нүктесінің қандай болса да бір маңайында да оң (теріс)
болады.
Функцияның үзіліс нүктелері және олардың түрлері. Бөлік –бөлік
үзіліссіз функциялар
• Анықтама. Функцияның үзіліссіздік қасиеті орындалмайтын
нүктелерді осы функцияның үзіліс нүктелері деп атайды.
Сондықтан функцияның әрбір үзіліс нүктесінде оның үзіліссіздік
шарттарының кемінде бір шарты бұзылады. Осы шарттардың бірі
болмаса бірі орындалмауына қарай үзіліс нүктелері мына түрлерге
бөлінеді.
1) Жойылатын үзіліс. Егер бар болып және нүктесінде f функциясы
не анықталмаған, не болмаса болса, онда нүктесі f функциясының
жойылатын үзіліс нүктесі депаталады. Мысалы, нүктесі функциясының
жойылатын үзіліс нүктесі болады.
• 2) Бірінші текті үзіліс. Егер нүктесінде f функциясының сол жақты және
оң жақты шектері бар болып, бірақ олар бір-біріне тең болмаса, онда нүктесі f
функциясының бірінші текті үзіліс нүктесі деп аталады. Бірінші текті
үзілісті кейде ақырлы секіріс деп те атайды. нүктесінің өзі f функциясының
анықталу облысына тиісті болуы да, болмауы да мүмкін. Егер болса, f
функцияның мәні оның бір жақты шектеріне тең болмауы да, не сол
шектердің біріне тең болуы да мүмкін. Егер мәні бір жақты шектердің біріне
тең болса, онда, әрине, нүктесінде f(x) функциясы сәйкес жақтан біржақты
үзіліссіз функция болады.
Мысалдар.
1) функциясының х=0 нүктесінде бірінші текті үзілісі бар.
Шынында да, яғни f функциясының бұл нүктедегі біржақты шектері бірі-
бірінен өзгеше. Ал x=0 нүктесінде функция анықталмаған.
• 2) Мына функцияның да
немесе

нүктесінде бірінші текті үзілісі болады. Бұл функция x=0 нүктесінде
анықталған, алайда сол функцияның біржақты шектерінің екеуінен де өзгеше.
3. Екінші текті үзіліс. Егер нүктесінде алынған f функцияның біржақты
шектерінің кемінде бірі ақырсыз болып, не тіпті ол шек болмаса, онда сол
нүктесі f функциясының екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.
Мысалдар.
функциясының x=0 нүктесінде екінші текті үзілісі бар.
Шынында да,
Бір жақты шектердің екеуі де бұл нүктеде шексіздікке тең.
• Анықтама. Егер f функциясы бүкіл кесіндісінде анықталған болып
және кесіндінің саны шектеулі нүктелерден басқа (мүмкін бірінші үзілісі
болатын) барлық ішкі нүктелерінде үзіліссіз болса, мұнымен қоса a
нүктесінде оңжақты үзіліссіз, ал b нүктесінде солжақты үзіліссіз болса,
онда f функциясы кесіндісінде бөлік-бөлік үзіліссіз функция деп
аталады. Егер f функциясы берілген интервалға (не бүкіл сандық өске)
тиісті кез келген кесіндеде үзіліссіз болса, онда f функциясы осы
интервалда (не бүкіл сандық өсте) бөлік-бөлік үзіліссіз функция деп
аталады.
Мысалы, функциясы бүкіл сандық өсте бөлік-бөлік үзіліссіз функция
болады.
Нүктеде үзіліссіз функцияларға арифметикалық амалдар
қолдану
• Теорема. Егер функциялары сандық өстің бір ғана аралығында
беріліп және осы аралыққа тиісті нүктесінде үзіліссіз болса,онда ол
нүктеде мына функциялар да үзіліссіз болады (соңғы өрнек шарты
орындалғанда ғана үзіліссіз болады).
Үзіліссіз екі функция қосындысының (айырымының),
көбейтіндісінің және қатынасының үзіліссіздігі, сондай-ақ күрделі
функцияның үзіліссіздігі (бұл кейін дәлелденеді) де үзіліссіз
функциялардың жергілікті қасиеттеріне жатады.
Күрделі және кері функциялардың үзіліссіздігі
• А) Күрделі функцияның үзіліссіздігі
Теорема. Егер нүктесінде функциясы үзіліссіз болып, ал функциясы үзіліссіз
болса, онда нүктесінде күрделі функциясы үзіліссіз болады.
Б) Кері функцияның үзіліссіздігі
1-теорема (қатаң бірсарынды функция үзіліссіздігінің критерийі). f
функциясы кесіндісінде қатар бірсарынды және дейік. кесіндісінде үзіліссіз
функция болуы үшін, арасында жатқан кез келген саны ол функцияның мәні
болуы қажетті және жеткілікті.
2-теорема (Қатаң бірсарынды және үзіліссіз функцияның кері функциясы
бар болатыны және оның үзіліссіздігі туралы). кесіндісінде функциясы
анықталған, қатаң бірсарынды және үзіліссіз дейік және де болсын. Сонда
функциясы қатаң өспелі (кемімелі) болғанда кесіндісінде оның кері функциясы
анықталған, бірсарынды және үзіліссіз болады.
Элементар функциялардың үзіліссіздігі
Тұрақты функция
• Тұрақты функция y=c бүкіл сандық өсте анықталған және оның
кез келген нүктесінде үзіліссіз функция болады, өйткені оның өсімшесі
сондықтан да, .

Натурал көрсеткішті дәрежелік функция. Көпмүше және
рационал функция

y=x функциясы кез келген нүктесінде үзіліссіз болады, өйткені олай
болса,
• Натурал көрсеткішті дәрежелік функция түріндегі саны шектеулі
үзіліссіз функциялардың көбейтіндісі ретінде, сандық өстің кез келген
нүктесінде үзіліссіз болады. Әрбір көпмүше үзіліссіз y=c және y=x
түріндегі функцияларға үзіліссіздікті сақтап қалдыратын саны шектеулі
арифметикалық амалдар қолдану арқылы алынады. Сонымен,
көпмүшенің қай-қайсысы да сандық өстің әрбір нүктесінде үзіліссіз
функция. Әрбір рационал функция , үзіліссіз екі функцияның
қатынасы ретінде сандық өстің барлық нүктелерінде үзіліссіз болады.
Жалпы дәрежелік функция
• Анықтама. 0 < х < ∞ және нақты сан болсын. Сонда жалпы дәрежелік
функция былайша анықталады .
Жалпы дәрежелік функция үшін мына қасиеттер орындалады:
1) дәрежелік функция әрбір нүктесінде үзіліссіз болады.
Бұл қасиет күрделі функцияның үзіліссіздігі туралы теоремадан шығады.
Мұндағы функциясы барлық үшін үзіліссіз де, ал функциясы кез келген
нүктесінде үзіліссіз болатыны ескеріліп отыр.
2) дәрежелік функция болғанда аралығында өседі және , ал болғанда
аралығында кемиді және .
деп алу түсінікті, сонда функциясы нүктесінде оңжақты үзіліссіз
функция болады да, ал анықталу облысы нүктесінде қамтиды.
Вейерштрасстың бірінші теоремасы (үзіліссіз
функциясының шенделгендігі туралы)
• Егер f функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, онда бұл кесіндіде ол
шенделген функция болады.
2-ескерту. Вейерштрасстың бірінші теоремасына ұқсас теорема
кесіндіден өзге аралықтар үшін дұрыс болмайды. Мысалы функциясы (0;1)
интервалында үзіліссіз, алайда ол аралықта шенделген функция болмайды.
Енді f функциясы Х жиынында өзінің дәл жоғарғы (дәл төменгі)
шенін қабылдай ала ма, әлде жоқ па деген табиғи сұрақ туады, яғни
теңдігін қанағаттандыратын нүктесі бола ма? Бұл сұраққа мына теорема
жауап береді.
Вейерштрасстың екінші теоремасы (экстремаль
мәндерге жету туралы)
• Егер f функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, онда ол осы
кесіндіде өзінің дәл жоғарғы және дәл төменгі шенін қабылдайды.
Басқаша айтқанда, нүктелері табылып, , орындалады.
кесіндісінде үзіліссіз f функциясының дәл жоғарғы және дәл төменгі
шендерін функцияның сол аралықтағы сәйкес ең үлкен (максималь) және
ең кіші (минималь) мәні деп атайды және былай белгілейді:

Енді біз Вейерштрасстың екінші теоремасын былай тұжырымдап
айта аламыз. Кесіндіде үзіліссіз болатын кез келген функция сол кесіндіде
өзінің максималь және минималь мәндерін қабылдайды.
Функцияның бірқалыпты үзіліссіздігі туралы түсінік.
Кантор теоремасы
• Анықтама. Егер кез келген үшін оған сәйкес саны табылып, шартын қанағаттандыратын
Х аралығының кез келген екі нүктесі үшін теңсіздігі орындалса, онда f функциясы Х
аралығында бірқалыпты үзіліссіз деп аталады.
4-ескерту. Егер f функциясы Х жиынында бірқалыпты үзіліссіз болса, онда ол Х жиынының
кез келген жиыншасында да бірқалыпты үзіліссіз болады. Бірқалыпты үзіліссіздік қасиетіне ие
болатын және ондай қасиетке ие болмайтын функцияларға мысал келтірейік.
Мысалы:
функциясы [0.1] кесіндісінде бірқалыпты үзіліссіз. Мұны дәлелдеу үшін шартын
қанағаттандыратын кез келген екі нүктені қарастырайық.Сонда
болады. Сонымен, кез келген үшін оған сәйкес табылып, шартын қанағаттандыратын
кез келген үшін шарты орындалады. Демек, функциясы [0.1] кесіндісінде үзіліссіз болады.
• Қорытынды
Менің курстық жұмысымда қамтыған міселелрім: функцияның нүктедегі үіліссіздігі,
үзіліссіз функциялардың кейбір жеткілікті (локальдік) қасиеттері, функциялардың үзіліссіз
нүктелері және олардың түрлері. Бөлік-бөлік үзіліссіз функциялар, нүктедегі үзіліссіз
функцияларға арифметикалық амалдар қолдану және элементар функциялардың үзіліссідігі.
Қандай да бір нүктесі мен центрі нүктесі болатын қандай да бір аймақта
анықталған, яғни теңдігі орындалатын функцияеын қарастырамыз.
Егер айнымалысына қандайда бір оң немесе теріс өсімшесін берсек және мәнін
қабылдайтын болсын, онда функциясы да қандай да бір өсімшесін қабылдайды.
Функцияның жаңа өсірілген мәні мына түрде анықталады
Дәлелденген теоремалардың шарттарында функцияның аргументі нақты санға
ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар болуы талап етілген еді. Үзіліссіз функциялар, әрине, ол
шарттарды қанағаттандырады (алдыңғы пункттегі 10-ді қараңыз), сондықтан аталған
теоремалардан салдар ретінде үзіліссіз функциялардың келесі маңызды қасиеттері шығады (ол
теоремаларды қолданғанда а-ның орнына хо-ді қою керек).
Мен бұл курстық жұмысты жаза отырып үзіліссіз функцияларды есептеуді және оны
шығару тәсілдерін зерттедім, іздендім және білімімді одан әрі шыңдадым. Теориялық
материалды жақсы біліп қана қоймай, оны есептер шығаруда тиімді пайдалана білу қажет.
Үзіліссіз функцияларды есептеудің бірнеше түрлерімен және көптеген шығару тәсілдерімен

Ұқсас жұмыстар

Функцияның дербес туындыларын табыңдар

Элементар функцияларды туындылау

Көп айнымалы функция туралы түсінік

Туынды табу ережелерін пайдаланып есептер шығару

ТӨТЕНШЕ ЖАҒДАЙ КЕЗІНДЕГІ ҰЙЫМ ЖҰМЫСТАРЫНЫҢ ТҰРАҚТЫЛЫҒЫ

Тест тапсырмалары

Ауызша есептер шығару

Функциясының туындысын табыңдар

Туындылар

Нуклейн қышқылдары ДНҚ

Пәндер