Интегралдық есептеу термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып

Презентация қосу

Үш еселі интеграл
Кіріспе
Мен өзімнің курстық жұмысымда «үш еселі интеграл» тақырыбын қарастырамын.
Интеграл (лат.integer-бүтін)-математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан-
туындысы бойынша функцияны іздеу(мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін
функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан – аудан, көлем және доға
ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда
болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады.
“Интеграл” сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған; өзінің шексіз аз
бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама.
Интеграл ұғымы көп айнымалысы бар функцияларға да қолданылады. Интегралдық есептеудің аудан мен
көлемді табуға байланысты бірқатар есептерін ежелгі грек математиктері шешкен. 9-15 ғғ. Орта және Таяу
Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканың табыстарын кейінгі
ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі дамыта алмады. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен
идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. “Интегралдық
есептеу” термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып. Жалпы үш еселі интеграл
дененің көлемін есептеу және пайдалану жолдары, физикалық және механикалық қолданулары
қарастырылады.
Мақсаты: Үш еселі интеграл және оның қолданбаларын, есептеулерін толық қарастыру.
Міндеті: Үш еселі интегралмен танысу, есептерін шығаруды үйрену, қолданылуларын ажырата білу
Анықталмаған интеграл
Бізге функцияның туындысы белгілі, енді осы функциясының өзін табу керек.
Анықтама. Егер аралығындағы үшін

теңдігі орындалса, онда осы аралықта функцияны функцияның алғашқы функциясы деп
атайды.
Анықтама. интервалындағы функцияның алғашқы функцияларының жиынын
функцияның анықталмаған интегралы деп атайды да, символымен белгілейді.
Мұндағы интеграл астындағы функция, , интеграл астындағы өрнек деп аталады.
Сонымен анықтама бойынша
Негізгі кестесі:
1)
2)
3)
4) →
5)
6)
7)
8)
9) → Дербес түрі
10) →
11) →
12)
Анықталған интеграл
[a, b] кесінді де функциясы анықталсын. нүктелер арқылы [a, b] кесіндіні n дербес бөліктерге бөлеміз.
Дербес бөліктердің ең үлкенінің ұзындығын деп белгілейміз, мұндағы Әрбір дербес кесіндіден кез келген
нүктені таңдап алып, осы нүктедегі функцияның мәнін деп белгілеп мынадай қосындыны құрайық

(1.1) қосынды Риманның интегралдық қосындысы деп аталады. Енді осы (1.1) интегралдық қосындының
ұмтылғандағы шегін қарастырайық

Анықтама. Егер (1.2) қосындының шегі ұмтылғанда бар болса және ол шек [a, b] кесіндіні қалай
бөлшектегенге және нүктелерін қалай таңдап алғанға байланысты болмаса, онда ол шек функцияның [a, b]
кесіндідегі анықталған интегралы деп аталады да, мына таңбалықпен белгіленеді

Кейде (1.3) функцияның [a, b] кесіндідегі Риман интегралы деп те аталады. a және b сандары интегралдың
сәйкес төменгі және жоғарғы шектері, – интеграл астындағы функция, – интеграл астындағы өрнек , х –
интегралдау айнымалысы, [a, b] - интегралдау аймағы (облысы) деп аталады.
Анықталған интегралдың қолданылуы
Қисық доғасының ұзындығы.
Егер

(1)
теңдеулеріндегі φ мен ψ функциялары [а,b]-да үзіліссіз болса, онда ол
теңдеулер t параметрінің көмегімен берілген жазықтағы үзіліссіз қисықты
анықтайды. t параметрі өссе, (φ(t),ψ(t)) нүктесі жазықтықта қозғалып отырады. t-
нің әр түрлі мәндеріне, мысалы, t=t1, t=t2 (t1≠t2) мәндерінде жазықтықтын бiр ғана
нүктесі сәйкес келуі де мүмкін:

Егер φ(t) мен ψ(t) функцияларының [а,b]-да үзіліссіз туындылары бар болса және
(2)
орындалса, онда (1) – тегіс қисық деп аталады.
Жазық фигура ауданы.
Егер [а,b] кесіндісінде функция f(x)≥0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасы бойынша y =
f(x) қисығымен, Ох-өсімен және х=а, х=b түзулерімен шенелген қисық сызықты трапеция ауданы
S=abfxdx=abydx (3)
тең.
Егер [а,b]-де f(x)≤0 болса, онда (3) анықталған интегралда ≤0 болады, ал оның абсолют шамасы
сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына тең.
Егер f(x) таңбасы [а,b]-де ақырлы сан рет өзгерсе, онда y = f(x), Ох, х=а, х=b қисықтарымен
шенелген жазық фигура ауданы үшін [а,b] кeciндiciн f(x) таңбасы тұрақты болатындай бөліктерге
бөліп, осы бөліктер бойынша алынған интегралдардың абсолют шамаларының қосындысын алуға
болады немесе
S=ab|f(x)|dx (4)
интегралын есептеу керек (29-сурет)
Айналу дененің көлемі.
Тік бұрыш х,y координаталар жуйесіне үзіліссіз оң y = f(x), a≤x≤b функциясымен
сипатталған Г қисығы берілсін. Г қисығының х өсін айналуынан шыққан бетпен
және х = а, х=b жазықтықтарымен шенелген

32-сурет
айналу денесінің V көлемінт есептеу керек болсын (32-сурет). Айналу денесінің
көлемі
V=πabf2dx (5)
Қос интеграл

Қос интеграл анықталған интегралдың интегралдың екі айнымалыға тәуелді функция
жағдайының жалпыламасы болып табылады. XOY жазықтығының тұйық D облысында
үзіліссіз функциясы берілсін.
D облысын саны n-ге тең элементар бөліктеріне бөлшектеп, олардың аудандарын ал
диаметрлерін (облыс нүктелері арасындағы ең үлкен қашықтықты) деп белгілейміз.
Әрбір облысында кез келген нүктесін алып, сол нүктедегі ) түріндегі функция мәнін көбейтіп,
барлық осындай көбейтінділерден

қосындысын тұрғызымыз. Мұндай қосынды D облысындағы функциясының интегралдық
қосындысы деп аталады. n шартында (5.1) интегралдық қосындысының шегін қарастырайық.
Егер осы шек бар болып және ол не D облысының бөлшектену тәсіліне, не ондағы нүктелердің
қалай алынатынына тәуелсіз болса, онда ол D облысы бойынша функциясынан алынға қос
интеграл деп аталады және

деп белгіленеді.
Үш еселі интеграл

Кеңістіктегі кубтелетін V аймағында үзіліссіз функциясы берілсін. V аймағын көлемдері ∆V 1,
∆V2, ∆V3,…, ∆Vn болатын n бөліктерге бөлшектейміз. V аймағы және элементар ∆V 1, ∆V2, ∆V3,
…, ∆Vn облыстардың көлемдері де солай белгіленеді деп ұйғарайық. Әрбір бөлік ∆V k (k=1, … ,
n) бойынан қалауымызша кез келген нүктесін алып, бұл нүктедегі берілген f(x, y, z)
функциясының мәнін ∆Vk көлеміне көбейтеміз де, қосынды
(9)
құрастырып, оны интегралдық қосынды деп атаймыз. ∆V k бөліктің диаметрін , ал
диаметрлерінің ең үлкенін деп белгілеп, λ=0 интегралдық қосындысының шегін қарастырайық.
Анықтама Егер ұмтылғанда (9) интегралдық қосындының шегі бар болып және ол шек V
аймағын ∆Vk бөліктерге бөлшектеу тәсілінен де, олардың әрбіреуінен нүктесін қалап алу
әдісінен де тәуелсіз болса, онда бұл шек f(x, y, z) функциясының V аймағы бойынша алынған
үш еселі интеграл деп аталады да, былай белгіленеді:
Үш еселі интегралдың қасиеттері.
1-қасиет. Егер кез келген тұрақты, ал функциясы облысында интегралданса көбейтіндісі де
интегралданады және ол төмендегідей белгіленеді:

2-қасиет. Егер облысында , функциялары жеке-жеке интегралданса, олардың алгебралық қосындысы –де
интегралданады және төмендегідей теңдік орындалады:

3-қасиет. Егер болса, онда

4-қасиет. Егер болса, онда
5-қасиет. Егер болса, онда

6-қасиет. Егер болса, онда -интегралдау аймақтың көлемі.
7-қасиет. Егер болса, онда

8-қасиет. Егер функциясы тұйық аймағында үзіліссіз болса, онда осы аймақтың ең кем дегенде
бір нүкте табылып

мұндағы -интегралдау аймақтың көлемі.
Үш еселі интегралдың кейбір қолданбалары.
Дене массасы
Интеграласты функциясы нүктесіндегі масса үлестірілуінің көлемдік тығыздығы
болып келсе, онда дененің массасы үш еселі интеграл арқылы

түрінде кескінделеді. Егер болса, онда дененің массасы оның көлемені тең болады,
демек
Дене көлемі
облысының көлемі

немесе декарттық координаталарда

формуласымен, цилиндрлік координаталарда

формуласымен, ал сфералық координаталарда

формуласымен өрнектеледі.
Үш еселі интегралды есептеу.
Декарт координата жүйесіндегі үш еселі интеграл
Үш еселі интегралды есептеу біртіндеп үш анықталған интегралдарды есептеуге келтіріледі.
интегралдау аймағы Oz осьіне қарағанда стандартты болсын, яғни төменнен бетпен, ал
жоғарыдан бетпен шенелген дене болсын. Мұндағы және – D аймағында үзіліссіз бір
мәнді функциялар. Ал D дененің Oxy жазықтығындағы проекциясы (100-сурет).
Oz осьіне стандартты аймақта Oz осьіне параллель түзулер осы аймақтың шекарасын тек екі нүктеде
ғана қияды. Онда мына формула орын алады:

D: сызықтармен шенелген болса, мұндағы және функциялар [a,b] кесіндіде бір мәнді үзіліссіз
функциялар, . (101-сурет), онда

Декарт координат жүйесінде үш еселі интеграл (1) формула арқылы есептелінеді.
Ескерту. Егер аймағы күрделі болса, яғни Oz осьіне стандартты болмаса, онда оны Oz осьіне
стандартты болатындай етіп бірнеше бөлікке бөлуге болады.
Мысал. интегралды есептеу керек, мұндағы жазықтармен шенелген аймақ (102-сурет).
Шешімі. аймағы Oz осьі бойынша стандартты (Ох және Оу осьтеріне де стандартты). Бұл аймақтың Оху
жазықтығындағы проекциясы D Oy осьіне стандартты. (1) формула бойынша
Үш еселі интегралдарда айнымалыны алмастыру

Айталық, XOYZ кеңістігінде V облысы шенелген, жабық UOVW кеңістігінде берілген
V облысымен мына формулалар арқылы x = x(U,V,W), y = y(U,V,W), z = z(U,V,W) бір
– бірін бейнелейтін болсын, сонымен қатар, берілген функциялардың өзі және
туындылары үзіліссіз болсын. Егер якобиан
,
Онда
(10)
болады.
Енді бұл формуланың көп кездесетін дербес жағдайларын қарастырып көрейік.
1) Цилиндрлік координаттар. Мынандай түрдегі координаттарға көшейік (34-сызба, а):

Онда (37) формула:
(11)
2) Сфералық координаттар. Осы координаттар системасында М нүктесінің орны
координаттар арқылы анықталады (34-сызба, ә). Бұл жерде , - ға тең болады. Осыдан
үш еселі интегралды есептейтін формула мына түрде жазылады:
(12)

Мысал 2. интегралды есепте, мұндағы шар.
Шешімі. Интегралды сфералық координатқа көшіп есе,птейміз.
Сфераның теңдеуі, -ге тең. Ал интеграл астындағы өрнек болады. Сонымен
Қорытынды
Менің бұл курстық жұмыста қамтыған мәселелерім: анықталмаған интеграл, анықталған интеграл, қос
интеграл, үш еселі интеграл және оның қолданбалары.
Есеп мағынасын білу үшін, әрине, оның шығару жолын түсініп алуымыз міндетті. Сондықтан да қос
интегралдың геометриялық және физикалық анықтауларда маңызды орын алатынын ескере отырып,
оның есептеу жолдарын, тәсілдерін дәлелдеулер арқылы қысқаша баяндадым.
Интегралдар квадратталатын фигуралардан оңтайлы жолмен мән табудың тамаша тәсілі. Және де үш
еселі интегралдың қасиеттерін О.А.Жаутіков, Е.Ә.Қасымов, Тоқбергенов Ж.Б. т.б кітаптарынан талдай
отырып жаздым.
Интегралдарды қолдана білу өте маңызды. Себебі, техника және технологияның дамуына қос
интегралдың үлесі зор. Мысалы: физиканың негіздері болып табылатын масса, ауырлық центрі, инерция
және статикалық моменттер үш еселі интегралдық есептеулерді қажет етеді. Интегралдардың
қолдануларын зерттеу барысында мені О.А.Жаутіков, Е.Ә.Қасымов, Тоқбергенов Ж.Б кітаптары толық
қанды қанағаттандырмады. Себебі, бұл кітаптарда үш еселі интегралдың физикалық және механикалық
мағыналары қысқаша атап көрсетіліпті. Және де ізденістер барысында физикалық мағынасы жақсы
ашылған кітаптар – А. Т. Мусин, В.С. Шипачев (Задачник по высшей математике) екендігін байқадым.
Әйткенмен бұл кітаптармен тоқталып қалмай тағы да басқа кітаптардан ізденіс жүргіздім.
Қорыта келе интегралдардың біздің өмірімізде маңызы зор екендігін байқадым. Және де оны үйрену
барысында математиканың физикаға қажеттілігін тереңінен ұғындым.
Назар аударғандарыңызға
рахмет!

Ұқсас жұмыстар

Анықталған интегралдың қолданылуы

Қос интеграл

Анықталған интеграл. Анықталған интегралдың бар болу шарты. Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері. Орта мән туралы теорема. Ньютон-Лейбнец формуласы. Анықталған интегралды интегралдау әдістері. Анықталған интегралдың қолданылуы

Анықталмаған интеграл

Анықталған интеграл және оның қолданылулары

Меншіксіз интегралдар

Дербес компьютерлердің шығу тарихы

Алғашқы функция және интеграл

КӨЛІК КӘСІПОРЫНДАРЫНЫҢ МАТЕРИАЛДЫҚ ЕМЕС АКТИВТЕРІ

Есептеу құрылғылары

Пәндер