ШЕК ТАБУДЫҢ ӘРТҮРЛІ ТӘСІЛДЕРІ

Презентация қосу

ШЕК ТАБУДЫҢ ӘРТҮРЛІ
ТӘСІЛДЕРІ
• Кіріспе
Мен өзімнің курстық жұмысымда Шек табудың тәсілдері туралы қарастырамын.
Шектердің қазіргі теориясы XIX ғ- дың басында қалыптаса бастады. Шек ұғымы алғаш рет
О. Коши еңбектерінде қолданылды. Тізбек пен функция шектерінің теориясы Б. Больцано
мен К. Вейерштрасстың еңбектері негізінде қалыптасты.
Шек ұғымы математикалық талдауда іргелі ұғым болып табылады. Шек жөнінде
алғашқы мағұлмат сонау мектеп курсында кездеседі. Мәселен, алгебрада шек ұғымы
шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелер қосындысымен байланысса,
геометрияда, шек ұғымы шеңбердің ұзындығын дөңгелек және бет ауданын, дене көлемін
есептеумен байланысады.
Математикалық талдау курсында шек арқылы туынды, анықталған интеграл ұғымдары
енгізіледі. Ең алдымен сандық тізбек ұғымымен танысып, келесі мысалдарды
қарастырайық.
Анықтама. Егер әрбір натурал санға n = 1, 2, … қандай да бір заңдылықпен нақты
саны сәйкес қойылса, онда , ,..., ,... сандар тізбегі анықталған дейді де былай белгіленеді
=, (1)
• Мұндағы әрбір саны (1) тізбектің элементі немесе мүшесі деп
аталады.

Тізбекке мысалдар:

1.=.
2.=.
3.= .
4..
1 Тізбектің шегі
1.1 Сандық тізбек және оның берілу тәсілдері
• Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық функцияны
(немес N жиынының жиынына бейнеленуін) атайды. Бұл функцияның f әріпімен
белгілейік. Сонда анықтама бойынша 1 санына (1) мәні, 2 санына (2) мәні т.с.с.
сәйкес келеді. Жалпы алғанда ондай сәйкестікті былай белгілейді:
n → (n).
Бұл шамаларды сәйкес түрде = (1), = (2),…, = (n),… арқылы белгілеп, оларды
тізбектің бірінші, екінші, және т.с.с. n - ші мүшелері деп атайды, n – ші мүшені
тізбектің жалпы мүшесі дейді. Жалпы мүшесі болатын тізбекті немесе арқылы
белгілейді. Осылайша белгілеуде n номері N натурал сандар жиынының барлық
мәндерін қабылдайды деп түсініледі.
Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері мыналар:
1. Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда n номері бойынша тізбектің
сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып көрсетіледі.
• Мысал: 1. = 1+ . Бұл формула бойынша
= 1 + = , …, = 1 + = 1+ = , т.с.с. Бұл жағдайда тізбегі
= 1 + формуласымен берілген дейік.
2. Рекурренттік тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда тізбектің бірінші мүшесі
беріледі және осы тізбектің белгілі бір неме бірнеше алғашқы мүшелері
бойынша кез- келген мүшесін табу үшін формула беріледі.
Мысал. а) кез келген n ≥ 2 үшін = ; б) кез- келген n ≥ 2 үшін = ; а) және
б) формулалары сәйкес және тізбектерінің берілген алдыңғы мүшесі бойынша
оның кез келген мүшесін (екінші мүшесінен бастап) табуға мүмкіндік береді.
Бұл тізбектер арифметикалық және геометриялық прогрессиялар түрінде бізге
бұрыннан таныс болатын. Тізбектің рекурренттік тәсілмен берілуі шапшаң
есептейтін электрондық есептеуіш машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы
келеді; сонда машина әрі жеңіл, әрі шапшаң орындалатын біріңғай есептеу
операцияларын бірнеше рет қайталайтын болады.
•
3. Баяндап беру тәсілі. Бұл тәсілді қолданғанда тізбек элементтері
баяндап айтылатын болады. Бұл жағдайда тізбектің жалпы мүшесі үшін
формула да, немесе оның мүшелері үшін рекуренттік қатыс та белгісіз
болуы мүмкін. Осы айтылғанды мысалмен түсіндіру үшін мына
тізбектерді қарастырайық.
а) 2, 3, 5, 7, 11,...; б) 2; 2,2; 2,23; 2,236; 2,2361; ... Бұл тізбектерді
былайша баяндайды: бірінші тізбек жәй сандар тізбегі, ал екіншісі саны
үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі.
Тізбек шегін анықтау
• 1- анықтама. Егер кез келген оң ԑ санына сайкес натурал саны табылып, барлық ˃
номерлері үшін ˂ ԑ теңсіздігі орындалса, онда саны тізбегінің шегі деп аталады және
былай жазылады: = немесе n→∞ (символдар арқылы: ⇔∀ԑ ˃ 0 Ǝǀn ˃⇒ǀǀ˂ԑ). Шегі бар
болатын тізбек жинақталатын тізбек деп, ал шегі болмайтын тізбек жинақталмайтын
тізбек деп аталады. Модуль қасиетінің негізінде ǀǀ˂ԑ теңсіздігі -ԑ ˂ немесе ˂ теңсіздігімен
пара пар, олай болса, барлық ˃ үшін (a), яғни нүктесінің ԑ- маңайы тізбектің ˃ нөмірлі
барлық мүшелерін қамтиды. Бұдан тізбек шегінің тағы бір анықтамасына келеміз.
2- анықтама. Егер нүктесінің кез- келген ԑ маңайы тізбегінің саны арқылы
мүшелерінен өзге барлық мүшелерін қамтитын болса, онда осы санын тізбегінің шегі деп
атайды (30- сурет).
• Мысал. 1. тізбегі жинақталады және оның шегі 1 – ге тең. Шынында да, шек
анықтамасының орындалатындығын тексерейік. Ол үшін ˂ ԑ теңсіздігін қарастырайық.
Кейбір түрлендірулерді орындай келе мынаны табамыз:
˂ ԑ⇔˂ ԑ ⇔ ˃ ⇔ ˃ - 1.
Демек, натурал саны табылып, (мысалы, -1 санының бүтін бөлігіне тең), барлық ˃=
нөмірлері үшін ˂ ԑ теңсіздігі орындалады, яғни = 1. Енді ԑ = 0.01 және ԑ=
0.001 мәндеріне сәйкес мәндерін табайық.

а) ԑ = 0.01 ; = (2 1)= 200 – 1= 199; = 199.
б) ԑ = 0.001 ; = (1)= 2000 – 1= 1999;
жағдайда бөлшегі бірден кіші мәндерді қадһбылдай отырып, өсе келе 1 санына
ұмтылады, яғни → 1.
Лопиталь ережесі
• , , , , түріндегі анықталмағандықтарды есептеуге Лопиталь ережесі
жиі қолданылады.
1- теорема. f және g функциялары нұктенің кейбір аймағында, мүмкін
нүктеден басқа барлық нүктелерінде, үзіліссіз және олардың
туындылары бар болсын. Осы көрсетілген аймақта және болып,
=0 (2.1)
теңдіктері орындалсын. Егер бар болса, онда бар болады және мына
теңдік орындалады
= (2.2)
• 1- ЕСКЕРТУ. Лопиталь ережесіндегі (2.2) теңдіктегі шектің бар
болуы қажетті.
Мысал. = 0 . Енді осыған Лопиталь ережесін қолданайық.
= = = = Бірақ шегі жоқ.

2- ЕСКЕРТУ. Егер (2.2) теңдіктің оң жағындағы қатынас түріндегі
анықталмаған болса және фуункциялары 1- ші теореманың шарттарын
қанағаттандырса, онда
= = .
Мысал. = = = = .
• 3- ЕСКЕРТУ.
түріндегі анықталмағанды әрқашанда немесе түріндегі анықталмағандарға
келтіруге болады, яғни оған да Лопиталь ережесін қолдануға болады. Егер
ұмтылғанда , ұмтылсын, онда
= = немесе = =
2. , =
3. , =
4. , =
5. , f – g = - =.
Мысал.
1) = =0, ∀α > 0.
2). = 0, ∀α > 0, > 1.
Тамаша шектер
• (бірінші тамаша шек)
(екінші тамаша шек)
1. Бірінші тамаша шектің салдары.
1) 2) 3)
Осы шектерді есептеп шығарайық.
1) =
мұндағы (косинус функциясы нүктесінде үзіліссіз болатыны себепті).
• 2) функциясы кесіндісінде қатаң бірсарынды және үзіліссіз, ал оған кері функциясы да
болғандықтан, және шарттары мәндес болады. Шекті есептегендегі айнымалыларды
ауыстыру тәсілін қолданып мынаны аламыз:

2. Екінші тамаша шектің салдары.
1) жеке жағдайда (.
2) жеке жағдайда (
3)
• 1)
2) функциясы бүкіл сан түзуінде қатаң бірсарынды және үзіліссіз
болатындықтан, оған кері функциясы да барлық үшін қатаң бірсарынды
үзіліссіз болады. Ал болғанда болғандықтан, және шарттары пара- пар. Әрі
қарай, айнымалыларды ауыстыру ережесі мен 1) мысалды ескеріп, мынаны
аламыз:

3)

⋅⋅
Бұл жерде жағдайда төмендегі ақырсыз кіші функциялардың эквивалентті
болатыны негізделіп отыр:
; ;
Есептер
•№1

№2

№3
Қорытынды

Мен бұл курстық жұмыста қамтыған мәселелер: тізбектің шегі, функцияның
шегі, Лопиталь ережесі, тамаша шектер.
Нақты сандар мен шектер теориясы анализдің фундаменті болып
табылатындықтан оған көбірек тоқталып, айрықша көңіл бөлдім.
Шек – математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Шек табудың әр түрлі
тәсілдерін анықтау мақсатымен қарастырылған теориялық қиын мәселелерді
геометриялық сызбамен, фигуралармен eлecтeттім және абстракт ұғымдарды
көкейге қондыратын, теоремалардың іс жүзінде қалай қолданылатынын
көрсететін бірталай есептер мен мысалдардың шешулерін келтірдім.
Есеп шығара білу – маңызды істердің бірі. Міне осы мәселеге үлкен мән
беріп, ұсынылып отырған курстық жұмыста шек табудың тәсілдеріне
байланысты біраз есептердің шығару жолын көрсеттім.

Ұқсас жұмыстар

Жол жағдайларына байланысты жағдайларын жою және оның салдары

Анықталмаған интеграл

Еңбек нарығы - жұмыс күші сияқты ерекше экономикалық ресурсты сату және сатып алумен байланысты экономикалық қатынастар жиынтығы

Карта - Жер шарының бетін немесе оның бөліктерін белгілі бір картографиялық проекцияда жазықтыққа кішірейтіп және жинақтап бейнелеу

Анықталған интеграл және оның қолданылулары

Интегралдық есептеу термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып

Ақпараттық сауаттылық сабағын өткізу әдістемесі

Ақпараттық ұйымдастыру тәсілдері

Дэвид Аакелдің моделі

МЕНШІК ҚҰҚЫҒЫН ҚОРҒАУ

Пәндер