Элементар функцияларды туындылау

Презентация қосу

Элементарлық функциялардың
туындылары
Кіріспе
• Әуелі элементар функция өзінің анықталу жиынында дифференциалданбауы да мүмкін екенін
ескертейік.
Мәселен, элементар функциясы барлық нақты сандар жиынында анықталған болса да, хо = 0
нүктесінде туындысы (екі жақты) жоқ. Бірақ, егер f функциясы I аралығында элементар және
дифференциалданатын болса, онда f ' функциясы сол аралықта элементар болады. Қысқаша
айтқанда, элементар функцияның туындысы да элементар функция болады.
Бұл өте маңызды қорытынды элементар функцияның анықтамасы мен келесі екі тұжырымнан
шығады. Біріншіден, негізгі элементар функциялардың туындылары да элементар функция болады
(ол алдыңғы пунктте дәлелденген). Екіншіден, егер ер функциясы дифференциалданатын f және g
функцияларының қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі немесе сол функциялардан
құрылған күрделі функциясы болса, онда φ-дің туындысы бар болып, f, g, f ', g' функцияларына
аталған амалдардың кейбіреулерінің қолданылуының нәтижесі болады (ол I—VI дифференциалдау
ережелерінен байқалады). Бұл екі тұжырымнан кез келген дифференциалданатын элементер
функцияның туындысын табу үшін I—VI дифференциалдау ережелері мен негізгі элементар
функциялардың туындыларының 1 —11 формулалары жеткілікті екенін көреміз.
1 Элементар функцияларды туындылау
1.1 Негізгі элементар функциялардың туындылары
• 1°. Тұрақты функцияның туындысы. Егер f тұрақты функция болса, яғни әрбір х
үшін f (х) =с (с — нақты сан) теңдігі орындалса, онда f '(хо)=0 болады.
Расында да, әрбір х үшін демек,
2°. Дәрежелік функцияның туындысы. (— нақты caн) болсын.
Онда болады, демек, 2 (III т. § 8)-пункттегі дәлелденген теңдігі бойынша үшін
пайдаланылған (1) теңдігіне келеміз.
3°. Көрсеткіштік функцияның туындысы болсын. Онда әрбір нақты саны үшін

болады, демек, теңдігі бойынша теңдігіне келемі. Бұдан болғанда, келесі тамаша

теңдігі шығады.
• 4°. Логарифмдік функцияның туындысы болсын. оң саны берілсін. Онда

болады, демек теңдігі бойынша аламыз.

теңдігіне келеміз. Егер болса, онда (2)-нің түрі өте үнемді болады:

5°. пен функцияларының туындылары болсын. Онда болады, демек, теңдігі
түрінде аламыз және косинустың үзіліссіздігі бойынша
1.2 Элементар функциялардың туындылары туралы
• 1°. Күрделі функцияның туындысын табу туралы. Әуелі негізгі элементар
функциялардың туындылар таблицасын VI ереже бойынша былай жалпылап
(өйткені и(х)=х үшін и'(х) = 1) жазайық:

1.… т.б.
Келтірілген таблицадан мынадай қорытынды жасауға болады: егер f
функциясын «сыртқы» функциясы негізгі элементар болатындай, яғни 1 —11
түрлеріндегідей, күрделі функция ретінде бейнелеу мүмкін болса, онда f табу
мәселесі и (х) «ішкі» функциясының туындысын табу мәселесіне келтіріледі.
Әрине, «ішкі» функцияның туындысын табу үшін осының алдында айтылғанды
қайталауға болады. Бұл тәсіл «сырттан ішке» дифференциалдау деп аталады.
• Айтылғанды мысалдармен толықтырайық:
1. функциясының туындысын табу керек болсын. үшін демек, 2 бойынша

өйткені
2°. Гиперболалық функцияларды дифференциалдау.

Егер дәлелденген формулаларды (4—7) формулаларымен салыстырсақ,
онда гиперболалық пен тригопометриялық функцияларда дифференциалдау
формулаларының арасында ұқсастық бар екенін көреміз.
• 3°. Дәрежелі-көрсеткіштік функцияның туындысын табу. дәрежелі-көрсеткіштік
функцияның туындысын табайық. Мұнда и және v функцияларының х нүктесінде
туындысы бар болып, и функциясы х-тің белгілі бір маңайында оң деп ұйғарамыз.
f -ті амықтайтын тепе-теңдіктің екі жағын да логарифмдеп, тепе-теңдігіне келеміз.
Оның екі жағын да дифференциалдайық:

Бұдан екенін ескере отырып, мақсатымыз болатын

Формуласына келеміз.
Мысал 1. болсын. Онда болады, демек, (15) бойынша
1.3 Жоғарғы ретті туындылар
• функциясы аралығында дифференциалдансын. Онда әрбір, санына нақты
санын сәйкес қоятын ереже функция болады.
Егер f функциясы х0 нүктесінде дифференциалданса, яғни

нақты мәнді шегі бар болса, онда сол шекті f функциясының х0 нүктесіндегі екінші
туындысы деп атайды да, символымен белгілейді.
Егер f аралығының әрбір нүктесінде f функциясының екінші туындысы бар болса,
онда f функциясы I аралығында екі рет дифференциалданады немесе екінші ретті
туындысы бар дейді.
Индукция бойынша бұл анықтамалар кез келген оң бүтін п жағдайына таратылады:
• f функциясың І символымем белгілеген кейде ыңғайлы болады.
функциясы f функциясының п-ші немесе п ретті туындысы деп аталады
да, оны белгілеу үшін

Символдары да қолданылады.
f функциясының х нүктесіндегі п ретті туындысы

символдарының бірімен белгіленеді (оқылуы сәйкес «n-ші эф икс», «дэ
эн икс бойынша дэ эн эф», «дэ эн эф икс»).
Кейде бұл символдар функциясының өзін де белгілеу үшін
қолданылады.
1.4 Негізгі элементар функцияларының жоғарғы ретті
туындылары
• 1°. Дәрежелік функцияның жоғарғы ретті туындылары болсын. Оны
бірте-бірте дифференциалдасақ, онда болады. Мұнан әрбір үшін
болатынын көреміз.
Әрине, әрбір мен үшін саны функциясының анықталу жиынынан
алынады.
2°. Көрсеткіштік функциялардың жоғарғы ретті туындылары болсын.
Оны бірте-бірте дифференциалдасақ, онда болады. Мұнан, әрбір үшін
болатынын көреміз. Егер а = е болса, онда
2.2 Элементар функциялардың туындыларын есептеу
Функцияны туынды жәрдемiмен зерттеп, графигiн салу. Бұл үшiн, келесi
зерттеулерді жүргiзген жөн:
1) Функцияның анықталу облысын және функция графигiнiң координат өстерiмен
қиылысатын нүктелерiн табу.
2) Функцияның жұп, тақ, периодты болатындығын тексеру қажет. өйткенi, онда
сәйкес оң х-тер үшiн, не ұзындығы периодқа тең аралықта зерттеу жүргiзсе болғаны.
3) Функцияны үзiлiссiздiкке зерттеп, үзiлiс нүктелерiн тауып, үзiлiс түрiн анықтау
керек. Функция графигiнiң асимптоттарын табу.
4) Функцияның бiркелкi аралықтарын және экстремум нүктелерiн табу.
5)Функцияның дөңестiк (ойыстық) аралықтары және иiлу нүктелерiн табу.
6) Осы зерттеулердiң нәтижесiн пайдаланып, функция графигiн салу.
Қажет болған жағдайда, функция графигiнiң нүктелерiн, оның берiлуiн пайдалана
отырып толықтыруға болады.
Қорытынды
• Күрделі функцияның туындысын тапқанда, оны келтірілген мысалдардағыдай
құраушы функцияларға жіктеудің қажеті жоқ. Жаттығулар арқылы «сырттан ішке» қарай
бірден дифференциалдауға үйренген жөн.
Жалпы қорытынды. f функциясының х0 нүктесіндегі туындысын тапқанда, мына екі
жағдайдың біреуі міддетті түрде орындалады. 1. х 0 нүктесінің белгілі бір 6-маңайында f
элементар функция болады, яғни теңсіздіктерің қанағаттандыратып барлық х сандары
үшін теңдігі орындалатын g элементар функциясы табылады. 2. х 0 нүктесінің әрбір
мадайында f ешқандай элементар функцияға тепе-тең болмайды.
Бірінші жағдайда, теңдігінің орындалуы айқын, ал кез келген g элементар
функциясының туындысын табу мәеслесі жоғарыда талқыланған еді.
Екінші жағдайда, туындының анықтамасын тікелей пайдалануға тура келеді, яғни
шегін табу әдісін іздеу керек.

Ұқсас жұмыстар

ЭЛЕКТР ЖӘНЕ МАГНИТ ӨРІСТЕРІ

Рационал функция - алгебр

Шектер теориясы

Рекурсия және итерация

Периодты функциялар

Массалары протон массасынан үлкен бөлшектер

ЭЛЕМЕНТАР БӨЛШЕКТЕР БАҚЫЛАУ

Мелликен - Иоффе тәжірибесі

Денелердің электрленуі

Күрделі функцияның үзіліссіздігі

Пәндер