Салыстырулар теориясы

Курстық жұмыстың тақырыбы

Салыстыру теориясы және оның қасиеттері.

Курстық жұмыстың мақсаты:

Алгебра және сандар теориясы программасының көптеген тақырыптарымен байланысты сызықты салыстырулардың негізгі ұғымдарын танудағы перманенттік принциптің тиімділігін көрсету.

ЗЕРТТЕУ МІНДЕТТЕРІ:Осы аталған мақсаттан туындайтын міндеттер: таңдамалы есептерде бірінші және жоғары дәрежелі салыстырулар теориясын қолдануды көрсету.

ЗЕРТТЕУ ПӘНІ - алгебра;

Салыстырулар теориясы

Сандардың элементар теориясының маңызды мәселелерінің бірі салыстырулар теориясы болып табылады.

Салыстыру жөніндегі ұғым, мұны ең алғаш рет қолданған Гаусс, бір санның екінші санға бөлінгіштігі ұғымымен тығыз байланысты. Бұл ұғым бізге әсіресе берілген сандардың бірі екіншісіне бөлінетін-бөлінбейтінін және де қандай қалдық қалатынын білу керек болғанда аса қажет болмақ.

Екінші дәрежелі салыстырулар теориясы ХҮІІ-ХІХ ғасырлардағы аса көрнекті математиктер Ферма мен Эйлер, Лангранж бен Лежандр, Чебышев т. б. еңбектерінде туып, қалыптасты. Салыстырулар теориясы әдістері кеңінен ғылым, технология, экономика түрлі салаларында пайдаланылады.

Математикалық зерттеудегі салыстыру теориясы

Математикалық зерттеудің негізгі әдістемесіне:

1) байқау және тәжірибе;

2) салыстыру;

3) талдау және біріктіру;

4) жалпылау және арнайы бағытқа салу;

5) абстракциялау және нақтылау сияқты әдістер жатады.

Орта мектепте математиканы үйрену процесі оны оқыту процесімен бірге қарастырылады.

Математиканы оқытудағы бақылау.

Адамдарды қоршаған ортаның әр алуан құбылыстары мен жекелген нысандарының қасиеттерімен байланыстарына табиғи жағдайда назар аударып, олардың шын мәніндегі табиғи байланыстарының белгілерін үйренін бақылау әдісі дейміз.

Бақылауды қарапайым қабылдаудан ажырата білу керек. Белгілі бір нысанды қабылдау деп, сол нысанның біздің сезім ағзаларымызға әсер етіп, әсері біздің санамызда тікелей бейнеленуін айтады. Ұзақ мерзімді қабылдауды бақылау дейміз.

Бақылау - есте қалдыру және келесі байқаулардың нәтижесін жинақтаудан тұрады.

Математиканы оқытудағы тәжірибе.

Зерттелетін нысандар мен құбылыстардың табиғи жағдайын өзгертіп, оларға жасанды жағдайлар тұғызуды, жасанды жағдайда оларды басқа нысандармен салыстыруды тәжірибе немесе эксперимент деп атайды.

Салыстыру - қоршаған дүниені танудың негізгі тәсілдерінің бірі, ұғымды анықтау мүмкін емес немесе қажет болмаған жағдайда затты танудың тәсілдерінің бірі. Салыстыру обьектілерді олардың арасындағы ұқсастықтары мен айырмашылықтарын анықтау мақсатында оларды өзара салыстырудан тұрады да өздігінше эвристикалық операция мен стратегияны білдіреді.

Оқушының оқу іс-әрекетінде салыстыру өте маңызды роль ойнайды. Мәселен, есімдік пен етістікті, көбейту мен бөлу операцияларын, есептіңком паненттерін (құрамдас бөліктерін, құрылымдық элементтерін), үшбұрыш пен тікбұрышты, орман, дала мен шөлді салыстыра отырып оқушы осы заттар мен құбылыстардың ерекшеліктерін терең тани бастайды.

Салыстырулар және салыстырулардың негізгі қасиеттері

Анықтама: Егер k саны санын бөлсе, онда a және b санына k модулі бойынша салыстырымды деп аталады.

Егер а саны k модулі бойынша b-мен салыстырымды болса, онда оны былай белгілейді:

a≡b(mod k)

Салыстырымдылық қатынас:

Рефлексивті, яғни a≡a(mod k)

Дәлелдеу. a - a = 0 кез келген санға бөлінеді.

Симметриялы, яғни егер a≡b(mod k) болса, онда b≡a(mod k)

Дәлелдеу. Егер (a-b) k-ге бөлінсе, онда (b-a) -да k-ге бөлінеді.

Транзитивті, яғни егер a≡b(mod k) және b≡c(mod k) болса, онда a≡c(mod k) .

Дәлелдеу. Егер (a-b) және (b-c) k-ге бөлінсе, онда (a-c) =(a-b) +(b-c) k-ге бөлінеді.

Осыдан салыстырымдылық қатынасының эквиваленттік қатынас екендігін көреміз. Ал эквиваленттік қатынас жиынды кластарға бөледі. Олай болса Z-бүтін сандар жиыны да эквиваленттік кластарға бөлінеді.

Салыстырудың қасиеттері:

1-қасиет. (рефликсивті қасиеті) Кез келген сан өзімен өзі салыстырымды

a≡a(mod k) .

2-қасиет. (Симметриялық қасиеті) Егер a≡b(mod k) болса, онда

b≡a(mod k) .

3-қасиет. (Транзитивті) Егер a≡b (mod m) жәнеb≡c (mod m) болса, онда a≡с (mod m) .

4-қасиет. Салыстырудың кез келген мүшесін бір жағынан екінші жағына кері таңбамен көшіруге болады.

5-қасиет. Модульдары бірдей екі немесе бірнеше салыстыруларды мүшелеп қосуға не азайтуға болады.

6-қасиет. Модульдары бірдей екі не бірнеше салыстыруларды мүшелеп көбейтуге болады.

7-қасиет. Салыстырудың екі жақ бөлігін де модульмен өзара жай сан болып табылатын олардың ортақ бөлгішіне бөлуге болады.

8-қасиет. Салыстырудың екі жақ бөлігін де және модульды бұлардың ортақ бөлгішіне бөлуге болады.

9-қасиет. Бірнеше модуль бойынща өзара салыстырымды сандар осы модульдардың ең кіші еселігіне тең модуль бойынша да салыстырымды болады.

10-қасиет. Егер f(x) =a_0 x^n+a_1 x^(n-1) +⋯+a_n бүтін a_0, a_1, …, a_n коэффициентті болса және де егер бүтін r мен s үшін r≡s(mod k) болса, онда f(r) ≡f(s) (mod k) болады.

Айталық мынадай салыстыру

f(x) ≡0(mod k) (1)

берілсін, мұнда f(x) =a_0 x^n+a_1 x^(n-1) +⋯+a_n

Бүтін a_0, a_1, …, a_n рационал коэффициентті полином.

Анықтама. a_0≢0(mod k) болған жағдайда (1) салыстыру n - дәрежелі салыстыру деп аталады.

Анықтама. (1) салыстыруды шешу дегеніміз f(x) полиномының f(r_i) мәні модуль k-ға бөлінетін барлық бүтін r_1, r_2, … сандарын табу аталады.

Міне, осындай r_1, r_2, … сандарын (1) салыстырудың шешімдері (түбірлері) деп атайтын боламыз. Салыстырудың шешімдері жөнінде мынадай пікір бар: егер r саны (1) салыстырудың шешімі болса, онда k модулі бойынша r - мен салыстырымды әрбір aсаны да оның шешімі бола алады.

Бірінші дәрежелі салыстырулар

Екінші дәрежелі салыстырудың жалпы түрі төмендегідей болады:

〖ax〗^2+bx+c≡0(mod k), (1)

Мұндағы k>2, a, b, c-бүтін сандар.

Біз бұдан былай әрқашан да a≢0(mod k), k≠2 деп аламыз. Ал егер a≡0(mod k) болса, онда (1) салыстыру bx+c≡0(mod k) түріндегі бірінші дәрежелі салыстыруға айналып кетер еді. Сол сияқты k=2 болғанда да тура осы жағдай қайталанады. Себебі: Ферма теоремасы бойынша x^2≡x(mod 2) екені түсінікті.

(1) түріндегі салыстыруды әрқашан да ықшамдауға болады. Ол үшін (1) салыстырудың екі жағын да 4a-ға көбейтіп,

4a^2 x^2+4abx+4ac≡0(mod k), (2ax+b) ^2≡b^2-4ac(mod k),

деп аламыз да, 2ax+b қосындыны x, b^2-4ac айырмасы q арқылы белгілей отырып,

x^2≡q(mod k) (2) түріне келеміз.

Ұқсас жұмыстар

Халықаралық құн мәні

Халықаралық еңбек бөлінісі, интеграция

Көптік салыстыру

“Сұрыптаудың” анықтамасы

Бұлбұл мен тоқылдақ

Дарынды оқушымен АКТ оқушымен жұмыс АКТ жұмыс

Сандық талдау