Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі

Үшбұрыш деп бір түзудің бойында жатпайтың үш нүктеден және оларды қосатын үш кесіндіден құралатын тұйық геометрикалық фигураны атайды.

Үшбұрыштардың түрлері:

тең қабырғалы

теңбүйірлі

сүйірбұрышты

тік бұрышты

доғал бұрышты.

Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген медианасы деп осы төбені қарсы жатқан қабырғасының ортасымен қосатын кесіндіні айтады.

Үшбұрыштың үш медианасы болады.

Барлық үш медианасы үшбұрыш ішінде болады және бір нүктеде қиылысады.

Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген биссектрисасы деп осы төбесіндегі бұрыш биссектрисасының қарсы жатқан қабырғасымен шектелетін кесіндіні айтады.

Үшбұрыштың үш биссектрисасы болады.

Барлық үш биссектрисасы үшбұрыш ішінде болады және бір нүктеде қиылысады.

Үшбұрыштың биіктігі деп оның төбесінен қарсы жатқан қабырғасы арқылы өтетін түзуге түсірілген перпендикулярды атайды.

ВК - биіктігі

Үшбұрыштың үш биіктігі болады.

Егер үшбұрыш сүйірбұрышты болса, онда барлық үш биіктігі үшбұрыш ішінде болады және бір нүктеде қиылысады.

а) сүйірбұрышты

биіктік табаны

үшбұрыш

қабырғасында жатыр

Б) доғалбұрышты

биіктік табаны үшбұрыш қабырғасының созындысында жатыр

в) тікбұрышты

биіктік табаны

үшбұрыш

төбесімен беттеседі

АВС

MN - үшбұрыштың орта сызығы

Үшбұрыштың орта сызығы дегеніміз оның екі қабырғасының орталарын қосатын кесіндіні.

Үшбұрыштың 3 орта сызығы болады

Үшбұрыштардың ұқсастық белгілері

1) Екі бұрышы бойынша - Егер бір үшбұрыштың екі бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес екі бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар ұқсас болады.

2) Екі қабырғасы мен арасындағы бұрышы бойынша - Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы, екінші үшбұрыштың сәйкес екі қабырғасына пропорционал және арасындағы бұрышымен тең болса, онда мұндай үшбұрыштар ұқсас болады.

3) Үш қабырғасы бойынша - Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы сәйкес екінші үшбұрыштың үш қабырғасына пропорционал болса, онда бұл үшбұрыштар ұқсас болады.

Үшбұрыштың теңдік белгілері

Егер бірінші үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес екі қабырғасы мен арасындағы бұрышқа тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Егер бірінші үшбұрыштың бір қабырғасы және оған іргелес жатқан екі бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес қабырғасы мен оған іргелес жатқан екі бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы екінші үшбұрыштың сәйкес үш қабырғасына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Биссектрисаның қабырғалардан қашықтығы туралы теорема

Теорема. Биссектрисаның кез келген нүктесі бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатады.

Дәлелдеу: Бізге А бұрышының биссектрисасы берілген. Сол биссектрисадан бір Е деген нүкте таңдап алайық.

Е нүктесі арқылы А бұрышының екі қабырғасына перпендикуляр түзулер сызайық.

Сонда, үш бұрышы және бір қабырғасы тең болған АВЕ және АСЕ үшбұрыштары тең болып шығады. Осыдан, ВЕ = СЕ.

МЫСАЛЫ: ЕВ және ЕС перпендикулярлар және ЕВ=EC. AE биссектриса екенін дәлелде.

(Екі тікбұрышты үшбұрыш тең егер бір катеті және гипотенузасы тең болса)

ШЕШУІ: АВС және АСЕ тікбұрышты үшбұрыштар. Ал, тікбұрышты үшбұрыштардың теңдік белгілерін еске салсақ, АЕ екеуіне ортақ гипотенуза, және ЕВ=EС. Яғни АВС және АСЕ тең үшбұрыштар. Осыдан АЕ биссектриса

Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі

Теорема. Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысады

Дәлелдеу: А және В төбелерінен биссектрисалар жүргізейік. Сол екеуінің қиылысу нүктесі арқылы IS, IR, IF перпендикулярларын түсірейік. Сонда, алдыңғы теорема бойынша:

IS=IF, IF=IR => IS=IR

Осыдан, І нүктесі С бұрышының биссектрисасының бойында жатыр. Демек, ІС кесіндісін ары қарай жалғастырсақ, ол С төбесінен шыққан биссектриса болады.

Яғни, үш биссектриса бір нүктеде қиылысады.

Биссектрисалардың қиылысу нүктесін І әрпімен белгілейміз