Үшбұрыш бұрыштары арқылы дәлелдеу

Презентация қосу

Тік бұрышты үшбұрыш, тік бұрышты
үшбұрыштың тік бүрышынан түсірілген
биссектриса, биіктік, медианасының
қасиеттерін дәлелдеу және тік бұрышты
үшбұрыштың ұқсастық және теңдік
белгілері. Пифагор теоремасы

Тік бұрышты үшбұрыштың бұрыштары
мен қабырғаларының арасындағы
қатыстар. Косинустар теоремасы.
Синустар теоремасы. Үшбұрыштардың
периметрін және ауданын табу
Бір бұрышы тік бұрыш болатын үшбұрыш
тік бұрышты үшбұрыш деп
аталады.
А

С В
Тік бұрыш жасайтын екі қабырғаның
әрқайсысы катет деп, ал тік бұрышқа
қарсы жатқан қабырға гипотенуза деп
аталады.
А

С В
Теорема
30° - қа тең бұрышқа қарсы жатқан катет
гипотенузаның жартысына тең.

Бер: ∆ АВС С = 90° B = 30°
B Дәлелдеуі : ∆ ВСD тік бұрышты үшбұрышын
саламыз. СВD= 30°
∆ АВD үшбұрышының барлық бұрыштары 60° -
30° 30°
қа тең,
яғни ∆ АВD – тең қабырғалы.
АС = ½ AD, AD = AB АС = ½ AB

60° 60°
А D
C
1
А. Доғал бұрышты үшбұрыш

В. Тең бүйірлі үшбұрыш

С. Сүйір бұрышты үшбұрыш

Д. Тікбұрышты үшбұрыш

Е. Теңқабырғалы үшбұрыш

6 Г. Әр қабырғалы үшбұрыш
1
В. Тең бүйірлі үшбұрыш

2 Е. Тең қабырғалы үшбұрыш

3 Д. Тікбұрышты үшбұрыш

4 С. Сүйір бұрышты үшбұрыш

5 А. Доғал бұрышты үшбұрыш

6 Г. Әрқабырғалы үшбұрыш
Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың
катеттері екінші тік бұрышты үшбұрыштың
сәйкес катеттеріне тең болса, онда мұндай
тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.
Бер: ∆ АВС – тік бұрышты, ∆ А1 В1 С1 – тік бұрышты
А А1 АС = А1С1 ВС = В1С1

Дәлелдеу керек:
∆ АВС = ∆ А1В1С1

С В С1 В1

Дәлелдеуі:
Біз білетін, үшбұрыштар теңдігінің І – ші белгісі :
«екі қабырғасымен арасындағы бұрышы» бойынша
∆ АВС = ∆ А1В1С1
Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың катеті
және оған іргелес жатқан сүйір бұрышы екінші
тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес катеті мен
оған іргелес жатқан сүйір бұрышына тең
болса, мұндай тік бұрышты үшбұрыштар тең
болады.
Бер: ∆ АВС – тік бұрышты, ∆ А1 В1 С1 – тік бұрышты
А А1 АС = А1С1 А= А1

Дәлелдеу керек:
∆ АВС = ∆ А1В1С1

С В С1 В1

Дәлелдеуі:
Біз білетін, үшбұрыштар теңдігінің ІІ – ші белгісі :
«қабырғасымен оған іргелес жатқан бұрыштары» бойынша
∆ АВС = ∆ А1В1С1
Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың
гипотенузасы мен сүйір бұрышы екінші
тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы
мен сәйкес сүйір бұрышына тең болса,онда
мұндай тік бұрышты үшбұрыштар тең
болады.
Бер: ∆ АВС – тік бұрышты, ∆ А1 В1 С1 – тік бұрышты
А А1 АВ = А1В1 А= А1

Дәлелдеу керек:
∆ АВС = ∆ А1В1С1

С В С1 В1

Дәлелдеуі:
Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы
90° ,олай болса екінші сүйір бұрыштары да тең болады.
Сондықтан үшбұрыштар теңдігінің ІІ – ші белгісі :
«қабырғасымен оған іргелес жатқан бұрыштары» бойынша
∆ АВС = ∆ А1В1С1
Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың
гипотенузасы мен катеті екінші
тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес
гипотенузасы мен катетіне тең болса,онда
мұндай тік бұрышты үшбұрыштар
тең болады.
Бер: ∆ АВС – тік бұрышты, ∆ А1 В1 С1 – тік бұрышты
А А1 АВ = А1В1 АС= А1С1

Дәлелдеу керек:
∆ АВС = ∆ А1В1С1

С В С1 В1

Дәлелдеуі: ∆ АВС үшбұрышын ∆ А1В1С1 үшбұрышымен
беттестіреміз. АВ=А1В1 және АС=А1С1 болғандықтан,олар
беттеседі. Онда А төбесі А1 төбесімен беттеседі.
Онда В төбесі В1 төбесімен беттеседі.
Олай болса ∆ АВС = ∆ А1В1С1
Пифагор теоремасына кері теорема

Үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі
қабырғасының квадраттарының қосындысына тең
болса, онда үшбұрыш тік бұрышты болады.
Теоременың тарихы ежелгі Қытайдан бастау алады. Ондағы негізгі назар
аудартатын математикалық кітап Чу – пей. Бұл шығармада қабырғалары
3,4,5 – ке тең пифагор үшбұрышы туралы айтылады.

Егер тік бұрышты құрайтын 3 – ке тең қабырға мен 4 – ке тең
биіктіктің ұштарын қоссақ пайда болған түзу 5 – ке тең болады.

Кантор (неміс математика тарихын зерттеуші) бұл кітапта үнді Бхаскар
геометриясындағы сызбанұсқаға ұқсас сурет бар, деп есептеген.
Бұл теңдік египтіктерге б.з.д. 2300 жылы Аменемхета I патшаның кезінде
белгілі болған (Берлин музейіндегі 6619 - жазбалар бойынша).

Кантордың ойынша гарпедонаптар немесе «арқан тартушылар» тік
бұрышты қабырғалары 3,4,5 – ке тең тікбұрышты үшбұрыштар арқылы
тұрғызған. Олардың құрылу әдісін оңай көрсетуге болады. Ұзындығы 12
метрге тең арқанды алып,бір ұшынан 3 метр, екінші ұшынан 4 метр
арақашықтықты өлшеп белгілейміз. Тік бұрыш 3–ке және 4–ке тең
қабырғалар арасында болады. Қабырғалардың ұштарының
арақашықтығы 5 – ке тең болады.
Бұл Пифагор теоремасы деп аталатын ежелден белгілі геометриялық
теорема. Гректің ұлы математигі, әрі философы Пифагор Самосский
осыдан 2,5 мың жыл бұрын өмір сүрген. Пифагор Шығыс елдеріне,
Египетке және Вавилонға көп саяхат жасаған.Оңтүстік Италияның
грек колонияларының бірінде ежелгі Грецияның ғылыми және саяси
өмірінде үлкен роль атқарған белгілі «Пифагор мектебінің» негізін
салған. Бұл белгілі геометриялық теореманың дәлелдеуін Пифагор
практикада қолдана білген.

Бірақ, бұл теореманы Пифагорға дейін 1500 жыл бұрын ежелгі
египеттіктер қабырғалары 3,4 және 5 тең болатын үшбұрыш
тікбұрышты болатынын білген және бұл қасиетті жер учаскелерін,
құрылыс тұрғызу үшін қолданған. Сонымен қатар мың жылдықтар
бұрын Египеттегі, Вавилондағы, Қытайдағы үлкен храмдар салу үшін
де қолданған. Пифагордан 600 жыл бұрын қытайдың математика-
астрономиялық «Чжоу-би» шығармасында тікбұрышты үшбұрышқа
қатысты басқа да теоремалар арасында Пифагор теоремасы да бар.
Бұдан да ертерек теорема үндістерге де белгілі болған.
Пифагор теоремасының 100-ден аса дәлелдеулері бар.

Пифагор теоремасының дәлелдеулері:
- Трапеция ауданы арқылы дәлелдеу;
- Квадрат ауданы арқылы дәлелдеу;
- Көлбеу арқылы дәлелдеу;
- Үшбұрыш бұрыштары арқылы дәлелдеу.
Косинустар теоремасы – үшбұрыштың екі қабырғасы мен сол екі
қабырғаның арасындағы бұрышы бойынша оның үшінші қабырғасын
анықтауға арналған теорема.

Бұл теорема былайша тұжырымдалады: үшбұрыштың кез келген бір
қабырғасының квадраты былайғы екі қабырғасы квадраттарының
қосындысынан сол қабырғалар мен олардың арасындағы бұрыш
косинусының екі еселенген көбейтіндісін азайтқанға тең:

Ұқсас жұмыстар

Үшбұрыштар теңдігінің белгілері

Тік бұрышты үшбұрыштың теңдігінің белгілері

Тең бүйірлі үшбұрыштың қасиеттері

Үшбұрыш биссектрисасы

Үшбұрыштың түрлері

Кеңістік пен форма тақырыптарын оқытып - үйрету процесінде оқушылардың математикалық сауаттылығын қалыптастыру технологиялары

Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы. Қайталау сабағы

Тікбұрышты үшбұрыш

Математикалық жаттықтырушы. Үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы

Барлық қабырғалары тең үшбұрыш

Пәндер