Векторлық көбейтінді: анықтамасы, геометриялық және алгебралық қасиеттері

ПРЕЗЕНТАЦИЯ
Медициналық биофизика және ақпараттық
кафедрасы
Тақырыбы:Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері

Орындаған:Куатбаева.Дана
Тексерген:Иманбаева Марал
Топ:ФӨТҚА 03-21А
.
жоспар
1.Векторға анықтама
2.Векторлық көбейтінді туралы түсінік
3.Геометриялық және Алгебралық
қасиеттері
4.Тақырыпқа түсінік есептер
5. Пайданылған әдебиеттер

• Анықтама. Нөлдік емеса және b
векторларының векторлық көбейтіндісі деп с а b
символымен белгіленген мына үш шартты
қанағаттандыратын c
векторын атайды:

1. c векторының ұзындығы а және b векторла-
рының ұзындықтарын олардың арасындағы
бұрыш-тың синусына көбейткенге тең, яғни

c a , b sin
c
мұндағы - а және b векторларының
арасындағы бұрыш.

2. векторы а және b векторларының
әрқайсысына перпендикуляр орналасқан.

а b, c,
3. c векторының бағыты
векторлары оң жақты үштік
болатындай бағытта бағытталған.

с а b

а
φ

b

Егер а және b векторларының
кемінде біреуі нөлдік вектор
болса, онда олардың векторлық
көбейтіндісі нөлдік векторға тең
деп алынады.
Екі вектордың векторлық көбейтіндісі
туралы түсінік
механикадан алынған
.

а
Егер b векторы қандай болса да бір М нүктесіне

түсірілген күшті бейнелесе, ал векторыОМ а

болып О нүктесіне түсірілсе, онда с а b
векторы О нүктесіне қатысты b күшінің
моментіне тең болады.
II. Векторлық көбейтіндінің геометриялық
қасиеттері.

а және векторлары b
1 - Теорема. Нөлдік емес екі
коллинеар болуы үшін, олардың векторлық
көбейтіндісінің нөлге тең болуы қажетті және
жеткілікті:
,
а 0 b 0

а b 0 а║b

Қажеттілік. а және b векторлары коллинеар
болсын. Мына жағдайлар болуы
мүмкін:

1.a b , яғни ажәне bвекторлары
бағыттас болсын, сонда олардың арасындағы
0
бұрыш 0 -қа тең
болады. Сондықтан,
0
с а b a b sin 0 0 , бұдан а b 0
болады;

2. a b , яғни а және b қарама-қарсы
бағытталған векторлар болсын. Сонда олардың
арасындағы бұрыш 180 0 -қа тең болады.

Сондықтан, с а b a b sin 1800 0 ,

бұдан а b 0 , яғни, екі жағдайда да а b 0 .

Жеткіліктілік. a b болсын.
Сонда
0 a b a b sin

а 0, b 0 болғандықтан, бұдан sin 0
0 0
теңдігі шығады, яғни 0 немесе 180 .

Ал бұл а және b векторларының коллинеар
векторлар екенін көрсетеді.

2-теорема. а жәнеb векторларының
векторлық көбейтіндісінің ұзындығы
ортақ бас

нүктеден шыққан а және b
векторларына салынған параллелограмның
ауданына тең.
Анықтама бойынша a b a b sin

с а b

b S
φ

а
Параллелограмның ауданы:

S a b b S

Үшбұрыштың ауданы: а

S a b
Бірлік векторлардың векторлық көбейтіндісі:

i j k j i k

j k i k j i

k i j i k j
Екі вектордың векторлық көбейтіндісінің алгебралық
қасиеттері:

1-қасиет.
a b b a
қарсы ауыстырымдылық қасиет

( a ) b ( a b )
2-қасиет.
сан көбейткішіне қатысты терімділік қасиет

3-қасиет. ( a b ) c a c b c
үлестірімділік қасиет

4-қасиет. Кез келген a векторы үшін

a a 0
Декарттық тік бұрышты координаталарымен
берілген векторлардың векторлық көбейтіндісінің
өрнегі.

a ( x1 ; y1 ; z1 ) , b ( x2 ; y2 ; z 2 )

i j k

a b x1 y1 z1
x2 y2 z2
Есеп №1. Параллелограмның
қабырғаларындағы
векторлар

а i 3 j k берілген:b 2i j 3k
Осы параллелограмның ауданын табайық.
Шешуі:
а 1; 3 ;1 b 2; 1;3
,
Параллелограмның ауданы:

i j k
3 1 1 1 1 3
S a b , a b 1 3 1 i
3 10 j k 8i j 5k 8; 1;5
1 3 3 2 2 1
2 1 3

S a b 64 1 25 90 9 10 3 10
Есеп №2. Төбелері А(-1;0;-1), В(0;2;-3), С(4;4;1)
нүктелерінде жатқан үшбұрыш ауданын тап.

Шешуі: B(0;2;-3)
S АВ АС
A(-1;0;-1) 2
АВ (1;2; 2)
C(4;4;1) АС (5;4;2)

i j k
2 2 2 1 1 2
АВ АС 1 2 2 i 4 2 j 2 5 k 5 4 12i 12 j 6k
5 4 2

(12; 12; 6) AB AC (12; 12; 6)
АВ АС 122 ( 12) 2 ( 6) 2 144 144 36 324 18
1 1
S АВ АС 18 9; S 9.
2 2
Есеп №3. Жақшаларды ашып өрнектерді ықшамда:

1–
i j k j i k k i j k
тапсырма:

i j k j i k k i j k i j i k j i j k k i k j k k

k j k i j i 0 2k 2i 2 k i
2 – тапсырма: а b c c a b c b b c a
а b c c a b c b b c a a c b c c c a b b b c b b a c a

2a c b c b c a b a b 0 0 2a c

Есеп №4. Диагональдары
2m n және 4m 5n
болып
табылатын, мұнда m, n - бірлік векторлар және олардың
арасындағы бұрыш 450 , параллелограмның ауданын табыңдар.

а

b

Шешуі: a b 2m n , a b 4m 5n бір-біріне
көбейтсек

a a a b b a b b 8m m 10m n 4n m 5n n
0 2b a 0 6m n 6n m 6 3 2 ,
3 2
b a S 1,5 2

Есеп №5. a k j және b i j k векторларына
салынған параллелограмның диагональдары мен ауданын
табыңдар.

Шешуі: а (0; 1;1) b (1;1;1)

а а b (1;0;2)

а b ( 1; 2;0)
b

а b 5 а b 5

i j k
1 1 1 0 0 1
S a b , a b 0 1 1 i j k
1 1 1 1 1 1
1 1 1

2i j k ( 2;1;1)

S a b 4 1 1 6

Жауабы: 6
Векторларды белгілеу: АВ немесе а

В Ұшы

А
Басы
Вектордың абсолют шамасы немесе модулі деп
векторды кескіндейтін кесіндінің ұзындығын

атайды және а , АВ деп белгілейді.

В ( х2 ; у 2 ; z 2 )

А( х1 ; у1 ; z1 ) а ( а1 ; а2 ; а3 )
2 2 2
а а1 а2 а3
2 2 2
АВ ( х2 х1 ) ( у2 у1 ) ( z 2 z1 )
Егер вектордың бас нүктесі оның
ұшымен дәл келіп беттесіп жатса,
онда ол векторды нөлдік вектор деп

0 атайды және деп белгілейді. Нөлдік
вектордың абсолют шамасы нөлге тең.

0 0
Векторлардың теңдігі

b
а

а b
«Үшбұрыш» ережесі

B

A C

АВ ВС АС
“Параллелограмм” ережесі
B C

а
A
D
b

АС а b DВ а b
Параллелограмның қасиеті бойынша:
2 2
2 2 a b a b
а b
Бір түзу бойында немесе параллель түзулер
бойында жатқан нөлдік емес екі вектор
коллинеар векторлар деп аталады. Коллинер
векторлардың сәйкес координаталары
пропорционал болады.
Белгілеуі: а b

a ( a1 ; a2 ; a3 ) b (b1 ; b2 ; b3 )

a1 a2 a3

b1 b2 b3
Нөлдік емес АВ мен АC векторларының
арасындағы бұрыш деп ВАС бұрышын атайды. Кез

келген а мен b екі вектордың арасындағы
бұрыш деп бас нүктесі ортақ әрі олармен тең
векторлардың арасындағы бұрышты айтады. Бірдей
бағытталған векторлардың арасындағы бұрыш нөлге
тең деп есептеледі, ал қарама-қарсы бағытталған
векторлардың арасындағы бұрыш 0 -қа тең.
180

1800

00

a (a1 ; a2 ; a3 ) мен b (b1 ; b2 ; b3 ) векторларының
скаляр көбейтіндісі деп a1b1 a2b2 a3b3
санын атайды.

a b a1b1 a2b2 a3b3

а

b

a b а b cos
Ұзындығы бірге тең векторды бірлік вектор немесе орт
дейміз.

ОМ ОМ 1 ОМ 2 ОМ 3 ОМ 1 xi

z ОМ 2 yj

M3 ОМ 3 zk
M ( x ; y ; z)

k i x
j M1
M2
y ОМ xi yj zk
• ҚОРЫТЫНДЫ

Қорытындылайды келе векторлық көбейтіндіні
анықтауды және оның қасиеттерін білдік.
Жазықтықта жатқан паралелограмның ауданын
және үшбұрыштың ауданын табуды үйрендік.
1.www/google.com
2.Математика авторы:М.К.Изтлеуов
3.wikipedia/htt/com.
Назарларыңызға
Рахмет!!!

Ұқсас жұмыстар

Алгебралық есептерді геометриялық тәсілмен шешу және GeoGebra бағдарламасын пайдалану

Стереометриядағы векторлық әдіс: теориясы, векторлық операциялары және қолданылуы

Күш: анықтамасы, түрлері және векторлық қосу

Геометриялық ықтималдық: анықтама, қасиеттері және қолданылуы

Күштің анықтамасы, өлшем бірлігі және векторлық бейнеленуі

Векторлық кеңістік: анықтамалар, аксиомалар және қолданылуы

4-сынып математикасы: Геометриялық фигуралар және олардың қасиеттері

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін матрицалық әдіспен шешу

Векторлар: анықтамалар, операциялар, координаталық өрнектелуі және скаляр көбейтінді

Компьютерлік графиканың түрлері: растрлық, векторлық және фракталдық

Пәндер