Каноникалық теңдеулер

Презентация қосу

15 апта: Каноникалық теңдеулер.

1. Гамильтон теңдеуі.

2. Гамильтон-Якоби теңдеуі

3. Адиабаталық инварианттар
1. Гамильтон теңдеуі.
Математикадан белгілі, кез келген s екінші ретті
дифференциалдық теңдеулер жүйесін оған пара-пар 2s бірінші ретті
тендеулер жүйесімен алмастыруға болады. Бірінші ретті
дифференциалдық теңдеулер түрінде жазылған, механикалық
жүйенің қозғалыс теңдеулерін, қозғалыстың конондық теңдеуі деп,
немесе Гамильтон теңдеулері деп атайды.
Механикалық жүйе қозғалыстарын Лагранж әдісімен (Лагранж
теңдеулері арқылы) қарастырғанда, t уақытты және жүйе
нүктелерінің qα жалпыланған координаттарын тәуелсіз
айнымалылар деп қарастырды, ал жалпыланған жылдамдықтарды
Лагранж функциясына және Лагранж теңдеулеріне тікелей
кіретіндігіне қарамастан оларды тәуелді айнымалылар деп есептеді.
Гамильтон әдісінде тәуелсіз айнымалылар ретінде жүйенің s
жалпыанған координаттары q1,q2,...,qs және s жалпыланған
импульстары p1,p2,…,ps алынады.
Біздің қарастырып отырған жағдайымызда Лежандр түрлендіруін, Лагранж
әдісінде қолданылатын qα және айнымалылардан, qα және рα
айнымалыларға көшу үшін былай пайдалануға болады.
Жүйе нүктелерінің qα жалпыланған координаттарына, жалпыланған
жылдамдықтарына және t уақытқа тәуелді жүйе Лагранжианынан толық
дифференциал алайық,
(1)

Қарастырылып отырған жүйеге тек қана жалпыланған потенциалды
(немесе потенциалды) күш әсер етеді деп есептеп, мынандай
алмастырулар жасасақ,

(1)–теңдік мынандай түрге келеді,

(2)
Мына теңдікті ескерсек

онда (2)–теңдікті былай жазуға болады,

немесе

(3)

Осы теңдіктің оң жағында dqα, dрα және dt дифференциалдарының
болуы, сол жақтағы дифференциал белгісінің астында тұрған мүше, жүйе
нүктелерінің жалпыланған координаттарына, жалпыланған импульстарына
және уақытқа тәуелді функция екендігін көрсетеді, яғни

(4)
Осы функцияны Гамильтон функциясы немесе механикалық жүйенің
гамильтонианы деп атайды.
Егер жүйенің лагранжианы уақытқа тікелей тәуелді болмаса, Гамильтон
функциясын жүйенің толық энергиясы деп атауға болады, бұл Гамильтон
функциясының физикалық мағынасы, Н = Е=тұр.
Гамильтон функциясының толық дифференциалын табайық,

Осы шыққан өрнекті (3)-өрнекпен салыстырсақ, онда мынандай теңдеудер
аламыз;
(5)

және
(6)

(5)–теңдеулер Гамильтон теңдеулері немесе қозғалыстың конондық
теңдеулері деп аталады. Гамильтон теңдеулері арқылы механикалық
жүйелердің қозғалысын qα жалпыланған координаттармен рα жалпыланған
импульстардың өзгерісіне байланысты анықтауға болады. Гамильтон
теңдеулері 2s белгісіз функциялар qα(t) және рα(t) табу үшін арналған бірінші
ретті 2s дифференциалдық теңдеулер жүйесі болып табылады.
(6)–теңдеу, механикалық жүйенің гамильтонианымен лагранжианының
уақытқа тәуелді болуы немесе тәуелді болмауы бір мезетте болатындығын
көрсетеді.
Жүйе гамильтонианының уақытқа тікелей тәуелсіздігінен жүйенің толық
энергиясының сақталатындығын дәлелдейік. Ол үшін Гамильтон
функциясынан уақыт бойынша толық туынды алайық,
(7)

осы теңдеудегі және айнымалыларды (5)–қозғалыстың конондық
теңдеулеріне сәйкес мәндерімен алмастырсақ, онда теңдеудің оң жағындағы
қосынды нольге тең болады, сондықтан
(8)

Осыдан, егер Гамильтон функциясы уақытқа тікелей тәуелді болмаса , онда ол
жүйенің Е толық энергиясына тең болады

(9)
2. Пуассон жақшалары.
Еркіндік дәрежесі s механикалық жүйенің қозғалысы 2s Гамильтон
теңдеулерімен анықталады:

(10)

Осы (10)–теңдеулер жүйесін интегралдау деп, t уақытқа және 2s тұрақты
шамаларға тәуелді pα жалпыланған импульстармен qα жалпыланған
координаттарды табуды айтады. Осы табылған,

р1, р2, …, рs; q1, q2, …qs

функциялар жүйесі қанағаттандыратын мынандай
(11)
φ(q1, q2,… qs; р1, р2, … рs, t) = С

қатысты (10)–дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы деп
атайды. Бірінші интегралдың сол жағында тұрған, pα жалпыланған
импульстан, qα жалпыланған координаттардан және t уақыттан тәуелді
функция, жүйе қозғалысы кезінде (алғы шарттарға байланыссыз) тұрақты
Енді (11)–қатыс Гамильтон теңдеулерінің бірінші интегралы болуы үшін
қандай шарттарды орындау керектігін табайық. Бірінші интегралдың
анықтамасы бойынша,
(12)

функциясы, мұндағы рα және qα айнымалылардың орынына, Гамильтон
теңдеулерін шешкенде табылатын рα және qα айнымалылардың мәндерін
қойғанда тұрақты болып қалуы керек. Сондытан, (12)–функциядан уақыт
бойынша алынған толық туынды нольге тең болуы керек, яғни

(13)

Осындағы және айнымалылардың (10)–Гамильтон теңдеулеріне сәйкес Н
Гамильтон функциясымен алмастырсақ

(14)

немесе
(15)
мұндағы
(16)

Пуассон жақшасы деп аталады.
Сонымен, кез келген f(qα,рα,t) функциясы қозғалыстың конондық
теңдеулерінің бірінші интегралы болуының қажетті және жеткілікті шарты

(17)

Егер f функциясы уақытқа тікелей тәуелді болмаса , онда
(H,f)=0, (18)
яғни, f функциясымен Гамильтон функциясынан құрылған Пуассон
жақшасы нольге тең болу керек.
Пуассон жақшасын пайдаланып, (5)–Гамильтон теңдеулерін qα және рα
айнымалыларға қатысты симметриалы түрде жазуға болады. Ол үшін (16)–
Пуассон жақшасындағы f = рi, және f = qi қойсақ, онда

(19)
Сондықтан, (5)–қозғалыстың конондық тендеуін былай жазуға болады,
(20)

Пуассон жақшасын тек қана Н және f функциялары үшін ғана емес, кез
келген қос функциялар f(q, p, t) және g(q, p, t) үшін де жазуға болады. Бұл
жағдайда Пуассон жақшасы былай жазылады;
(21)

Егер f немесе g функциялары жалпыланған кординаттармен немесе
жалпыланған импульстармен сәйкес келсе, онда (21)–Пуассон жақшасы

(22)
Егер осындағы f функциясы, qi және pi функцияларымен алмастырсақ, онда
(qi, qk)= (pi, pk)=0, (pi, qk) = δik, (23)
мұндағы
(24)

(23)-өрнек негізгі немесе фундаментальды Пуассон жақшасы деп аталады.
Кез келген qk және pk шамаларды конондық түйіндес шамалар деп атайды,
егер олар мынандай шартты қанағаттандырса (25)
(q , q ) = (p , p ) = 0, (p , q ) = 1.
3. Гамильтон-Якоби теңдеуі
Ең аз әсер принципі бойынша :

мұндағы әсер ұғымының уақыт пен координатаның функциясы ретінде
берілуі туралы баяндалған болатын:

Сонымен қатар, (27) жүйенің берілген t1 және t2 уақыт моментіндегі q1
және q2 нүктелерінің арасындағы жасаған траекториясы арқылы алынған
интегралы болып табылады. Әсердің вариациясы нәтижесінде осы
интегралдың q(t1)=q(t2) кезіндегі мәндерін бір біріне жақын траекториялар
үшін салыстырғанда, S-тің тек минимум мәніне сәйкес келетін интегралы
ғана қозғалыстың шын түрін сипаттайды.
Енді S-ті q(t1)=q1 бастапқы нүктесі ортақ, бірақ t2 уақыт моментіндегі
әртүрлі нүктелерден өтетін траекторияны сипаттау үшін қарастырамыз.
Былайша айтқанда, әсер интегралын интегралдаудың жоғары шетіндегі
кординаттың функциясы ретінде аламыз.
Әсердің бір траекториясы екінші оған жақын траекторияға өту кезіндегі
өзгерісін жазатын болсақ:
t
L t 2 2 L d L (28)
S q t qdt
q 1
t1
q dt q
Шын қозғалыстың траекториясын Лагранж теңдеулері
қанағаттандыратындықтан, (28) интеграл нолге тең болады. Бірінші
мүшедегі төменгі шек q t1 0 , ал q t 2 q деп белгілейміз. деп
белгілеп, соңында: немесе жалпы жағдайда кез келген еркіндік дәрежесі
үшін
(29)
Осы өрнектен көріп тұрғанымыздай, әсерден координата бойынша
алынған дербес туынды импульсқа тең болады:

Осыған ұқсас әсерді уақыттың функциясы ретінде де қарастыруға
(30)
болады. Сонымен қатар траекторияның берілген q1 нүктесінде t1 берілген
уақыт мезетінде басталып, берілген q2 нүктесінде әртүрлі t2=t уақыт
мезеттерінде аяқталады деп ұйғарамыз. дербес туындысын сәйкесінше
интегралды вариациялау арқылы аламыз.
Әсердің берілген анықтамасы бойынша оның траекториясының
бойымен алынған уақыт бойынша толық туындысы

(31)
Бір жағынан әсерді, жоғарыда айтылғандай, координата мен уақыттың
функциясы ретінде қарастыра отырып, сонымен бірге (30) формуласын
қолданып

Осы екі өрнекті салыстыра отырып (32)

немесе

және еске түсіре отырып, функциясын қанағаттандыратын(33)
теңдеуді
аламыз:

(34)
бұл бірінші ретті дербес туындылы теңдеу; оны Гамильтон-Якоби
теңдеуі деп атайды.

(35)
Лагранж теңдеулері мен канондық теңдеулер сияқты Гамильтон-Якоби
теңдеуі де қозғалыс теңдеулерін интегралдаудың негізгі тәсілдерінің бірі
болып табылады. U(x,y,z,t) сыртқы өрістегі бір бөлшек үшін ол келесі түрде
болады:

. (36)

Егер H(q,p) функциясы уақытқа тәуелді болмаса, онда Гамильтон-Якоби
теңдеуі қарапайымырақ болады:

(37)

Ұқсас жұмыстар

ЭКОНОМИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ СИМПЛЕКС ӘДІСПЕН ШЕШУ

Сызықтық теңдеулер жүйесі және оның классификациясы

БІР УАҚЫТТЫ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ

БІРТЕКТЕС СЫЗЫҚТЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУДІҢ ФУНДАМЕНТАЛДЫ ЖҮЙЕСІ

Логарифмдік теңдеулерді шешу туралы ақпарат

Матрицалық шешім әдісі

Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін шешу тақырыбына қайталау

Біртекті және біртекті емес коэфиценнті тұрақты екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Дифференциалданатын барлық нақты функцияларды табыңдар, егер

Квадрат теңдеулерді шешу

Пәндер