Тұрақты коэффициентті екінші реттік сызықтық дифференциалдық теңдеулер: біртекті және біртекті емес жағдайлар мен шешу әдістері

«Оңтүстік Қазақстан Медициналық Академиясы» АҚ

Медициналық биофизика және ақпараттық технологиялар кафедрасы

Тақырып: Біртекті және біртекті емес коэфиценнті тұрақты екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.

Орындаған: Дүйсенбай Алмасхан

Топ: ФӨТҚАБ 02-21 А

Қабылдаған: Иманбаева Марал

Жоспары

Кіріспе

Дифференциялдық теңдеулер арасында ең жиі кездесетіні екінші реттік дифференциялдық теңдеулер. Бұл теңдеудің ішінде міндетті түрде y’’ екінші туынды болуы қажет. Айта кету керек, кейбір элементтер x, y, y’

екінші реттік теңдеуде болуы міндетті түрде емес.

Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Біртекті

Біртекті емес

y’’+py’+qy=0

Оң жағы 0-ге тең

y’’+py’+gy=f(x)

Оң жағында функция бар

түріндегі теңдеуі p және q - тұрақты сандар болғанда коэффициенттері тұрақты біртекті екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Бұл теңдеуді шеші үшін y’’-ті k2-пен, y’-ті k-мен, y-ті 1-мен алмастыру арқылы осы теңдеудің сипаттамалық (не характеристикалық) теңдеуін аламыз

k2+pk+q=0

Сипаттамалық теңдеуді шешкенде үш түрлі жағдайдың болатынын білеміз:

Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

y’’+py’+qy=0

1. Сипаттамалық теңдеудің түбірлері D>0 болғанда k1≠k2 - нақты және өзара тең емес болса, онда теңдеудің жалпы шешімі:

y=C1ek1x+C2ek2x

2. Сипаттамалық теңдеудің түбірлері D=0 болғанда k1=k2=k - нақты және өзара тең болса, онда теңдеудің жалпы шешімі:

y=exk(C1+C2x)

3. Сипаттамалық теңдеудің түбірлері D<0 болғанда k1, k2 - түйіндес комплекс сандар, k1, 2=α±βi болса, онда теңдеудің жалпы шешімі:

y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

теңдеуі коэффициенттері тұрақты біртекіті емес сызықтық диффиренциалдық теңдеу деп аталады.

Жалпы шешімі y=y0+ŷ формуласымен табылады, мұндағы y0 - y’’+py’+qy=0 теңдеуінің жалпы шешімі, ал ŷ функциясы y’’+py’+gy=f(x) теңдеуінің дара шешімі, ол теңдеудің оң жағындағы f(x) функциясының берілі түріне байланысты.

f(x) функциясы төмендегідей берілсін:

Коэффициенттері тұрақты біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер

y’’+py’+gy=f(x)