Айналмалы қозғалыстың теңдеуі

Презентация қосу

Материалдық нүктенің кинематикасы

Орындаған: Шадиярова Ырысгүл Бағытқызы
Мамандық: Математика және физика пәнінің мұғалімі. 2 жылдық, 1-курс
Кинематика

Нүкте кинематикасы Қатты дене кинематикасы

• Кинематика – теориялық механика пәнінің кинематика
бөлімінде, дене қозғалысы оны қозғалысқа келтіретін күштерді
ескермей қарастырылады да және дене қозғалысының
геометриялық параметрлері (траектория, жылдамдық, үдеу)
анықталады.

• Нүкте кинематикасы – екі мәселе қарастырады:
• 1. Нүктенің қозғалыс теңдеуі – қозғалыстағы
нүктенің берілген санақ жүйесіне қарағандағы
орны уақытқа тәуелді теңдеулер арқылы беріледі.

• Осы теңдеулер арқылы қозғалыстағы нүктенің
барлық кинематикалық сипаттамаларын
(траекториясын, жылдамдығын, үдеуін) табу;
• 2. Қозғалыс траекториясы – қозғалып бара жатқан
нүктенің кеңістіктегі геометриялық орындарын
қосатын үздіксіз сызық.
1. Кинематикада нүкте қозғалысы үш түрде: векторлық,
координаттық, және табиғи тәсілдермен беріледі.
Векторлық тәсіл:
r r (t )
M Радиус-вектордың бағыты, мәні беріледі.

r

z x x(t );
O
M y y (t );
z z (t ).
Координаттық тәсіл: z
Нүктенің координаттары беріледі.
O y
x
x y
Табиғи тәсіл:

Нүктенің қозғалыс теңдеуі мен траекториясы беріледі.

z
s
O1 M

s s(t );
z
f ( x, y, z ) 0. O
y
x
x y
2. Қозғалыстың траекториясын анықтау үшін координаттық
тәсілдің теңдеулерінен уақытты жою керек:

r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k
Барлық үш тәсіл де бір-біріне эквивалентті және бір-бірімен
байланысты.
Векторлық пен координаттық:
Соңғы екі теңдеу қозғалыстың траекториясын сипаттайды.

x x(t ) t t ( x);
y y (t ) y[t ( x)] y ( x);
z z (t ) z[t ( x)] z ( x).
Мысал:
x t x t t x
y R2 t 2 ; y R 2 t 2 R 2 x 2 или x 2 y 2 R 2 ;
z c. z c.
z

Соңғы екі теңдеу радиусы R болатын
цилиндр, биіктігі с-ға тең, z өсіне
параллель болады. Сонда нүктенің O
y
траекториясы радиусы R-ға тең
шеңбер x
• Нүкте жылдамдығы – нүктенің бірлік уақытта орын
ауыстыру тездігін (шапшаңдығын) анықтайтын физикалық
шама.
Нүктенің жылдамдығын анықтаудың үш түрі:
Векторлық тәсіл: Нүктенің екі түрлі уақыттағы t және t1= t + t
жағдайын салыстырамыз:

M
t r;
r Δr vср
t1 t Δt r1 r Δr ;
M1

r1 Δr
vорт -
t уақыттағы орта жылдамдық,
O Δt
MM1 хорда бойымен бағытталған

Δr
Δt lim 0 v
t 0 дағы шек:
Δt
dr - t уақытындағы жылдамдық векторы, ол
v траекторияға жанама бағытталған.
dt
Радиуса-вектор мен координаттардың байланысы:

r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k
Координаттық тәсіл:

Векторлық тәсілді жылдамдықты анықтау үшін қолданамыз:

dr (t ) d
v
dt

dt

x(t )i y (t ) j z (t ) k
dx dy dz
i j k v x i v y j v z k
dt dt dt
Табиғи тәсіл:

Жылдамдық векторы: v s .

Жанамаға проекциясы: v s .
Нүкте үдеуі – Үдеу нүкте жылдамдығының бірлік уақытта сан мәні
мен бағытының өзгеруін сипаттайтын векторлық шама.

Нүкте үдеуін анықтаудың үш тәсілі :
Векторлық тәсіл:
Δv - орта үдеу векторы траекторияның
aорт
Δt ойық жағына бағытталады.

M v

r Δr
M1
v1 v

Δv
r1 Шекке көшсек: Δt lim 0 a
O
Δt
Δ v dv
Δt lim 0
Δt dt
dv d 2 r -
үдеу векторы жанама жазықтықта жатады
a 2 - және траекторияның ойық жағына бағытталады.
dt dt
Бірқалыпты айнымалы қозғалыс – aτ s const .
егер барлық уақытта да,

Яғни жанама үдеу өзгермейді.

vτ vτ 0 aτ t - бірқалыпты айнымалы қозғалыстың жылдамдығы

t2
s s 0 v τ 0 t a τ -
бірқалыпты айнымалы қозғалыстың теңдеуі
Қатты дене кинематикасы – қозғалыстың бес түрі:

1. Ілгерілемелі (ползун, насостың поршені, паравоздың
дөңгелектері(спарник), түзу жолмен жүру, лифтің кабинасы, купенің есігі).

2. Айналмалы (маховик, кривошип, кәдімгі есік).

3. Жазықпараллеь немесе жазық (шатун, локомотивтің дөңгелегі).

4. Сфералық (гироскоп).

5. Қозғалыстың жалпы жағдайы немесе еркін ұшу (оқ, тас, аспан денесі)

Ілгерілемелі қозғалыс – Қатты дененің онымен
өзгерместей болып бекітілген түзуі өзінің бастапқы
қалпына параллель қалып отыратын қозғалысы.
Ілгерілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің траекториялары,
жылдамдықтары және үдеулері туралы теорема –
Ілгерілемелі қозғалыста дене нүктелерінің траекториялары, жылдамдықтары
мен үдеулерінің әрбір уақыт кезінде мәндері мен бағыттары бірдей, яғни дене
нүктелері конгурентті қозғалыста болады.

rA (t ) rB (t ) const ,

A нүктесінің жылдамдығы B
нүктесінің(геометриялық,
яғни векторы)
жылдамдығына тең.

v A (t ) vB (t ).
A нүктесінің үдеуі B
нүктесінің(геометриялық,
яғни векторы) үдеуіне тең.

a A (t ) a B (t ).
Сонымен, ілгерілемелі қозғалыстың барлық
кинематикалық сипаттамаларын( траектория,
жылдамдық және үдеу) оның жалғыз ғана нүктесінің
қозғалысы арқылы анықтауға болады.

Қатты дененің айналмалы қозғалысы – Егер
қозғалыстағы дененің кем дегенде екі нүктесі
қозғалмайтын болса, онда мұндай дене тұрақты өстен
айналмалы қозғалыста болады.
(t ) - Айналмалы қозғалыстың теңдеуі
Бұрыштық жылдамдық – бұрылу
P ω
бұрышының уақытқа тәуелді
ω
бірінші туындысы.
Q

d бұрыштық жылдамдық

dt

Бұрыштық жылдамдықты доғалық бағытпен көрсетеді.
Бұрыштық үдеу – бұрылу бұрышының уақытқа тәуелді екінші
туындысы.
d -бұрыштық үдеу

ε dt
ω

P

Q

Бұрыштық үдеу доғалық бағытпен көрсетіледі 0 .

Бірқалыпты айналу – бұрыштық жылдамдық тұрақты.
const . 0 t.
Бірқалыпты айнымалы айналу – бұрыштық үдеу тұрақты. const .
t2
0 t. 0 0 t .
Айналмалы қозғалыстағы дене нүктесінің жылдамдығы - v s .

R – дөңгелек радиусы, айналу өсі мен нүктенің арасындағы арақашықтық.

- O R
φ ω
+
s Доғаның ұзындығы: s R.
v
Жылдамдық векторы, нүкте траекториясына жанаманың
v R бойымен, айналудың бағытымен бағытталады.

Жылдамдық радиусқа тура пропорционал болады.
Айналмалы қозғалыстың үдеуі – нүктенің траекториясы белгілі болса, онда:

s 2
R
ε
aτ s ; an .
+ aцт
a
v
aτ

айналмалы үдеу, радиусқа
Жанама үдеу aайн R перпендикуляр, бұрыштық
жылдамдықпен бағыттас

Тік нормаль үдеу a 2 R Центрге тартқыш үдеу,
цт радиустың бойымен айналу өсіне
(центрге тартқыш) қарай бағытталады.
Толық үдеу, ол екі вектордың қосындысына тең:
a aайн aцт .
aайн Толық үдеу мен радиустың арасындағы
arctg arctg 2 .
бұрыш радиусқа байланысты емес:
aцт
Айналмалы қозғалыстағы жылдамдық пен үдеудің векторы.
Бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеудің векторы айналу өсінің

бойымен доғалықтың бағыты сағат тіліне қарсы бағытталса жоғары
бағытталады.
ω ω

ε ε

k
z k k

z k
Айналмалы қозғалыстағы жылдамдықтың векторы – бұрыштық
жылдамдық пен радиус вектордың векторлық көбейтіндісіне тең:

v r

v r Осы теңдеу – Эйлер
теңдеуі деп аталады.

v r sin( , r ).

v R.
Айналмалы қозғалыстың жанама үдеу векторы – бұрыштық үдеу
векторы мен радиус-векторының векторлық көбейтіндісіне тең,

aайн r

Осы векторлық көбейтіндінің модулі: aайн r sin( , r ).

Олай болса: aайн R.

Үдеу векторының бағыты оң қол ережесі бойынша анықталады.
Айналмалы қозғалыстың центрден тепкіш( нормаль немесе тік) үдеуі –
бұрыштық жылдамдық пен жылдамдық векторының векторлық
көбейтіндісіне тең:
aцт v
ε

R Бұл вектордың модулі: aцт v sin( , v ).
aайн
r
Векторлық көбейтіндіні былай жазуға болады:

aцт ( r )

ω
v v ( R ) R. aцт R

v
r
Олай болса:
Қатты дененің параллель жазық қозғалысы - – дене нүктелері
қозғалмайтын жазықтыққа параллель жүргізілген өз
жазықтықтарында қозғалыста болады.

M1
r1 M 1M 2 Қатты дененің жазық параллель
M2 қозғалысын – жазық фигураның
O r2 қозғалысы деп алуға болады.

dr2 dr1 d 2 r2 d 2 r1
; ( M 1 M 2 const ); v 2 v1 , и 2
2 ; a 2 a1 .
dt dt dt dt
Жазық фигура қозғалысының теңдеуі:
x A x A (t );
y A y A (t );
(t ).

z k
Бұрыштық жылдамдық пен z

бұрыштық үдеу полюске байланысты z k
емес, жазық фигураның жазықтығына k
перпендикуляр бағытталады.

Жазық фигураның кез келген В нүктесінің
жылдамдығы полюс деп алынған А нүктесінің
vB x1 жылдамдығы мен осы В нүктесінің полюс
төңірегіндегі салыстырмалы айналмалы
vBA
B
қозғалысындағы сызықтық жылдамдығының

vvAA геометриялық қосындысына тең.

A

vB v A rAB v A vBA .
Үдеулерді қосу туралы теорема – Жазық фигураның кез
келген нүктесінің үдеуі полюстің үдеуі мен сол полюсті
нүктенің айналу үдеуіне тең.

А, В нүктелері келесі өрнекпен беріледі: v B v A v BA v A rAB .

dv B dv A dv BA d
Осы өрнекті дифференциалдасақ: a A ( rAB ).
dt dt dt dt
Екінші өрнекті екіге бөліп дифференциалдаймыз:
d d drAB
( rAB ) rAB rAB v BA .
dt dt dt
Онда айналмалы және центрден тепкіш екі үдеу аламыз.
Олай болса жазық фигураның үдеуі:

вр ос
a B a A a BA a BA a A a BA .
Қатты дененің күрделі қозғалысы
Қатты дененің күрделі қозғалысы – нүкте екі немесе бірнеше
қозғалысқа қатысады..
Мысалы: жылжып тұрған эскалатордағы адам жүріп келе жатса, кеменің
Палубасындағы қозғалыс. Күрделі қозғалыстың қозғалысын қарастырғанда
O1 , жылжымайтын система координат, Oxyz, қозғалмалы система
координат.

Абсолютті қозғалыс ( a ) – жылжымайтын системадағы
нүкте қозғалысы.
Салыстырмалы қозғалыс ( r ) – жылжымалы системадағы
нүкте қозғалысы.
Тасымал қозғалыс ( e ) – жылжымалы системадағы
нүктенің жылжымайтын системадағы салыстырмалы
қозғалысы.

Ұқсас жұмыстар

АЙНАЛМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫС

Импульс моменті

АЙНАЛМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫС ДИНАМИКАСЫ

Шығармашы лық деңгей

Бастапқы жылдамдығы неге тең

Қатты денелердің механикалық қозалысы

Каноникалық теңдеулер

Идеал газ күйінің теңдеуі

Геодезиялық сызықтар

Беттік құбылыстың термодинамикасы

Пәндер