ҚАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫ

Презентация қосу

ҚАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫ
проф. Марданова Л.О.
Қатарлар тарихы
Қатар тәуелсіз ұғым ретінде
математиктер XVII ғасырда қолдана
бастады. И. Ньютон және Г. Лейбниц
алгебралық және дифференциалдық
теңдеулерді шешуде қатарларды
қолданды. 18-19 ғасырлардағы қатар
теориясы Я. және И. Бернулли, Б.Тейлор,
К.Маклорен, Л. Эйлер, Ж.Даламбер,
Ж.Лагранж және басқалардың
еңбектерінде дамыды. ХІХ ғасырда қатаң
сериялы теория құрылды. К.Гаусс,
Б.Больцано, О.Коши, П.Дирихле, Н.Абель,
С.Вейерштрасс, Б.Риман және басқалар
шығармаларындағы шекті
тұжырымдамаға негізделген. Бұл
мәселені зерттеудің өзектілігі кез-келген
Қатарлар тарихы
Жан Лерон Даламбер – (1717-1783ж.)
18 ғасырдағы атақты француз
математигі. Жалпы, Д'Аламбер
дифференциалдық теңдеулерге
маманданған және оның
зерттеулеріне сүйене отырып,
баллистикамен айналысқан.
Зеңбіректер оғының алысқа және
нысанаға дәл тиуінің зерттеген.
Сонымен қатар, сандық қатарларды
қолданып, бұл ғылымды кейіннен
Наполеон әскерлерінің қатарлары
тез жеңіске жетуіне ат салысқан.
Қатарлар тарихы
Огюсте́н Луи́ (фр. Augustin Louis Cauchy;
(1789 -1857, Франция) - ұлы француз
математигі, Париж ғылым академиясының,
Лондон корольдік қоғамының, Санкт-
Петербург ғылым академиясының және
басқа академиялардың мүшесі.
Ол математикалық анализдің негізін
құрды, анализ, алгебра, математикалық
физика және математиканың көптеген
басқа салаларына үлкен үлес қосқан. Оның
есімі Эйфель мұнарасының бірінші
қабатында орналасқан Францияның ұлы
ғалымдарының тізіміне енген.
Қатарлар тарихы
Леонард Эйлер
(1707-1783)
Швейцария математигі және
механигі, Санкт-Петербург
ғылым академиясының
академигі, математиканың
барлық салаларында көптеген
ғылыми жаңалықтардың
авторы. Эйлер сандық
теорияда математикалық
талдау құралдарын бірінші
болып қолданды және
топологияның негізін қалады.
Сандық қатарлар
Ежелден ғалымдар шексіз тізбек ұғымын:
u1, u2, u3,……, un, …,
және шексіз қатарлар ұғымын қолданып келе
жатыр
u1 + u2 + u3 + … + un + … +….=

мұнда u1, u2 , u3, …сандары - қатар
u n мүшелері.
n 1
Эйлер еңгізген қосынды белгісін -
қарастырып,
келесі қатардың дербес қосындыларын
табамыз.
s1 = u1 – бірінші дербес қосынды,
s2 = u1 + u2 –екінші дербес қосынды,
s3 = u1 + u2 + u3 – үшінші және т.б.
Қатар қосындысы
u1, u2 , u3, …, un, …
s1, s2 , s3, …, sn, … , мұнда
s1 = u1,
s2 = u1 + u2,
s3 = u1 + u2 + u3,
……………………………
sn = u 1+ u2 + u3 + … + un,
……………………………
n lim S n S
Егер онда дербес қосынды
n
Жинақты және жинақсыз
қатарлар
Егер сандар тізбегінің нақты мәнді шегі бар болса,
онда қатар жинақты (жинақталады) дейді
Бұл жағдайда lim Snдеп S жазады да,
n

S- cаның қатардың қосындысы деп атайды

Егер сандар тізбегінің нақты мәнді шегі болмаса,
онда қатар, жинақсыз (жинақталмайды).
МЫСАЛДАР
Мысал 1.
Бұл өрнек
1 + (-1) + 1 + (-1) + … + (-1)n+1 + …
қатар болады.
Дербес қосындылары:
s1 = 1, s2 = 1 - 1 = 0, s3 = 1 – 1 + 1 = 1,
…………………………………………………,
n 1
1 ( 1)
sn 1 1 ... ( 1)n 1
МЫСАЛДАР
Мысал 2.
n 1
1 1 1 1
Өрнек 1 ... ...
2 4 8 2

қатар болады. n 1
1 1 1
1, , ,..., ,...
2 4 2
Қатардың мүшелерінен дербес қосынды
құрамыз n 1
1 3 1
s1 1, s2 1 , s3 1 ,...,sn 2 ,...
2 4 2
Жинақты және
жинақсыз қатарлар
мысалдары
Мысал 3.
Қатар 1+2+3+4+…+n+…-
жинақсыз, оның дербес қосындылар тізбегі
s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6, … ,
шексіз болғандықтан
n(n 1)
sn ,...
Жинақты және жинақсыз
қатарлар мысалдары
Мысал 4.
Қатар
1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1 + … -
жинақсыз, оның дербес қосындылар тізбегінің

1 ( 1)n 1
s1 1, s2 0, s3 1,...,sn ,...
ешқандай шегі жоқ.
Жинақтылыққа зерттеу
Қатарды зерттейік
.
n 1 n( n 1)

1 1 1
(n 1,2,3,...).
n(n 1) n n 1
Сондықтан

1 1 1 1 1 1 1 1
Sn 1 ... 1 .
2 2 3 3 4 n n 1 n 1

lim S n lim 1 1 .
n n
n 1
Қатардың жинақтылығының
қажетті шарты
Егер
u1 + u2 + … + un + …
қатары жинақты болса, онда оның жалпы
мүшесі un нөлге ұмтылады:
lim u n 0 .
n
Қатардың жинақтылығының
қажетті шарты
Мысал 5.
Қатар
0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 + … -
жинақсыз, жалпы мүшесі нөлге
тең емес.

Мысал 6.
Қатар
1 – 1 + 1 – 1 + … - жинақсыз, жалпы
мүшесі нөлге тең емес.
Қатар қосындысы
Егер прогрессияның бөлімі келесі
теңсіздікті қанағаттандырылса: |q| < 1,
онда дербес қосынды (Sn) шегі бар:
a
S ,
1 q
бұл шексіз кемімелі геометриялық
прогрессияның қосындысы немесе қатар
қосындысы деп аталады.

1 -гармониялық қатары жинақтылықтың қажетті шарты

n 1 n орындалса да жинақталмайды
Мысал 1. Қатарды жинақтылыққа зерттеу

Жинақталудың қажетті белгісін
тексерелік , қатар жинақталмайды

Ұқсас жұмыстар

Ұлпалар эволюциясы

Тұқым қуалайтын өзгергіштіктегі ұқсас қатарлар заңы

ДНҚ диагностикалық әдістер

Өсіңкілік қатарлары

Динамикалық шама түрлері

Статистикалық таратпалы қатарлар Статистикалық кестелер

Статистикалық мә ліметтерді жинақ тау, топтау

Өсіңкілік (динамикалық) қатарлар

Өсіңкілік қатарлар статистикада

Статистикалық кестелер

Пәндер