Бернулли формуласы

Толық ықтималдық формуласы және Байес формуласы. Бернулли формуласы және оның салдарлары. Нақты құбылыстар мен процестердің ықтималдық моделдері

Есептерді шешу кезінде Байес формуласын және толық ықтималдық формуласын, Бернулли формуласын қолдануды қарастыру

Сабақ мақсаты:

бірлік ықтималдылық- единичная вероятность - individual probability

Терминология:

Шартты ықтималдылық -условная вероятность - conditional probability

Шартсыз ықтималдылық - безусловная вероятность - absolute probability

Болжамдар ықтималдылығы - вероятность

гипотез - probability of hypotheses

Онда А оқиғасының ықтималдылығы толық ықтималдылық формуласымен былайша есептеледі:

Айталық А оқиғасы қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын Н1, Н2, . . . , Нn оқиғаларының тек қана біреуімен пайда болсын.

Р(А) =

+…+ Р(Нn) * Р(A\ Нn)

Р(Н1) * Р(A\Н1)

+ Р(Н2) * Р(A\Н2)

немесе

Онда А оқиғасы -кездейсоқ алынған ақаулы деталь

Мысал 1. Оқу шеберханасында а, в, с станоктарында сәйкес барлық детальдың 25%, 35 %, 40 % дайындайды. Олардың өнімдерінің сәйкес 15 %, 12 %, 6 % ақаулы (бракованные) . Кездейсоқ алынған деталь ақаулы болу ықтималдылығын анықтау

Н1 - деталь а станогында жасалған

Н2 - деталь в станогында жасалған

Р(А\Н1) =0, 15

Н1,

Н2,

Н3 - деталь с станогында жасалған

Н3

Р(Н1) =0, 25

Р(Н2) =0, 35

Р(Н3) =0, 4

қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық жүйесін құрайды

Р(А\Н2) =0, 12

Р(А\Н3) =0, 06

Алынған ақаулы деталь а станогында жасалған

Онда А оқиғасының ықтималдылығы толық ықтималдылық формуласы бойынша:

Сонымен А оқиғасы қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын Н1, Н2, , Н3 оқиғаларының тек қана біреуімен пайда болады.

Р(А) =

+…+ Р(Нn) * Р(A\ Нn)

Р(Н1) * Р(A\Н1)

+ Р(Н2) * Р(A\Н2)

=Р(Н1) * Р(A\Н1)

+ Р(Н2) * Р(A\Н2)

+ Р(Н3) * Р(A\Н3)

Р(А) =

0, 25*0, 15+

0, 35*0, 12+

0, 4*0, 06=

0, 1035

Жауабы:

Кездейсоқ алынған детальдың ақаулы болу ықтималдылығы

0, 1035

Онда А оқиғасы - 3 рет оқ атылған кездегі жеңіліс

Мысал 2. Нысанаға 3 рет оқ атылды. 1 рет оқ атылғанда нысанаға тию ықтималдылығы р1=0, 5, 2 рет оқ атылғанда нысанаға тию ықтималдылығы р2=0, 6, 3 рет оқ атылғанда нысанаға тию ықтималдылығы р3=0, 8. Бір рет нысанаға тигізу кезіндегі жеңіліс ықтималдылығы 0, 4-ке тең, екі рет нысанаға тигізу кезіндегі жеңіліс ықтималдылығы 0, 7-ге тең, үш рет нысанаға тигізу кезіндегі жеңіліс ықтималдылығы 1, 0-ге тең. 3 рет оқ атылған кездегі жеңіліс ықтималдылығын анықтау

Н1 - нысанаға 1 рет тию

Н2 - нысанаға 2 рет тию

Р(А\Н1) =0, 4

Н1,

Н2,

Н3 - нысанаға 3 рет тию

Н3,

қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық жүйесін құрайды

Р(А\Н2) =0, 7

Р(А\Н3) =1, 0

Есеп шарты бойынша

Н4

Н4 - нысанаға бірде-бір рет тимеу

Р(А\Н4) =0

Р(Н1) =р1(1-р2) (1-р3) + (1-р1) р2 (1-р3) + (1-р1) (1-р2) р3

Н1, Н2, Н3, Н4 оқиғаларының ықтималдылықтарын есептейік. Егер р1, р2, р3 сәйкес бірінші, екінші, үшінші рет оқ атылғанда нысанаға тию ықтималдылықтары болса, онда 1-р1, 1-р2, 1-р3 нысанаға сәйкес бірінші, екінші, үшінші рет оқ атылғанда нысанаға тимеу ықтималдылықтары болады. Сонымен:

Толық ықтималдылық формуласына қойсақ:

Р(Н2) =0, 5*0, 6*0, 2+0, 5*0, 4*0, 8+0, 5*0, 6*0, 8=0, 46

Р(Н1) =0, 5*0, 4*0, 2+0, 5*0, 6*0, 2+0, 5*0, 4*0, 8=0, 26

Р(Н2) =р1р2 (1-р3) + р1 (1-р2) р3+ (1-р1) р2р3

Р(Н3) =р1р2 р3=0, 5*0, 6*0, 8=0, 24

Р(Н2) =(1-р1) (1-р2) (1- р3) =0, 5*0, 4*0, 2=0, 04

Р(А) =

=Р(Н1) * Р(A\Н1)

+ Р(Н2) * Р(A\Н2)

+ Р(Н3) * Р(A\Н3)

+ Р(Н4) * Р(A\Н4)

Р(A) =0, 26*0, 4+0, 46*0, 7+0, 24*1+0, 04*0=0, 666

Жауабы:

3 рет оқ атылған кездегі жеңіліс ықтималдылығы 0, 666

Толық ықтималдылық формуласымен тығыз байланысты болатын формула Байес формуласы

Байес Томас (1702-1761) - ағылшын математигі, Лондондағы король ұйымының мүшесі.

Байес формуласы ықтималдылықтарды к-бейту теоремасы мен толық ықтималдылық формуласының салдары болып келеді

Егер А оқиғасы толық топ құратын бірікпейтін оқиғалардың (боложаулардың-гипотезалардың) біреуімен пайда болатын болса, онда әрбір болжаудың шартты ықтималдығы үшін

теңдігі орындалады

Бернулли формуласы

Ықтималдылықтар теориясы мен математикалық анализ негізін қалаушылардың бірі

Париж ғылымдар академиясының (1699) және Берлин ғылымдар академиясының (1701) шетелдік мүшесі

Якоб Бернулли (1654 - 1705)

швейцар математигі

Айталық п тәуелсіз сынақтар жүргізілсін, әр сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдылығы р, ал пайда болмау ықтималдылығы сәйкес q = 1 - p болсын

п тізбектелген сынақтар нәтижесінде А оқиғасы т рет пайда болу ықтималдылығын анықтау керек

Ізделінді ықтималдылықты Рп(т) деп белгілейік

Бернулли схемасы

Бір сынақ нәтижесінде екі оқиға орындалуы мүмкін А және Ā

Шындығында р1(1) = p, р1(0) = q

р1(1) + р1(0) = p + q = 1

Бернулли схемасы

Екі сынақ нәтижесінде 4 оқиға орындалуы мүмкін А1, Ā1 және А2, Ā2

Сонымен р2(2) = р2; р2(1) = 2р·q; р2(0) = q2

р2(2) + р2(1) + р2(0) = (p + q) 2 = 1

Оқиға

А1 ·А2·А3

Ықтималдылық

p2q

pq2

Бернулли схемасы

Үш сынақ нәтижесінде 8 оқиға орындалуы мүмкін А1, Ā1 және А2, Ā2

Оқиға

А1 ·А2·А3

Ықтималдылық

p2q

pq2

сонымен

р3(3) = р3

р3(2) = 3р2·q

р3(1) = 3pq2

р3(0) = q3

р3(3) + р3(2) + р3(1) + р3(0) = (p + q) 3 = 1

Бернулли схемасы

ықтималдылығы

көбейтіндісіне пропорционал және пропорционалдық коэффициенті

ге тең. Яғни

Бернулли формуласы

№1 Тиынды 8 рет лақтыру нәтижесінде «герб» жағы 4 рет түсу ықтималдылығын анықтау

Шарт бойынша

n=8

m=4

p=q=1/2

Олай болса

Яғни

Жәшікте барлығы 20 шар: 15 ақ және 5 қара. Қатарынан 5 шар алынды. Әрбір алынған шар келесі шарды алмас бұрын жәшікке қайта салынды. Алынған 5 шардың 2 ақ шар болу ықтималдылығын анықтау

Шарт бойынша

n=5

m=2

p=15/20=3/4,

q=1/4

Олай болса

Яғни