Бернулли формуласы

Презентация қосу

Толық ықтималдық формуласы және Байес
формуласы. Бернулли формуласы және оның
салдарлары. Нақты құбылыстар мен
процестердің ықтималдық моделдері
Сабақ мақсаты:

Есептерді шешу кезінде Байес
формуласын және толық
ықтималдық формуласын,
Бернулли формуласын
қолдануды қарастыру
Терминология:
бірлік ықтималдылық- единичная
вероятность — individual probability
Шартты ықтималдылық -условная
вероятность — conditional probability
Шартсыз ықтималдылық - безусловная
вероятность — absolute probability
Болжамдар ықтималдылығы – вероятность
гипотез — probability of hypotheses
Айталық А оқиғасы қос-қостан үйлесімсіз
оқиғалардың толық тобын құрайтын Н1, Н2, ..., Нn
оқиғаларының тек қана біреуімен пайда болсын.

Онда А оқиғасының ықтималдылығы толық ықтималдылық
формуласымен былайша есептеледі:

Р(А)= Р(Н1)* Р(A\Н1) + Р(Н2)* Р(A\Н2)+…+ Р(Нn)* Р(A\
Нn)

немесе
P(A)
Мысал 1. Оқу шеберханасында а,в,с станоктарында сәйкес
барлық детальдың 25%, 35 %, 40 % дайындайды. Олардың
өнімдерінің сәйкес 15 %, 12 %, 6 % ақаулы (бракованные).
Кездейсоқ алынған деталь ақаулы болу ықтималдылығын
анықтау
Онда А оқиғасы -кездейсоқ алынған ақаулы деталь
Н1 – деталь а станогында жасалған
Н2 – деталь в станогында жасалған
Н3 – деталь с станогында жасалған
Н1, Н2, Н3 қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық жүйесін құрайды

Р(Н1)=0,25 Алынған ақаулы деталь а станогында жасалған Р(А\Н1)=0,15
Р(Н2)=0,35 Алынған ақаулы деталь а станогында жасалған Р(А\Н2)=0,12
Р(Н3)=0,4 Алынған ақаулы деталь а станогында жасалған Р(А\Н3)=0,06
Сонымен А оқиғасы қос-қостан үйлесімсіз
оқиғалардың толық тобын құрайтын Н1, Н2, , Н3
оқиғаларының тек қана біреуімен пайда болады.

Онда А оқиғасының ықтималдылығы толық ықтималдылық
формуласы бойынша:

Р(А)= Р(Н1)* Р(A\Н1)+ Р(Н2)* Р(A\Н2) +…+ Р(Нn)* Р(A\
Нn)
P(A) =Р(Н1)* Р(A\Н1)+ Р(Н2)* Р(A\Н2)+ Р(Н3)* Р(A\Н3)
Р(А)= 0,25*0,15+ 0,35*0,12+ 0,4*0,06= 0,1035

Жауабы: Кездейсоқ алынған детальдың ақаулы болу ықтималдылығы
0,1035
Мысал 2. Нысанаға 3 рет оқ атылды. 1 рет оқ атылғанда
нысанаға тию ықтималдылығы р1=0,5, 2 рет оқ атылғанда
нысанаға тию ықтималдылығы р2=0,6, 3 рет оқ атылғанда
нысанаға тию ықтималдылығы р3=0,8. Бір рет нысанаға тигізу
кезіндегі жеңіліс ықтималдылығы 0,4-ке тең, екі рет нысанаға
тигізу кезіндегі жеңіліс ықтималдылығы 0,7-ге тең, үш рет
нысанаға тигізу кезіндегі жеңіліс ықтималдылығы 1,0-ге тең. 3
рет оқ атылған кездегі жеңіліс ықтималдылығын анықтау
Онда А оқиғасы - 3 рет оқ атылған кездегі жеңіліс
Н1 – нысанаға 1 рет тию Н3 – нысанаға 3 рет тию
Н2 – нысанаға 2 рет тию Н4 – нысанаға бірде-бір рет тимеу

Н1, Н2, Н3, Н4 қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық жүйесін құрайды
Есеп шарты бойынша Р(А\Н1)=0,4 Р(А\Н3)=1,0

Р(А\Н2)=0,7 Р(А\Н4)=0
Н1, Н2, Н3, Н4 оқиғаларының ықтималдылықтарын есептейік.
Егер р1, р2, р3 сәйкес бірінші, екінші, үшінші рет оқ атылғанда
нысанаға тию ықтималдылықтары болса, онда 1-р1, 1-р2, 1-р3
нысанаға сәйкес бірінші, екінші, үшінші рет оқ атылғанда
нысанаға тимеу ықтималдылықтары болады. Сонымен:
Р(Н1)=р1(1-р2) (1-р3)+ (1-р1)р2 (1-р3)+ (1-р1) (1-р2) р3
Р(Н1)=0,5*0,4*0,2+0,5*0,6*0,2+0,5*0,4*0,8=0,26
Р(Н2)=р1р2 (1-р3)+ р1 (1-р2) р3+ (1-р1) р2р3
Р(Н2)=0,5*0,6*0,2+0,5*0,4*0,8+0,5*0,6*0,8=0,46
Р(Н3)=р1р2 р3=0,5*0,6*0,8=0,24
Р(Н2)=(1-р1) (1-р2)(1- р3)=0,5*0,4*0,2=0,04
Толық ықтималдылық формуласына қойсақ:
Р(А)==Р(Н1)* Р(A\Н1)+ Р(Н2)* Р(A\Н2) + Р(Н3)* Р(A\Н3)+ Р(Н4)* Р(A\Н4)
Р(A)=0,26*0,4+0,46*0,7+0,24*1+0,04*0=0,666
Жауабы: 3 рет оқ атылған кездегі жеңіліс ықтималдылығы 0,666
Толық ықтималдылық формуласымен
тығыз байланысты болатын формула Байес
формуласы
Байес Томас (1702-1761)- ағылшын математигі,
Лондондағы король ұйымының мүшесі.
Байес формуласы ықтималдылықтарды к-бейту
теоремасы мен толық ықтималдылық формуласының
салдары болып келеді

Егер А оқиғасы толық топ құратын бірікпейтін
оқиғалардың (боложаулардың-гипотезалардың)
біреуімен пайда болатын болса, онда әрбір болжаудың
шартты ықтималдығы үшін

Р( H i ) * Р( A / H i )
Р( H i / A)
Р( A)
теңдігі орындалады
Бернулли формуласы
- Ықтималдылықтар теориясы
мен математикалық анализ
негізін қалаушылардың бірі

- Париж ғылымдар
академиясының (1699) және
Берлин ғылымдар
академиясының (1701)
шетелдік мүшесі
Якоб Бернулли (1654 – 1705)
швейцар математигі
Айталық п тәуелсіз сынақтар жүргізілсін, әр сынақта А
оқиғасының пайда болу ықтималдылығы р, ал пайда болмау
ықтималдылығы сәйкес q = 1 – p болсын

п тізбектелген сынақтар нәтижесінде А оқиғасы
т рет пайда болу ықтималдылығын анықтау
керек

Ізделінді ықтималдылықты Рп(т) деп белгілейік
Бернулли схемасы
Бір сынақ нәтижесінде екі оқиға орындалуы мүмкін А және Ā

Шындығында р1(1) = p, р1(0) = q

р1(1) + р1(0) = p + q = 1
Бернулли схемасы
Екі сынақ нәтижесінде 4 оқиға орындалуы мүмкін А1, Ā1 және А2, Ā2

Оқиға А1 ·А2·А3

Ықтималды p3 p2q p2 q p2q pq2 pq2 pq2 q3
лық

Сонымен р2(2) = р2; р2(1) = 2р·q; р2(0) = q2

р2(2) + р2(1) + р2(0) = (p + q)2 = 1
Бернулли схемасы
Үш сынақ нәтижесінде 8 оқиға орындалуы мүмкін А1, Ā1 және А2, Ā2
Оқиға А1
·А2·А3
Ықтималды p3 p2q p2 q p2q pq2 pq2 pq2 q3
лық

сонымен
р3(3) = р3 р3(3) + р3(2) + р3(1) + р3(0) = (p + q)3 = 1
р3(2) = 3р2·q
р3(1) = 3pq2
р3(0) = q3
Бернулли схемасы
n n m
Pn m ықтималдылығы p q
көбейтіндісіне пропорционал және пропорционалдық
коэффициенті m
Сn ге тең. Яғни
m
Pn m С n
n
p q n m

Бернулли формуласы
№1 Тиынды 8 рет лақтыру нәтижесінде
«герб» жағы 4 рет түсу ықтималдылығын
анықтау
Шарт бойынша
n=8 m=4 p=q=1/2
Олай болса
4 4 8 4
8 8 4
P8 4 С p q
8 С p q
Яғни
8 4
8! 1 1 35
P8 4
4! 8 4 ! 2 2 128
Жәшікте барлығы 20 шар: 15 ақ және 5 қара. Қатарынан 5 шар алынды. Әрбір
алынған шар келесі шарды алмас бұрын жәшікке қайта салынды. Алынған 5
шардың 2 ақ шар болу ықтималдылығын анықтау

Шарт бойынша
n=5 m=2 p=15/20=3/4,
Олай болса q=1/4

2 2 5 3
P5 2 С p q
5 5 2
С p q
Яғни
5 3
5! 3 1 45
P5 2
2! 5 2 ! 4 4 512
п сынақ нәтижесінде оқиғаның
орындалу ықтималдылығын есептеу
формулалары
а) т реттен кем
рп(0) + … + рп(т-1)
б) т реттен артық
рп(т+1) + … + рп(п)
в) т реттен артық емес
рп(0) + … + рп(т)
г) т реттен кем емес
рп(т) + … + рп(п)
Станок-автоматта стандарт емес деталь жасау
ықтималдылығы 0,02-ге тең. Кездейсоқ алынған 6
детальдың ішінде 4-тен артық стандарт деталь болу
ықтималдылығын анықтау
А — «4-тен артық стандартных деталь» (5 немесе 6) деген
«1-ден артық емес стандарт емес деталь» (0 немесе 1)

Шарт бойынша n=6 0≤m ≤1 p=0,02, q=0,98

Олай болса P6 0 m 1 P6 0 P6 1
Яғни
0 6 6 1 6 5
P6 0 m 1 С p q С p q 0.9943
6 6
Айталық п тәуелсіз сынақтар
жүргізілсін. Әрбір сынақта А оқиғасы
орындалуы да, орындалмауы да мүмкін.
А оқиғасының орындалу
ықтималдылығы белгілі болсын

Рn(μ) ықтималдылығы ең үлкен
болатындай μ (0, 1, …, n) санын табу керек

μ – оқиға орындалуының ең ықтимал саны
μ – оқиға орындалуының ең ықтимал саны

μЄ[np-q; np+p] кесіндінің ұзындығы 1-ге тең

Егер кесіндінің ұштары бүтін емес сан болса,
онда олардың арасында жалғыз бүтін сан
орналасқан, яғни μ анықталған болады

Егер кесіндінің ұштары бүтін сан болса, онда 2
ең мүмкін мән бар: np-q және np+p
№4. Өндіріс орнындағы жоғарғы сорт өнімі
31% құрайды. Егер 75 өнімнен тұратын
партия таңдалса, онда өнімнің жоғарғы сорт
болуының ең ықтимал саны қандай?
Шарт бойынша n=75 p=0,31, q=0,69
np q np p
75 * 0,31 0,69 75 * 0,31 0,31
22,56 23,56
№5. Өнімділік ықтималдылығы әрқайсысы
үшін 18/29ға тең болатын арпа дәні егілді.
Өнген дәндердің ең ықтимал санын анықтау

Шарт бойынша n=28 p=18/29, q=11/29
np q np p
18 11 18 18
28 * 28 *
29 29 29 29
17 18
№6. Екі оқ атқыш нысанаға атуда. Бірінші оқ атқыш
үшін бір рет атқан кезде нысанаға тимеу
ықтималдылығы 0,2, ал екінші оқ атқыш үшін 0,4.
Атқыштар 25 рет оқ атқанда нысанаға дәл тимейтін
оқ атудың ең ықтимал санын анықтау
Шарт бойынша n=25 p=0,2*0,4=0,08, q=0,92
np q np p
25 * 0,08 0,92 25 * 0,08 0,08
1,08 2,08

Ұқсас жұмыстар

Тәуелсіз оқиғалар

Салыстырмалы жиілік. Бернулли теоремасы

Оқиға бірнеше түрге бөлінеді сенімді

Дифференциалдық теңдеулер

Кездейсоқ шамалардың үлестірімін компьютерде модельдеу

Бернулли заңы

Бернулли теңдеуі

Анықталған интегралдың қолданылуы

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Бернулли заңынан шығатыны, ағын

Пәндер