Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті

Презентация қосу

Дәріс №8
Тақырыбы:Дискретті кездейсоқ шаманың
сандық сипаттамалары

Аға оқытушы, жаратылыстану ғылымдарының магистрі Урбисинова Батихан Туленжановна
«Іргелі ғылымдар» кафедрасы
Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті
Анықтама. Дискретті кездейсоқ
шаманың математикалық үміті деп, оның
барлық мүмкін мәндерін сәйкес
ықтималдықтарына көбейтіп қосқандағы
қосындыны айтамыз.
Математикалық үміт мына теңдікпен
анықталады:
M ( X ) x1 p1 x 2 p 2 ..... x n p n (1)
Ескерту. Дискретті кездейсоқ шаманың
математикалық үміті тұрақты шама болады.
Мысал. x кездейсоқ шамасының берілген
үлестірім заңы бойынша математикалық
үмітін тап:
Х 3 5 2

P 0,1 0,6 0,3..

M ( X ) 3 0.1 5 0.6 2 0.3 3.9
Математикалық үміттің қасиеттері
1. M (C ) C
2. M (CX ) CM ( X )
3. M ( XY ) M ( X ) M (Y )
Салдар. Өзара тәуелсіз бірнеше кездейсоқ
шамалардың көбейтіндісінің математикалық
үміті олардың әрқайсысының
математикалық үміттерінің көбейтіндісіне
тең.
4. M ( X Y ) M ( X ) M (Y )
Теорема. Өзара тәуелсіз n әрекет
жасағанда А оқиғасының орындалу санының
математикалық үміті M ( X ) , әрекеттің санын
әрбір әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу
ықтималдығына көбейткенге тең.
M ( X ) np
МЫСАЛ
Х және У тәуелсіз кездейсоқ шамалары
мынадай үлестірім заңдарымен берілген:
Х 5 2 4 У 7 9

P 0,6 0,1 0,3.. P 0,8 0,2

M ( XY ) -ті табу керек.
Шешуі.
M ( X ) 5 0.6 2 0.1 4 0.3 4.4
M (Y ) 7 0.8 9 0.2 7.4
Х және У кездейсоқ шамалары тәуелсіз
болғандықтан
M ( XY ) M ( X ) M (Y ) 4.4 7.4 32.56
Мысал

Мылтықтан атқанда нысанаға тию
ықтималдығы p 0.6 -ға тең. Егер 10 рет
ататын болсақ, нысанаға тиюінің жалпы
санының математикалық үмітін тап ?
Шешуі. Әр атқан кездегі тию-тимеуі бір-
біріне байланысты емес, олай болса бұл
оқиғалар тәуелсіз, демек іздеп отырған
математикалық үміт
M ( X ) np 10 0.6 6
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы және оның
қасиеттері. Орташа квадраттық ауытқу
Анықтама. x – кездейсоқ шамасы және
оның математикалық үміті M ( X ) берілсін.
Мынадай X M (X ) айырманы, кездейсоқ
шама мен оның математикалық үмітінің
арасындағы ауытқу деп атаймыз. Ауытқудың
үлестірім заңы былайша жазылады:
X M (X ) X1 M (X ) X 2 M (X ) ......... X n M (X )

P P1 P2 ......... Pn

Анықтама. Дискретті кездейсоқ
шаманың дисперсиясы (шашырауы) деп,
кездейсоқ шамамен оның математикалық
үміті айырымының квадратының
математикалық үмітін айтамыз:
Д ( Х ) М Х М ( Х )
Дисперсияны есептеудің формуласы
Теорема. Дисперсия, кездейсоқ шама x -
тің квадратының математикалық үмітінен
оның математикалық үмітінің квадратын
алып тастағанға тең.
Д ( Х ) М ( Х 2 ) М ( Х )
Дәлелдеу. M (X ) – тұрақты шама
болғандықтан 2 M ( X ) және M ( X ) тұрақты 2

шамалар, олай болса дисперсияның
формуласынан:
Д ( Х ) М Х М ( Х ) М Х 2 ХМ ( Х ) М ( Х )
2 2 2

М ( Х 2 ) 2 М ( Х ) М ( Х ) М 2 ( Х ) М ( Х 2 ) 2 М 2 ( Х ) М 2 ( Х )
М (Х 2) М 2(Х )
яғни, Д ( Х ) М ( Х 2 ) М ( Х )
Дисперсияның қасиеттері
1. Д (С ) 0
Дәлелдеу.

Д (С ) М С М (С ))
М С С М (0) 0

2. Д ( Х ) С Д ( Х )

Дәлелдеу.

Д (СХ ) М СХ М (СХ )
М СХ СМ ( Х ) 2

М С 2 Х М ( Х )
С 2
М Х М ( Х ) С Д ( Х )
2 2

яғни Д (СХ ) С Д ( Х ) 2

3. Д ( Х У ) Д ( Х ) Д (У )
1-салдар. Д ( Х У Z ) Д ( Х ) Д (У ) Д ( Z )
2-салдар. Д (С Х ) Д ( Х )
4. Д ( Х У ) Д ( Х ) Д (У )
Дәлелдеу.
Д ( Х У ) Д ( Х ) Д ( У ) Д ( Х ) Д ( 1 У ) Д ( Х ) ( 1) 2 Д (У ) Д ( Х ) Д (У )

дәлелденді.
Теорема. Әрбір әрекет кезінде, оқиғаның
орындалу ықтималдығы P -ға тең болатын А
оқиғасының n рет тәуелсіз әрекет
жасағандағы орындалу санының
дисперсиясы, жасалынатын әркеттің санын
оқиғаның бір әрекеттегі орындалу және
орындалмау ықтималдықтарына көбейткенге
тең:
Д ( Х ) npq
Анықтама. Кездейсоқ шама x -тің
орташа квадраттық ауытқуы деп,
дисперсиядан алынған квадрат түбірді
айтады, яғни ( X ) Д ( Х )

Ұқсас жұмыстар

Ықтималдық теориясы

КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАНЫҢ ҮЛЕСТІРІМ ФУНКЦИЯСЫ

КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАРДЫҢ ҮЛЕСТІРУ

Ықтималдықтар теориясы. Негізгі түсініктері. Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы. Математикалық күтім

Биномдық үлестірім

Кездейсоқ айнымалы және тармақталған алгоритм

Үзіліссіз кездейсоқ шамаларының үйлестіру зананың тапсырыс формасы

Кездейсоқ сигналдар

Әргодикалық кездейсоқ сигналдар

Кездейсоқ шамалардың үлестірімін компьютерде модельдеу

Пәндер