Элементтің қатаңдық матрицасы

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 45 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ
беті
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..4

I – Бөлім ҮШБҰРЫШТЫ ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ НЕГІЗГІ
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӨРНЕКТЕРІ МЕН
АЛГОРИТМДЕРІ ... ... ... ... ... .5

1.1 Шекті элементтер әдісінің негізгі
түсініктері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
...5
1.2 Үшбұрышты элементтің ығысу
функциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.6
1.3 Деформация мен кернеудің шекті элементтік
өрнектері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
1.4 Элементтің және жүйенің қатаңдық матрицаларын құру
алгоритмдері ... ... ... ... ... ..1 1

II – Бөлім ЭЛЕМЕНТ ПЕН ЖҮЙЕНІҢ ҚАТАҢДЫҚ МАТРИЦАЛАРЫН
ІС ЖҮЗІНДЕ
ҚҰРУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ...13

2.1 Жүйенің қатаңдық матрицасын құрудың негізгі
әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..13
2.2 Жүйенің қатаңдық матрицасын құрудың басты
ережесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..17
2.3 Екі элементтен тұратын жүйенің қатаңдық матрицасын
құру ... ... ... ... ... ... ... ... ... .20
2.4 Үш элементтен тұратын жүйенің қатаңдық матрицасын құру ... ... ... ...
... ... ... ... ... .22
2.5 Көп элементке бөлген жүйенің қатаңдық матрицасын
құру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..26

III – Бөлім ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІМЕН НАҚТЫ ЕСЕП ШЕШУ ... ... ... ..30

3.1 Зенкевичтің тесттік есебі
туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ..30
3.2 Шекті элементтер әдісінің қысқаша USBURS программасын
құру ... ... ... ... ... ... 32
3.3 Зенкевичтің есебін USBURS программасымен шешу
нәтижелері ... ... ... ... ... ... . .36

Қортынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..38

Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..38

КІРІСПЕ

Ғылым мен техникада, құрылыс, жол қатынастары, ғарышқа ұшу
аппараттары, Күн жүйесі планеталарының орнықтылығы, атом реакторларының
беріктігі, газ, мұнай, кен өндірісі, гидротехника, жер қыртысының
орнықтылығы, жерсілкінісінің аймақтары, жер асты, жер бетінің сейсмоберік
құрылыстары, оқу процесі, өмірдің тағы басқа көптеген салаларында кең
қолданылып, әрі уақыт өткен сайын қатты қарқынмен дамып келе жатқан қазіргі
заманғы математикалық аса қуатты сандық әдістердің бірі шекті элементтер
әдісі (ШЭӘ). Бұл әдіс бүгіндері университеттердің оқу жоспарларына негізгі
пәндердің бірі ретінде толық енді. Дж. Норри мен Ж.де Фриздің 1976 жылға
дейінгі мәліметтері бойынша шекті элементтер әдісіне арналып 17752 жұмыс
жарияланған болса, бүгіндері оны санау мүмкін де емес әрі мағынасы да жоқ.
Бұл әдіс математикада қашан, қалай пайда болды деген тарихына қысқаша
тоқалайық. Оның алғашқы белгілері Рицтің (1909), Галеркиннің (1915),
Куранттың(1943), Прагер мен Сингтің (1947), Аргиристің (1954 – 1955),
Тернердің (1956) жұмыстарынан басталады. Шекті элементтер туралы ең
алғашқы ұғым мен түсінікті 1956 – Тернер енгізді. Ал шекті элементтер
терминін (1960) Клафф енгізді.
1960 – жылдардан соң ШЭӘ – нің дамуына Зенкевич, Аргирис, Айронс,
Андерсон, Оден, Галлагер тағы басқа американдық мамандардың үлесі көп. Бұл
әдістің даму барысын бір ізге, жүйеге түсіріп, іс жүзінде қолдануға
лайықтап оқулықтар мен монографиялар жазған Зенкевич, Батье, Вильсон, Оден,
Стренг, Фикс, Норри; Фриз, Галлагер, Сегерлиндтердің сіңірген еңбектері
айрықша. ШЭӘ – нің негізін баяндаудағы біздің басты мақсатымыз –
оны түсініп, игерудің, қарапайым есептерді шешуге, дипломдық және күндізгі
және сыртқы бөлім студенттерінің, ғылыми жұмыстарына ғана емес сонымен
қатар мектеп оқушыларының олимпиадаларға қатынасуларына дайындалуда да төте
жолдармен қолданып игерулеріне мүмкіндік жасау. Сондықтан негізгі теңдеулер
мен формулаларды, өрнектерді матрицалық түрде жазумен қатар оларды толық
ашып, тікелей программалауға қолайлы болуы үшін алгоритм түрінде баяндалды.

Айта кететін мәселе – шекті элементтердің қолданылу түрі сан алуан
болғанымен оны тез түсініп, игеруге көп септігін тигізетін серпімділік
есептері. Оның ішінде физиканың механика бөліміндегі мектеп курсынан
белгілі Гук заңының есептері. ШЭӘ өзінің дамуын о бастан осы серпімділік
есептерін шешуге қолданылудан бастау алған болатын. Табиғатта серпімділік
қасиеті жоқ дене болмайды. Абсолютті қатты дене ұғымының өзі шартты
түсінік. Тау – кен тасы, темір, көмір, шойын, болат, гранит, алмаз тағы
басқа кез – келген қатты деген заттардың барлығының да түрліше серпімділік
шектері бар. Кез – келген зат серпімділік қасиеттері бойынша изотропты
немесе анизотропты болып келеді. Изотропты дегеніміз серпімділік қасиеті
кеңістік бойынша барлық бағытта бірдей болып келетін денелер. Ал
серпімділігі әр бағытта әртүрлі болып келетін денелерді анизотропты дейді.
Басқаша айтқанда изотропты дегеніміз түзілімдік құрылысы біртекті де
анизотропты – әртекті.
Дипломдық жұмыста үшбұрышты элементтердің негізгі математикалық
өрнектері мен алгоритмдері теориялық және практикалық тұрғыдан толық
келтіріліп, Фортран тілінде құрылған программа тексті, оның көмегімен
шешілген тесттік есеп нәтижелері келтірілді. Жүйенің қатаңдық матрицасын
симметриялық және ленталық етіп құрды іс жүзінде қалай құрылатындығы
көрсетілді. Әдістемелік тұрғыдан алдымен бір элементтен, сонан соң екі, үш
бес, жеті элементтерден тұратын зерттеу облысының қатаңдық матрицаларын
түрліше құру жолдары егжей – тегжейлі қарастырылып, О. Зенкевичтің тесттік
есебін келтіріліп, оны жаңа әдіспен тиімді етіп шешуге болатындығы
көрсетілді Фортран тілінде құрылған USBURS атты программа тексті толық
келтіріліп, оның итерация әдісіне арнап құрылған нұсқасы мен алынған
нәтижелер толығымен талқыланып келтіріледі.

I – Бөлім ҮШБҰРЫШТЫ ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ НЕГІЗГІ
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӨРНЕКТЕРІ МЕН АЛГОРИТМДЕРІ

1.1 Шекті элементтер әдісінің негізгі түсініктері

Шекті элементтер әдісінің (ШЭӘ) – нің негізгі түсінігі О. Зенкевич
бойынша төмендегідей 1, 2.
а) Тұтас орта ойша сызықтармен немесе ауданшалармен шартты түрде бірнеше
шекті элементтерге бөлінеді. Тек ойша ғана болғандықтан қарастырып отырған
ортаның тұтастығы алғашқы күйіндей бұлжытпай сақталады.
б) Элементтер бірімен бірі өзара түйісу нүктелері арқылы ғана
байланысады. Бұл жердегі іздейтін негізгі белгісізіміз осы нүктелердің
ығысулары.
в) Әрбір шекті элементтің ішіндегі ығысуды бірден бір жолмен
сипаттайтын функциялар жүйесі таңдалады.
г) Ығысу функциясы элементтің ішкі деформациясын төбелеріндегі
нүктелердің ығысулары бойынша анықтайды. Бұл деформациялар элементтің
бастапқы белгілі деформациясы мен серпімділік қасиеттері бойынша оның
ішіндегі және шекараларындағы кернеулерді табуға мүмкіндік береді.
д) Шекарадағы кернеуді және таралған күштерді теңестіретін күштер жүйесі
анықталады.
Нақты есепті шешу үшін элементтің және ығысу функцияның тиімді түрін
қолдана білу аса жауапты мәселе. Ол зерттеушінің шеберлігі мен тапқырлығына
байланысты. Есептің жуықтап дұрыс шешілуінің өзі осы мәселеге тікелей
тәуелді.
Жазықтық жағдайындағы есептерді шешу зерттелетін облыстың геометриялық
пішініне қарай үшбұрышты немесе төртбұрышты олардың өзі бірінші ретті
немесе екінші ретті түрде таңдалынады.
Зенкевич, Вебеке, Айронс, Аргиристердің арнайы зерттеп көрсетулеріне
қарағанда үшінші, төртінші ретті элементтерді пайдалану тиімсіз. Біріншіден
ақталмайтын күрделі әрі тым ұзақ математикалық өрнектерді жазуға тура
келеді. Екіншіден есептің шешілу дәлдігі артпайды. Тағы бір келеңсіздігі
есептеуге көп уақыт кетеді. Біздің арнайы зерттеулеріміз де бұл тұжырымның
рас екендігін көрсетті. Оған алдағы үшінші бөлімде нақты тесттік есепті
шешу арқылы көз жеткізіледі.
Жалпы шекті элементтер әдісінің минимизациялау процесімен сәйкес
екендігін алғаш рет Клоуг, Змелтерлер байқаған. Бірақ жоғарыда айтқандай
Курант, Прагер, Сингтер кезінде осыған ұқсас ұсыныстар жасаған болатын. Біз
бұл жерде функцияны минимизациялауға тоқталмаймыз. Ескертеріміз вариациялық
қойылым мүмкін болатын есептердің кез – келгеніне шекті элементтер әдісін
қолдануға болатындығы.
Жоғарыда айтылған бес қадам орындалғаннан кейін Гук заңына негізделіп
жүйенің қатаңдық матрицасы құрылады. Шекті элементтер әдісінің мәнісі де,
тоқ етер түйінді жері де, бар құпиясы мен қиындығы да осында. Қатаңдық
матрицасын құра білсек сыртқы күш векторы арқылы тепе – теңдікті
сипаттайтын алгебралық сызықты теңдеулер жүйесі құрылды деген сөз. Әрі
қарай ол жүйені жоғары математиканың кез – келген әдісін қолданып шығара
отырып белгісіз болып отырған ығысу векторларын тағы басқа шамаларды
сатылай отырып таба аламыз.

1. 2 Үшбұрышты элементтің ығысу функциялары

Серпімділік теориясының жазық есептерінде есептік облыстың көлденең
қимасы не жазық деформация немесе жазық кернелген күйге келетіндігі белгілі
1, 2, 3, 4, 5.
Шекті элементтер әдісінде бұл екі жағдайда да ығысу өрістері
немесе декарттық координаталарының бағыттарындағы ,,
құраушылары арқылы анықталады. Ал деформация мен кернеулердің жазық
есептерде үш – үштен құраушылары болады.
Төбелері , , деп белгіленген типтік кәдімгі үшбұрыш 1
– суретте көрсетіліп отыр.

1 – сурет. Есептік типтік үшбұрышты элемент.

Әрбір нүктенің ығысуының екі құраушысы болады:

, , . (1)

Ығысудың бұл алты құраушысы кез – келген элементі үшін мынадай
вектор құрайды.

. (2)

Суретте көрсетілгендей элементінің ішкі кез – келген нүктесінің
ығысуы осы алты шамамен бірден – бір жолмен анықталады. Енді полиномдық
функцияны таңдайық. Оның ең қарапайым түрі мынадай түрдегі сызықтық
полином

(3)

Алты тұрақты шамалар екі жүйеден оңай табылады: – тің орнына
үшбұрыштың үш төбелерінің координаталары терді қойсақ онда (3)
теңдеудің әрқайсысы үш теңдеуді құрайды. Олардың әрқайсысы ығысу
құраушылары ларға тең.
Мысалы:
(4)

(4) – жүйені белгісіз коэффициенттер , арқылы табамыз:

, (5)

мұндағы – үшбұрыштың екі еселенген ауданы. (6)

(5) – тегі анықтауыштарды ашып, лардың мәндерін (3) – тің бірінші
теңдеуіне қойып, мына өрнекті аламыз

(7)

Мұндағы тағы басқа коэффициенттер (6) –шы анықтауышты ашу арқылы
табылады және олардың мәндері мыналарға тең.

(8)

Дәл осындай жолмен қалған алты коэффициенттер де табылады: (4) – (6)
амалдарды (3) – өрнектің екінші теңдеуіне қойып оларды i ,j
,k ларға теңестірсек (8) өрнектегі белгілеулер арқылы ығысудың
құраушысының өрнегін аламыз.

. (9)

Ыңғайлы болуы үшін (7) мен (9) –шы өрнектерді мына түрде жазайық

, (10)

Мұндағы , ал –лардың өрнектері (7) мен (9) –ды салыстыру арқылы
мыналарға тең болатынын байқау қиын емес.

,
(11)

1.3 Деформация мен кернеу өрнектері

Деформация құраушыларын серпімділік теориясындағы белгілі Кошидің
геометриялық түрдегі теңдеулері арқылы жазайық.

(12)

(13)

мен –ның (7) мен (9) –өрнектегі мәндерін (13) –ке қойып
төмендегі өрнектерге келеміз.

. (14)

(11) – өрнектегі –лардың мәндерін (14) –ке қойсақ мынадай
өрнекке келеміз.

. (15)

Бұл өрнектегі матрицаны деп белгілейік

. (16)

Сонда (15) – өрнек мына түрге келеді

, (17)

Мұндағы , (1) – (3) – өрнектегі ығысу құраушылары .
Кернеу құраушылары (17) – өрнектегі деформация құраушылары
арқылы мынадай өрнекпен есептеледі.

, (18)

мұндағы – серпімділік матрицасы. Оның элементтері изотропты орта
жағдайында Юнг модулі және Пуассон коэффициенті арқылы
құрылады. (18) өрнекті мына түрде де

(19)

жазуға болады. матрицасының түзілімі жазық кернеу күйі немесе жазық
деформация жағдайларына байланысты әртүрлі болады. Енді осы екі жағдайды
қарастырайық.

Жазық кернеу күйі

Серпімділік теориясы курсындағы изотропты материалдар үшін деформация
құраушыларын кернеу құраушылары арқылы белгілі өрнегін жазайық.

(20)

Бұл қатынастарды кернеуге қатысты шешіп матрицасын мына түрде аламыз.

, (21)

Түсініктірек болуы үшін (20) – ды мына түрде жазып –ті белгілі деп
есептеп, шешіп ті тапсақ

(22)

(21) өрнектің қалай шыққанын білуге болады.

Жазық деформация

Дәл осындай жолдармен жазық деформация үшін серпімділік матрицасының түрі
мынадай екенін де шығарып алуға болады.

. (23)

1.4. Элементтің және жүйенің қатаңдық матрицаларын құру
алгоритмдері

Элементтің қатаңдық матрицасы

Сызықты төбелері бар үшбұрышты элементті пайдаланғанда оның
қатаңдық матрицасы шекті элементтер әдісінде мынадай интегралмен
есептеледі.

, (24)

мұндағы – элементтің қалыңдығы, ал интегралдау үшбұрыштың ауданы
бойынша жүргізіледі. Егер элементтің қалыңдығы тұрақты десек, бұлай деу
оның өлшемдері неғұрлым кіші болса солғұрлым шындыққа жақын, онда
жоғарыдағы матрицалардың бірде – біреуінде немесе айнымалысы
жоқ. Олай болса (24) өрнектегі интеграл астындағы шама тұрақты ретінде
интегралдан шығып мынадай өрнекке тең болады.

(25)

мұндағы үшбұрыштың ауданы. Ол (6) –өрнекпен есептелінеді.

Енді (25) – өрнекке (16) –өрнектегі мен (23) – өрнектердегі –
ның мәндерін қойсақ онда элементтің қатаңдық матрицасы үшін мынадай өрнекті
аламыз.

(26)

Егер элементтің қалыңдығын бірлік өлшемді болса яғни онда үш
матрицаның алдындағы коэффициент болатынын байқау қиын емес. Сонымен
6х3, 3х3 ж2не 3х6 матрицаларын көбейткендегі қортынды матрица элементтің
қатаңдық матрицасы деп аталады да оның өлшемдері 6х6 болады. Яғни оның
түзілімі төмендегідей
Қорыта айтқанда элементтің қатаңдық матрицасын құру үшін үшбұрыштың
үш төбесінің координаталары арқылы аудан (6) – өрнек арқылы
есептеліп, (16), (24) – арқылы градиенттік және серпімділік матрицалары
есептеліп (26) өрнек арқылы элементтің қатаңдық матрицасы құрылады,
нәтижесі (27) өрнек түрінде жазылады. Программа осы қадамдарға құрылады.

(27)

Жүйенің қатаңдық матрицасы

Төменде 2 – суретте жазықтықтағы есептік облысты шекті элементтер
жүйесіне бөлуден үзінді көрсетілген. Егер де облысымыз тек осы 6 нүктеден
ғана тұрады десек әрбір нүктенің жазықта екі еркіндік дәрежесі
болатындықтан ( және өстері бойынша) бұл жүйенің қатаңдық
матрицасының реті 12 болады. Яғни алгебралық теңдеулер жүйесінің негізгі
матрицасы болып табылатын қатаңдық матрицасының реті 12х12 болады.
Жүйенің қатаңдық матрицасы элементтердің қатаңдық матрицаларының
қосындыларынан құралады. Сонда оның өрнегін мына түрде жазуға болады.

, (28)

мұндағы екінші сурет бойынша беске тең, яғни . Енді шекті
элементтер әдісінің негізгі теңдеуі болып табылатын алгебралық теңдеулер
жүйесін мына түрде жазуымызға болады.
, (29)

мұндағы – жүйенің қатаңдық матрицасы, жалпы жағдайдағы оның өлшемі
2n*2n; ,– белгісіз ығысу құраушылары мен белгілі сыртқы немесе
көлемдік күш векторлары, өлшемі – 2*n. Мұндағы есептік облыстағы
нүктелердің жалпы саны.

2 – сурет. Жазықтағы шекті элементтер жүйесінен фрагмент.
II – Бөлім ЭЛЕМЕНТ ПЕН ЖҮЙЕНІҢ ҚАТАҢДЫҚ МАТРИЦАЛАРЫН
ІС ЖҮЗІНДЕ ҚҰРУ

2.1 Жүйенің қатаңдық матрицасын құрылымы туралы

Шекті элементтер әдісінде жүйенің қатаңдық матрицасының құрылымы зерттеу
облысын элементтерге бөлу түріне, әсіресе олардың төбелерін нөмірлеу түріне
байланысты. Жалпы жағдайда жүйенің қатаңдық матрицасы квадратты және
симметриялы болады. Егер элементтердің төбелерін ерекше жолмен ықшамдап
нөмірлей білсек, онда толық матрицаның орнына (3 – сурет) диагональ
маңайында симметриялық (4 – сурет) немесе диагоналдық симметриялық және
ленталық (5 – сурет) етіп құруға болады.

3 – сурет. Толық матрица кескіні

4 – сурет. Симметриялық басым диагоналдық матрица кескіні

5 – сурет. Симметриялық ленталық матрица кескіні

Жүйенің қатаңдық матрицасын 4 –ші немесе 5 – суреттердегідей етіп
құрудың үлкен мәнісі бар. Қазіргі заманғы компьютерлердің оперативтік
жадысы мен тактылық жиілігі қаншама жоғарылап келе жатқанымен кеңістіктік
есептер, әсіресе кеңістіктік динамикалық есептерді уақыттың дискретті
мәндері үшін шешуге ең соңғы, ең қуатты компьютердің де мүмкіндігі жоқ.
Қатаңдық матрицасын диагоналдық симметриялық етіп құрғанда оның нөл емес
элементтері диагональ маңайына топтасады да жалпы санынан екү, үш, бес,
он, елу, жүз есеге дейін кемиді. Компьютер жадысында квадраттық матрица
орнына 6 – суретте көрсетілгендей тік матрица түрінде диагоналдың тек
астыңғы немесе үстіңгі жақтарының элементтері ғана сақталады. 5 –
суреттегі диагональ маңайындағы нөл емес элементтердің ең үлкен санын яғни
енін алдын – ала білуге болады. Ол еннің ішінде азын – аулақ нөл сндары
болады. Оны алдағы мысалдарда толық көрсетеміз.

6 – сурет тік бұрыш түріндегі диагоналдың үстіңгі элементтерінен құрылған
матрица

Енді нақты мысалдармен элемент пен жүйенің қатаңдық матрицаларын құрайық.
Шардара, Қапшағай, Бұқтарма тағы басқа су гидроэлектростанциялары үлкен су
қоймаларына салынады. Ағып жатқан өзен арнасын бөгеу үшін тау жыныстарымен
топырақтан үйіп, бөгет жасайды. Бөгеттің пішінінің көлденең көлденең
қимасының кескіні геометриялық тұрғыдан трапеция тәрізді болып келеді.
Алғаш салынған автомобиль немесе поезд жолын салу үшін де алдымен топырақ
немесе тау жынысын трапеция тәрізді етіп үйеді. Бөгеттің көлденең
қимасының трапециялық кескіні 7 – суретте көрсетілгендегідей дейік.

6 – сурет. Зерттеу облысының көлденең қимасының кескіні

Осы облысты алдымен үшбұрышты екі элементке бөліп оларды және олардың
төбелерін цифрлармен және формуламен есептеуге келетіндей етіп деп
нөмірлейік (7 – сурет).

7 – сурет. Зерттеу облысын екі элементке бөліп нөмірлеу

Айта кететін нәрсе –ны үнемі сағат тілінің бағытымен немесе үнемі оған
қарсы бағытта ұстау керек. Мысалы бір есеп көлемінде бірде және
деуге болмайды, бiрақ немесе деп аралас қолдана беруге болады.
Алдымен суреттегі дөңгелек ішінде 1–деп нөмірленген элементті
қарастырайық. Оның қатаңдық матрицасының өлшемі 6х6 болатыны I–бөлімде
айтылды. Есептік облыста барлығы 4 нүкте бар. Жүйенің қатаңдық матрицасының
өлшемі жазық есептерде болатыны айтылды (есептік облыстағы
нүктелердің саны). Демек 7 – суретте көрсетілген облыс үшін екi элементтiң
қатаңдық матрицаларынан құралатын жүйенiң қатаңдық матрицасының өлшемi 8х8
болады
Ендi (136), (137) –шi формулалар бойынша кез – келген үшбұрыштың
төбелерiнiң нөмiрлерiне сәйкес келетiн жүйенiң қатаңдық матрицасының жатық
және тiк жолдарының нөмiрлерiн табу өрнектерiн жазайық. Шектi элементтермен
айналысып, бiрақ оны игере алмаушылардың түсiнбейтiнi дәл осы мәселе.Бұл
өрнектердiң мән, мағынасын түсiнбеген жағдайда әрi қарай жылжу болмайды!
С.Б. Уховтың (Расчет сооружений и основании методом конечных элементов, М.,
1973) оқулығынан басқа шектi өлементтерге арналған бiрде – бiр оқулықта
тәптiштеп түсiндiрiлмейдi. Л. Сегерлиндтiң Л. (Применение метода конечных
элементов. - М.: Недра, 1979) тамаша оқулығы бойынша да пайдаланушының өз
бетiмен түсiнiп кетуi қиын .
Бұл жерде баяндалатын әдiс С.Б. Ухов оқулығындағыдан мүлдем басқаша.
Үшбұрыштың 3 төбесiнiң әрқайсысының және өстерiнiң
бағыттарында ығысудың екi құраушысы болатындықтан барлығы 6 теңдеу
болады. Сонымен элементтiң қатаңдық матрицасы мен жүйенiң қатаңдық
матрицасының элементтерiн байланыстыратын формуланың түрi арқылы
былай жазылады.

;
;
; (30)
;
;
.

Бұл формулалардың қызметiн түсiнбеген адам шектi элементтер әдiсiн
ешуақытта да түсiне алмайды! Сондықтан бұл оқулықтағы ең қиын мәселені
егжей – тегжейлi баяндайық. Ол үшiн 7 –суреттегi 1–8ші бұрышты 8–сурет
түрiнде жеке бөліп қарастырайық. Оның төбесінің ығысуын
құраушысына (30) теңдеудегі, құраушысына құраушысы сәйкес
келеді. Сол сияқты мен төбелерінің әрқайсысының
құраушыларына (30) теңдеудің және төбелеріне өрнектері
сәйкес келеді. Үш төбеге түсетін сыртқы немесе ішкі күштің 6 құраушылары
да дәл осы жолмен анықталады.

8 – сурет. Үшбұрышты элементтiң жалпы және жергiлiктi нөмiрлерi

Олай болса

;
;
; (31)
;
;
.

(32)

Енді 6–суреттегі нақты элементтің яғни 1–шi элементтiң жергілікті
нөмiрлерiн жалпы нөмірімен байланысын (30) бойынша жазайық. Бұл жерде
Екеніне көңіл бөлу керек. Элементтiң қалыңдығы , төрт төбесіндегі
нүктелердiң координаталары ті тағайындап, материалдың серпiмдiлiк
қасиеттерi белгiлi деп (, ) (24) өрнек бойынша үш матрицаның
көбейтiндiсiмен элементтiң қатаңдық матрицасын құрамыз. Ол матрицаларды
көбейту нәтижесінде алынған матрицасының өлшемі 6х6 болады. Ендi осы
матрицаны жергiлiктi және жалпы нөмiрлер арқылы жазайық.
Жергiлiктi нөмiр бойынша

(33)

Жалпы нөмiрi 1, 3, 2 бойынша

.
(34)

Соңғы екi өрнектің оң жақтарындағыайырмашылыққа қараңыз. Программалау үшін
цикл құруға бір идентификатормен белгілеу әлдеқайда қолайлы, сондықтан бұл
жерде мынадай өзара тең ауыстырулар пайдаланылып отыр.

(35)

Алдағы баяндауларда немесе шекті элементтерге арналған өзге авторлардың
кітаптарында осындай үш түрлі белгілеулер қолданылады. Түсінікті болуы,
әрі есте қалуы үшін (35) өрнекті арнайы жазып, көңіл аударып отырмыз,
Мысалы жоғарыдағы (33) өрнектегі пен –ға (35) өрнек аралас
өолданылып отырғанына назар аударыңыз.
Енді (34)– өрнекті өлшемі (21)–сурет бойынша 8х8 екенi алдын–ала
белгiлi жүйенiң қатаңдық матрицасына жiберейiк.

2.2 Жүйенің қатаңдық матрицасын құрудың басты ережесі

Жүйенің қатаңдық матрицасын құрудың екі әдісі бар. Біріншісі есептік
– ші нүктені қоршаған элементтердің төбелері, яғни – ді тікелей
көмкеретін нүктелерден құралған жұлдыздар шоғыры арқылы. Бұл жағдайда
элементтің қатаңдық матрицаларының элементтерін жүйенңғ қатаңдық
матрицасына жіберу үшін арнайы жұлдыздар шоғырына кіретін нүктелердің
санына байланысты шағын сандар кестесі тағайындалады. Екінші әдісте әрбір
элементтің төбелерінің нөмірлері қарастырыла отырып тікелей құрылады.
Соңғысы негізгі және тікелей әдіс деп аталады. Біз бұл жерде осы негізгі
әдістің кейбір құпияларын толық ашып баяндайық. Шекті элементтер әдісін
оқып үйренуде, оның идеясы түсінілгенімен іс жүзінде есеп шығаруға қолдану
өте қиын. Қиындық элементтердің қатаңдық матрицалары құрылған соң солар
арқылы жүйенің қатаңдық матрицасын қалай құрылатындығын түсінуге
байланысты. Оның ережесі (– элементтің кезекті нөмірі де,
– оның жалпы саны) деп көрсетілгенімен осы қосындыны іске асыру арнайы
ережелер арқылы жүргізіледі. Бұл ережені түсінбеген пайдаланушы шекті
элементер әдісін іс жүзінде қолдана алмауының бар сыры да қиындығы да
осында. Біз төменде жүйенің қатаңдық матрицасын құрудың осы тікелей әдісін
егжей – тегжейлі нақты мысалдар негізінде баяндаймыз. Түсінікті болуы үшін
әдістемелік тұрғыдан алдымен 1 элементтің сан мәндері жүйеге қалай
жіберілетіндігін көрсетейік. Сонан соң 2, 3, 5 және 7 элементке дейін
бөлінген облыстың қатаңдық матрицасын құруды келтіреміз. Және біріншіден
симметриялы етіп құрудың сыры ашылса, екіншіден диагоналдық,
квазидиагоналдық, үш диагоналдық етіп құрудың тәсілдерін де арнайы
баяндаймыз.

ЕРЕЖЕ! (34) – дiң оң жағындағы немесе сол жағындағы индекстерге
қараңыз. Онда 1 2 5 6 3 4 деген цифрлар тұр. (30)–шi
ереже бойынша алдымен 1 деген (төмендегі (36) – ші өрнекке қараңыз)
жүйенің қатаңдық матрицасының 1–жолын көрсетедi. Содан соң осы 1–жол үшiн
1 2 5 6 3 4 цифрлары басынан бастап қайтадан
қайталанып тік жолдардың, яғни бағандардың нөмірлерін көрсетеді. Жүйенің
қатаңдық матрицасын R деп белгілесек, онда (34)–шi өрнектiң 1–шi жолы (36)-
ке былай орналасады (немесе жіберіледі)

Мұндағы мен дің төменгі индекстеріне қараңыз және (36) пен
салыстырыңыз.
Бұл жерде (34)–шi өрнектегi элементтің қатаңдық матрицасының ()
бірінші жолының алты элементі 1 2 5 6 3 4 цифрларынан 1
цифры қарастырылуы арқылы жүйенің қатаңдық матрицасына жіберілді. Енді
келесі 2 деген цифрды аламыз. Ол цифр үшін 1 2 5 6 3 4
цифрлары басынан бастап қайтадан қайталанып нұсқамасымен көрсетілген
жолмен элементтің қатаңдық матрицасының екінші жолындағы элементтерін
жүйенің қатаңдық матрицасы –дiң екiншi жолынының 1 2 5 6
3 4–шi орындардағы тiк жолдарына жiбередi. Немесе

арқылы құрылады. Элементтің қатаңдық матрицасының 3–шi жолының элементтерi
енді жүйенің қатаңдық матрицасының 3-шi жолына емес 5–шi жолына
барады. Себебi ендi (34) дің оң жағындағы ығысудың немесе сол жағындағы күш
векторының индекстері болып келетін 1 2 5 6 3 4
цифрларынан 1 және 2 цифрлары қарастырылып кетті. Енді 5 цифры жүйенің 5-шi
жолын білдіріп, оның тік жолдарын (екінші индекстер) көрсету үшін 1 2
5 6 3 4 цифрлары басынан бастап қайтадан қайталанады. Сонда
элементтің 3–шi жолының элементтерi жүйенiң 5–шi жолына былай жөнелтiледi.

Әрі қарай 1 2 5 6 3 4 цифрларынан 6 цифры жүйенің 6–шы
жолын көрсетедi де оның 1 2 5 6 3 4–шы орындардағы тiк
жолдарына
элементтері барады. Немесе

Енді осы жолмен элементтің қатаңдық матрицасының соңғы 5–шi және 6–шы
жолдарының элементтерi жүйенiң қатаңдық матрицасының 3–шi және 4–шi
жолдарына баратынын байқау қиын емес. Осы айтылғандарды (36)–шi өрнекпен
салыстырыңыз. Ереженің соңы.

Талдауды жеңілдету үшін (36)–шi өрнекте жеке баған ретінде жатық жолдар
мен тік жолдадың нөмірлері қоса көрсетіліп отыр. (34)–шi өрнектегi 1-шi
үшбұрышты элементтің қатаңдық матрицасының элементтері (36)-шi жүйенің
жүйенің қатаңдық матрицасына барғанда орындары ауысып мүлдем басқаша
орналасатынына көңіл бөліңіз. 4 – ші нүктенің 1 – ші элементке қатысы жоқ
болғандықтан оған сәйкес келетін 7 – ші 8 – ші жолдар бос, яғни нөлдер
тұр.
Осы ережемен енді 20–шi, 21–шi суреттердегi топырақпен үйіліп
салынған жолды бейнелейтін дөңгелекпен қоршалған 2–шi үшбұрышты элементтi
қарастырайық (9–шы суретке қараңыз). Бұл элементке де алдымен (30)–шi
өрнекті (32)-шы өрнек түрінде жазайық.

(37)

9–шы сурет.

(37)–шi өрнек бойынша бұл элементтің қатаңдық матрицасы

(38)

Енді (36) –ке () элементтері қалай орналасатынын білу үшін (36)
–тегі жүйенің қатаңдық матрицасы бос яғни элементтері түгелдей нөл дейік.
Алдында айтылған ереже бойынша (38) – тің элементтерін (37)–шi формула
бойынша жүйенің қатаңдық матрицасына жіберейік. Сонда оның түрі (39) –шы
түрдегідей болады. Мұны тексеруді оқушыға қалдырдық. Міндетті түрде
тексеріп осылай екеніне көз жеткізіңіз.

2 – элемент үшін тұтас 7 немесе 10 – суреттегі облыстың 2 деген төбесі
қатыспай тұр (суретке ұқыптап қараңыз). Сондықтан (39) – шы өрнектегі
жүйенің қатаңдық матрицасының 3 – ші және 4 – ші жатық жолдарымен тік
жолдары бос тұр, яғни нөл сандары. 154 – ші өрнек бойынша 2 – ші нүктеге 3
– ші, 4– ші қатарлар сәйкес келетініне тағы да назар аударыңыз.

2.3 Екі және үш элементтік жүйенің қатаңдық матрицасын құру

Екі элементтен тұратын облыстың қатаңдық матрицасын құру. Осыған
дейін біз төбелерінің нөмірлері әртүрлі екі үшбұрыштың қатаңдық
матрицаларының элементтері жүйенің қатаңдық матрицасына қалай орналасатынын
талдап келдік. Енді 8 – 9 суреттерді жинақтап, бастапқы 6 – 7 – ші сурет
үшін біріккен, жүйенің біріккен тұтас қатаңдық матрицасын құрайық. Ол үшін
(34) пен (38) ні және (32) мен (37) ны жинақтап, қайта жазып, тұтас жүйені
құрамыз.

10–шы сурет.

(40)

10 – суреттегі екі элементтің (40) – ші өрнектердегі және
қатаңдық матрицаларын жүйенің біртұтас қатаңдық матрицасына жіберу үшін
(32), (37) – ші өрнектерді қатар жазайық.

(41)

Жоғарыда айтылған ереже бойынша 10–шы суреттегі тұтас жүйенің қатаңдық
матрицасы (40) –дегі және матрицаларының элементтерін (41) –
ші өрнектерімен құрғанда былай болып шығады.

(42)

Екі элементтен құралған жүйенің қатаңдық матрицасының соңғы түрі осындай
екен. Талдау жасасақ 3 – ші, 4 – ші жолдардың 7 – ші, 8 – ші бағандары
және оған симметриялы 7 – ші, 8 – ші жолдардың 3 – ші, 4 – ші бағандары
бос, яғни нөлдер екен. Оның себебі 1 – ші үшбұрышты элементте 4 – ші
нүкте жоқ. Сондай – ақ 2 – ші үшбұрышта 2 – ші нүкте жоқ. Ал бұл нүктелер
3 – ші, 4 – ші және 7 – ші, 8– ші қатарларға сәйкес келеді. Сондықтан
ол ұяшықтарда нөл сандары тұр. Бұл айтылғандарды (36) және (39) –шы
өрнектерден де көруге болады. Жүйенің қатаңдық матрицасының соңғы (42)
дағы түріне зер салып қарасаңыз, диагоналдың астыңғы және үстіңгі
элементтері симметриялы екені байқалады. Бұл мысалда зерттеу облысымызды
небәрі екі ғана элементке бөлгендіктен диагоналдың немесе ленталық түзілім
көрінбей тұр. Үш немесе одан да көп элементтерге бөлсек қатаңдық
матрицасының айтылған түрлерін көруге болады. (42) – өрнекте кейбір
ұяшықтарда қосу белгісі бар. Оның себебі бін нүкте екі элементке ортақ,
яғни екі бірдей элементтің төбесі болып тұр. Егер есептік нүкте бірнеше
элементке ортақ болса, онда қосындылардың саны да соншама болады.

2.4 Үш элементтен тұратын облыстың қатаңдық матрицасын құру.

Енді 6 – шы суретте көрсетілген бастапқы есептік облысымызды
үшбұрышты үш элементке 11 – суретте көрсетілгендей етіп бөлейік. 12 – ші
суретте олардың жергілікті нөмірлері мен жалпы нөмірлеулері
көрсетілген.

11 – сурет. Жазық зерттеу облысын үш элементпен моделдеу

Есептік нүктелерді кез – келген тәртіппен нөмірлеу нұсқасы(тиімсіз)
Төмендегі
келтірілген 26 – суретте нүктелерді алдымен сағат тілінің бағыты ережесімен
сол жақтан бастап оңға қарай нөмірлеп көрейік. Үшбұрышты әрбір элементтің
өзінің жергілікті нөмірлері болатынына назар аударыңыз. Сондай – ақ
әрбір элементті де нөмірлейміз. Алдын – ала айта кететін жайт – элементті
қалай нөмірлесек те бола береді, оған арнайы ереже жоқ.

12 – сурет. Элементтерді және төбелерін нөмірлеудің тиімсіз түр

Алдыңғы тақырыпта келтірілген (30) – ші өрнекті қайталап жазбай – ақ соның
көмегімен элемент пен жүйені байланыстыратын векторларының мәндерін
12 – ші суреттегі үш элемент үшін жазайық. Олардың бірінен бірінің
айырмашылықтарын көру үшін алдымен үшеуін үш түрлі етіп белгілейік. Бірінші
элементке таңбасын, екінші элементке ®, үшінші элементке ©
белгілеулерін енгізейік.

(43)

(44)

(45)

(46)

13 – сурет. Үш элементтен құрылған жүйенің симметриялық бірақ толық
қатаңдық матрицасы

Есептік нүктелерді тиімді етіп арнайы нөмірлеу нұсқасы

Жоғарыдағы 12 – суреттегі нөмірлеу мен төмендегі 14 – суреттегі
нөмірлеулерді салыстырыңыз.

14 – сурет. Элементтерді және төбелерін нөмірлеудің тиімді түрі

Енді (42) бен (162) – ші өрнектерді осы тиімді деген нөмірлеулер үшін
жазайық. Алдымен элементтің қатаңдық матрицаларын, сонан соң байланыс
векторларын сол қалпындағы белгілеулермен жазамыз. Айырмашылығы пен
векторларының индекстері басқаша болады.

(47)

(48)

(49)

(50)

Осы соңғы (166) – шы өрнекпен (163) – (165) – ші өрнектердегі
элементтердің қатаңдық матриларын жүйенің қатаңдық матрицасына жібергенде
оның түрі (15) – шы суреттегідей болып шығады.
Бұл суреттен байқайтынымыз (3) – ші суретке қарағанда жүйенің
қатаңдық матрицасы біріншіден, нөл емес элементтер диагональ маңайына
топтасқан, екіншіден, ленталық түр белгісі білінеді және басты диагоналға
қатысты симметрия сақталған. Нөлдік өлементтер бірыңғай теріс диагональ
бұрыштарына жиналған. Бұл жерде ұяшықтарға симайтын болғандықтан қосу
белгісін жазған жоқпыз. (4) – ші суретте 3 – ші нүкте үш элементтің де
төбесі болатындықтан оған сәйкес келетін 5 – ші, 6 – шы жатық жолдармен
тік жолдардың қиылыстанда үш элементтің де белгілеулері тұрғанына көңіл
бөліңіз. Сол сияқты 2 – ші, 4 – ші нүктелердің әрқайсысы екі элементтің
төбелері болатындықтан оларға сәйкес келетін 3 – ші, 4 – ші және 7 – ші, 8
– ші жатық жолдармен тік жолдардың қиылыстарындағы ұяшықтарда екі таңбадан
тұратын элементтерді байқауға болады. Ал 1 – ші мен 5 – ші нүктелер бір –
бір элементтердің төбелері болғандықтан оларға сәйкес келетін 1 – ші, 2
– ші және 9 – шы, 10 – шы ұяшықтарда бір – бірден ғана элементтер бар.

15 – сурет. Симметриялы түрдегі үш элементтен құрылған жүйенің ленталық
түрдегі қатаңдық матрицасы

Сонымен қысқаша қортынды жасасақ жүйенің қатаңдық матрицасының
түзімдік құрылымына есептік облысты нөмірлеудің тәсілі қатта әсер ететінін
байқаймыз.

2. 5 Көп элементке бөлген жүйенің қатаңдық матрицасын құру

Енді 11 – ші суреттегі облысты 16 – ші суретте көрсетілгендей етіп 7
элементке бөлейік.

Есептік нүктелерді кез – келген тәртіппен нөмірлеу нұсқасы (тиімсіз)

Бұл жерде элементтердің төбелерін нөмірлеудің тәсілдері өте көп. Оны
жергілікті және жалпы түрде нөмірлеудің бір түрі 3 – ші суретте
көрсетілген.
Әрбір элемент пен жүйенің қатаңдық матрицаларының байланыс
векторларын өрнектерінсіз бірден соңғы нұсқасын жазайық. Бұлардың
дұрыстығын (30) – ші формуламен 1 – ші суретті салыстырып отырып
тексеріңіз.
Бұл жеті матрицаның элементтерінен құралған жүйенің қатаңдық
матрицасы 31 – ші суретте симметриялы толық матрица болып шығады екен. Бұл
матрицаның элементтері қандай қосындылардан құралатынын 17 – ші суретті
салмай тұрып – ақ алдын – ала айтуға болады.

16 – ші сурет. Зерттеу облысын жеті элементке бөліп нөмірлеудің бір түрі

(51)

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
7 7 7 1 6
7 1 6
7 1 1 1 6 1 6 6+7 6+7 7 7 1 6
7 1 6
7 1 1 1 6 1 6 6+7 6+7 1 1 1 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 1 6 1 6 1 2
3 1 2 2 3 2 3 1 2 3
5 6 1 2 3
5 6 3
5 3
5 5 + 6 5 + 6 1 6 1 6 1 2 1 2 2 3 2 3
1 2 3
5 6 1 2 3
5 6 3
5 3
5 5 + 6 5 + 6 3 3 3
5 3
5 3 4 5 3 4 5 4 5 4 5 4+ 5 4+ 5 3 3
3
5 3
5 3 4 5 3 4 5 4 5 4 5 4 + 5 4 + 5
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 7 6+7 6+7
5 + 6 5 + 6 4 + 5 4 + 5 4 4 4 + 5+
6+7 4 + 5+
6+7 7 7 6+7 6+7 5 + 6 5 + 6 4 + 5 4 + 5 4 4 4 +
5+
6+7 4 + 5+
6+7
17 – сурет. Жеті элементтен құрылған жүйенің симметриялық бірақ толық
қатаңдық матрицасы

Мысалы 1 –ші, 7 – ші нүктелерге сәйкес келетін 1, 2 және 13 пен 14
тік жолдармен жатық жолдардағы ұяшықтарда бір – бір элемент, 3 – ші, 4 –
ші нүктелерге сәйкес келетін 5, 6 – шы, 7, 8 – ші ұяшықтарда екі –
екілден, 2 – ші мен 6 – шы нүктелерге сәйкес 3, 4 – ші және 11, 12 – ші
ұяшықтарда үш элементтен, 8 – ші нүктеге сәйкес келетін 15, 16 – шы тік,
жатық жолдарға сәйкес төрт ұяшықтарда төрт элементтен, және ең соңғы
ортадағы 5 – ші нүктеге сәйкес келетін 9,10 – шы тік, жатық жолдарда бес
элементтің қосындысы кездеседі.

Есептік нүктелерді тиімді етіп арнайы нөмірлеу нұсқасы

18 – ші сурет. Зерттеу облысын жеті элементке тиімді әдіспен нөмірлеудің
бір түрі

Нөмірлеудің бұл түріне де байланыс векторын жазайық.

(52)

Бұлай етіп нөмірлегенде жүйенің қатаңдық матрицасының түзілімі 19 – суретте
көрсетілгендей симметриялы, диагональ маңайына тығыз шоғырланған, ленталық
және параллель үш квазидиагоналдық түрде болып шығады.
Бұл мысалдардан аса маңызды мынадай қорытындылар шығады.
Біріншіден, жүйенің қатаңдық матрицасын барынша тиімді етіп, диагональ
төңірегіне топтастырып құру шекті элементтердің түйісу нүктелерін ерекше
жолмен нөмірлей білуге байланысты. Екіншіден, әрбір элементтің төбелерінің
нөмірлерінің арифметикалық айырымы – мейлінше аз болса болса
диагональ маңайына топтасқан лентаның ені соғұрлым аз болады.

1 + 2 1 + 2 2 2 1 1 1 + 2 1+ 2 1 + 2 1 +
2 2 2 1 1 1 + 2 1 + 2 2 2 2 + 3 2+ 3 2
+ 3 2 +3 3 3 2 2 2 +3 2 + 3 2 +3 2+ 3 3 3

1
1 1+ 6+ 7 1+ 6+ 7 1+ 6 1+ 6 7 7 6 + 7 6+ 7 1
1 1+ 6 +7 1 + 6+ 7 1 +6 1 +6 7 7 6 + 7 6 +7 1
+ 2 1+ 2 2+ 3 2 + 3 1 + 6 1 + 6 1+ 2+ 3+5+ 6 1+ 2+
3+5+ 6 3+5 3+5 5 + 6 5 + 6 1 +2 1 + 2 2 + 3 2 +
3 1 +6 1 + 6 1+ 2+ 3+5+ 6 1+ 2+ 3+5+ 6 3+5 3+5 5 +
6 5 +6 3 3 3+5 3+5 3+4+5 3+4+5 4 + 5 4 + 5
4 4 3 3 3 +5 3 + 5 3+ 4+ 5 3+ 4 + 5 4 + 5 4
+5 4 4 7 7 7 7 7 7 7 7 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.