Жүйе күйінің функциясы
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
4-5
1
ЭКОЖҮЙЕЛЕРДІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ ҚҰРЫЛЫМНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІН ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
6-10
1.1.
Модель және математикалық модельдеу ұғымы
6-10
1.2.
Математикалық модель құрудың негізгі принциптері
10-18
1.3.
Математикалық модельді құрудың негізгі аспектілері
18-30
2.
ЭКОЖҮЙЕЛЕРДІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ АРҚЫЛЫ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
31-46
2.1.
Экожүйелерді математикалық модельдеу және оның маңыздылығы
31-46
2.2.
46-55
2.3.
Эксперименттік - тәжрибе қорытындылары
56-62
ҚОРЫТЫНДЫ
63-64
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
65-66
ЭКОЖҮЙЕЛЕРДІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ ҚҰРЫЛЫМНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІН ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
НАРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
АНЫҚТАМАЛАР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
ҚЫСҚАРТУЛАР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 5
КІРІСПЕ
Жалпы математикалық модельдеу ұғымын қысқаша сипаттайтын болсақ: ол кез келген құбылыстарды, күрделі физикалық үрдістерді және аппараттарды зерттеу арқылы олардың математикалық модельдерін құру. Ал соның ішінде математикалық модель дегеніміз -- математикалық қатынастар түрінде жазылған, техникалық объект немесе құбылыс туралы білімдердің, ұсыныстардың және ғылыми болжам жиынтығы. Математикалық моделдеуге кез келген математикалық мүмкіндіктерді пайдалануға болады. Мысалы, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулерді, жиындар теориясын, абстрактылық алгебраны, математикалық логиканы, ықтималдықтар теориясын және тағы сол сияқты. Модель жүйенің бейнесін анықтауға, сол туралы түсінікті жетілдіруге жиі қолданылатын құрал. Ал енді соның ішінде экология саласындағы моделдеу туралы айтуды заман талап етіп отырған тәрізді. Сағат санап өзгеріп жатқан тынымсыз дүниеде, қоршаған ортаның әр түрлі заттармен ластанып жатқаны баршамызға аян. Экология пәні көптеген ғылыми пәндердің жиынтығы, атап айтсақ: биология, физика, геология, химия, география, экономика, әлеуметтану, математикалық модельдеу, құқықтану т.с.с. Дегенмен экологияның даму кезеңдерін еске түсіретін болсақ, онда оның ағзалардың қоршаған ортамен әрекетін зерттейтін ботаника және зоология деп аталатын екі бөліктері екендігін білеміз. XX ғасырдың ортасына таман экология ғылымының зерттеу аумағы ұлғайып, ағзаларды қоршаған ортамен байланыстыра зерттейтін, жалпы экология деп аталатын биологияның үлкен бір саласына айналып отыр. Бүгінгі таңда экология тек пәнаралық байланыс ретінде ғана қалып қоймай, жалпы ғылыми маңызыдылығы жоғары ерекше дара пәнге айналды. Жалпы экология пәні -- қоршаған ортадағы болмысты толық баяндайтын ғылыми негізі қалыптасқан әдістемелік ғылым ретінде шаруашылықтың әр саласында нәтижелі қолданыс тауып отыр. Енді осындай экожүйелерді ғылыми түрде байланыстыра отырып, ондағы есептеулердің нәтижелерін математикалық моделдеу арқылы көрсете білудің маңызы өте зор. Зерттелетін экологиялық үдерістерге сандық баға беруге математикалық модельдеу мүмкіндік жасайды. Қандайда бір жинақталған мәліметтерді пайдаланып, қоршаған ортадағы экологиялық процестер мен жағдайлардың даму мүмкіндіктерін математикалық моделдеу арқылы болжауға болады.
Қоршаған ортадағы обьектілер мен процестерді математикалық моделдеудің ерекшеліктері және оның экология жүйесіндегі алатын орны қарастырылған. Соның ішінде экология саласындағы математикалық моделдеудің заманауи бағыттағы маңыздылығы және экологиялық жүйелерді қорғап, дамыту үшін математикалық модельдеудің рөлі талқыланады. Математиканың экологиямен байланысын тереңдеп оқыту - экологиялық процестер мен жағдайлардың даму мүмкіндіктерін математикалық моделдеу арқылы болжауға болады. Экологиялық процестерді зерттеу үшін математикалық модельдерді алудың кейбір жолдарын түсіну қажет. Сондықтан табиғаттағы құбылыстарды зерттеуде қолданылатын математикалық модельдердің негізгі принциптерін білген жөн.
Экожүйелер - бір-бірімен және қоршаған жансыз бөлігімен байланысқа түсетін тірі ағзалардың өз-өздерін қолдай алатын жүйелрі. Қоршаған ортаның сапасы және оның негізгі құрамдас бөліктерінің әлеуетті мүмкіндіктерін талдау және оның жай-күйін бақылау жүйесінің мониторингін нақты ұйымдастыруды болжайды. Бұл ретте қазіргі заманғы экологиялық дағдарыс жағдайында қоршаған ортаны жан-жақты талдаудың токсикологиялық аспектілері ерекше маңызға ие болады. Қазіргі уақытта ғылыми және өндірістік ортада шекті жол берілетін шоғырлану жүйесіне негізделген табиғи объектілерге ластаушы заттардың төгінділері мен шығарындыларын нормалау тұжырымдамасының шектеулілігі бізге түсінікті. Экология-тірі организмдердің, соның ішінде адамның қоршаған ортамен өзара іс-қимылы туралы барлық ғылымдардың түсініктерін қамтитын, білім саласы. 20 ғасырдың ортасына дейін экология биологиялық пәндердің бірі болып табылады, атап айтқанда, организмдердің қоршаған ортамен өзара әрекеттесуі туралы ғылым. Қазіргі заманғы экология сонымен қатар ғылым мен қоршаған ортаның жай - күйін бақылаудың практикалық әдістері-мониторинг, қоршаған ортаны қорғау, биогеоценоз және табиғи экологиялық жүйелерге аторопологиялық әсер ету туралы ілім, экологиялық-экономикалық және экологиялық-әлеуметтік аспектілер кіреді. Осының бәрі экология мәселелерін шешуде қолданылатын математикалық модельдер мен әдістерді біріктіретін математикалық экология пәнін де анықтайды.
1.1. Модель және математикалық модельдеу ұғымы Модель дегеніміз - нақты объектіні, процессті немесе құбылысты ықшам әрі шағын түрде бейнелеп көрсету. Модельдеу - объектілерді, процесстерді немесе құбылыстарды зерттеу мақсатында олардың моделін (макетін) құру. Модель - көрнекі түрде жазбаша жоспар, сызба ретінде жасалуы мүмкін. Мұндай модель барлық уақытта біздің ойымызда бейнеленетін прототип пайда болғанға дейін жасалады. Бір объект үшін әр түрлі модель жасалуы мүмкін. Модельдің жасалуы зерттеу мақсатына және прототип жөнінде жинақталған мәліметтердің көлеміне тәуелді болады. . Мысалы, жуық арада басқа қалаға қыдырып баратын болдық делік. Ол қала туралы өзіміз білетін мәліметтерді жинақтап, ойымызды қорытып, қиялымызда сол қаланың моделін жасай бастаймыз. Мұндағы мақсатымыз - басқа қаламен танысу. Қаланы аралап келгеннен соң, толық мәлімет алғандықтан, ойымыздағы модель өзгеруі мүмкін. Ал сол қаланың сеулетші жасаған моделі мүлде өзгеше болады. Қоршаған ортамен араласып, қарым - қатынас жасаудің нәтижесінде адам өз танымына қарай модель құрайды. Танымдық процесс зерттелінетін (танылатын) обьектіге және зерттеуші (танушы) субьектіге байланысты. Зерттелетін обьектіде болып жатқан оқиғаны бақылап, керек болса оқиғаға кірісіп, қойған сұрақтарына жауап алумен қатар, обьектіге қатысты информацияларды жинақтап, қорытып, субьект пен обьектіге тән құбылысты түсініп, өзінің көзқарасын белгілі бір формада бекітеді. Осы затқа тән нақтылы информацияларға негізделген зерттеушінің обьективтік танымы - обьектінің моделі болып есептелінеді.
Қазіргі жаһанданған заманда ғылыми технологияның дамуы, экономиканың өркендеуіне байланысты экожүйелерін математикалық модельдеудің маңыздылығы да күн санап артып келеді. Экологиялық проблемаларды шешу кешенді және сандық тәсілді талап етеді, сол себепті сандық талдау және пәнаралық синтез мүмкіндіктерімен математикалық үлгілеу әдісі, бақылау және экспримент әдістерін толықтыру арқылы неғұрлым өзектілікке ие бола аламыз.
Математикалық модельдеу: өмірде болып жатқан құбылыстарды немесе күрделі физикалық процестерді, аппараттарды олардың математикалық модельдерін құру арқылы зерттеу тәсілі яғни, математикалық модельді құру үрдісі болып табылады. Математикалық модель деп обьектінің қызметі мен құрлымын сипаттайтын математикалық тәуелділіктер жүйесі, математикалық формулалар мен теңдеулер арқылы өрнектелетін обьектілердің математикалық сипаттамалары болып табылады.
Сөйтіп танымдық процестің негізгі қызыметі - информацияны жинау, сақтау және қорыту болса, модельдеудің негізінде де осылар жатыр деуге болады.
Қоршаған дүниені жүйелі ұғудың танымдық типтерін, әрі нақтылы процесті сипаттаудың жолы әртүрлі. Бұған жататандар ғылым, философия, дін, мәдениет, әдебиет ... Ал бұларға тән ортақ баланыс бар ма? Әр ғылым иесі өз тұжырымын жасайды. Мысалы, дін - адамның мәңгілік жасау мүмкіндігінің, құдайдың қағыйдалық ұғымдары туралы; жазушы детективтік роман немесе трагедиялық әңгіме жазады; суретші таң шапағындағы күннің шығу кезіндегі құбылысты беретін суреттер салса, ал композитор бір оқиғаға арнап симфония жазуы мүмкін ... .
Модельдің түрлері көп. Модельдеудің жалпы үлкен екі топқа бөлінеді: материалдық (заттық) және идеалдық. Материалдық дегеніміз - зерттелінетін обьектінің геометриялық, физикалық, динамикалық және функционалдық сипаттамасына негізделеді. Сондықтан материалдық таным физикалық және аналогтық болып бөлінеді.
Физикалық модельдеуге - ұқсастық теория негізінде нақты обьектінің кішірейтілген немесе үлкейтілген көшірмесін қолданып, лобораториялық жағдайда процесті қайталап, тәжірибе жасап ұғу жатады.
Аналогтік модельдеуге - зерттелнетін обьектілердің физикалық табиғаты әртүрлі құбылыстарда жүретін процесстердің арасындағы байланысты білдіретін ұқсастық теорияны қолданып, зерттеу жатады. Мұндай процестер бірде математикалық теңдеумен, немесе логикалық сызбалармен беріледі. Қарапайым мысал ретінде механикалық тербелістерді электірлік сұлба бойынша зерттеуге болады. Мұндағы процестер аналогиялық құбылыстарға жатады, сондықтан да екеуі де бірдей теңдеумен сипатталады.
Бұл екі тиіптес модельдер берілген обьектілердің заттық баламасына негізделген, өзара геометриялық, физикалық және басқа сипаттамалармен байланыста қарастырылады. Сондықтан материалдық модельдеу өзінің табиғаты жағынан эксперименттік тәсілге жатады.
Заттық моделдеуден идеалдық модельдеу принципі мүлде басқа. Заттық зерттеу обьекті мен модельдің материалдық аналогиясына негізделсе, идеалдық зерттеу танымдық процестің негізінде құрылған ойдың, идеалдық аналогиясының жемісі боп табылады.
Сөйтіп, идеалдық модельдеу теориялық сипаттамадан тұрады да, интуитивтік және таңбалық болып екіге бөлінеді. Интуитивтік модельдеу дегеніміз - зерттелетін обьекті мен зерттеушінің сезім мүшелеріне әсер етуіне байланысты топшыланған информациялардың жиынтығы. Мысалы, адамның өмірде жинаған тәжірибсі қоршаған дүниенің интуитивтік моделі болады т.б.; Таңбалық модель - зерттелінетін обьектіге қатысты информацияны белгілі бір тәртіпке сүйеніп, таңбаларға түрлендіреміз. Мысалы, сүлбеге, графиікке, сызбаға, формулаға, т.б. таңбаларға жинақтау. Таңбалық модель құрылымын зерттейтін элементтер заңдылыққа, алгоритмге бағынып, өзіне тән ережелер жүесінде жұмыс істейді. Математикалық модель - таңбалық танымның негізіне жатады. Классикалық мысал ретінде механиканың заңдарын , И.Ньютонның математикалық формулаларын қолданып зрттеуге болады.
Экожүйе дүниесіндегі обьектілердің ғылыми танымдылығын жеткізу үшін әртүрлі математикалық тәсілдердің қолданыстарын пайымдайық. Ол үшін аздап математиканың маңызына және оның басқа ғылымдармен байланысына, әрі кейбір ерекшеліктеріне тоқталайық.
Өмірде кездесетін ғылымдардың көбі бір - бірімен тығыз байланыста болғанымен, қолдану шегарасы айқындалған. Физикамен айналысатын таза физик жекеменшік формаларының өзара қатынасын түсіндіре алмайды. Ал өзінің қадірін білетін математиктің алдында ешқандай кедергі тұрмайды. Әртүрлі ғылыми пәндердің жасанды шекарасы математика моделін қолдануға бөгет болмайды. Таза математик бола тұрып, адамзаттың әртүрлі формадағы қызыметіне батыл кірісіп, айтарлықтай жетістіктерге жетеді. Осыдан математика өзіне тән қасиеттер арқылы, барлық саланы қамытуға тырысқандығы және нақты не бере алады деген ой туады.
Математика мен бізді қоршаған нақты өмірді байланыструшы арнайы түйіннің түрі - модель болады. Сонымен , модель бір жағынан зерттелетін обьектіге тиісті бай информатцияны қамтыса, екінші жағынан математикалық стандартты формула таңбаларынан тұрады. Сөйтіп, математикалық аппаратты қолдануға мүмкіндік береді. Бұл дегеніміз - зерттелінетін құбылыстың Математикалық моделі. Ол нақты ғылыми заңдылықтардың негізінде математикалық тілге аударылып қызымет істейді, танымның дамуына жол ашады. Жалпы математикалық модель принципті түрде әртүрлі екі дүниені қосатын ұлы көпір. Біреуі - қоршаған обьективтік шындық. Ол біздің сана-сезімімізге әсер етеді. Екіншісі - жеке адамзаттың идеясына сүйенген, құдіретті математика заңына бағынған абстрактік дүние.
Біздің мақсатымыз - экожүйелері математикалық модельдеуді шынайы өмірде қолдануға болатын теориялық оқыту әдістемесін зерттеу, оқушылардың дүниетанымына қажетті математикалық көпір құруды үйрету болып табылады.
Енді ғылыми зерттеудегі мазмұн мен форманың байланысы, оның ішінде математикалық модельдеудің мәні қандай? Кез - келген модельдің мақсаты - қарастырылатын обьект туралы информацияны жеткізу болғандықтан, мазмұнын модельдеу, формаға қарағанда басым болады. Ал математикалық модель бейнелейтін нақтылы дүниеге адекватты болады, сондықтан формаға және мазмұнға қойылатын талап бірдей. Математикалық танымның алдындағы кейбір этаптарды қарастырайық. Зерттелетін құбылысқа қойылған моделмен зерттеуші қандай проблеманы шешпек, қандай математикалық аппаратты, тәсілді және техниканы қолданбақ, жетілген құрал - жабдықтарға, білімге байланысты нақтылы шындыққа барынша жақындап, нақты информация алуға болады десек артық болар. Әрине, бұдан математикалық аппараттың негізінде абсолютті дәл немесе ықтималдылығы басым эталондық модель аламыз деген ой тумайды.
Модельдеу дегеніміз - неізгі информацияны жинап, сақтап, түрлендіру болып табылады. Сондықтан бір обьектінің екі моделін салыстырсақ, қайсысының информацияны түрлендіру эффектілігі басым, сол модель жақсы делінеді. Кейде абстрактілі математикалық модельден қосымша енгізілген түзетулердің көмегімен информацияларды өңдеп зерттелетін процесс туралы нақты деректер алуға болады. Бірақ мұндай модельді, өмірде қолдану ойдағыдай болмайды.
Математикалық модельдер. Математикалық модельдермен зерттелетін объекті мен үрдістің қасиеттері, ерекшеліктері және сипаттамалары теңдеулер жүйелері, теңсіздіктер және функция арқылы көрсетіледі.
Көптеген математикалық модельдеруниверсалды болып келеді, яғниәртүрліжүйелердізерттеугеқолдан ылады. Математикалық модельдер қарастырылатын құбылыстар мен үрдістердің сандық заңдылықтарын анықтауға, сипатталатын факторлардың тәуелділігі мен өзарабайланысынтабуғамүмкіндікберед і.
Математикалық модельдердің дамуына өте күрделі есептеулерді жүргізетін электронды-есептегіш машиналарының көбеюі зор ықпал етті.
Көптегенматематикалықмодельдерпарам етрлерменайнымалылардантұратынтеңде улерментеңсіздіктержүйелерінентұрад ы. Айнымалышамалар, мысалы, өндірілгенөнімкөлемі, капиталжұмсау, тасымалдаут.с.с., алпараметрлер өнімдіөндіругежұмсалғанматериал, уақыт, шикізатшығыныныңмөлшерінкөрсетеді. Әрбірмодельдеайнымалылардыңекітобын көрсетугеболады.
1) Сыртқыайнымалылар - олардыңмәндерімодельдентысжәнеберіл ген;
2)Ішкіайнымалылар, олардыңмәндеріберілген модельді зерттеу қорытындысында анықталады.
Модельдеу үрдісінің нақты алгоритмі жоқ, бірақ модельдеу тәжірибесінде басшылықққа алатын анықталған принциптер бар.
Математикалық модельдердің құрылымдық және функционалдық түрлері бар.Құрылымдық модельдер жүйелердің құрылымын және оның элементерінің өзараәсерінзерттейді.
Функционалдықмодельдержүйеніңішкіқ ұрылысынабайланыссызәртүрліжағдайда ғытәртібінталдайды.
Құрылымдық модельді оқып үйрену үстінде объектінің мазмұнын туралы, оның сыртқы жағдайларға әсері туралы информацияларды алуға болады. Ал функционалдық модельді зерттегенде объектінің әртүрлі реакцияларының сыртқы ортаға әсері туралы деректер алуға болады. Сонымен қатар объектінің құрылымын талдауға және құрылымдық модельдерді құруға мүмкіндіктер туады.
Экономикалық-математикалық модельдер жүйе жағдайын болашақты жоспарлау мен болжауға пайдаланады. Мұндай жағдайда модель оның негізінде қойылған белгілі бір алғы шарттарға сәйкес экономикалық үрдістердің ағымын кӛрсетеді. Жоспарлауменболжау модельдерінде алғышарттарды дұрыс таңдау ерекше маңызды роль атқарады. Модель есептің шарты дұрыс қойылған кезде ғана нақты жүйелердің құрылысы мен функциясын дұрыс сипатайды.
Экономикалық-математикалық модельдер сипаттаулы және оптималды болып бөлінеді.
Экономикалық жүйелердің сипаттаулы моделі есептерді математикалық формула түрінде көрсетеді және жүйе жағдайымен оның элементтерінің байланысын тереңірек ұғып үйренуге қолданылады.
Мұндаймодельдергехалықшаруашылығы және экономикалық аудандардың салааралық байланысының матрицалық моделі жатады. Осындай типті есептің модельдері анықталған алғашқы мәліметтері бойынша бір ғана шешімі болады. Бұл модельдердің негізгі кемшілігі - ең тиімді (оптималды) шешімін іздейтін шарттың жоқтығы.
Оптималды модельдерде экономикалық есептің мағынасы математикалық формула түрінде жазылады және ең тиімді шешімі табылатын шарт функция түрінде кӛрсетіледі.
Бұлмодельдербелгілібіралғашқымәліме ттербойыншаесепшартынқанағыттандыра тынкӛптегеншешімдержәнеоптималдықты ң критерийіне сәйкес тиімді шешім алуға мүмкіндік береді. Мұндай модельдерге ӛндірістікпрограмманыоптималдау, кесіп-пішудіоптималдау, қоспакомпоненттеріноптималдау, кәсіпорындыорналастырудыоптималдау, кӛлікесептерініңмодельдеріжатады.
Оптималдық модельдердің көпшілігінде оптиалдықтың бірғана критерийі қарастырылады.
Математикалық модельдерде сызықтық және сызықтық емес тәуелділіктердің әртүрлі түрлері қолданылады.
Математикалық модельдеу үрдісінің негізгі бөлігіаппроксимация (жуықтау) - математикалық амалдарды (функция, теңдеу т.с.с.) басқа қарапайым шамалар арқылы жуықтап табу болып табылады. Аппроксимацияның көмегіменкүрделіесептердіжайесептер ге, сызықтық емес теңдеулерді сызықтық теңдеулерге келтіреді.
Модельденетін обьектінің белгілі бір уақытқа немесе уақыт аралығына сәйкес қасиеттерін сипаттайтын математикалық модельдер статикалық деп аталады.
Математикалық модельді құрастырудың жалпы реттілігі.
Халық шаруашылығы мен білім салаларында электронды есептеу машиналарының кеңінен қолданылуының басты себебі - жалпы технологиялар мен есептеу техникаларының қарқынды дамуы негізінде инженерлік зерттеу жұмыстарында математикалық әдістердің кеңінен қолданылуы екені белгілі.
Практикалық есептерді ЭЕМ-де шешу бастапқы берілгендер мен есептің мақсатын математикалық тілде сипаттаудан басталады. Есепті шешу шарттары мен мақсаттарын математикалық таңбалармен заңдылықтар жиынтығында дәл белгілеу. Есептің математикалық қойылымы алдымен есептің математикалық моделін құрылуымен, сонан соң есепті шешу тәсілі талданып сәйкес алгоритм құрылады. Математикалық модельдеу нақты дүниедегі обьекттер мен процестерді олардың математикалық тілдегі жуықталған сипаттамалары болған - математикалық модельдері - жәрдемінде зерттеу әдісі болып табылады. Бұл әдіс өте кең қолданыс тапқан, амалда ғылымда, басқа да қолданбалы салаларда бірнеше ғасырлардан бері қолданылып келеді. Математикалық модельдеудің мүмкіндіктері мен оның ғылыми-техникалық прогреске әсері соңғы 35-45 жылдың ішінде компьютердің пайда болуы мен оның барлық салаларда қарқынды қолданылуымен ерекшеленеді.
Математикалық модельді құру процесін шартты түрде бірнеше кезеңге бөлуге болады:
1. Математикалық модельді құру.
2. Сәйкес есептеу есептерінің қойылымы, оларды зерттеу және шешу .
3. Практикада модель сапасын тексеру және модельді жетілдіру.
Қолданбалы есептерді компьютер көмегімен шешу кезеңдерін бірнеше кезеңге бөлуге болады.
1. Мәселенің қойылымы.
2. Математикалық модельді таңдау немесе құру.
3. Есептеу есебінің қойылымы.
4. Есептеу есебінің қасиеттерін алдын ала талдау.
5. Сандық әдісті таңдау немесе құру.
6. Алгоритмдеу және программалау.
7. Программаны отладка (дұрыстау) жасау.
8. Программа бойынша есептеулер жүргізу.
9. Нәтижелерді өңдеу және интерпретация жасау.
10. Нәтижелерді пайдалану және математикалық модельді түзету.
Математикалық модельді құру және қолданбалы есептерді компьютер көмегімен шешуде үлкен көлемдегі жұмыстарды орындауға тура келеді. Есептеу экспериментінде есептеулер нақты обьектпен емес, оның математикалық моделімен жүргізіледі, тәжірибелік қондырғы орнын компьютер атқарады. Компьютер арнайы құрылған қолданбалы программалар пакетімен (ҚПП) жабдықталған болады. Сондықтан, ғылыми-техникалық және қолданбалы есептерді кешенді шешуді есептеу эксперименті ретінде жүргізген дұрыс.
Математикалық модельдеуде компьютерлердің кең қолданылуы, құрылған теория және алынған елеулі практикалық нәтижелер есептеу экспериментін ғылыми және қолданбалы зерттеулердегі жаңа технология мен әдістеме деп атауға болады.
Есептеу экспериментінің натуралық эксперименттерден артықшылық жақтарына тоқтала кетейік. Әдетте, есептеу эксперименті физикалық эксперименттен арзан болады. Бұл экспериментке жеңіл және қауіпсіз араласуға болады. Оны бірнеше рет қайталауға болады, сондай-ақ кез келген уақытта тоқтатуға болады. Эксперимент кезінде лабораториялық жағдайда келтіріп шығару мүмкін болмаған жағдайларды модельдеу мүмкін. Есептеу экспериментінің негізгі кемшілігі оның нәтижелерін қолдану мүмкіншілігі қабылданған математикалық модель шеңберінде ғана болады.
Барлық модельдер және модельдеу түрлерінің ортасында бізге маңыздысы математикалық модель мен математикалық модельдеу түсініктері.
Әр қарай ақпаратты түсіну үшін кейбір түсініктерді анықтайық.
Математикалық модель дегеніміз -- математикалық қатынастар түрінде жазылған, техникалық объект немесе құбылыс туралы білімдердің, ұсыныстардың және ғылыми болжам жиынтығы.
Математикалық модельдеу дегеніміз - математикалық модельге кіретін теңдеулерді аналитикалық, сандық (ЭЕМ-да), немесе аналогтық (АЕМ) шешу жолымен оның математикалық моделі бойынша объектіні немесе құбылысты зерттеу процесі.
Математикалық модельдеудің түрі - имитациялық модельдеу.
Зерттеу объектілері (ЗО) -- электр жетегімен қимылға келтірілетін машиналар, механизмдер, технологиялық желілер, сондай-ақ осы жүйелердің элементтері: автоматтық реттеуіштер; түзеткіш буындары; сүзгілер; сигналдарды беру және шектеу блоктары; датчиктер; жеке электр тізбектері [1].
Физикалық құрылғысына қарамай кез келген құрылғыларды жобалау кезіндегі кейбір жалпы түсініктерді айтып кетейік.
Жобалау құрылғысының элементтерінің параметрлері - ішкі параметрлер деп аталады. Құрылғының жұмыс істеу сапасын бағалайтын параметрлері - шығыс параметрлері деп аталады. Сыртқы ақпараттық сигналдарының құрылғыға әсер беретін параметрлері - кіріс, ал қоршаған ортаның параметрлері - сыртқы параметрлері деп аталады [1].
Кез келген зерттеу объектісін "қара жәшік" ретінде қарастыруға болады.
"Қара жәшік" - ол объектінің кіріс және шығыс параметрлерін талдау мүмкінділігі бар зерттеу әдісі.
"Қара жәшік" ретінде көрсетілген зертеу объектісін графикалық түрде 4.1. суретте көруге болады.
Сонымен, зерттеу объектісі кіріске келген сигналдарды әр түрлі математикалық модельдер бойынша түрлендіреді. Мысалы, зертеу объектісі:
- дифференциал теңдеу арқылы немесе операторлы түрде;
- беріліс функциясы ретінде;
- теңдеулер тағы да басқа түрде жазылуы мүмкін.
Операторлы түрде жазу үшін, теңдеулерге келесі тік алмастыруды қолдану керек:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Осындай алмастыру Лаплас түрлендіру деп аталады. P және s әріптер бір ұғымды білдіріп - Лаплас операторы деп аталады. (4.1), (4.2) және (4.3) формулалар тікелей алмастыруын көрсетеді. Лаплас түрлендірулері дифференциал теңдеулерін қарапайым алгебралық теңдеулер түрінде келтіруге болдады, оларды шешу оңай болады және оларды беріліс функцияларын жазу түрінде қолданады.
Беріліс функциясы - Лаплас бейнелеуі шығыстың кіріс сигналының қатынасы болып табылады [2]. 4.1 суретте көрсетілген сұлбаның беріліс функциясын келесі түрде жазуға болады:
(4.4)
"Қара жәшік" ретінде көрсетілген зерттеу объектісінің графикалық сұлбаларында беріліс функциясын тік бұрыш ішінде жазады. Мұндай тік бұрыштарды буындар деп немесе блок деп атайды. Буындардан тұратын сұлбаларды құрылымдық, функционалды немесе блок-схема деп атауға болады. Буынның түріне байланысты шығыс пен кіріс қатынастарының сигналдарын келесі түрде көрсетуге болады:
1) математикалық функция ретінде: синус, косинус, логарифм, көрсеткіш функция және т. б. Осы блокқа берілетін сан, аргумент ретінде қарастырылады;
2) математикалық операция ретінде: (қосу және алу, интегралдау және т.б);
3) жіберу коэффициенті, яғни шығыскіріс қатынасы.
Бір кірістен (кірістерден) немесе шығыстан (шығыстардан) тұратын блоктар (буындар) бар.
Басқарудың әртүрлі нұсқауларын апробиралық дұрыс жолдарын модель арқылы үйренуге болады. Оны орындау көбінесе тәуекелдеу қажет немес мүмкін емес.
Егер объекттің қасиеті белгіленген уақытта өзгерсе, онда әртүрлі факторлардың жағдайларына байланысты тапсырманың ерекше мәніне болжам жасалады. Мысалы, кез-келген күрделі техникалық қондырғыны жобалау және эксплуатациялау кезінде толық және жеке жүйенің қызметінің кепілдігінің өзгеруін болжамдап үйрену қажет.
Сонымен, модель қажет:
1) объекттің нақты қалай орнатылғанын түсіну үшін: структурасы қандай , ішкі байланыстары, негізгі қасиеттері, даму заңдылақтары, қоршаған ортамен байланысы және өздігінен дамуы;
2) объектті немес қозғалысты басқаруды үйрену, критерия мен мақсат берілген жағдайда басқарудың тәсілдерін анықтау;
3) берілген тәсілдерді және объектке жасалған іс-әрекетті жобалауды тікелей және жанама болжамдау.
Құрылымдық модельдер.
Практикалық мақсаттарды жетiстiк үшiн жiп-жиi сонымен бiрге өзара кейбiр жолмен қоршаған әлеммен өзара жұмыс iсте (өзара жұмыс iсте ) байланған жеке элементтердi қалай жиынтық зерттелетiн объект қарауға қажеттiлiк туындайды бұл нечто бүтiн. Осы жағдайда зерттелетiн объектiсi жүйенiң түрiнде ыңғайлы таныстыру, ал оның пiшiндеуiнде жүйелiк талдау әдiстердi пайдалану.
Бу ендiгәрi пайдалануға үрленгенетiн жүйелiк талдаудың негiзгi ұғымдарын еске саламыз. Жүйелiк талдаудың негiзiн қалайтын ұғымдарының бiрi төмендегiше анықтайтын жасанды жүйенi ұғымды болып көрiнедi.
Жүйе бұл орта ерекшеленген өзара байланысты элементтердi жиынтығы және қойылған мақсаттың жетiстiгi үшiн сияқты өзара жұмыс iсте қоршаған орта бүтiн.
Белгiлеу керек, ортасынан жүйесiн бөлуi үшiн маңызды белгiсi жеке элементтер оны мiнез-құлығынан тәуелсiздiң ортасымен бұл жүйесiн өзара iс-әрекетiн анықтамасын мүмкiндiгiн болып көрiнген тап бұл сөздердiң астында түсiн өзара жұмыс iсте ... . қалай бүтiнi). Қойылған мақсат сәйкес ортаданғы элементтерi оны бөлетiн зерттеушi ды среден жүйенi ерекшелейдi. Ортамен свойствы өзгерiсi жүйеге әсер еткен барлық объектiлердi жиынтық мұнда түсiнiледi, сонымен бiрге қасиет жүйенi мiнез-құлықтың нәтижесiнде өзгерткен объект сол.
Сiрә әкелiнген анықтамалардан, зерттеушiнiң рөлi қаншалықты маңызды - ол мақсат құрастырады, жүйенi ерекшелейдi және ортаны анықтайды. Бұл ретте өз ортаға өзiн мүмкiн жатсын және оқшауланған жүйенi салсын, жүйесiне өзiн қоссын және (өздiгiнен бейiмделгiш жүйелер ) қызмет ету оны өз әсерiн есептеуiмен оны салсын, сонымен бiрге өзiн ерекшелесiн және жүйеден, және ортадан, сияқты жүйесiн дамитын ашылған қарай немесе. Зерттеушi негiзiнен жүйе элемент ретiнде қарастыр емес мүмкiн немесе орта, бiрақ кейбiр авторлар, қосымша зерттеушiнi енгiзуi ойынша системi құрылысында көмектеседi және жiктеу олардың.
Жүйелiк талдауда систем сипаттама үшiн төрт негiзгi үлгiлер қаралады. Егер жүйенiң iшкi құрылысы (немесе зерттеушi қызықтырмайды) белгiсiз болса, онда үлгiнi қолданыл қара жәшiк. Бұл жүйенiң үлгiсiн (немесе айқын пiшiнде пайдаланбайды) болмайды, iшкi ұстау туралы хабар-ошар (сондықтан ол деп атал қара) жәшiк емес, ғана ортамен байланысы кiрiс және шығатын қойғанында. Бұл әдетте параметр екi множествтi тапсырмаға кiрiс және шығатын апарады, бiрақ олардың арасындағы ешқандай да ара қатынастар қоймайды. үлгiнiң мысалымен кейбiр күрделi объект тәжiрибелiк зерттеу мүмкiн қызмет етуге қара жәшiк, экспериментшi қашан, объект ену параметрлерi өзгерте, әр түрлi оның сипаттамалары шығуда алады.
Бұл элементтердiң арасындағы жеткiлiктi қатынастардың және қажеттi жүйесiн нақты мәлiмет элементтерiнiң жиынтық жүйе құрылымдық модель - және жүйенiң аралығында байланыс және қоршаған ортамен.
Айқындауыш анықтама құрылымдық модельдiң құрылысын мысалды қарап шығамыз. Мейлi әрекетiмен (1-шi сурет) түсiрiлген күш үдемелi қозғалыс iстейтiн абсолют қатты дене құрылымдық модель салуға талап етедi. Еске саламыз, пiшiн абсолют қатты дене неизменяет қозғалыс және өлшемдер. Мұндай дене сондықтан тура салмақсыз деформацияламалатын өзек бiрлескен (элементтер ) материалдық нүктелердiң жиынтығы сияқты таныстыруға болады.
Сурет. 1. Абсолют қатты дене құрылымдық модель үдемелi қозғалыста
Күш денеге орта сыртқы әсер ретiнде болады, ал (шығу параметрмен ) әсер бұл үн қосуымен (немесе теңдiк олардың кез-келген оның нүктесi салдарынан үдемелi қозғалыста) дененiң жеделдетуi қызмет етедi. Екiншi Ньютонның заңына сәйкес,
, (1)
мұндағы -- дененің массасы.
(2)
мұндаңы -- - элементінің массасы, -- элементтер саны.
Соңғы ара қатынастан элементтерiн сан ередi, және үлестiру олардың дененiң iшi маңызы болмайды. Қосымша тiркелген күш моментiнiң әрекетiмен айнала кейбiр берiлген өс қатты дене айналма қозғалыс бiрсәрi, қашан сипаттауға керек. Дене осы жағдайда элементтердi үлестiру көлемнiң iшi мұндай болуы керек, үшiн нақты дененi инерция мезеттерiнiң теңдiгiнiң шартын орындады және Z қатысты берiлген өс онының құрылымдық моделi:
(3)
мұндағы - осіне қатысты дененің инерциялық моменті - қашықтық. Бұл теңдiктен қажеттi ағады және 2-шi сурет сiрә жақсы (ұзындық және өзектердi бағыт, материалдық нүктелердiң массасы) құрылымдық модель мәлiмет элементтерiнiң арасындағы қарым-қатынастағы жеткiлiктi шарттары.
Мысалы, Ары қарай формасы өзгерiлетiн серпiмдi, дене қозғалыстың сипаттамасын жағдайда құрылымдық модельдi артық күрделендiредi. Орынына сол кезде
Сурет. 2. Айналмалы дене құрылымдық моделі
(материалдық нүкте ) (Сурет. әр түрлi серпiмдiлiк қасиеттерi бар серiппе 3 шығып тұра алады) элементтердiң арасындағы деформацияламалатын өзектер байланыстар ретiнде.
Сурет. 3. Серпiмдi дене құрылымдық модель
Алу үшiн бұл құрылымдық модель қажеттi және дененiң көлемi бойымен үлестiру мастан басқа элементтердiң арасындағы жеткiлiктi қарым-қатынастар серiппелермен жесткостей үлестiру ескеруге керек, үшiн жиынтық соңғы нақты дене серпiмдiлiк қасиет суреттедi.
Құрылымдық пiшiндеу әжептәуiр күрделi системдердi мiнез-құлық суреттеуге рұқсат берген сiрә бұл мысалдан. Бұл ретте қарағанда күрделi жүйе, құрылымдық пiшiндеуi сол бәрi (ал басқа мағнада - қарапайым қажеттi) тиiмдiрек болады. Мысалы, қатты дене құрылымдық модель үдемелi қозғалыстың сипаттамасында, қажеттi қажеттi негiзiнен, өйткенi дене осы жағдайда тең дененiң массасына масса бiр материалдық нүктенiң түрiнде таныстыруға болады. Құрылымдық модель мысал басқа қарастырылған жоғары өзара жұмыс iсте ең оңай элементтердi көмекпен әжептәуiр күрделi механикалық системдерiн мiнез-құлықты сипаттауға көмектеседi. Құрылымдық пiшiндеуi кейбiр механикалық системдер үшiн мiнез-құлық олардың сипаттамасын әрең жалғыз тәсiлiн болып көрiнедi. Мысалы, бұл мiнез-құлықтың пiшiндеуiне құрылым жатады - (композиттер, полимерлер, керамика және тағы басқалар) бiртектi емес материалдардар
1. 2. Математикалық модель құрудың негізгі принциптері
Математикалық модель құруға байланысты кездесетін негізгі заңдылықтарды түсіндіру үшін, еркін құлаған дененің моделіне тоқталайық. Ең алдымен, зерттелетің құбылыстың негізі болатын обьектіні анықтау. Біздің жағдайда, құлайтын денеге сипаттама беру. Яғныи дененің формасын, өлшемін және ішкі структурасын ескермей, біз материалдық нүкте деп қарастырайық.
Келесі, қарастырылатын процесті сипаттайтын жүйедегі күйді анықтайтын функцияны табу. Біздің жағдайда құлаған дененің жер бетінен қандай биіктікте болғаны және жылдамдығын анықтау. Мысалы, жылу физикасында температура күй функциясы болады, ал кинетикалық химияда өзара әсерлесетін заттардың және өнімі болатын заттардың концентрациясы т.с.с. Сонымен математикалық модель дегеніміз - күйді сипаттайтын функциялар бойынша берілген теңдеу.
Енді теңдеуді шеше отырып, біз математикалық модельді зерттейміз, яғни күйдің функцияларының басқа параметрлермен байланысын тауып, сипаттамасын анықтаймыз. Әуелі бұған жататындар тәуелсіз айнымалы шамалар - уақыт және кеңістік айналымдары. Мысалы құлаған дененің кез - келген уақыт моментіндегі биіктігі. Ал жылу тасмалдау процесінде дененің нүктелеріндегі температураның өзгерісі т.с.с.
Құрылған математикалық модельге байланысты, күйдің функцияларын және тәуелсіз айнымалыларды анықтағаннан кейін координат жүйесін анықтау қажет. Осыдан бастап жүйеде қарастырылатын күйдің функцияларының өзгеру заңдылығын беретін математикалық формуланы анықтауға болады. Бізді қызықтыратын уақиғаны туғызған себептерді көрсету үшін, модельдеу процесін құру кезінде салдарды туғызатын себептердің әрқайсысының қандай әсері болатынын білу қажет. Сөйтіп математикалық модельдеу негізі дегеніміз - осы салдарлық - себептпрдің әсеріне байланысты күй функцияларының өзгеру заңдылығын анықтау. Мұндай байланыс Ньютонның екінші заңымен беріледі, яғни күй функциясының уақыт бойынша алынған екінші туындысы, әсер ететін ауырлық күшке пропорционал өзгереді. Математикалық математикалық модельдің құрамы жөнінде үш сипаттамаға назар аударуға болады. Әрбір нақтылы жағдайды сипаттайтын процестің параметрлері, белгіленген шамалардан тұрады және осылардың ақпараттарынан құралады. Мұнда тәуелсіз айнымалылар белгіленбеген, бірақ өзгеру обылысы берілген, күй функциясының анықталу облысы болады. Параметрлері берілген айнымалылар бойынша, күй функциясын қалпына келтіру есебі математикалық модельдің негізгі жұмысына жатады.
Керекті математикалық ара - қатыстарды қорытып алған соң, күй функциясынан басқа шығатын информацияларды анықтау қажет. Мысалы, дененің жерге құлағандағы уақыт моментін және соңғы жылдамдықты шығатын информацияға жатқызуға болады.
Қорыта келіп, зерттелінетін процесстің математикалық моделін құрайтын элементтер:
1 Зерттелінетін обьект.
2 Жүйе күйінің функциясы.
3 Тәуелсіз айнымалылар.
4 Координат системасы.
5 Жүйе эволюциясының себептері.
6 Жүйенің енетін параметрлері.
7 Математикалық модельдің қолданылу шарттары.
8 Салдарлық - себептер байланысы.
9 Жүйенің шағын параметрлері.
Табиғат құбылысындағы заңдылықты анықтау үшін өзіне тән ғылыми салалар зерттейді (физика, химия, биология т.с.с.). Ал , математикалық амалдарды қолданып, модель құрып, компьютердің көмегімен анализ жасап, әрі табиғи процесті қалағанымызша қайталап, дисплейде тәжірибе жасап, көз жеткізіп, кез - келген құбылысты зерттеу мүмкіндігі зор болып табылады.
1.3. Математикалық модельді классификациялау
Құрылатын модельдер үшін, математикалық модельдің сипаттамасы қолданылған математикалық қисаптар мен оларға кіретін шамалардың арасындағы байланыспен анықталады. Күй функциясы уақытқа тәуелді өзгерсе, онда жинақталған параметірлік жүйеде, ал күй функциясы уақытқа тәуелді өзгерсе, онда жинақталған параметрлік жүйеде, ал күй функциясы уақытқа және кеңістік айнымаларына байланысты өзгерсе - тарамдалған параметірлік жүйеде берілді деуге болады. Бұған маятниктің тербелісін, снарядттың ұшуын кейбір дербес жағдайда жинақталған параметірлік жүйеде қарастыруға болады, ал жылудың тасмалдануы, көлем ішіндегі сұйықтың қозғалысы тарамдалған параметірлік жүйеде зерттелінеді. Математикалық қисаптарда жай дифференциалдық теңдеу жинақталған параметірлік жүйеде кездессе, ал дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеу тарамдалған параметрлік жүйеде қарастырылады.
Теңдеуді қолданып қоймай кейбір процестерді модельдеу үшін вариациялық принциптер негізінде әдістелмейді. Классикалық механикадан материалдық нүктенің қозғалысын динамиканың теңдеуін қолданып немесе ең аз әсер ету принципінің негізінде, яғни жүйе эволюциясын құрғанда шығатын энергияның шамасы минимум болатындай есеп құрап шығаруға болады.
Процеске кездейсоқ факторлар әсер етсе стохастикалық модель деп, ал сырттай әсер ететін факторлардың эффектілігін ескермей құрылған модель детерминалық делінеді. Үздіксіз жүйеде тәуелсіз айнымалы үздіксіз өзгереді, ал дикретті жүйеде тәуелсіз айнымалы тұрақты немесе айнымалы қадам жасап өзгереді.
Күйді сипаттайтын функциялар уақытқа байланысты өзгерсе динамикалық, ал күйдің сипаттамаларын беретін шамалар уақыт өзгерісіне қатысы жоқ болса стационарлық жүйе деп айырады. Математикалық модельдердің зерттелінетін процесті беру ерекшеліктеріне қарап, классификациалаудың басқа да түрлерін атауға болады.
Математикалық модельдеудің этаптары
Мұндай проблемаларды немесе осындай басқа кез - келген құбылыстарды математикалық аппаратты қолданып зерттеу негізінен үш этаппен жүреді:
1) Математикалық модельдің сипаттамасы.
2) Математикалық модельдеуді зерттеу.
3) Алынған нәтижелерге интерпретация жасау.
Процестің математикалық сипаттамасын бергенде қаратырылатын табиғаттың заңдарын математикалық тілде тұжырымдау. Өстіп алынған модель кейбір абстракциялы ара қатысты береді де, өзіне тән математикалық тәсілдермен зерттеледі. Ал қортындысы алынған нәтижелерге анализ жасауға болады. Сөйтіп бірінші этапта зерттелінетін құбылысқа тән информацияларды математикалық тілге кошыру, екіншіде математикалық құралдың негізінде осы информацияларды түрлендіру жатады, ал үшіншіде математикалық тілмен алынған информацияларды нақты пәндік аймаққа кері аудару болады.
Процестің математикалық сипаттамасы
Биологиялық тіршіліктің эволюциясы әр уақытта өзгеріп отырады. Біздің мақсатымыз мынадай функциямен х=х(t) сипатталатын сәйкес байланысты анықтау. Қарапайым биологиялық жүйе бір ғана тіршіліктен тұрсын дейік. Зерттелінетін процестегі күйді сипаттайтын функция тіршіліктің саны х, тәуелсіз айнымалы шама t уақытқа байланысты өзгереді. Осы функцияның өзгерісінің жылдамдығы, бірлік уақыттағы туған(А) және өлген (В) тіршіліктердің айырмасымен анықталады. Сөйтіп, теңдеуді мынадай түрде жазамыз
X1 = A- B ,
Мұндағы А және В мәндері туған және өлген жекелеген түрлердің бірлік уақыттағы санына пара-пар. Шынында да жеке түрлер көп болса, бекітілген уақытта туған және өлген саны көп болады. Нәтижесінде процестің параметірлері тұрақты a және b жағдайлары үшін, жеке түрге байланысты саны A = a х , B = b х тең болады.
Ендеше процесті сипаттайтын дифференциалдық теңдеу
x1=к х , (2.1)
ал, коэффициент к = а - b жеке түрдің санының өсімі оң немесе теріс болуы мүмкін. Теңдеу , (2.1) үшін бастапқы шартын анықтайық
x(0) = х0, (2.2)
мұндағы х0 тіршіліктің бастапқы сан мөлшерін беретін есептің параметіріне жатады және оң шамамен анықталады. Сөйтіп зерттелінетін процестің математикалық моделі (2.2) бастапқы шартпен анықталған (2.1) жәй дифференциалдық теңдеумен берілген Коши есебі болады.
Математикалық модельді зерттеу
Қойылған есептің (2.1), (2.2) шешімі мынадай түрде
табылады
x(t) = х0exp(k t)
Бұл функцияның х0 және k параметрлерге байланысты әртүрлі қасиетін байқауға болады. Алдымен мынадай екі жағдайды қарастырайық:
х0=0
х0!=0
Жүйенің бастапқы күйін сипаттайтын х0 параметірі нолге тең болса, онда k коэффицент шамасы қалай өзгерседе есептің шешімі уақытқа байланысты өзгермейді. Ал теріс мәнді бастапқы шарттың мағынасы жоқ. Бастапқы шарттың оң мәнінде жүйе күйінің сапалы өзгерісі параметірдің k таңбамен анықталады. Мұндай жағдайда жүйе күйінің үш өзгерісін байқауға болады:
k 0
k = 0
k 0
Параметр k оң болса, функция x экспоненциалды заңдылықпен өседі. Егерде k = 0 есептің шешімі уақытқа баланысты өзгермейді. Параметр k теріс болған жағдайда, функция х уақытқа байланысты монотонды түрде кеміп нөлге ұмтылады. Әртүрлі жағдайға байланысты функцияның өзгерісі 2- суретте көрсетілген. Параметірдің сан мәнінің өзгерісі функцияның шұғыл өсуіне немесе кемуіне себеп болады, ал бастапқы шартының өзгерісі сүлбеге сапалы өзгеріс жасамайды.
х х х
t t t
a b a = b a b
Алынған нәтижеге қысқаша интерпретация жасайық. Коэффицент k - теріс мәнінде жеке тіршіліктің туып өрбігенінен гөрі, өлім - жітімі көбейеді. Бұл жағдайда, бірлік уақыт ішінде тіршіліктің саны белгілі бір шамаға азаяды. Мұндай биологиялық жеке түрдің азаюы қоректің жетіспеуінен немесе табиғи жауларының көбеюі, өмір сүретін ортаның бұзылуы, эпидемияның таралуы т.б. жайсыз жағдайлар пайда болып, жалпы саны біртіндеп азаяды.
Жеке түрдің сандық өнімі оң болғанда туып - өсетін түрдің саны өлім - жітімге қарағанда көп болады. Бұл дегеніміз, бір уақыт интервалындағы жеке түрдің туу мүмкіндігі өлімге қарағанда жоғары, және біртіндеп өсімі көбейе бермек. Өсімде шек қойылмаған жеке түр идеалдық жағдайда өмір сүруі мүмкін қоректен тапшылық көрмейді, бәсеке жоқ және жәйлы ортада өмір сүреді. Бұған мысал ретінде құнарлы ортада өмір сүретін микроорганизмдерді айтуға болады.
Қарастырылған жүйенің эволюциясын сипаттайтын варианттары 3-ші суретте бейнеленген.
Модель x'=кх,
х0=х0 х0х0 х0
Пx00
Зерттелінетін обьект бар
x0=0
Зерттелінетін обьект жоқ
k0
папуляцияның шектелмей өсуі
k0
папуляцияның азаюы
Иk=0
папуляцияның өзгеруі
Бұл суретте, қоректі қабылдауы шектелмеген жағдайдағы жеке түрдің эволюциясын беретін варианттар.
Жоғарыда келтірілген модель тіршіліктің өлім - жітімі көп болғанда популяция біртіндеп құрыйды, ал керісінше болса онда тіршіліктің өсімі шектелмейді. Анығында өмірде тіршіліктің көшкін тектес өсуі шектеулі болады. Табиғатта қоректің жетіспеуімен, өмір сүретін территорияның аздығы және басқа да факторлардың әсері модельде ескерілмеді. Ендігі моделімізде тіршіліктің қорегі шектелген жағдайын қарастырайық.
Математикалық модельді жетілдіру
Енді біз жеке түрдің эволюциясын қабылдайтын қорегіне шек қойып қарастырайық. Тіршіліктің сан мөлшерінің өсімін мынадай формуламен анықтайық
k=aN-b,
a - жеке түрдің меншікті өсімі (жарамды бірлік азыққа байланысты өсім), b - жеке түрдің табиғи өлім - жітімі, түсетін қорек - азықтың мөлшері D- мен қажетті қорек - азықтың айырымы N - шамамен сипатталалы. Соңғы сипаттама қарастырылатын уақыт моментінде тіршіліктің сан мөлшеріне пропорционал және qx тең, мұндағы коэффицент q - тіршіліктің қоректі қолдану шамасы (бірлік уақыттағы керекті азықтың мөлшері). Нәтижесінде (2.1)теңдеуді мынадай түрде жазамыз
х'=[aD-b-aqx]x (2.4)
Алынған (2.4) - өрнек Ферхюльстың теңдеуі болады.
Ферхюльстың теңдеуін зерттеу
Егерде k өсім коэффиценті тұрақты болса, онда (2.1) теңдеу сызықты, яғни екі шешімнің қосындысы немесе шешімнің кез келген тұрақты санға көбейтіндісі де шешімі болады. Ал Ферхюльст теңдеуіне мұндай қасиет жоқ, сондықтан сызықсыз теңдеуге жатады. Сызықты дифференциалдық теңдеуге тікелей анализ жасау қиынға түседі. Кейбір онша күрделі емес сызықсыз теңдеудің аналитикалық шешімін табуға болады. Енді Ферхюльст теңдеуінің нақты шешімін алып көрейік.
Жаңа функцияны мынадай түрде анықтайық
y(t) = 1 x(t).
Теңдікті y'= - x'x2 ескерсек, онда мынадай сызықты теңдеудің орындалатынын көреміз.
2. тарау
2.1. Математикалық модельді құрудың негізгі аспектілері
Математикалық модельдеу кісілердің шығармашылық белсенділігінің барлық түрінде кездеседі. Бұл әдістеме жеке ғылымдарды алмастырмай, керсінше сапалық талдаудан бастап заманауи программалау тілдеріне дейінгі бейсызықтық модельдердің жетістіктерін синтездейді.
Нысанның өзінен емес, модельмен жұмыс жасау нысанның қасиеттері мен қалпын тез, әрі айтарлықтай шығынсыз зерттеуге ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ
4-5
1
ЭКОЖҮЙЕЛЕРДІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ ҚҰРЫЛЫМНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІН ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
6-10
1.1.
Модель және математикалық модельдеу ұғымы
6-10
1.2.
Математикалық модель құрудың негізгі принциптері
10-18
1.3.
Математикалық модельді құрудың негізгі аспектілері
18-30
2.
ЭКОЖҮЙЕЛЕРДІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ АРҚЫЛЫ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
31-46
2.1.
Экожүйелерді математикалық модельдеу және оның маңыздылығы
31-46
2.2.
46-55
2.3.
Эксперименттік - тәжрибе қорытындылары
56-62
ҚОРЫТЫНДЫ
63-64
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
65-66
ЭКОЖҮЙЕЛЕРДІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ ҚҰРЫЛЫМНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІН ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
НАРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
АНЫҚТАМАЛАР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
ҚЫСҚАРТУЛАР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 5
КІРІСПЕ
Жалпы математикалық модельдеу ұғымын қысқаша сипаттайтын болсақ: ол кез келген құбылыстарды, күрделі физикалық үрдістерді және аппараттарды зерттеу арқылы олардың математикалық модельдерін құру. Ал соның ішінде математикалық модель дегеніміз -- математикалық қатынастар түрінде жазылған, техникалық объект немесе құбылыс туралы білімдердің, ұсыныстардың және ғылыми болжам жиынтығы. Математикалық моделдеуге кез келген математикалық мүмкіндіктерді пайдалануға болады. Мысалы, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулерді, жиындар теориясын, абстрактылық алгебраны, математикалық логиканы, ықтималдықтар теориясын және тағы сол сияқты. Модель жүйенің бейнесін анықтауға, сол туралы түсінікті жетілдіруге жиі қолданылатын құрал. Ал енді соның ішінде экология саласындағы моделдеу туралы айтуды заман талап етіп отырған тәрізді. Сағат санап өзгеріп жатқан тынымсыз дүниеде, қоршаған ортаның әр түрлі заттармен ластанып жатқаны баршамызға аян. Экология пәні көптеген ғылыми пәндердің жиынтығы, атап айтсақ: биология, физика, геология, химия, география, экономика, әлеуметтану, математикалық модельдеу, құқықтану т.с.с. Дегенмен экологияның даму кезеңдерін еске түсіретін болсақ, онда оның ағзалардың қоршаған ортамен әрекетін зерттейтін ботаника және зоология деп аталатын екі бөліктері екендігін білеміз. XX ғасырдың ортасына таман экология ғылымының зерттеу аумағы ұлғайып, ағзаларды қоршаған ортамен байланыстыра зерттейтін, жалпы экология деп аталатын биологияның үлкен бір саласына айналып отыр. Бүгінгі таңда экология тек пәнаралық байланыс ретінде ғана қалып қоймай, жалпы ғылыми маңызыдылығы жоғары ерекше дара пәнге айналды. Жалпы экология пәні -- қоршаған ортадағы болмысты толық баяндайтын ғылыми негізі қалыптасқан әдістемелік ғылым ретінде шаруашылықтың әр саласында нәтижелі қолданыс тауып отыр. Енді осындай экожүйелерді ғылыми түрде байланыстыра отырып, ондағы есептеулердің нәтижелерін математикалық моделдеу арқылы көрсете білудің маңызы өте зор. Зерттелетін экологиялық үдерістерге сандық баға беруге математикалық модельдеу мүмкіндік жасайды. Қандайда бір жинақталған мәліметтерді пайдаланып, қоршаған ортадағы экологиялық процестер мен жағдайлардың даму мүмкіндіктерін математикалық моделдеу арқылы болжауға болады.
Қоршаған ортадағы обьектілер мен процестерді математикалық моделдеудің ерекшеліктері және оның экология жүйесіндегі алатын орны қарастырылған. Соның ішінде экология саласындағы математикалық моделдеудің заманауи бағыттағы маңыздылығы және экологиялық жүйелерді қорғап, дамыту үшін математикалық модельдеудің рөлі талқыланады. Математиканың экологиямен байланысын тереңдеп оқыту - экологиялық процестер мен жағдайлардың даму мүмкіндіктерін математикалық моделдеу арқылы болжауға болады. Экологиялық процестерді зерттеу үшін математикалық модельдерді алудың кейбір жолдарын түсіну қажет. Сондықтан табиғаттағы құбылыстарды зерттеуде қолданылатын математикалық модельдердің негізгі принциптерін білген жөн.
Экожүйелер - бір-бірімен және қоршаған жансыз бөлігімен байланысқа түсетін тірі ағзалардың өз-өздерін қолдай алатын жүйелрі. Қоршаған ортаның сапасы және оның негізгі құрамдас бөліктерінің әлеуетті мүмкіндіктерін талдау және оның жай-күйін бақылау жүйесінің мониторингін нақты ұйымдастыруды болжайды. Бұл ретте қазіргі заманғы экологиялық дағдарыс жағдайында қоршаған ортаны жан-жақты талдаудың токсикологиялық аспектілері ерекше маңызға ие болады. Қазіргі уақытта ғылыми және өндірістік ортада шекті жол берілетін шоғырлану жүйесіне негізделген табиғи объектілерге ластаушы заттардың төгінділері мен шығарындыларын нормалау тұжырымдамасының шектеулілігі бізге түсінікті. Экология-тірі организмдердің, соның ішінде адамның қоршаған ортамен өзара іс-қимылы туралы барлық ғылымдардың түсініктерін қамтитын, білім саласы. 20 ғасырдың ортасына дейін экология биологиялық пәндердің бірі болып табылады, атап айтқанда, организмдердің қоршаған ортамен өзара әрекеттесуі туралы ғылым. Қазіргі заманғы экология сонымен қатар ғылым мен қоршаған ортаның жай - күйін бақылаудың практикалық әдістері-мониторинг, қоршаған ортаны қорғау, биогеоценоз және табиғи экологиялық жүйелерге аторопологиялық әсер ету туралы ілім, экологиялық-экономикалық және экологиялық-әлеуметтік аспектілер кіреді. Осының бәрі экология мәселелерін шешуде қолданылатын математикалық модельдер мен әдістерді біріктіретін математикалық экология пәнін де анықтайды.
1.1. Модель және математикалық модельдеу ұғымы Модель дегеніміз - нақты объектіні, процессті немесе құбылысты ықшам әрі шағын түрде бейнелеп көрсету. Модельдеу - объектілерді, процесстерді немесе құбылыстарды зерттеу мақсатында олардың моделін (макетін) құру. Модель - көрнекі түрде жазбаша жоспар, сызба ретінде жасалуы мүмкін. Мұндай модель барлық уақытта біздің ойымызда бейнеленетін прототип пайда болғанға дейін жасалады. Бір объект үшін әр түрлі модель жасалуы мүмкін. Модельдің жасалуы зерттеу мақсатына және прототип жөнінде жинақталған мәліметтердің көлеміне тәуелді болады. . Мысалы, жуық арада басқа қалаға қыдырып баратын болдық делік. Ол қала туралы өзіміз білетін мәліметтерді жинақтап, ойымызды қорытып, қиялымызда сол қаланың моделін жасай бастаймыз. Мұндағы мақсатымыз - басқа қаламен танысу. Қаланы аралап келгеннен соң, толық мәлімет алғандықтан, ойымыздағы модель өзгеруі мүмкін. Ал сол қаланың сеулетші жасаған моделі мүлде өзгеше болады. Қоршаған ортамен араласып, қарым - қатынас жасаудің нәтижесінде адам өз танымына қарай модель құрайды. Танымдық процесс зерттелінетін (танылатын) обьектіге және зерттеуші (танушы) субьектіге байланысты. Зерттелетін обьектіде болып жатқан оқиғаны бақылап, керек болса оқиғаға кірісіп, қойған сұрақтарына жауап алумен қатар, обьектіге қатысты информацияларды жинақтап, қорытып, субьект пен обьектіге тән құбылысты түсініп, өзінің көзқарасын белгілі бір формада бекітеді. Осы затқа тән нақтылы информацияларға негізделген зерттеушінің обьективтік танымы - обьектінің моделі болып есептелінеді.
Қазіргі жаһанданған заманда ғылыми технологияның дамуы, экономиканың өркендеуіне байланысты экожүйелерін математикалық модельдеудің маңыздылығы да күн санап артып келеді. Экологиялық проблемаларды шешу кешенді және сандық тәсілді талап етеді, сол себепті сандық талдау және пәнаралық синтез мүмкіндіктерімен математикалық үлгілеу әдісі, бақылау және экспримент әдістерін толықтыру арқылы неғұрлым өзектілікке ие бола аламыз.
Математикалық модельдеу: өмірде болып жатқан құбылыстарды немесе күрделі физикалық процестерді, аппараттарды олардың математикалық модельдерін құру арқылы зерттеу тәсілі яғни, математикалық модельді құру үрдісі болып табылады. Математикалық модель деп обьектінің қызметі мен құрлымын сипаттайтын математикалық тәуелділіктер жүйесі, математикалық формулалар мен теңдеулер арқылы өрнектелетін обьектілердің математикалық сипаттамалары болып табылады.
Сөйтіп танымдық процестің негізгі қызыметі - информацияны жинау, сақтау және қорыту болса, модельдеудің негізінде де осылар жатыр деуге болады.
Қоршаған дүниені жүйелі ұғудың танымдық типтерін, әрі нақтылы процесті сипаттаудың жолы әртүрлі. Бұған жататандар ғылым, философия, дін, мәдениет, әдебиет ... Ал бұларға тән ортақ баланыс бар ма? Әр ғылым иесі өз тұжырымын жасайды. Мысалы, дін - адамның мәңгілік жасау мүмкіндігінің, құдайдың қағыйдалық ұғымдары туралы; жазушы детективтік роман немесе трагедиялық әңгіме жазады; суретші таң шапағындағы күннің шығу кезіндегі құбылысты беретін суреттер салса, ал композитор бір оқиғаға арнап симфония жазуы мүмкін ... .
Модельдің түрлері көп. Модельдеудің жалпы үлкен екі топқа бөлінеді: материалдық (заттық) және идеалдық. Материалдық дегеніміз - зерттелінетін обьектінің геометриялық, физикалық, динамикалық және функционалдық сипаттамасына негізделеді. Сондықтан материалдық таным физикалық және аналогтық болып бөлінеді.
Физикалық модельдеуге - ұқсастық теория негізінде нақты обьектінің кішірейтілген немесе үлкейтілген көшірмесін қолданып, лобораториялық жағдайда процесті қайталап, тәжірибе жасап ұғу жатады.
Аналогтік модельдеуге - зерттелнетін обьектілердің физикалық табиғаты әртүрлі құбылыстарда жүретін процесстердің арасындағы байланысты білдіретін ұқсастық теорияны қолданып, зерттеу жатады. Мұндай процестер бірде математикалық теңдеумен, немесе логикалық сызбалармен беріледі. Қарапайым мысал ретінде механикалық тербелістерді электірлік сұлба бойынша зерттеуге болады. Мұндағы процестер аналогиялық құбылыстарға жатады, сондықтан да екеуі де бірдей теңдеумен сипатталады.
Бұл екі тиіптес модельдер берілген обьектілердің заттық баламасына негізделген, өзара геометриялық, физикалық және басқа сипаттамалармен байланыста қарастырылады. Сондықтан материалдық модельдеу өзінің табиғаты жағынан эксперименттік тәсілге жатады.
Заттық моделдеуден идеалдық модельдеу принципі мүлде басқа. Заттық зерттеу обьекті мен модельдің материалдық аналогиясына негізделсе, идеалдық зерттеу танымдық процестің негізінде құрылған ойдың, идеалдық аналогиясының жемісі боп табылады.
Сөйтіп, идеалдық модельдеу теориялық сипаттамадан тұрады да, интуитивтік және таңбалық болып екіге бөлінеді. Интуитивтік модельдеу дегеніміз - зерттелетін обьекті мен зерттеушінің сезім мүшелеріне әсер етуіне байланысты топшыланған информациялардың жиынтығы. Мысалы, адамның өмірде жинаған тәжірибсі қоршаған дүниенің интуитивтік моделі болады т.б.; Таңбалық модель - зерттелінетін обьектіге қатысты информацияны белгілі бір тәртіпке сүйеніп, таңбаларға түрлендіреміз. Мысалы, сүлбеге, графиікке, сызбаға, формулаға, т.б. таңбаларға жинақтау. Таңбалық модель құрылымын зерттейтін элементтер заңдылыққа, алгоритмге бағынып, өзіне тән ережелер жүесінде жұмыс істейді. Математикалық модель - таңбалық танымның негізіне жатады. Классикалық мысал ретінде механиканың заңдарын , И.Ньютонның математикалық формулаларын қолданып зрттеуге болады.
Экожүйе дүниесіндегі обьектілердің ғылыми танымдылығын жеткізу үшін әртүрлі математикалық тәсілдердің қолданыстарын пайымдайық. Ол үшін аздап математиканың маңызына және оның басқа ғылымдармен байланысына, әрі кейбір ерекшеліктеріне тоқталайық.
Өмірде кездесетін ғылымдардың көбі бір - бірімен тығыз байланыста болғанымен, қолдану шегарасы айқындалған. Физикамен айналысатын таза физик жекеменшік формаларының өзара қатынасын түсіндіре алмайды. Ал өзінің қадірін білетін математиктің алдында ешқандай кедергі тұрмайды. Әртүрлі ғылыми пәндердің жасанды шекарасы математика моделін қолдануға бөгет болмайды. Таза математик бола тұрып, адамзаттың әртүрлі формадағы қызыметіне батыл кірісіп, айтарлықтай жетістіктерге жетеді. Осыдан математика өзіне тән қасиеттер арқылы, барлық саланы қамытуға тырысқандығы және нақты не бере алады деген ой туады.
Математика мен бізді қоршаған нақты өмірді байланыструшы арнайы түйіннің түрі - модель болады. Сонымен , модель бір жағынан зерттелетін обьектіге тиісті бай информатцияны қамтыса, екінші жағынан математикалық стандартты формула таңбаларынан тұрады. Сөйтіп, математикалық аппаратты қолдануға мүмкіндік береді. Бұл дегеніміз - зерттелінетін құбылыстың Математикалық моделі. Ол нақты ғылыми заңдылықтардың негізінде математикалық тілге аударылып қызымет істейді, танымның дамуына жол ашады. Жалпы математикалық модель принципті түрде әртүрлі екі дүниені қосатын ұлы көпір. Біреуі - қоршаған обьективтік шындық. Ол біздің сана-сезімімізге әсер етеді. Екіншісі - жеке адамзаттың идеясына сүйенген, құдіретті математика заңына бағынған абстрактік дүние.
Біздің мақсатымыз - экожүйелері математикалық модельдеуді шынайы өмірде қолдануға болатын теориялық оқыту әдістемесін зерттеу, оқушылардың дүниетанымына қажетті математикалық көпір құруды үйрету болып табылады.
Енді ғылыми зерттеудегі мазмұн мен форманың байланысы, оның ішінде математикалық модельдеудің мәні қандай? Кез - келген модельдің мақсаты - қарастырылатын обьект туралы информацияны жеткізу болғандықтан, мазмұнын модельдеу, формаға қарағанда басым болады. Ал математикалық модель бейнелейтін нақтылы дүниеге адекватты болады, сондықтан формаға және мазмұнға қойылатын талап бірдей. Математикалық танымның алдындағы кейбір этаптарды қарастырайық. Зерттелетін құбылысқа қойылған моделмен зерттеуші қандай проблеманы шешпек, қандай математикалық аппаратты, тәсілді және техниканы қолданбақ, жетілген құрал - жабдықтарға, білімге байланысты нақтылы шындыққа барынша жақындап, нақты информация алуға болады десек артық болар. Әрине, бұдан математикалық аппараттың негізінде абсолютті дәл немесе ықтималдылығы басым эталондық модель аламыз деген ой тумайды.
Модельдеу дегеніміз - неізгі информацияны жинап, сақтап, түрлендіру болып табылады. Сондықтан бір обьектінің екі моделін салыстырсақ, қайсысының информацияны түрлендіру эффектілігі басым, сол модель жақсы делінеді. Кейде абстрактілі математикалық модельден қосымша енгізілген түзетулердің көмегімен информацияларды өңдеп зерттелетін процесс туралы нақты деректер алуға болады. Бірақ мұндай модельді, өмірде қолдану ойдағыдай болмайды.
Математикалық модельдер. Математикалық модельдермен зерттелетін объекті мен үрдістің қасиеттері, ерекшеліктері және сипаттамалары теңдеулер жүйелері, теңсіздіктер және функция арқылы көрсетіледі.
Көптеген математикалық модельдеруниверсалды болып келеді, яғниәртүрліжүйелердізерттеугеқолдан ылады. Математикалық модельдер қарастырылатын құбылыстар мен үрдістердің сандық заңдылықтарын анықтауға, сипатталатын факторлардың тәуелділігі мен өзарабайланысынтабуғамүмкіндікберед і.
Математикалық модельдердің дамуына өте күрделі есептеулерді жүргізетін электронды-есептегіш машиналарының көбеюі зор ықпал етті.
Көптегенматематикалықмодельдерпарам етрлерменайнымалылардантұратынтеңде улерментеңсіздіктержүйелерінентұрад ы. Айнымалышамалар, мысалы, өндірілгенөнімкөлемі, капиталжұмсау, тасымалдаут.с.с., алпараметрлер өнімдіөндіругежұмсалғанматериал, уақыт, шикізатшығыныныңмөлшерінкөрсетеді. Әрбірмодельдеайнымалылардыңекітобын көрсетугеболады.
1) Сыртқыайнымалылар - олардыңмәндерімодельдентысжәнеберіл ген;
2)Ішкіайнымалылар, олардыңмәндеріберілген модельді зерттеу қорытындысында анықталады.
Модельдеу үрдісінің нақты алгоритмі жоқ, бірақ модельдеу тәжірибесінде басшылықққа алатын анықталған принциптер бар.
Математикалық модельдердің құрылымдық және функционалдық түрлері бар.Құрылымдық модельдер жүйелердің құрылымын және оның элементерінің өзараәсерінзерттейді.
Функционалдықмодельдержүйеніңішкіқ ұрылысынабайланыссызәртүрліжағдайда ғытәртібінталдайды.
Құрылымдық модельді оқып үйрену үстінде объектінің мазмұнын туралы, оның сыртқы жағдайларға әсері туралы информацияларды алуға болады. Ал функционалдық модельді зерттегенде объектінің әртүрлі реакцияларының сыртқы ортаға әсері туралы деректер алуға болады. Сонымен қатар объектінің құрылымын талдауға және құрылымдық модельдерді құруға мүмкіндіктер туады.
Экономикалық-математикалық модельдер жүйе жағдайын болашақты жоспарлау мен болжауға пайдаланады. Мұндай жағдайда модель оның негізінде қойылған белгілі бір алғы шарттарға сәйкес экономикалық үрдістердің ағымын кӛрсетеді. Жоспарлауменболжау модельдерінде алғышарттарды дұрыс таңдау ерекше маңызды роль атқарады. Модель есептің шарты дұрыс қойылған кезде ғана нақты жүйелердің құрылысы мен функциясын дұрыс сипатайды.
Экономикалық-математикалық модельдер сипаттаулы және оптималды болып бөлінеді.
Экономикалық жүйелердің сипаттаулы моделі есептерді математикалық формула түрінде көрсетеді және жүйе жағдайымен оның элементтерінің байланысын тереңірек ұғып үйренуге қолданылады.
Мұндаймодельдергехалықшаруашылығы және экономикалық аудандардың салааралық байланысының матрицалық моделі жатады. Осындай типті есептің модельдері анықталған алғашқы мәліметтері бойынша бір ғана шешімі болады. Бұл модельдердің негізгі кемшілігі - ең тиімді (оптималды) шешімін іздейтін шарттың жоқтығы.
Оптималды модельдерде экономикалық есептің мағынасы математикалық формула түрінде жазылады және ең тиімді шешімі табылатын шарт функция түрінде кӛрсетіледі.
Бұлмодельдербелгілібіралғашқымәліме ттербойыншаесепшартынқанағыттандыра тынкӛптегеншешімдержәнеоптималдықты ң критерийіне сәйкес тиімді шешім алуға мүмкіндік береді. Мұндай модельдерге ӛндірістікпрограмманыоптималдау, кесіп-пішудіоптималдау, қоспакомпоненттеріноптималдау, кәсіпорындыорналастырудыоптималдау, кӛлікесептерініңмодельдеріжатады.
Оптималдық модельдердің көпшілігінде оптиалдықтың бірғана критерийі қарастырылады.
Математикалық модельдерде сызықтық және сызықтық емес тәуелділіктердің әртүрлі түрлері қолданылады.
Математикалық модельдеу үрдісінің негізгі бөлігіаппроксимация (жуықтау) - математикалық амалдарды (функция, теңдеу т.с.с.) басқа қарапайым шамалар арқылы жуықтап табу болып табылады. Аппроксимацияның көмегіменкүрделіесептердіжайесептер ге, сызықтық емес теңдеулерді сызықтық теңдеулерге келтіреді.
Модельденетін обьектінің белгілі бір уақытқа немесе уақыт аралығына сәйкес қасиеттерін сипаттайтын математикалық модельдер статикалық деп аталады.
Математикалық модельді құрастырудың жалпы реттілігі.
Халық шаруашылығы мен білім салаларында электронды есептеу машиналарының кеңінен қолданылуының басты себебі - жалпы технологиялар мен есептеу техникаларының қарқынды дамуы негізінде инженерлік зерттеу жұмыстарында математикалық әдістердің кеңінен қолданылуы екені белгілі.
Практикалық есептерді ЭЕМ-де шешу бастапқы берілгендер мен есептің мақсатын математикалық тілде сипаттаудан басталады. Есепті шешу шарттары мен мақсаттарын математикалық таңбалармен заңдылықтар жиынтығында дәл белгілеу. Есептің математикалық қойылымы алдымен есептің математикалық моделін құрылуымен, сонан соң есепті шешу тәсілі талданып сәйкес алгоритм құрылады. Математикалық модельдеу нақты дүниедегі обьекттер мен процестерді олардың математикалық тілдегі жуықталған сипаттамалары болған - математикалық модельдері - жәрдемінде зерттеу әдісі болып табылады. Бұл әдіс өте кең қолданыс тапқан, амалда ғылымда, басқа да қолданбалы салаларда бірнеше ғасырлардан бері қолданылып келеді. Математикалық модельдеудің мүмкіндіктері мен оның ғылыми-техникалық прогреске әсері соңғы 35-45 жылдың ішінде компьютердің пайда болуы мен оның барлық салаларда қарқынды қолданылуымен ерекшеленеді.
Математикалық модельді құру процесін шартты түрде бірнеше кезеңге бөлуге болады:
1. Математикалық модельді құру.
2. Сәйкес есептеу есептерінің қойылымы, оларды зерттеу және шешу .
3. Практикада модель сапасын тексеру және модельді жетілдіру.
Қолданбалы есептерді компьютер көмегімен шешу кезеңдерін бірнеше кезеңге бөлуге болады.
1. Мәселенің қойылымы.
2. Математикалық модельді таңдау немесе құру.
3. Есептеу есебінің қойылымы.
4. Есептеу есебінің қасиеттерін алдын ала талдау.
5. Сандық әдісті таңдау немесе құру.
6. Алгоритмдеу және программалау.
7. Программаны отладка (дұрыстау) жасау.
8. Программа бойынша есептеулер жүргізу.
9. Нәтижелерді өңдеу және интерпретация жасау.
10. Нәтижелерді пайдалану және математикалық модельді түзету.
Математикалық модельді құру және қолданбалы есептерді компьютер көмегімен шешуде үлкен көлемдегі жұмыстарды орындауға тура келеді. Есептеу экспериментінде есептеулер нақты обьектпен емес, оның математикалық моделімен жүргізіледі, тәжірибелік қондырғы орнын компьютер атқарады. Компьютер арнайы құрылған қолданбалы программалар пакетімен (ҚПП) жабдықталған болады. Сондықтан, ғылыми-техникалық және қолданбалы есептерді кешенді шешуді есептеу эксперименті ретінде жүргізген дұрыс.
Математикалық модельдеуде компьютерлердің кең қолданылуы, құрылған теория және алынған елеулі практикалық нәтижелер есептеу экспериментін ғылыми және қолданбалы зерттеулердегі жаңа технология мен әдістеме деп атауға болады.
Есептеу экспериментінің натуралық эксперименттерден артықшылық жақтарына тоқтала кетейік. Әдетте, есептеу эксперименті физикалық эксперименттен арзан болады. Бұл экспериментке жеңіл және қауіпсіз араласуға болады. Оны бірнеше рет қайталауға болады, сондай-ақ кез келген уақытта тоқтатуға болады. Эксперимент кезінде лабораториялық жағдайда келтіріп шығару мүмкін болмаған жағдайларды модельдеу мүмкін. Есептеу экспериментінің негізгі кемшілігі оның нәтижелерін қолдану мүмкіншілігі қабылданған математикалық модель шеңберінде ғана болады.
Барлық модельдер және модельдеу түрлерінің ортасында бізге маңыздысы математикалық модель мен математикалық модельдеу түсініктері.
Әр қарай ақпаратты түсіну үшін кейбір түсініктерді анықтайық.
Математикалық модель дегеніміз -- математикалық қатынастар түрінде жазылған, техникалық объект немесе құбылыс туралы білімдердің, ұсыныстардың және ғылыми болжам жиынтығы.
Математикалық модельдеу дегеніміз - математикалық модельге кіретін теңдеулерді аналитикалық, сандық (ЭЕМ-да), немесе аналогтық (АЕМ) шешу жолымен оның математикалық моделі бойынша объектіні немесе құбылысты зерттеу процесі.
Математикалық модельдеудің түрі - имитациялық модельдеу.
Зерттеу объектілері (ЗО) -- электр жетегімен қимылға келтірілетін машиналар, механизмдер, технологиялық желілер, сондай-ақ осы жүйелердің элементтері: автоматтық реттеуіштер; түзеткіш буындары; сүзгілер; сигналдарды беру және шектеу блоктары; датчиктер; жеке электр тізбектері [1].
Физикалық құрылғысына қарамай кез келген құрылғыларды жобалау кезіндегі кейбір жалпы түсініктерді айтып кетейік.
Жобалау құрылғысының элементтерінің параметрлері - ішкі параметрлер деп аталады. Құрылғының жұмыс істеу сапасын бағалайтын параметрлері - шығыс параметрлері деп аталады. Сыртқы ақпараттық сигналдарының құрылғыға әсер беретін параметрлері - кіріс, ал қоршаған ортаның параметрлері - сыртқы параметрлері деп аталады [1].
Кез келген зерттеу объектісін "қара жәшік" ретінде қарастыруға болады.
"Қара жәшік" - ол объектінің кіріс және шығыс параметрлерін талдау мүмкінділігі бар зерттеу әдісі.
"Қара жәшік" ретінде көрсетілген зертеу объектісін графикалық түрде 4.1. суретте көруге болады.
Сонымен, зерттеу объектісі кіріске келген сигналдарды әр түрлі математикалық модельдер бойынша түрлендіреді. Мысалы, зертеу объектісі:
- дифференциал теңдеу арқылы немесе операторлы түрде;
- беріліс функциясы ретінде;
- теңдеулер тағы да басқа түрде жазылуы мүмкін.
Операторлы түрде жазу үшін, теңдеулерге келесі тік алмастыруды қолдану керек:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Осындай алмастыру Лаплас түрлендіру деп аталады. P және s әріптер бір ұғымды білдіріп - Лаплас операторы деп аталады. (4.1), (4.2) және (4.3) формулалар тікелей алмастыруын көрсетеді. Лаплас түрлендірулері дифференциал теңдеулерін қарапайым алгебралық теңдеулер түрінде келтіруге болдады, оларды шешу оңай болады және оларды беріліс функцияларын жазу түрінде қолданады.
Беріліс функциясы - Лаплас бейнелеуі шығыстың кіріс сигналының қатынасы болып табылады [2]. 4.1 суретте көрсетілген сұлбаның беріліс функциясын келесі түрде жазуға болады:
(4.4)
"Қара жәшік" ретінде көрсетілген зерттеу объектісінің графикалық сұлбаларында беріліс функциясын тік бұрыш ішінде жазады. Мұндай тік бұрыштарды буындар деп немесе блок деп атайды. Буындардан тұратын сұлбаларды құрылымдық, функционалды немесе блок-схема деп атауға болады. Буынның түріне байланысты шығыс пен кіріс қатынастарының сигналдарын келесі түрде көрсетуге болады:
1) математикалық функция ретінде: синус, косинус, логарифм, көрсеткіш функция және т. б. Осы блокқа берілетін сан, аргумент ретінде қарастырылады;
2) математикалық операция ретінде: (қосу және алу, интегралдау және т.б);
3) жіберу коэффициенті, яғни шығыскіріс қатынасы.
Бір кірістен (кірістерден) немесе шығыстан (шығыстардан) тұратын блоктар (буындар) бар.
Басқарудың әртүрлі нұсқауларын апробиралық дұрыс жолдарын модель арқылы үйренуге болады. Оны орындау көбінесе тәуекелдеу қажет немес мүмкін емес.
Егер объекттің қасиеті белгіленген уақытта өзгерсе, онда әртүрлі факторлардың жағдайларына байланысты тапсырманың ерекше мәніне болжам жасалады. Мысалы, кез-келген күрделі техникалық қондырғыны жобалау және эксплуатациялау кезінде толық және жеке жүйенің қызметінің кепілдігінің өзгеруін болжамдап үйрену қажет.
Сонымен, модель қажет:
1) объекттің нақты қалай орнатылғанын түсіну үшін: структурасы қандай , ішкі байланыстары, негізгі қасиеттері, даму заңдылақтары, қоршаған ортамен байланысы және өздігінен дамуы;
2) объектті немес қозғалысты басқаруды үйрену, критерия мен мақсат берілген жағдайда басқарудың тәсілдерін анықтау;
3) берілген тәсілдерді және объектке жасалған іс-әрекетті жобалауды тікелей және жанама болжамдау.
Құрылымдық модельдер.
Практикалық мақсаттарды жетiстiк үшiн жiп-жиi сонымен бiрге өзара кейбiр жолмен қоршаған әлеммен өзара жұмыс iсте (өзара жұмыс iсте ) байланған жеке элементтердi қалай жиынтық зерттелетiн объект қарауға қажеттiлiк туындайды бұл нечто бүтiн. Осы жағдайда зерттелетiн объектiсi жүйенiң түрiнде ыңғайлы таныстыру, ал оның пiшiндеуiнде жүйелiк талдау әдiстердi пайдалану.
Бу ендiгәрi пайдалануға үрленгенетiн жүйелiк талдаудың негiзгi ұғымдарын еске саламыз. Жүйелiк талдаудың негiзiн қалайтын ұғымдарының бiрi төмендегiше анықтайтын жасанды жүйенi ұғымды болып көрiнедi.
Жүйе бұл орта ерекшеленген өзара байланысты элементтердi жиынтығы және қойылған мақсаттың жетiстiгi үшiн сияқты өзара жұмыс iсте қоршаған орта бүтiн.
Белгiлеу керек, ортасынан жүйесiн бөлуi үшiн маңызды белгiсi жеке элементтер оны мiнез-құлығынан тәуелсiздiң ортасымен бұл жүйесiн өзара iс-әрекетiн анықтамасын мүмкiндiгiн болып көрiнген тап бұл сөздердiң астында түсiн өзара жұмыс iсте ... . қалай бүтiнi). Қойылған мақсат сәйкес ортаданғы элементтерi оны бөлетiн зерттеушi ды среден жүйенi ерекшелейдi. Ортамен свойствы өзгерiсi жүйеге әсер еткен барлық объектiлердi жиынтық мұнда түсiнiледi, сонымен бiрге қасиет жүйенi мiнез-құлықтың нәтижесiнде өзгерткен объект сол.
Сiрә әкелiнген анықтамалардан, зерттеушiнiң рөлi қаншалықты маңызды - ол мақсат құрастырады, жүйенi ерекшелейдi және ортаны анықтайды. Бұл ретте өз ортаға өзiн мүмкiн жатсын және оқшауланған жүйенi салсын, жүйесiне өзiн қоссын және (өздiгiнен бейiмделгiш жүйелер ) қызмет ету оны өз әсерiн есептеуiмен оны салсын, сонымен бiрге өзiн ерекшелесiн және жүйеден, және ортадан, сияқты жүйесiн дамитын ашылған қарай немесе. Зерттеушi негiзiнен жүйе элемент ретiнде қарастыр емес мүмкiн немесе орта, бiрақ кейбiр авторлар, қосымша зерттеушiнi енгiзуi ойынша системi құрылысында көмектеседi және жiктеу олардың.
Жүйелiк талдауда систем сипаттама үшiн төрт негiзгi үлгiлер қаралады. Егер жүйенiң iшкi құрылысы (немесе зерттеушi қызықтырмайды) белгiсiз болса, онда үлгiнi қолданыл қара жәшiк. Бұл жүйенiң үлгiсiн (немесе айқын пiшiнде пайдаланбайды) болмайды, iшкi ұстау туралы хабар-ошар (сондықтан ол деп атал қара) жәшiк емес, ғана ортамен байланысы кiрiс және шығатын қойғанында. Бұл әдетте параметр екi множествтi тапсырмаға кiрiс және шығатын апарады, бiрақ олардың арасындағы ешқандай да ара қатынастар қоймайды. үлгiнiң мысалымен кейбiр күрделi объект тәжiрибелiк зерттеу мүмкiн қызмет етуге қара жәшiк, экспериментшi қашан, объект ену параметрлерi өзгерте, әр түрлi оның сипаттамалары шығуда алады.
Бұл элементтердiң арасындағы жеткiлiктi қатынастардың және қажеттi жүйесiн нақты мәлiмет элементтерiнiң жиынтық жүйе құрылымдық модель - және жүйенiң аралығында байланыс және қоршаған ортамен.
Айқындауыш анықтама құрылымдық модельдiң құрылысын мысалды қарап шығамыз. Мейлi әрекетiмен (1-шi сурет) түсiрiлген күш үдемелi қозғалыс iстейтiн абсолют қатты дене құрылымдық модель салуға талап етедi. Еске саламыз, пiшiн абсолют қатты дене неизменяет қозғалыс және өлшемдер. Мұндай дене сондықтан тура салмақсыз деформацияламалатын өзек бiрлескен (элементтер ) материалдық нүктелердiң жиынтығы сияқты таныстыруға болады.
Сурет. 1. Абсолют қатты дене құрылымдық модель үдемелi қозғалыста
Күш денеге орта сыртқы әсер ретiнде болады, ал (шығу параметрмен ) әсер бұл үн қосуымен (немесе теңдiк олардың кез-келген оның нүктесi салдарынан үдемелi қозғалыста) дененiң жеделдетуi қызмет етедi. Екiншi Ньютонның заңына сәйкес,
, (1)
мұндағы -- дененің массасы.
(2)
мұндаңы -- - элементінің массасы, -- элементтер саны.
Соңғы ара қатынастан элементтерiн сан ередi, және үлестiру олардың дененiң iшi маңызы болмайды. Қосымша тiркелген күш моментiнiң әрекетiмен айнала кейбiр берiлген өс қатты дене айналма қозғалыс бiрсәрi, қашан сипаттауға керек. Дене осы жағдайда элементтердi үлестiру көлемнiң iшi мұндай болуы керек, үшiн нақты дененi инерция мезеттерiнiң теңдiгiнiң шартын орындады және Z қатысты берiлген өс онының құрылымдық моделi:
(3)
мұндағы - осіне қатысты дененің инерциялық моменті - қашықтық. Бұл теңдiктен қажеттi ағады және 2-шi сурет сiрә жақсы (ұзындық және өзектердi бағыт, материалдық нүктелердiң массасы) құрылымдық модель мәлiмет элементтерiнiң арасындағы қарым-қатынастағы жеткiлiктi шарттары.
Мысалы, Ары қарай формасы өзгерiлетiн серпiмдi, дене қозғалыстың сипаттамасын жағдайда құрылымдық модельдi артық күрделендiредi. Орынына сол кезде
Сурет. 2. Айналмалы дене құрылымдық моделі
(материалдық нүкте ) (Сурет. әр түрлi серпiмдiлiк қасиеттерi бар серiппе 3 шығып тұра алады) элементтердiң арасындағы деформацияламалатын өзектер байланыстар ретiнде.
Сурет. 3. Серпiмдi дене құрылымдық модель
Алу үшiн бұл құрылымдық модель қажеттi және дененiң көлемi бойымен үлестiру мастан басқа элементтердiң арасындағы жеткiлiктi қарым-қатынастар серiппелермен жесткостей үлестiру ескеруге керек, үшiн жиынтық соңғы нақты дене серпiмдiлiк қасиет суреттедi.
Құрылымдық пiшiндеу әжептәуiр күрделi системдердi мiнез-құлық суреттеуге рұқсат берген сiрә бұл мысалдан. Бұл ретте қарағанда күрделi жүйе, құрылымдық пiшiндеуi сол бәрi (ал басқа мағнада - қарапайым қажеттi) тиiмдiрек болады. Мысалы, қатты дене құрылымдық модель үдемелi қозғалыстың сипаттамасында, қажеттi қажеттi негiзiнен, өйткенi дене осы жағдайда тең дененiң массасына масса бiр материалдық нүктенiң түрiнде таныстыруға болады. Құрылымдық модель мысал басқа қарастырылған жоғары өзара жұмыс iсте ең оңай элементтердi көмекпен әжептәуiр күрделi механикалық системдерiн мiнез-құлықты сипаттауға көмектеседi. Құрылымдық пiшiндеуi кейбiр механикалық системдер үшiн мiнез-құлық олардың сипаттамасын әрең жалғыз тәсiлiн болып көрiнедi. Мысалы, бұл мiнез-құлықтың пiшiндеуiне құрылым жатады - (композиттер, полимерлер, керамика және тағы басқалар) бiртектi емес материалдардар
1. 2. Математикалық модель құрудың негізгі принциптері
Математикалық модель құруға байланысты кездесетін негізгі заңдылықтарды түсіндіру үшін, еркін құлаған дененің моделіне тоқталайық. Ең алдымен, зерттелетің құбылыстың негізі болатын обьектіні анықтау. Біздің жағдайда, құлайтын денеге сипаттама беру. Яғныи дененің формасын, өлшемін және ішкі структурасын ескермей, біз материалдық нүкте деп қарастырайық.
Келесі, қарастырылатын процесті сипаттайтын жүйедегі күйді анықтайтын функцияны табу. Біздің жағдайда құлаған дененің жер бетінен қандай биіктікте болғаны және жылдамдығын анықтау. Мысалы, жылу физикасында температура күй функциясы болады, ал кинетикалық химияда өзара әсерлесетін заттардың және өнімі болатын заттардың концентрациясы т.с.с. Сонымен математикалық модель дегеніміз - күйді сипаттайтын функциялар бойынша берілген теңдеу.
Енді теңдеуді шеше отырып, біз математикалық модельді зерттейміз, яғни күйдің функцияларының басқа параметрлермен байланысын тауып, сипаттамасын анықтаймыз. Әуелі бұған жататындар тәуелсіз айнымалы шамалар - уақыт және кеңістік айналымдары. Мысалы құлаған дененің кез - келген уақыт моментіндегі биіктігі. Ал жылу тасмалдау процесінде дененің нүктелеріндегі температураның өзгерісі т.с.с.
Құрылған математикалық модельге байланысты, күйдің функцияларын және тәуелсіз айнымалыларды анықтағаннан кейін координат жүйесін анықтау қажет. Осыдан бастап жүйеде қарастырылатын күйдің функцияларының өзгеру заңдылығын беретін математикалық формуланы анықтауға болады. Бізді қызықтыратын уақиғаны туғызған себептерді көрсету үшін, модельдеу процесін құру кезінде салдарды туғызатын себептердің әрқайсысының қандай әсері болатынын білу қажет. Сөйтіп математикалық модельдеу негізі дегеніміз - осы салдарлық - себептпрдің әсеріне байланысты күй функцияларының өзгеру заңдылығын анықтау. Мұндай байланыс Ньютонның екінші заңымен беріледі, яғни күй функциясының уақыт бойынша алынған екінші туындысы, әсер ететін ауырлық күшке пропорционал өзгереді. Математикалық математикалық модельдің құрамы жөнінде үш сипаттамаға назар аударуға болады. Әрбір нақтылы жағдайды сипаттайтын процестің параметрлері, белгіленген шамалардан тұрады және осылардың ақпараттарынан құралады. Мұнда тәуелсіз айнымалылар белгіленбеген, бірақ өзгеру обылысы берілген, күй функциясының анықталу облысы болады. Параметрлері берілген айнымалылар бойынша, күй функциясын қалпына келтіру есебі математикалық модельдің негізгі жұмысына жатады.
Керекті математикалық ара - қатыстарды қорытып алған соң, күй функциясынан басқа шығатын информацияларды анықтау қажет. Мысалы, дененің жерге құлағандағы уақыт моментін және соңғы жылдамдықты шығатын информацияға жатқызуға болады.
Қорыта келіп, зерттелінетін процесстің математикалық моделін құрайтын элементтер:
1 Зерттелінетін обьект.
2 Жүйе күйінің функциясы.
3 Тәуелсіз айнымалылар.
4 Координат системасы.
5 Жүйе эволюциясының себептері.
6 Жүйенің енетін параметрлері.
7 Математикалық модельдің қолданылу шарттары.
8 Салдарлық - себептер байланысы.
9 Жүйенің шағын параметрлері.
Табиғат құбылысындағы заңдылықты анықтау үшін өзіне тән ғылыми салалар зерттейді (физика, химия, биология т.с.с.). Ал , математикалық амалдарды қолданып, модель құрып, компьютердің көмегімен анализ жасап, әрі табиғи процесті қалағанымызша қайталап, дисплейде тәжірибе жасап, көз жеткізіп, кез - келген құбылысты зерттеу мүмкіндігі зор болып табылады.
1.3. Математикалық модельді классификациялау
Құрылатын модельдер үшін, математикалық модельдің сипаттамасы қолданылған математикалық қисаптар мен оларға кіретін шамалардың арасындағы байланыспен анықталады. Күй функциясы уақытқа тәуелді өзгерсе, онда жинақталған параметірлік жүйеде, ал күй функциясы уақытқа тәуелді өзгерсе, онда жинақталған параметрлік жүйеде, ал күй функциясы уақытқа және кеңістік айнымаларына байланысты өзгерсе - тарамдалған параметірлік жүйеде берілді деуге болады. Бұған маятниктің тербелісін, снарядттың ұшуын кейбір дербес жағдайда жинақталған параметірлік жүйеде қарастыруға болады, ал жылудың тасмалдануы, көлем ішіндегі сұйықтың қозғалысы тарамдалған параметірлік жүйеде зерттелінеді. Математикалық қисаптарда жай дифференциалдық теңдеу жинақталған параметірлік жүйеде кездессе, ал дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеу тарамдалған параметрлік жүйеде қарастырылады.
Теңдеуді қолданып қоймай кейбір процестерді модельдеу үшін вариациялық принциптер негізінде әдістелмейді. Классикалық механикадан материалдық нүктенің қозғалысын динамиканың теңдеуін қолданып немесе ең аз әсер ету принципінің негізінде, яғни жүйе эволюциясын құрғанда шығатын энергияның шамасы минимум болатындай есеп құрап шығаруға болады.
Процеске кездейсоқ факторлар әсер етсе стохастикалық модель деп, ал сырттай әсер ететін факторлардың эффектілігін ескермей құрылған модель детерминалық делінеді. Үздіксіз жүйеде тәуелсіз айнымалы үздіксіз өзгереді, ал дикретті жүйеде тәуелсіз айнымалы тұрақты немесе айнымалы қадам жасап өзгереді.
Күйді сипаттайтын функциялар уақытқа байланысты өзгерсе динамикалық, ал күйдің сипаттамаларын беретін шамалар уақыт өзгерісіне қатысы жоқ болса стационарлық жүйе деп айырады. Математикалық модельдердің зерттелінетін процесті беру ерекшеліктеріне қарап, классификациалаудың басқа да түрлерін атауға болады.
Математикалық модельдеудің этаптары
Мұндай проблемаларды немесе осындай басқа кез - келген құбылыстарды математикалық аппаратты қолданып зерттеу негізінен үш этаппен жүреді:
1) Математикалық модельдің сипаттамасы.
2) Математикалық модельдеуді зерттеу.
3) Алынған нәтижелерге интерпретация жасау.
Процестің математикалық сипаттамасын бергенде қаратырылатын табиғаттың заңдарын математикалық тілде тұжырымдау. Өстіп алынған модель кейбір абстракциялы ара қатысты береді де, өзіне тән математикалық тәсілдермен зерттеледі. Ал қортындысы алынған нәтижелерге анализ жасауға болады. Сөйтіп бірінші этапта зерттелінетін құбылысқа тән информацияларды математикалық тілге кошыру, екіншіде математикалық құралдың негізінде осы информацияларды түрлендіру жатады, ал үшіншіде математикалық тілмен алынған информацияларды нақты пәндік аймаққа кері аудару болады.
Процестің математикалық сипаттамасы
Биологиялық тіршіліктің эволюциясы әр уақытта өзгеріп отырады. Біздің мақсатымыз мынадай функциямен х=х(t) сипатталатын сәйкес байланысты анықтау. Қарапайым биологиялық жүйе бір ғана тіршіліктен тұрсын дейік. Зерттелінетін процестегі күйді сипаттайтын функция тіршіліктің саны х, тәуелсіз айнымалы шама t уақытқа байланысты өзгереді. Осы функцияның өзгерісінің жылдамдығы, бірлік уақыттағы туған(А) және өлген (В) тіршіліктердің айырмасымен анықталады. Сөйтіп, теңдеуді мынадай түрде жазамыз
X1 = A- B ,
Мұндағы А және В мәндері туған және өлген жекелеген түрлердің бірлік уақыттағы санына пара-пар. Шынында да жеке түрлер көп болса, бекітілген уақытта туған және өлген саны көп болады. Нәтижесінде процестің параметірлері тұрақты a және b жағдайлары үшін, жеке түрге байланысты саны A = a х , B = b х тең болады.
Ендеше процесті сипаттайтын дифференциалдық теңдеу
x1=к х , (2.1)
ал, коэффициент к = а - b жеке түрдің санының өсімі оң немесе теріс болуы мүмкін. Теңдеу , (2.1) үшін бастапқы шартын анықтайық
x(0) = х0, (2.2)
мұндағы х0 тіршіліктің бастапқы сан мөлшерін беретін есептің параметіріне жатады және оң шамамен анықталады. Сөйтіп зерттелінетін процестің математикалық моделі (2.2) бастапқы шартпен анықталған (2.1) жәй дифференциалдық теңдеумен берілген Коши есебі болады.
Математикалық модельді зерттеу
Қойылған есептің (2.1), (2.2) шешімі мынадай түрде
табылады
x(t) = х0exp(k t)
Бұл функцияның х0 және k параметрлерге байланысты әртүрлі қасиетін байқауға болады. Алдымен мынадай екі жағдайды қарастырайық:
х0=0
х0!=0
Жүйенің бастапқы күйін сипаттайтын х0 параметірі нолге тең болса, онда k коэффицент шамасы қалай өзгерседе есептің шешімі уақытқа байланысты өзгермейді. Ал теріс мәнді бастапқы шарттың мағынасы жоқ. Бастапқы шарттың оң мәнінде жүйе күйінің сапалы өзгерісі параметірдің k таңбамен анықталады. Мұндай жағдайда жүйе күйінің үш өзгерісін байқауға болады:
k 0
k = 0
k 0
Параметр k оң болса, функция x экспоненциалды заңдылықпен өседі. Егерде k = 0 есептің шешімі уақытқа баланысты өзгермейді. Параметр k теріс болған жағдайда, функция х уақытқа байланысты монотонды түрде кеміп нөлге ұмтылады. Әртүрлі жағдайға байланысты функцияның өзгерісі 2- суретте көрсетілген. Параметірдің сан мәнінің өзгерісі функцияның шұғыл өсуіне немесе кемуіне себеп болады, ал бастапқы шартының өзгерісі сүлбеге сапалы өзгеріс жасамайды.
х х х
t t t
a b a = b a b
Алынған нәтижеге қысқаша интерпретация жасайық. Коэффицент k - теріс мәнінде жеке тіршіліктің туып өрбігенінен гөрі, өлім - жітімі көбейеді. Бұл жағдайда, бірлік уақыт ішінде тіршіліктің саны белгілі бір шамаға азаяды. Мұндай биологиялық жеке түрдің азаюы қоректің жетіспеуінен немесе табиғи жауларының көбеюі, өмір сүретін ортаның бұзылуы, эпидемияның таралуы т.б. жайсыз жағдайлар пайда болып, жалпы саны біртіндеп азаяды.
Жеке түрдің сандық өнімі оң болғанда туып - өсетін түрдің саны өлім - жітімге қарағанда көп болады. Бұл дегеніміз, бір уақыт интервалындағы жеке түрдің туу мүмкіндігі өлімге қарағанда жоғары, және біртіндеп өсімі көбейе бермек. Өсімде шек қойылмаған жеке түр идеалдық жағдайда өмір сүруі мүмкін қоректен тапшылық көрмейді, бәсеке жоқ және жәйлы ортада өмір сүреді. Бұған мысал ретінде құнарлы ортада өмір сүретін микроорганизмдерді айтуға болады.
Қарастырылған жүйенің эволюциясын сипаттайтын варианттары 3-ші суретте бейнеленген.
Модель x'=кх,
х0=х0 х0х0 х0
Пx00
Зерттелінетін обьект бар
x0=0
Зерттелінетін обьект жоқ
k0
папуляцияның шектелмей өсуі
k0
папуляцияның азаюы
Иk=0
папуляцияның өзгеруі
Бұл суретте, қоректі қабылдауы шектелмеген жағдайдағы жеке түрдің эволюциясын беретін варианттар.
Жоғарыда келтірілген модель тіршіліктің өлім - жітімі көп болғанда популяция біртіндеп құрыйды, ал керісінше болса онда тіршіліктің өсімі шектелмейді. Анығында өмірде тіршіліктің көшкін тектес өсуі шектеулі болады. Табиғатта қоректің жетіспеуімен, өмір сүретін территорияның аздығы және басқа да факторлардың әсері модельде ескерілмеді. Ендігі моделімізде тіршіліктің қорегі шектелген жағдайын қарастырайық.
Математикалық модельді жетілдіру
Енді біз жеке түрдің эволюциясын қабылдайтын қорегіне шек қойып қарастырайық. Тіршіліктің сан мөлшерінің өсімін мынадай формуламен анықтайық
k=aN-b,
a - жеке түрдің меншікті өсімі (жарамды бірлік азыққа байланысты өсім), b - жеке түрдің табиғи өлім - жітімі, түсетін қорек - азықтың мөлшері D- мен қажетті қорек - азықтың айырымы N - шамамен сипатталалы. Соңғы сипаттама қарастырылатын уақыт моментінде тіршіліктің сан мөлшеріне пропорционал және qx тең, мұндағы коэффицент q - тіршіліктің қоректі қолдану шамасы (бірлік уақыттағы керекті азықтың мөлшері). Нәтижесінде (2.1)теңдеуді мынадай түрде жазамыз
х'=[aD-b-aqx]x (2.4)
Алынған (2.4) - өрнек Ферхюльстың теңдеуі болады.
Ферхюльстың теңдеуін зерттеу
Егерде k өсім коэффиценті тұрақты болса, онда (2.1) теңдеу сызықты, яғни екі шешімнің қосындысы немесе шешімнің кез келген тұрақты санға көбейтіндісі де шешімі болады. Ал Ферхюльст теңдеуіне мұндай қасиет жоқ, сондықтан сызықсыз теңдеуге жатады. Сызықты дифференциалдық теңдеуге тікелей анализ жасау қиынға түседі. Кейбір онша күрделі емес сызықсыз теңдеудің аналитикалық шешімін табуға болады. Енді Ферхюльст теңдеуінің нақты шешімін алып көрейік.
Жаңа функцияны мынадай түрде анықтайық
y(t) = 1 x(t).
Теңдікті y'= - x'x2 ескерсек, онда мынадай сызықты теңдеудің орындалатынын көреміз.
2. тарау
2.1. Математикалық модельді құрудың негізгі аспектілері
Математикалық модельдеу кісілердің шығармашылық белсенділігінің барлық түрінде кездеседі. Бұл әдістеме жеке ғылымдарды алмастырмай, керсінше сапалық талдаудан бастап заманауи программалау тілдеріне дейінгі бейсызықтық модельдердің жетістіктерін синтездейді.
Нысанның өзінен емес, модельмен жұмыс жасау нысанның қасиеттері мен қалпын тез, әрі айтарлықтай шығынсыз зерттеуге ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz