Ықтималдық теориясы мен математикалық статистика
Ш. УӘЛИХАНОВ АТЫНДАҒЫ КӨКШЕТАУ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
ӘӨЖ 519.3:519.85 Қолжазба түрінде
Амантай Ақерке Айымбекқызы
Орта мектеп курсында ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканы өткізудің ерекшеліктері
6М010900 - Математика
Математика мамандығы бойынша жаратылыс ғылым магистірі академиялық дәрежесін алу үшін дайындалған диссертация
Ғылыми жетекші
___________ ф-м.ғ.к., Б.Н.Рахимжанов
"Физика және математика" кафедрасының меңгерушісі
________п.ғ.к. С.Қ. Дамекова
Көкшетау, 2020 ж.
Мазмұны
Кіріспе
1
Математикалық статистика
1.1
Математикалық статистика элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2
Ықтималдық теориясы
2.1
Ықтималдықтың классикалық, статистикалық, геометриялық анықтамалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2
Ықтималдық теориясының элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.3
Ықтималдықтарды анықтауға қатысты комбинаториканың формулаларын қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.4
Мектеп курсындағы ықтималдық ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3
Ықтималдық теориясы мен математикалық статистика
3.1
Стохастика элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3.2
Орта мектеп курсында ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканы өткізудің ерекшелігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4
Ықтималдық теориясы мен математикалық статистикның әр саладағы алатын орны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Кіріспе
Қазіргі уақытта ықтималдық-статистикалық әдістері көптеген салаларда қолданылады.. Оның ішіде: физика, химия, педагогика, психология, лингвистика, археология, геология сияқты, сондай-ақ ықтималдық теориясын мединицина және биология, әскери ғылым мен космонавтика, лингвистика, психология мен оқыту теориясы тағы басқа ғылымдарда қолданыла бастады. Бұл пән - кездейсоқ құбылыстар заңдылығымен айналысатын математика саласы.
Статистика термині латынның статус status деген сөзінен шыққан,қазақшаға аударғанда күй, хал-жай деген мағына береді. Негізінен алғанда халық санағына байланысты, статистикалық мәліметтер жинау өте ерте заманда кездескенмен де, мәліметтерді жинақтау және жариялау мәселелері сауда капиталының даму дәуірінде, XVI-XVII ғасырларда кездеседі. XVII ғасырдың екінші жартысында қоғамдық өмірдің құбылыстарын сан,өлшем және салмақ арқылы, басқаша айтқанда сандық қатынастар арқылы,сипаттау пайда болады. XIX ғасырда қоғамдық құбылыстарды зерттеуге қолданылып келген статистикалық әдістер жаратылыстану ғылымдарына да енеді.
Математика - нақты ғылым,бір қарағанда кездейсоқтыққа ешқандай қатысы жоқ. Бірақ, осы кездейсоқтықтың сандық сипаттамасын, ықтималдық ұғымын берген басқа емес,осы математика. Ықтималдықтар теориясы өмірдегі кездейсоқтықтарды зерттеп, олардың заңдылықтарын ашады.
Ықтималдылық теориясының тамыры ғасырлар тереңінде жатыр. Көне Қытай,Индия, Египет, Грекия сияқты елдерде халық санағын жүргізу барысында, тіпті жауларының санын анықтау кезінде де ықтималдылық тұжырымдардың элементтері қолданылғандығы белгілі.Бірақ та бұл теорияның ғылым болып қалыптасуын XVII ғасырға жатқызады. біз тарихи романдардан білеміз, бұл корольдер мен мушкетерлердің, керемет ханымдар мен текті кавалерлердің кезеңі. Бір қызығы сол, осындай бір тарихи тұлғаның біреуінің есімімен осы ықтималдылық теориясының басталуы байланысты екен.
Гюйгенс, Паскаль, Фермадан бастап, кездейсоқ оқиға және оның ықтималдығы туралы математикалық ғылым- ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдарында қалыптаса бастады.
Ең алдымен азарт ойындары пайда болды. Араб тілінде азар деген сөз қиын деген мағына береді. Арабтар азар деп лақтырылған ойын сүйегінің екеуінде де 6 ұпайдан түсуін айтады екен. Куб түріндегі ойын құралы ол кезде піл сүйегінен жасалатын болғандықтан ойын сүйегі деген атау сол заманнан қалыптасып қалған. Ықтималдықтар теориясы жөніндегі алғашқы жұмыстар XVII ғасырда басталды. Еуропа елдерінде адамды құнықтыратын әр түрлі ойындардың кең таралуына байланысты әр ойыншы өзінің жеңілмеу ықтималдықдығын алдын ала анықтауға тырысқан. Сол кездегі математиктер де бұл мәселеге назар аудардып, бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалар туралы заңдылықтар ашуға талпынды. Бұл мәселеге алғашқы болып еңбектерін ұсынған:француз оқымыстысы Блез Паскаль,Пьер Ферма,голландиялық Христиан Гюйгенс,швецариялық математик Яков Бернулли болды. Француздың атақты математиктері Пьер Ферма мен Блез Паскальдың азартты ойындарды зерттеу арқылы ықтималдықтар теориясының негізін қалады. Кейіннен сақтандыру жұмыстарында және демография саласында ықтималдықтар теориясы өз қолданысын тапты.
XVIII ғасыр аяғы мен XIX ғасыр басында ағылшын оқымыстысы А.Муавр, орыс оқымыстылары Л.Эйлер, Н.Бернулли,Д.Бернулли, француз П.Лаплас, С.Пуассон, неміс К.Гаусс геодезия мен астраномияның өркендеуіне қатысты өлшеу қателіктерін бағалау, ату теориясындағы снарядтардың жағдайларын анықтау үшін ықтималдықтар теориясының рөлін көрсету мақсатында ғылыми жұмыстар жүргізді. XIX ғасыр ортасында Ф.Гальтон, Л.Больцман, А.Кетле, А.М.Ляпунов, П.Л.Чебышев, А.К.Калмогоров сияқты оқымыстылар жиындар теориясы,шақты айнымалылы функциялар теориясы, функционалдық анализ сияқты жоғары математикалық жаңа табыстарына сүйенетін ықтималдықтар теориясының өркендеуіне негіз салды. Жаратылыстану ғылымдары мен техниканың дамуы ықтималдықтар теориясына жаңа мәселелер қойды.
Ықтималдықтар теориясының дамуына Бернулли, Муавр, ГауссЛаплас, Пуассон еңбектері көп әсерін тигізді. XIX ғасырдың екінші жартысыннан бастап бұл саланың дамуына зор әсер еткен В.Я. Буняковский бастаған математиктер мектебі: П.Л.Чебышев, А.А.Марков, С.Н. Бернштейн,А.Н. Колмогоров секілді орыс ғалымдары үлкен үлес қосты.
ХХ ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері әр түрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу мен ғылыми шығармашылықтың алғашқы шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға ие болды. Оқиға туралы ғылым көптеген мамандық иелерінің: инженерлер, экономистер, дәрігерлер және әр түрлі шаруашылық саласындағы мамандардың ортасына енді. Барлық әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық, тіпті ықтималдық теориясы жиі қолданылатын болды.
Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып ықтималдықтың жиілік теориясының негізін салған белгілі неміс математигі- Р.Мизес (1883-1953). Ол ықтималдық теориясын математика пәні емес, математикалық әдістерде кең қолданылатын ғылым қатарына қосты.
Р.Мизес Әр ықтималдыққа берілген есеп кейбір шынайы процестермен байланысқан,- деп айтқан. Қазіргі ықтималдық теориясының дамуы, әсіресе А.Н.Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теориясы жоғары математикалық тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы, функционалдық талдау және тағы да басқа нақты математикалық ықтималдықпен тығыз байланысқан.
Ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты оның адамзат өмірінде қолдану мүмкіндігі артты. Жалпы алғанда ықтималдықтар теориясының әдісі ғылымның барлық саласына өз үлесін қосады. Ал математика ғылымында алатын орны ерекше.
Зерттеу тақырыбының өзектілігі. XXI ғасырда адамзат білім мен өнерде, техникалық прогресте үлкен жетістіктерге жетті. Бұның барлығында білімнің үлесі зор.
Еліміздің жаңаша дамуының шешуші факторы ретінде білім беру саласына қойылып отырған басты талап - әлемдік стандарттар деңгейіндегі сапалы білім беру қызметін көрсетуге қол жеткізу.
Білім алу саласында әрбір жеке тұлға өзінің белсенді, танымдық және шығармашылық іс-әрекеттерін дамытуы қажет. Оның айқын бір жолы - ғылыми шығармашылық ізденіс болып табылады.
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез-келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.
Республикамыздың білім беру жүйесінің даму бағытындағы негізгі мәселелердің бірі, уақыт талабына сай білім сапасын жақсарту, әлемдік стандарт деңгейіндегі білім беру болып табылады. Қазақстанның әлемдегі бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына енуінің негізгі міндеті, жоғары мамандандырылған, білікті де білімді адамзат ғылыми технологияны оңай меңгеріп, нарықтық экономикада өзін-өзі басқара алатын және алған білімін өмірде пайдалана білетін болса, тек сол уақытта ғана жүзеге асыру мүмкін екендігі түсінікті.
Шынында да, әлемнің дамыған елдеріндегі білім беру жүйесі - білім дағдыларын механикалық түрде беру емес, ақпараттық зияткерлік ресурстарды өз беттерінше тауып, талдап және қолдана білетін, жедел өзгеріп отыратын техникалық прогресс, инновациялық өрлеу жағдайында өзін-өзі ашып көрсете алатын, нарықтық талап-талпыныстарға еркін бейімделе алатын жеке тұлғаны қалыптастыруға басымдық беретіндігі белгілі.
Бүгінгі таңдағы тәуелсіз мемлекетіміздің білім саласындағы басты мақсаты жан-жақты дамыған, шығармашылықпен жұмыс жасай білетін, өздігінен білім алу жолдарын таңдай алатын білімді де білікті жеке тұлға болу міндеті тұр. Кез-келген қоғамға дарынды адамдар керек, және қоғамның міндеті сондай адамдардың қабілетін дамыту. Өкінішке орай, кез-келген адам өз дарынын аша алмайды. Бәрі отбасына және мектепке байланысты. Отбасының міндеті баланың дарынын ертерек байқау болса, мектептің міндеті баланы қолдап, сол дарынын әрі қарай ашу, дамыту болып келеді. Әсіресе мектепте оқушының өзіндік шығармашылығының негізі қаланады. Кез-келген мұғалім мектеп оқулығын қызықсыз көріп, одан да терең ғылыми кітаптарды, энциклопедияларды оқитын, өздігінен ізденетін, әр түрлі салада өз сұрақтарына жауап іздейтін дарынды балаға жолығады. Сондықтан да оқушыға жол көрсету, оның өмірлік жоспарлары мен армандарына көмектесу мектепте жүзеге асу керек. Мұндай оқушыларды әр түрлі шығармашылық жұмыстармен, ғылыми жобалармен айналыстырып, олимпиадаларға, сайыстарға қатыстыру керек. Бұл оқушының жетістіктеріне басқалардың көз жұма қарамайтындығын, оған көңіл бөлетінін көрсетеді, осылайша оқушының қабілетін көрсетуге мүмкіндік туады. Оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Мектептегі математика пәні мазмұнын жан-жақты зерттеп, орынды қолдану оқушылардың жалпы мәдени даму деңгейінің, білімінің жоғары болуына тікелей әсер ететіні сөзсіз.
Математика сабағында есеп шығару оқыту үрдісінің ең маңызды түрі болып табылады. Өйткені, есеп шығару арқылы оқушы математикалық теорияны меңгереді және логикалық ойлаумен шығармашылық қабілеті дамиды.
Мақсаты: оқулықтарда берілген ықтималдық теориясы мен математикалық статистика курсының материалын қарастырып, оқушылардың ойлау қабілетін жетілдіру, математикаға қызығушылығын арттыру.
Міндеттері:
1) оқушыларға ықтималдық теориясы мен математикалық статистика курсының негізгі ұғымдарын игеруге көмектесу;
2) оқушылардың ықтималдық, статистикалық ойлауын қалыптастыру;
3) ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканы мектеп курсында өткізудің маңыздылығын түсіну.
Зерттеу нысаны : орта мектептегі математика курсын оқыту үрдісі
Зерттеу әдістері: Қойылған мақсаттарды шешу барысында математикалық статистика, ықтималдықтар теориясы қолданылды.
Мәліметтерді өңдеу: Мәліметтерді тіркеу құрылғысы Wizard III, тіркелген мәліметтерді Statgraphics plus 5.0 және MS Excel қолданбалы программалары арқылы дербес компьютерде өңделді.
Диссертациялық жұмыс 3 тараудан, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 тарауда ықтималдықтар теориясының тарихына, негізгі теоремаларына және мектептегі ықтималдық теориясының мазмұнына және әлемдік ықтималдық теориясын орта мектепте оқу тәжірибелері туралы айтылды. Қазіргі кездегі мектептегі ықтималдық-стиатистикалық теорияның мазмұны қандай деген сұрақтар қарастырылады.
2 тарауда ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканың орта мектеп курсында өткізудің ерекшеліктері баяндалады.
3-тарауда ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканың әр саладағы алатын орны мен рөлі қарастырылады
1 Математикалық статистика
1.1. Математикалық статистика элементтері
Ықтималдық теориясы - кездейсоқ оқиғалардың орындалуының заңдылығын зерттейтін математикалық ілім. Ықтималдықтар теориясының негізінде математикалық статистика ғылымы пайда болды. Математикалық статистика-берілген мәліметтерді талдауға арналған математиканың бөлімі. Математикалық статистиканың негізгі міндеті-таңдалған мәліметтер бойынша бас жиынтықтың сипаттамасын бағалау.
Байқалған құбылыстар, өлшеу жұмыстары немесе арнайы жүргізілген тәжірибелердің нәтижелері ретінде табылған сандар жиындарының белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын элементтерінің сандары статистикалық деректер деп аталады.
Математикалық статистиканың статистикалық деректер жиынындағы әрбір элементтің жеке қасиеттерін сипаттамайды, олар бір топқа жататын бірнеше элементті бірге қамтиды. Әдетте статистикалық деректер жолдар мен бағаналарға бөлініп, реттеліп жазылады, олардың негізінде жүргізілетін ғылыми-зерттеу әдісі статистикалық әдіс деп аталады. Ол ғылым салаларының барлығында қолданылады, бірақ табиғаты әр түрлі нысандардың статистикалық мәліметтерін бірге қарастыруға болмайды. Математикалық статистиканың әдістері аса маңызды параметрлері белгісіз немесе оларды жеткілікті дәлдікпен бақылауға болмайтын көптеген есептердің шешімін тиімді жолдармен табуға мүмкіндік береді. Математикалық статистикада математикалық заңдардың бәрі де қолданылады.
Математикалық статистика сынақтың нәтижелері бойынша белгілі қорытынды жасайтын әдістерді қарастырады. Математикалық статистикаға тән типтік есептерге ықтималдықтарды бағалау, үлестіру функциясының белгісіз параметрлерін бағалау т.с.с. жатады.
Математикалық статистика әдістерінің мақсаты статистикалық мәліметтерді жинастыру, оларды өңдеу, белгісіз бас жиынтық үлестіруінің параметрлерін және белгісіз үлестіру функцияларын бағалау, сондай-ақ параметрлер мен үлестірулер жайындағы статистикалық гипотезалардың дұрыстығын тексеру болмақ. Статистикалық әдістер белгінің сандық түрінде ғана қолданылады. Ал белгі мәні болса санмен өлшенуі де мүмкін, сапалық болуы да мүмкін..
Математикалық статистикада Х кездейсоқ шамасының барлық мүмкін мәндерінің жиынтығын бас жиынтық деп атайды.
Бас жиынтық деп белгілі қасиеттерімен берілген барлық қарастырып отырған объектілер жиынын айтамыз. Жеке объект осы жиынның элементі болады. Таңдама дегеніміз - бас жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер жиынтығы. Мысалы, университеттігі студенттердің үлгірімін зерттеу үшін комиссия бір факультетті таңдап алады да, оның бір немесе бірнеше топтарына бақылау жүргізеді. Осы таңдап алынған студенттердің үлгірімі бойынша бүкіл университеттің, дербес жағдайда факультеттегі оқыту сапасына жуықтап баға беріледі. Университеттігі барлық студенттер бас жиынтық, ал таңдап алынған студенттер таңдама болады.
Таңдамада кездесетін кездейсоқ шаманың x1,x2,...,xn әртүрлі мәнін варианта деп атайды. Жиынтықта қандай да бір вариантаның қанша рет кездесетінін көрсететін m санын жиілік деп атайды. Жиіліктер n1,n2,...,nm арқылы белгіленеді. Ал өмірде абсолютті жиіліктердің орнына салыстырмалы жиіліктер қолданылады. Егер n1+n2+ ...+nm=n болса, онда салыстырмалы жиілік
ω1=n1n, ω2=n2n, ωn=nmn
формуламен анықталатын ω1,ω2,...,ωn сандары салыстырмалы жиіліктер деп аталады. Осы салыстырмалы жиіліктердің қосындысы 1-ге тең.
Салыстырмалы жиіліктерді пайыз арқылы да өрнектеуге болады. Онда барлық салыстырмалы жиіліктерінің қосындысы 100%-ға тең болады. Өсу ретімен орналасып, сәйкес жиіліктері көрсетілген варианталар вариациялық қатар деп аталады. Вариациялық қатар дискретті немесе интервалдық болады. Вариациялық қатардың жиіліктерін олардың массасы деп атаймыз.
Арифметикалық орта. Өлшеулерді n рет жүргізгеннен кейін пайда болған x1,x2,...,xn мәндерінің ортасы деп арифметикалық ортаны айтады. Оны x деп белгілейді және былай есептейді:
x=1nx1+x2+ ...xn=1ni=1nxi. (1.24)
Медиана. Статистикалық мәліметтер вариациялық қатар түрінде жазылғанда медиана қатардың ортасында тұрған мәнді көрсетеді. "Істейтін істің қақ ортасын білу" жұмысты ұйымдастыру шаруасын жүргізуге бірқатар ақпар береді.
Егер мәліметтер саны тақ болса медиана мәндердің қақ ортасы болады. Ал, егер мәліметтер саны жұп болса, онда медиана үшін ортада тұрған мәндерді қосып, оны екіге бөледі. Медиананы Me деп белгілейміз.
Мысалы, өлшеу нәтижелері 3,6,10,12 болса медиана - (6+10):2=8. Ал мәліметтер 1,4,6,8,10 болса медиана 6 болар еді.
Мода. Статистистикалық қатардағы ең көп кезедсетін мән. Мысал, мына сандар қатары берілген 2,4,5,9,3,4,6,7,8,4. Бұл қатардың модасы яғни ең көп кездесетін мән- 4. Бұл қатардың модасы 4-ке тең.
2 Ықтималдық теориясы
2.1 Ықтималдықтың классикалық, статистикалық, геометриялық анықтамалары
Ықтималдықтар теориясы тек кездейсоқ оқиғалар және олардың пайда болу мүмкіндіктерін қарастыратын математиканың бір бөлімі болып табылады. Сонымен қатар, ықтималдықтар теориясы қандай да бір оқиғаның шығуын алдын-ала анықтай алмайды, бірақ оның көмегімен көп рет қайталанған оқиғаның заңдылығын анықтауға болады. Оқиғалар 3 түрге бөлінеді: ақиқат, мүмкін емес және кездейсоқ.
Тәжірибе барысында міндетті түрде орындалатын оқиғаларды ақиқат оқиғалар деп атайды.
Тәжірибе кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін емес оқиға деп аталады.
Тәжірибе барысында орындалуы да, орындалмауы да мүмкін оқиға кездейсоқ деп аталады.
Оқиғалар латын алфавитінің бас әріптерімен A,B,C, ... арқылы белгіленеді.
Тәжірибе барысында екі оқиғаның бірі пайда болып, екіншісі пайда болмайтын оқиғалар үйлесімсіз деп аталады.
Тәжірибе кезінде мүмкін оқиғалардың әйтеуір біреуінің пайда болуы ақиқат болса, онда оқиғалар жалғыз мүмкіндікті оқиғалар деп аталады. Егер A,B,C,... оқиғалары жалғыз мүмкіндікті болса, онда олар толық топты құрайды.
Егер жалғыз мүмкіндікті екі оқиға толық топты құраса, онда олар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады. A оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны A деп белгіленеді.
Тәжірибе мен оқиға ұғымдарының айырмашылығын қарастырайық. Өмірде, тұрмыста, ғылымда жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, экспери-менттерді тәжірибе деп атаймыз. Тәжірибенің нәтижесі оқиға болады.
1-мысал. Теңге бір рет лақтырылады. Бұл тәжірибе. Тәжірибенің нәтижесі оқиға болып есептеледі.
А оқиғасы - елтаңба жағының шығуы.
В оқиғасы-цифр жағының шығуы. Мұнда A және B үйлесімсіз (тоғыспайтын), қарама-қарсы оқиғалар және толық топ құрайды.
2-мысал. Жәшікте тек ақ шарлар бар. жәшіктен ақ шар алу - бұл ақиқат оқиға, ал жәшіктен қара шар алу - бұл мүмкін емес оқиға.
3-мысал. Жәшікте ақ, қара және қызыл шар бар. Бір шар алынады. Бұл тәжірибе болса, ал тәжірибенің нәтижесі мынадай оқиғалар болуы мүмкін.
А - ақ шар алынды.
В - қара шар алынды.
С - қызыл шар алынды.
Бұл оқиғалар үйлесімсіз оқиғалар және толық топ құрайды. Бірақ бұл оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар бола алмайды. Қарама-қарсы оқиғаларда тек екі оқиға толық топ құрастырады. Ал біз қарастырып отырған жағдайда үш оқиға бар.
Мына мысалды қарастырайық. Жәшікте 6 стандартты және 4 стандартты емес зат бар. Жәшіктен бір зат алынған. Стандартты затты алу мүмкіндігі стандартты емес затты алуға қарағанда көп екені айқын. Бұл мүмкіндікті сипаттайтын сан ықтималдық деп аталады.
Анықтама. A оқиғасының ықтималдығы дегеніміз - осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы.
А оқиғасының ықтималдықтығы былай белгіленеді P(A). Сонымен,
P(A)=mn . (1.1)
Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама немесе Лаплас моделі дейміз.Енді P(A) ықтималдығының қасиеттерін қарастырайық.
1. P(A) ықтималдығы теріс емес функция, яғни P(A)=0.
2. P(A) әрқашан 0=P(A)=1.
3. Қиылыспайтын (үйлесімсіз) A және B оқиғалары үшін, P(A+B) аддитивті функция, яғни PAB=PA+P(B).
Бұл үшінші қасиетті ықтималдықтарды қосу теоремасы немесе ықтималдықтарды қосу заң деп атайды.
Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы. Қандай да бір оқиғаның ықтималдығын анықтау үшін оның орындалу жиілігін санау керек.
Жүргізілген n экспериментте берілген оқиға қанша рет орындалғанын абсолюттік жиілік көрсетеді.
Эксперименттің қандай үлесінде оқиғаның орындалғанын салыстырмалы жиілік не жиілік көрсетеді, ол абсолюттік жиіліктің эксперимент санына қатынасы.
ω=nm (1.2)
Оқиғаның орындалу жиілігі мен ықтималдығын ажырата білу керек. Ықтималдық туралы сөз болғанда n - барлық оқиғалар саны, m - қарастырып отырған оқиғаның орындалу саны. Ал жиілік жайлы айтылғанда, n - барлық жүргізілген тәжірибе саны, ал m - оқиғаның пайда болу саны.
Басқаша айтқанда оқиғаның жиілігі статистикалық ықтималдық деп аталады. Осы екі әр түрлі ұғымдардың тәуелділігі үлкен сандар заңы деп аталады. Мұнда кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы ретінде көптеп жүргізілген тәжірибенің салыстырмалы жиілігін алуға болады. Тәжірибе неғұрлым көп жүргізілсе жиілігі бойынша оқиғаның ықтималдығын соғұрлым нақты анықтауға болады.
4-мысал. Ойын сүйегі 50 рет лақтырылды. Эксперименттің нәтижелерін кестеге енгізейік. Абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерді есептейік.
Құрылған кестені пайдаланып абсолюттік және салыстырмалы жиіліктердің қасиеттерін анықтау керек.
1.1-Кесте. Ойын сүйегін лақтырғандағы нәтижелер
Шығу
Абсолюттік жиілік
Салыстырмалы жиілік
1 ұпай түсті
9
0,18
2 ұпай түсті
6
0,12
3 ұпай түсті
8
0,16
4 ұпай түсті
11
0,22
5 ұпай түсті
9
0,18
6 ұпай түсті
7
0,14
Эксперименттің барлық саны
50
1
1-қасиет. Абсолюттік жиіліктің қосындысы эксперимент санына тең.
2-қасиет. Салыстырмалы жиіліктің қосындысы 1-ге тең.
Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы. Ықтималдықтар теориясының дамуының басында-ақ шектелген тең мүмкіндікті оқиғалар тобын құрастыруға негізделген ықтималдық теориясының класскалық анықтамасының жеткіліксіз болатыны ескерілген. Сол уақыттың өзінде-ақ жеке мысалдар қарастыру бұл анықтамаға біршама өзгерістер енгізіп оны ойша шектеусіз көп нәтижелер жағдайына лайықтап құру қажет болды. Мұнда да қайсыбір оқиғалардың тең мүмкінділігі түсінігі негізгі рөл атқарды.
Айталық жазықтықта қайсыбір G аймақ және тиісті шекарасы белгіленген g аймақ болсын. G аймаққа тәуекел деп лақтырылған нүктенің g аймаққа түсуінің ықтималдығы неге тең болады?
Лақтырылған нүкте G аймақтың кез келген нүктесіне түсуі мүмкін,ал осы аймақтың қандай да бір бөлігіне түсу ықтималдығы осы бөліктің өлшеміне пропорционал болады да оның орналасуына және түріне тәуелді болмайды.
Тәуекел деп лақтырылған нүктенің G аймақтың g бөлігіне түсу ықтималдығы деп Pg=m(g)m(G) қатынасын айтады.
1-сурет
Анықтама. g облысына лақтырылған кездейсоқ нүктенің осы облысқа түсу ықтималдығы g өлшемнің G облыс өлшеміне қатынасына тең, яғни
Pg=g.өлшG.өлш . (1.3)
Мұнда да ықтималдықтың классикалық анықтамасы сияқты үш қасиет орын алады.
1. Pg теріс таңбалы емес, яғни Pg=0.
2. Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең, яғни PG=1.
3. Қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең.
Геометриялық ықтималдықты анықтауға мысал қарастырайық.
5-мысал. Ұзындығы 20 см кесіндінің ішіне ұзындығы 10 см кіші кесінді орналастырылған. Үлкен кесіндіге кездейсоқ қойылған нүкте кіші кесіндіге түсетінің ықтималдығын тап. Нүктенің кесіндіге түсетінінің ықтималдығы кесіндінің ұзындығына пропорционал және оның орналасуына тәуелді емес.
Шешуі: Бұл есепті шығару үшін ықтималдықтың геометриялық анықтамасының формуласын қолданамыз. Мұнда үлкен кесіндінің ұзындығы L=20 см, ал осы ұзын кесіндінің ішінде жатқан кіші кесіндінің ұзындығы l=10 см. Формулаға сәйкес,
P=lL=1020=12 .
Жауабы: 12
2.2 Ықтималдық теориясының элементтері
1. Тәуелді және тәуелсіз оқиғалар
Ықтималдықтар теориясында оқиғаларды элементар оқиғаларға бөліп қана қоймай, оқиғалардың өқара тәуелділігі мен тәуелсіздігінің де жігін ажыратып қарастырады.
A оқиғасы B оқиғасынан тәуелсіз деген нені білдіреді? Егер A оқиғасының ықтималдығы пайда болғанына немесе пайда болмағанына қарай өзгермейтін болса, онда A оқиғасы B оқиғасынан тәуелсіз деп аталады. Басқаша айтқанда P(A) ықтималдығы A оқиғасының B оқиғасы орындалды деп есептегендегі ықтималдығы PAB-ға тең. Сондықтан,
PA=PAB=P(AB)P(B) (1.7)
яғни,
PA=P(AB)P(B),
осыдан,
PAB=PAPB.
Сонымен "A оқиғасы B-ден тәуелсіз" дегеніміз PA, PA, P(AB) ықтималдықтары үшін PAB=PAPB теңдігі орындалады дегенді білдіреді. Сонымен A оқиғасы A-ден тәуелсіз болса, онда симметриялы түрде A оқиғасыда B оқиғасынан тәуелсіз болады.
1-мысал. Екі тиын тасталды. Бірінішсінде "елтаңба" немесе "сан" жағының шығуы, екінші жағында " елтаңба" немесе "сан " жағының шығуына ешқандай әсер етпейді. Демек бірінші тиынның "елтаңба" жағының шығуы - A оқиғасы, екініш тиынның "елтаңба " жағының шығуы B-оқиғасынан тәуелсіз және керісінше, B оқиғасы A-оқиғасынан тәуелсіз, яғни A,B өзара тәуелсіз оқиғалар.
2-мысал. 36 карталық жиыннан бір карта таңдамай алынған. A - алынған картаның тұз болу оқиғасы, ал B-алынған картаның қызыл түсті болу оқиғасы. A және B оқиғалары өзара тәуелсіз.
PA=436=19; PB=1836=12 .
Егер A оқиғасының ықтималдығы B оқиғасының пайда болғанына немесе пайда болмағанына қарай өзгеретін болса, онда A оқиғасы B оқиғасына тәуелді деп аталды.
3-мысал. Кәсіпорынның жасайтын бұйымдарынан кез келген бір бұйым таңдамай алынған.А-алынған бұйым ақаусыз, В-алынған бұйым бірінші сортты. Онда B оқиғасы жүзеге асса, A оқиғасы міндетті түрде жүзеге асады. Сондай-ақ A оқиғасы жүзеге асса, B оқиғасы пайда болмайды. Демек A, B және A, B оқиғалары арасында тәуелділік байқалады.
4-мысал. Ойын сүйегі тасталды. A-жұп ұпайлардың шығу оқиғасы. B-үштен үлкен ұпайлардың шығу оқиғасы. Мұнда A және B оқиғаларының арaсында тәуелділік бар. A оқиғасы пайда болды деп, A-ның ықтималдылығын есептесек PA=23, егер ешбір қосымша мәліметсіз A оқиғасының ықтималдылығын есептесек: PA=36=0,5.
2. Шартты ықтималдық
Кез келген оқиға белгілі бір шарттар жиынтығы орындалғанда ғана пайда болуы немесе пайда болмауы мүмкін. Бірақ, кейбір жағдайларда, аталған шарттар жиынтығына қосымша, А оқиғасының пайда болу ықтималдығы басқа бір В оқиғасының пайда болғанына немесе болмағанына байланысты болатыны белгілі. Мұндай жағдайда А оқиғасы В оқиғасына тәуелді.
Көртеген жағдайларда кейбір оқиғалардың ықтималдықтарынан басқа басқа бір кезедейсоқ оқиғаның пайда болған.
Анықтама. A оқиғасының B оқиғасы пайда болды деген шарттағы ықтималдығы шартты ықтималдық деп аталады және ол былай белгіденеді: P(AB) немесе PB(A).
Айталық тәжірибе n рет жүргізілген болып олардан n1-інде B оқиғасы пайда болсын. Ал сол n1-дің m1-інде A оқиғасы пайда болсын. P(AB) ықтималдықты есептеу үшін n1 тәжірибе жүргізілген деп қабылдаймыз, себебі алғашқы шарттар жиынтығында B оқиғасы пайда болды деген шартқа қосылды, сондықтан n-нің ішіндегі B пайда болмаған жағдайды алып тастаймыз. Онда:
PAB=m1n1 . (1.8)
Шартты ықтималдық ұғымы тек тәуелді оқиғаларға ғана тән, егер екі оқиға тәуелсіз болса, онда олардың ықтималдықтары да бірін-бірі өзгертпейді, яғни
PBA=P(A) , PAB=P(B)
1-мысал. Бірінен кейін бірі екі тиын тасталды. A кемінде бір елтаңбаның шығу оқиғасы, B кемінде бір сан жағының шығу оқиғасы. Элементар оқиғалардың жалпы саны 4: EC,EE,CE,CC. A оқиғасының шартсыз ықтималдығы PA=34 ; ал A оқиғасының B оқиғасы пайда болды деген шарттағы ықтималдығы PAB=23 .
3. Толық ықтималдық формуласы
Күрделі оқиғалар ықтималдығын есептегенде ықтималдықтарды қосу, көбейту теоремаларын қолдануға тура келеді. Толық ықтималдық формуласы ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының салдары болып табылады. Осы формула әртүрлі жағдайда әртүрлі ықтималдықпен өтетін оқиғаның ықтималдығын анықтауға мүмкінлік береді, ал қарастырылған оқиғалардың пайда болуының шартты ықтималдықтары әрбір орындалатын жағдайларда белгілі болуы тиіс.
H1,H2,H3,...,Hn- оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз және олардың бірігуі элементар оқиғалар кеңістігі Ω-ны құрайтын болсын. Hj-оқиғаларын гипотезалар (болжамдар) деп те атайды. Онда кез келген A оқиғасы Hj оқиғаларының біреуімен ғана бірігіп орындалады. Осы берілгендер бойынша
A=AH1+AH2+ ...+AHn. (1.9)
AHj оқиғалары да қос-қостан үйлесімсіз болғандықтан, олардың ықтималдықтарының қосындысы A-ның ықтималдығын береді:
PA=PAH1+PAH2+ ...+PAHn. (1.10)
Ал әрбір Hj үшін
PAHJ=PAHJPHJ. (1.11)
Сондықтан жоғарыдағы теңдікті былай жазамыз:
PA=PAH1PH1+PAH2PH2+ ...+PAHnPHn. (1.12)
Алынған теңдікті толық ықтималдық формуласы деп атайды.
1-мысал. Біркелкі үш типті 10 жәшік бар. Бірінші типтегі 4 жәшіктің әрқайсысында 25 жоғары сапалы, 15 сапалы бөлшек бар, екінші типтегі 3 жәшіктің әрқайсысында 22 жоғары сапалы және 8 сапалы бөлшек бар, үшінші типтегі 3 жәшіктің әрқайсысында 20 жоғары сапалы және 20 сапалы бөлшек бар. Бөлшек сапасын анықтау үшін кез келген жәшікті алып, одан кез келген бір бөлшек алады. Алынған бөлшектің жоғары сапалы болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: Алынған жоғары сапалы бөлшек A оқиғасы болсын. Жоғары сапалы бөлшек алу үшін алдымен 10 жәшіктің кез келген біреуін аламыз, ал бірінші типтегі жәшік (H1 оқиғасы), екінші типтегі жәшік (H2 оқиғасы), үшінші типтегі жәшік (H3 оқиғасы) болуы мүмкін. Мұндағы H1,H2,H3-гипотезалар болып табылады. Олардың сәйкесінше ықтималдықтары:
PH1=410=0,4,
PH2=310=0,3,
PH3=310=0,3.
Жоғары сапалы бөлшек пайда болуы, яғни A оқиғасының пайда болу ықтималдығы :
PAH1=2540=0,625,
PAH2=2230≈0,7,
PAH3=2040=0,5.
Сонда толық ықтималдық формуласы (1.12) бойынша :
PA=0,4∙0,25+0,3∙0,7+0,3∙0.5=0,61.
2-мысал. Ішіне шарлар салынған үш түрлі бірдей жәшікті алайық. Олардың біріншісінің ішінде 2 ақ және 1 қара шар, ал екіншісінде 3 ақ және 1 қара шар, ал үшіншісінде 2 ақ және 2 қара шар бар. Кез келген жәшіктің біреуін аламыз,ішінен кез келген бір шар аламыз, сол алынған шардың ақ болуының ықтималдығын табыңыз.
Шешуі: Айталық H1 оқиғасы бірінші жәшіктің, H2 оқиғасы екінші жәшіктің, H3 оқиғасы үшінші жәшіктің алынуы болсын. A оқиғасы алынған шардың ақ болу ықтималдығы. Есептің шарты бойынша H1,H2,H3 болжамдары тең мүмкіндікті оқиғалар болады:
PH1=PH2=PH3=13 .
Ал A оқиғасының шартты ықтималдығы толық ықтималдықтың формуласы бойынша
PA=13∙23+13∙14+13∙12=2336 .
Жауабы:
4. Бернулли формуласы
Саны n рет қайталанатын қандайда бір сынау жүргізілсін. Мұның әрқайсысында A оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін. Соның өзінде мына шарт орындалсын: әр сынауда A оқиғасының пайда болу ықтималдығы p=P(A) тұрақты, яғни ол не сынау ретінде, не алдыңғы сынаулар нәтижесіне тәуелді емес. Бұл шарт сынаулар тізбегі тәуелсіз екендігін көрсетеді. Осы шартты қанағаттандыратын сынаулар тізбегін тәуелсіз сынауларды қайталау схемасы немесе Бернулли схемасы деп атайды. Мұндай қарапайым схеманы тұңғыш құрастырған-Швецария ғалымы Я.Бернулли (1654-1705) еді. Ал сынауларды тәуелсіз дегенде біз оқиғаның пайда болу (болмау) ықтималдығы бір сынаудан екінші сынауға өткенде өзгермейді және оқиға басқа сынауларда пайда болды ма,не пайда болмады ма оған байланысты емес деп түсінетін боламыз. Бұл келтірілген мысалдарда сынау нәтижесі тек екі қарама-қарсы оқиғаның бірі ғана пайда болып, ал әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы бірдей болады. Тәуелсіз сынаулардың мүмкіндік нәтижесі екіден артық және олардың ықтималдықтары әр түрлі болуы да мүмкін.
Теорема. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты p=P(A)- ға тең болса, онда n рет тәуелсіз сынау жүргізілгенде ол оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығы мына форомуламен анықталады
Pnm=Cnm∙pm∙qn-m (1.13)
Алынған формуланы Бернулли формуласы деп атайды. Осыдан n сынақта оқиғасының m1 және m2 аралығындаорындалу ықтималдығы
Pn(m1=m=m2=Pnm1+Pnm1+1+P2(m2) (1.14)
теңдігімен анықталады. Ал оқиғаның n сынақта кем дегенде бір рет орындалу ықтималдығы
Pnm=1=1-qn, q=1-p; (1.16)
формуласымен анықталады;
тәуелсіз n сынақтарда A оқиғасының m реттен кем пайда болуының ықтималдығы :
Pn0+Pn1+Pn2+ ...+Pnm-1; (1.17)
тәуелсіз n сынақтарда A оқиғасының m реттен артық пайда болуының ықтималдығы:
Pnm+1+Pnm+2+Pnm+3+ ...+Pnn; (1.18)
тәуелсіз n сынақтарда A оқиғасының кем дегенде m рет пайда болуының ықтималдығы:
Pnm+Pnm+1+Pnm+2+ ...+Pnn. (1.19)
1-мысал. Нысанаға 10 рет оқ атылды.Әрқайсысының нысанаға тию ықтималдығы 13-ке тең болса, онда атылған тәуелсіз 10 оқтың нақ төртеуінің нысанаға тию ықтималдығын табыңыздар.
Шешуі: Есеп шарты бойынша сынау саны n=10. Әрбір сынаудағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы p=P(A)=13, q=23, m=4. Бернулли формуласына қойып есептесек,
Pnm=P104=C104∙134∙236=210∙134∙236=0 ,22760.
2-мысал. Нысанаға 6 рет оқ атылды. Әр атқан сайын нысанаға тию ықтималдығы 0,4-ке тең. Мына ықтималдықтарды табу керек.
a) нысанаға оқ бір рет дәл тиді;
б) нысанаға оқ тию саны 4-тен кем емес;
в) нысанаға ең болмағанда бір рет оқ тиді.
Шешуі: a) Бернулли формуласын пайдаланамыз. Есептің шарты бойынша n=6, m=1, p=0,4, q=1-0,4=0,6.
Сонда P61=C61∙p1∙q5=6∙0,4∙(0,6)5=0,1836.
б) нысанаға тиген оқ саны 4-тен кем емес оқиғасын A әрпімен белгілеп, 4, 5 және 6 рет тию ықтималдықтарын есептейміз
PA=P64+P65+P66≈0,1382+0,3686+0,0041 =0,5109 .
в) іздеп отырған оқиға ықтималдығын P(B) арқылы белгілеп, мынаны табамыз
PB=1-q6=1-0,66=1-0,0467=0,9533.
5. Кездейсоқ шама және оның сандық сипаттамалары
Ықтималдықтар теориясындағы негізгі ұғымдардың бірі кездейсоқ шамалар ұғымы. Бұл ұғымды түсіндіруді мысалдардан бастайық.
1-мысал. Ойын кубигін лақтырғанда ойын санының пайда болуын алдын ала айта алмаймыз. Бұл мысалда ұпай саны - кездейсоқ шама,куб жақтарының көрсететін 1,2,3,4,5,6 сандары-кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері.
2-мысал. Кез келген мақта қауашығында неше шит болуы мүмкін? Қауашақта неше шит болуын алдын ала айта алмаймыз, яғни бұл кездейсоқ шама. Ал қауашақтағы шит саны 1,2,3,4,...,n сол кезедйсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері.
3мысал.Қоладағы лотореяның ұтыс мөлшерін білмейміз.Лотореяның ұтыс мөлшері-кездейсоқ шама, ал оның ұту мөлшерінің түрлі мәндері-сол кедейсоқ шама қабылдайтын мүмкін мәндері.
Анықтама. Сынау нәтижесінде қандай да бір мүмкін мәнді қабыдайтын шаманы кездейсоқ шама деп атайды.
Яғни кездейсоқ шама сан мәндерін қабылдайды. Бірақ дәл қандай мән қабылдайтынын алдын ала айта алмаймыз. Кездейсоқ шамаларды: X,Y,Z,..., арқылы бас әріптермен ал олардың қабылдайтын мәндерін x,y,z,..., кіші әріптермен белгілейміз. Қабылдайтын мәндер жиынына орай кездейсоқ шамаларды екі топқа бөледі: дискретті және үздіксіз.
0, 1, 2, ...,100 мүмкін мәндерінің біреуін қабылдайтын 100 жаңа туған нәрестелер ішіндегі ұл балалар саны, ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны т.с.с дискретті кездейсоқ шама болады.
Дискретті кездейсоқ шаманы сипаттау үшін, ең алдымен оның қабылдайтын мүмкін мәндерін, сонымен қатар бұл шаманың әр түрлі мәндерінің қаншалықты жиі кездесетінін білу керек. Бұл жиілік оның жеке мәндерінің ықтималдығын сипаттайды. Сонымен Х кездейсоқ шама мына x1,x2,...,xn мәндерінің біреуін қабылдайды, мұнда, x1x2...xn яғни X=xii=1,2,...,n теңдігімен өрнектелетін оқиға тәуелсіз және жалғыз мүмкіндікті болады. Сондықтан, p1+p2+...+pn=1.
Анықтама. Кездейсоқ шаманың мәндері мен осы мәндерді қабылдау ықтималдықтарының арасындағы байланысты орнататын қатынасты кездейсоқ шаманың үлестірім (таралу) заңы деп аталады.
Оны мынадай таблица арқылы береді.
1.2- Кесте. Кнздейсоқ шаманың үлестірімі
X
x1
x2
...
xk
P
p1
p2
...
pk
Кездейсоқ шамасының сандық сипаттамасы.
Дискретті кездейсоқ шаманың арифметикалық ортасы, таралу центрі немесе шашырау центрі деп аталатын сандық сипатын математикалық күтуі деп атайды.
Мүмкін мәндері x1,x2,...,xn болатын X - кездейсоқ шамасының сәйкес ықтималдықтары p1,p2,...,pn болсын.
Анықтама. Кездейсоқ дискретті X шамасының математикалық күтуі деп, оның барлық қабылдайтын мүмкін мәндері мен оларға сәйкес ыктималдықтарының көбейтіндісінің қосындысын айтады. X шамасының математикалық күтуі MX арқылы белгіленеді.
MX=x1p1+x2p2+ ... +xnpn. (1.20)
Егер дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері шексіз болса, онда математикалық күту қатар болып табылады
MX=x1p1+x2p2+ ... +xnpn+ ...i=1infinityxipi (1.21)
1-қасиет. Тұрақты шаманың математикалық күтуі сол тұрақтының өзіне тең:
MC=0
2-қасиет. Тұрақты көбейткішті математикалық күту таңбасының алдына шығаруға болады:
MCX=CM(X)
3-қасиет. n кездейсоқ шаманың қосындысының математикалық күтуі осы шамалардың математикалық күтулерінің қосындысына тең:
MX1+X2+ ... +Xn=MX1+MX2+ ...+M(Xn)
4-қасиет. n кездейсоқ тәуелсіз шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі осы шамалардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең
MX1∙X2∙ ... ∙Xn=MX1∙MX2∙...∙M(Xn)
1-мысал. Дискретті кездейсоқ шама X- бір ұтыс кұнының математикалық күтуін табу керек.
Шешуі: формуланы қолданамыз.
1.3-Кесте
X
5000
1000
500
200
100
0
P
0,002
0,01
0,025
0,1
0,15
0,713
MX=5000∙0,002+1000∙0,01+500∙0,025+2 00∙0,1+100∙0,15+0∙0,713=97,5 теңге.
Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтуінің айырымының квадратының математикалық күтуін X кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп атайды.
Дисперсия D(X) арқылы белгіленеді және былай есептейді:
DX=M(X-M(X))2
Математикалық күтудің қасиеттерін қолдана отырып дисперсияның қолайлы формуласын аламыз:
D(X)=M(X)2-M2(X) (1.22)
1-қасиет. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең:
DC=0.
2-қасиет. Тұрақты көбейткіш дисперсия таңбасының алдына квадратталып шығарылады:
DCX=C2D(X).
3-қасиет. Екі кездейсоқ шаманың қосындысының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең:
DX+Y=DX+DY.
4-қасиет. Егер екі шама тәуелсіз болса онда кездейсоқ шаманың айырмасының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең:
DX-Y=DX+DY.
Көбінесе өмірде X кездейсоқ шамасының мәндерінің таралуының басқа да сандық сипаттамасын жиі қолданады. Ол орта квадраттық ауытқу. Анықтама. Кездейсоқ шаманың дисперсиясының квадрат түбірі оның орта квадраттық ауытқуы деп аталады.
Орта квадраттық ауытқудың шамасы аз болған сайын, кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің шашырауы да аз болады. Оны δ(X) арқылы белгілейміз және төмендегі формула арқылы есептеледі: δX=D(X). (1.23)
2.3 Ықтималдықтарды анықтауға қатысты комбинаториканың формулаларын қолдану
Комбинаторика - берілген жиындағы элементтерден қандай да бір шартқа бағынатын әртүрлі қанша комбинация құрастыруға болады деген сұрақты қарастыратын математика саласын комбинаторика деп атайды.
Комбинаторика ұғымы XVI - ғасырда пайда болған. Ол кезде карта, сүйек ойыны, лотереялар сияқты құмарлық ойындар үлкен орын алған. Сондықтан алғашқыда комбинаторикалық есептер негізінен құмарлық ойындарға қатысты болған. Комбинаториканың дамуы Я.Бернулли, Лейбниц, Эйлер есімдерімен тығыз байланысты. Соңғы жылдары комбинаторика жедел даму үстінде. Комбинаторикалық әдістер транспорттық есептер шешуде, кестелер, өндірістік жоспарлар құрастыруда және өнімді өткізу мәселесінде қолданылады. Комбинаториканың негізгі ұғымдары көптеген ықтималдық есептерінің, сызықтық программалаудың, статистиканың негізі болып табылады. Сонымен қатар, комбинаторика автоматтар теориясында, экономикалық есептерде, биология және генетикада қолданылады.
Қандай да бір заттардан тұратын бір немесе бірнеше жиын берілсін. Осы заттардан, берілген шарттарды қанағаттандыратын комбинациялар құру талар етілсін. Мүмкін болатын барлық комбинациялар санын табу есептері, комбинаториканың есептері деп аталады. Ықтималдықтарды анықтауға қатысты көптеген есептерді шешкенде комбинаториканың формулаларын қолдану қажет болады. Сондықтан олардың төмендегі негізгі үш түріне тоқталамыз.
Алмастырулар. Бір-бірінен айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана болатын комбинацияларды алмастырулар деп атайды.
Берілген n элементті қанша әдіспен осы n элементтердің қандай да бір тізбегі түрінде орналастыруға болады? Бұл сұраққа жауап беру үшін дербес жағдайлардан басталық. Әрбір элементті қазақ алфавитінің әріптерімен белгілейік. ә, у элементтері берілсе оларды әртүрлі ретпен орналастырып, әу және уә тізбектерін аламыз. Бұларды ә және у элементтерінен жасалған алмастырулар деп атайды. Демек, екі элементтен жасалған алмастырулар саны екіге тең. с,т,ү элементтері берілсін. Орналасу реттерін өзгертіп сүт, түс, үтс, стү, тсү, үст алмастыруларын аламыз, олардың саны 6-ға тең. е, к, ш, і элементтері берілсін. Төрт элементтен құралған алмастырулар санын табу үшін төмендегіше пайымдау жүргіземіз. Осы төрт элементтің кез келген біреуі алмастырудың бірінші орнында келуі мүмкін, ал қалған үшеуінен алты түрлі алмастыру құрылатынын көрдік. Сонымен, алмастырудың жалпы саны 6·4=24-ке тең болады, (ешкі,шекі,кеші,ішек,...). Бұл мысалдардан мынадай зандылықты байқауға болады: екі элементтен ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
ӘӨЖ 519.3:519.85 Қолжазба түрінде
Амантай Ақерке Айымбекқызы
Орта мектеп курсында ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканы өткізудің ерекшеліктері
6М010900 - Математика
Математика мамандығы бойынша жаратылыс ғылым магистірі академиялық дәрежесін алу үшін дайындалған диссертация
Ғылыми жетекші
___________ ф-м.ғ.к., Б.Н.Рахимжанов
"Физика және математика" кафедрасының меңгерушісі
________п.ғ.к. С.Қ. Дамекова
Көкшетау, 2020 ж.
Мазмұны
Кіріспе
1
Математикалық статистика
1.1
Математикалық статистика элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2
Ықтималдық теориясы
2.1
Ықтималдықтың классикалық, статистикалық, геометриялық анықтамалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2
Ықтималдық теориясының элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.3
Ықтималдықтарды анықтауға қатысты комбинаториканың формулаларын қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.4
Мектеп курсындағы ықтималдық ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3
Ықтималдық теориясы мен математикалық статистика
3.1
Стохастика элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3.2
Орта мектеп курсында ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканы өткізудің ерекшелігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4
Ықтималдық теориясы мен математикалық статистикның әр саладағы алатын орны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Кіріспе
Қазіргі уақытта ықтималдық-статистикалық әдістері көптеген салаларда қолданылады.. Оның ішіде: физика, химия, педагогика, психология, лингвистика, археология, геология сияқты, сондай-ақ ықтималдық теориясын мединицина және биология, әскери ғылым мен космонавтика, лингвистика, психология мен оқыту теориясы тағы басқа ғылымдарда қолданыла бастады. Бұл пән - кездейсоқ құбылыстар заңдылығымен айналысатын математика саласы.
Статистика термині латынның статус status деген сөзінен шыққан,қазақшаға аударғанда күй, хал-жай деген мағына береді. Негізінен алғанда халық санағына байланысты, статистикалық мәліметтер жинау өте ерте заманда кездескенмен де, мәліметтерді жинақтау және жариялау мәселелері сауда капиталының даму дәуірінде, XVI-XVII ғасырларда кездеседі. XVII ғасырдың екінші жартысында қоғамдық өмірдің құбылыстарын сан,өлшем және салмақ арқылы, басқаша айтқанда сандық қатынастар арқылы,сипаттау пайда болады. XIX ғасырда қоғамдық құбылыстарды зерттеуге қолданылып келген статистикалық әдістер жаратылыстану ғылымдарына да енеді.
Математика - нақты ғылым,бір қарағанда кездейсоқтыққа ешқандай қатысы жоқ. Бірақ, осы кездейсоқтықтың сандық сипаттамасын, ықтималдық ұғымын берген басқа емес,осы математика. Ықтималдықтар теориясы өмірдегі кездейсоқтықтарды зерттеп, олардың заңдылықтарын ашады.
Ықтималдылық теориясының тамыры ғасырлар тереңінде жатыр. Көне Қытай,Индия, Египет, Грекия сияқты елдерде халық санағын жүргізу барысында, тіпті жауларының санын анықтау кезінде де ықтималдылық тұжырымдардың элементтері қолданылғандығы белгілі.Бірақ та бұл теорияның ғылым болып қалыптасуын XVII ғасырға жатқызады. біз тарихи романдардан білеміз, бұл корольдер мен мушкетерлердің, керемет ханымдар мен текті кавалерлердің кезеңі. Бір қызығы сол, осындай бір тарихи тұлғаның біреуінің есімімен осы ықтималдылық теориясының басталуы байланысты екен.
Гюйгенс, Паскаль, Фермадан бастап, кездейсоқ оқиға және оның ықтималдығы туралы математикалық ғылым- ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдарында қалыптаса бастады.
Ең алдымен азарт ойындары пайда болды. Араб тілінде азар деген сөз қиын деген мағына береді. Арабтар азар деп лақтырылған ойын сүйегінің екеуінде де 6 ұпайдан түсуін айтады екен. Куб түріндегі ойын құралы ол кезде піл сүйегінен жасалатын болғандықтан ойын сүйегі деген атау сол заманнан қалыптасып қалған. Ықтималдықтар теориясы жөніндегі алғашқы жұмыстар XVII ғасырда басталды. Еуропа елдерінде адамды құнықтыратын әр түрлі ойындардың кең таралуына байланысты әр ойыншы өзінің жеңілмеу ықтималдықдығын алдын ала анықтауға тырысқан. Сол кездегі математиктер де бұл мәселеге назар аудардып, бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалар туралы заңдылықтар ашуға талпынды. Бұл мәселеге алғашқы болып еңбектерін ұсынған:француз оқымыстысы Блез Паскаль,Пьер Ферма,голландиялық Христиан Гюйгенс,швецариялық математик Яков Бернулли болды. Француздың атақты математиктері Пьер Ферма мен Блез Паскальдың азартты ойындарды зерттеу арқылы ықтималдықтар теориясының негізін қалады. Кейіннен сақтандыру жұмыстарында және демография саласында ықтималдықтар теориясы өз қолданысын тапты.
XVIII ғасыр аяғы мен XIX ғасыр басында ағылшын оқымыстысы А.Муавр, орыс оқымыстылары Л.Эйлер, Н.Бернулли,Д.Бернулли, француз П.Лаплас, С.Пуассон, неміс К.Гаусс геодезия мен астраномияның өркендеуіне қатысты өлшеу қателіктерін бағалау, ату теориясындағы снарядтардың жағдайларын анықтау үшін ықтималдықтар теориясының рөлін көрсету мақсатында ғылыми жұмыстар жүргізді. XIX ғасыр ортасында Ф.Гальтон, Л.Больцман, А.Кетле, А.М.Ляпунов, П.Л.Чебышев, А.К.Калмогоров сияқты оқымыстылар жиындар теориясы,шақты айнымалылы функциялар теориясы, функционалдық анализ сияқты жоғары математикалық жаңа табыстарына сүйенетін ықтималдықтар теориясының өркендеуіне негіз салды. Жаратылыстану ғылымдары мен техниканың дамуы ықтималдықтар теориясына жаңа мәселелер қойды.
Ықтималдықтар теориясының дамуына Бернулли, Муавр, ГауссЛаплас, Пуассон еңбектері көп әсерін тигізді. XIX ғасырдың екінші жартысыннан бастап бұл саланың дамуына зор әсер еткен В.Я. Буняковский бастаған математиктер мектебі: П.Л.Чебышев, А.А.Марков, С.Н. Бернштейн,А.Н. Колмогоров секілді орыс ғалымдары үлкен үлес қосты.
ХХ ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері әр түрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу мен ғылыми шығармашылықтың алғашқы шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға ие болды. Оқиға туралы ғылым көптеген мамандық иелерінің: инженерлер, экономистер, дәрігерлер және әр түрлі шаруашылық саласындағы мамандардың ортасына енді. Барлық әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық, тіпті ықтималдық теориясы жиі қолданылатын болды.
Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып ықтималдықтың жиілік теориясының негізін салған белгілі неміс математигі- Р.Мизес (1883-1953). Ол ықтималдық теориясын математика пәні емес, математикалық әдістерде кең қолданылатын ғылым қатарына қосты.
Р.Мизес Әр ықтималдыққа берілген есеп кейбір шынайы процестермен байланысқан,- деп айтқан. Қазіргі ықтималдық теориясының дамуы, әсіресе А.Н.Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теориясы жоғары математикалық тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы, функционалдық талдау және тағы да басқа нақты математикалық ықтималдықпен тығыз байланысқан.
Ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты оның адамзат өмірінде қолдану мүмкіндігі артты. Жалпы алғанда ықтималдықтар теориясының әдісі ғылымның барлық саласына өз үлесін қосады. Ал математика ғылымында алатын орны ерекше.
Зерттеу тақырыбының өзектілігі. XXI ғасырда адамзат білім мен өнерде, техникалық прогресте үлкен жетістіктерге жетті. Бұның барлығында білімнің үлесі зор.
Еліміздің жаңаша дамуының шешуші факторы ретінде білім беру саласына қойылып отырған басты талап - әлемдік стандарттар деңгейіндегі сапалы білім беру қызметін көрсетуге қол жеткізу.
Білім алу саласында әрбір жеке тұлға өзінің белсенді, танымдық және шығармашылық іс-әрекеттерін дамытуы қажет. Оның айқын бір жолы - ғылыми шығармашылық ізденіс болып табылады.
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез-келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.
Республикамыздың білім беру жүйесінің даму бағытындағы негізгі мәселелердің бірі, уақыт талабына сай білім сапасын жақсарту, әлемдік стандарт деңгейіндегі білім беру болып табылады. Қазақстанның әлемдегі бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына енуінің негізгі міндеті, жоғары мамандандырылған, білікті де білімді адамзат ғылыми технологияны оңай меңгеріп, нарықтық экономикада өзін-өзі басқара алатын және алған білімін өмірде пайдалана білетін болса, тек сол уақытта ғана жүзеге асыру мүмкін екендігі түсінікті.
Шынында да, әлемнің дамыған елдеріндегі білім беру жүйесі - білім дағдыларын механикалық түрде беру емес, ақпараттық зияткерлік ресурстарды өз беттерінше тауып, талдап және қолдана білетін, жедел өзгеріп отыратын техникалық прогресс, инновациялық өрлеу жағдайында өзін-өзі ашып көрсете алатын, нарықтық талап-талпыныстарға еркін бейімделе алатын жеке тұлғаны қалыптастыруға басымдық беретіндігі белгілі.
Бүгінгі таңдағы тәуелсіз мемлекетіміздің білім саласындағы басты мақсаты жан-жақты дамыған, шығармашылықпен жұмыс жасай білетін, өздігінен білім алу жолдарын таңдай алатын білімді де білікті жеке тұлға болу міндеті тұр. Кез-келген қоғамға дарынды адамдар керек, және қоғамның міндеті сондай адамдардың қабілетін дамыту. Өкінішке орай, кез-келген адам өз дарынын аша алмайды. Бәрі отбасына және мектепке байланысты. Отбасының міндеті баланың дарынын ертерек байқау болса, мектептің міндеті баланы қолдап, сол дарынын әрі қарай ашу, дамыту болып келеді. Әсіресе мектепте оқушының өзіндік шығармашылығының негізі қаланады. Кез-келген мұғалім мектеп оқулығын қызықсыз көріп, одан да терең ғылыми кітаптарды, энциклопедияларды оқитын, өздігінен ізденетін, әр түрлі салада өз сұрақтарына жауап іздейтін дарынды балаға жолығады. Сондықтан да оқушыға жол көрсету, оның өмірлік жоспарлары мен армандарына көмектесу мектепте жүзеге асу керек. Мұндай оқушыларды әр түрлі шығармашылық жұмыстармен, ғылыми жобалармен айналыстырып, олимпиадаларға, сайыстарға қатыстыру керек. Бұл оқушының жетістіктеріне басқалардың көз жұма қарамайтындығын, оған көңіл бөлетінін көрсетеді, осылайша оқушының қабілетін көрсетуге мүмкіндік туады. Оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Мектептегі математика пәні мазмұнын жан-жақты зерттеп, орынды қолдану оқушылардың жалпы мәдени даму деңгейінің, білімінің жоғары болуына тікелей әсер ететіні сөзсіз.
Математика сабағында есеп шығару оқыту үрдісінің ең маңызды түрі болып табылады. Өйткені, есеп шығару арқылы оқушы математикалық теорияны меңгереді және логикалық ойлаумен шығармашылық қабілеті дамиды.
Мақсаты: оқулықтарда берілген ықтималдық теориясы мен математикалық статистика курсының материалын қарастырып, оқушылардың ойлау қабілетін жетілдіру, математикаға қызығушылығын арттыру.
Міндеттері:
1) оқушыларға ықтималдық теориясы мен математикалық статистика курсының негізгі ұғымдарын игеруге көмектесу;
2) оқушылардың ықтималдық, статистикалық ойлауын қалыптастыру;
3) ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканы мектеп курсында өткізудің маңыздылығын түсіну.
Зерттеу нысаны : орта мектептегі математика курсын оқыту үрдісі
Зерттеу әдістері: Қойылған мақсаттарды шешу барысында математикалық статистика, ықтималдықтар теориясы қолданылды.
Мәліметтерді өңдеу: Мәліметтерді тіркеу құрылғысы Wizard III, тіркелген мәліметтерді Statgraphics plus 5.0 және MS Excel қолданбалы программалары арқылы дербес компьютерде өңделді.
Диссертациялық жұмыс 3 тараудан, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 тарауда ықтималдықтар теориясының тарихына, негізгі теоремаларына және мектептегі ықтималдық теориясының мазмұнына және әлемдік ықтималдық теориясын орта мектепте оқу тәжірибелері туралы айтылды. Қазіргі кездегі мектептегі ықтималдық-стиатистикалық теорияның мазмұны қандай деген сұрақтар қарастырылады.
2 тарауда ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканың орта мектеп курсында өткізудің ерекшеліктері баяндалады.
3-тарауда ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканың әр саладағы алатын орны мен рөлі қарастырылады
1 Математикалық статистика
1.1. Математикалық статистика элементтері
Ықтималдық теориясы - кездейсоқ оқиғалардың орындалуының заңдылығын зерттейтін математикалық ілім. Ықтималдықтар теориясының негізінде математикалық статистика ғылымы пайда болды. Математикалық статистика-берілген мәліметтерді талдауға арналған математиканың бөлімі. Математикалық статистиканың негізгі міндеті-таңдалған мәліметтер бойынша бас жиынтықтың сипаттамасын бағалау.
Байқалған құбылыстар, өлшеу жұмыстары немесе арнайы жүргізілген тәжірибелердің нәтижелері ретінде табылған сандар жиындарының белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын элементтерінің сандары статистикалық деректер деп аталады.
Математикалық статистиканың статистикалық деректер жиынындағы әрбір элементтің жеке қасиеттерін сипаттамайды, олар бір топқа жататын бірнеше элементті бірге қамтиды. Әдетте статистикалық деректер жолдар мен бағаналарға бөлініп, реттеліп жазылады, олардың негізінде жүргізілетін ғылыми-зерттеу әдісі статистикалық әдіс деп аталады. Ол ғылым салаларының барлығында қолданылады, бірақ табиғаты әр түрлі нысандардың статистикалық мәліметтерін бірге қарастыруға болмайды. Математикалық статистиканың әдістері аса маңызды параметрлері белгісіз немесе оларды жеткілікті дәлдікпен бақылауға болмайтын көптеген есептердің шешімін тиімді жолдармен табуға мүмкіндік береді. Математикалық статистикада математикалық заңдардың бәрі де қолданылады.
Математикалық статистика сынақтың нәтижелері бойынша белгілі қорытынды жасайтын әдістерді қарастырады. Математикалық статистикаға тән типтік есептерге ықтималдықтарды бағалау, үлестіру функциясының белгісіз параметрлерін бағалау т.с.с. жатады.
Математикалық статистика әдістерінің мақсаты статистикалық мәліметтерді жинастыру, оларды өңдеу, белгісіз бас жиынтық үлестіруінің параметрлерін және белгісіз үлестіру функцияларын бағалау, сондай-ақ параметрлер мен үлестірулер жайындағы статистикалық гипотезалардың дұрыстығын тексеру болмақ. Статистикалық әдістер белгінің сандық түрінде ғана қолданылады. Ал белгі мәні болса санмен өлшенуі де мүмкін, сапалық болуы да мүмкін..
Математикалық статистикада Х кездейсоқ шамасының барлық мүмкін мәндерінің жиынтығын бас жиынтық деп атайды.
Бас жиынтық деп белгілі қасиеттерімен берілген барлық қарастырып отырған объектілер жиынын айтамыз. Жеке объект осы жиынның элементі болады. Таңдама дегеніміз - бас жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер жиынтығы. Мысалы, университеттігі студенттердің үлгірімін зерттеу үшін комиссия бір факультетті таңдап алады да, оның бір немесе бірнеше топтарына бақылау жүргізеді. Осы таңдап алынған студенттердің үлгірімі бойынша бүкіл университеттің, дербес жағдайда факультеттегі оқыту сапасына жуықтап баға беріледі. Университеттігі барлық студенттер бас жиынтық, ал таңдап алынған студенттер таңдама болады.
Таңдамада кездесетін кездейсоқ шаманың x1,x2,...,xn әртүрлі мәнін варианта деп атайды. Жиынтықта қандай да бір вариантаның қанша рет кездесетінін көрсететін m санын жиілік деп атайды. Жиіліктер n1,n2,...,nm арқылы белгіленеді. Ал өмірде абсолютті жиіліктердің орнына салыстырмалы жиіліктер қолданылады. Егер n1+n2+ ...+nm=n болса, онда салыстырмалы жиілік
ω1=n1n, ω2=n2n, ωn=nmn
формуламен анықталатын ω1,ω2,...,ωn сандары салыстырмалы жиіліктер деп аталады. Осы салыстырмалы жиіліктердің қосындысы 1-ге тең.
Салыстырмалы жиіліктерді пайыз арқылы да өрнектеуге болады. Онда барлық салыстырмалы жиіліктерінің қосындысы 100%-ға тең болады. Өсу ретімен орналасып, сәйкес жиіліктері көрсетілген варианталар вариациялық қатар деп аталады. Вариациялық қатар дискретті немесе интервалдық болады. Вариациялық қатардың жиіліктерін олардың массасы деп атаймыз.
Арифметикалық орта. Өлшеулерді n рет жүргізгеннен кейін пайда болған x1,x2,...,xn мәндерінің ортасы деп арифметикалық ортаны айтады. Оны x деп белгілейді және былай есептейді:
x=1nx1+x2+ ...xn=1ni=1nxi. (1.24)
Медиана. Статистикалық мәліметтер вариациялық қатар түрінде жазылғанда медиана қатардың ортасында тұрған мәнді көрсетеді. "Істейтін істің қақ ортасын білу" жұмысты ұйымдастыру шаруасын жүргізуге бірқатар ақпар береді.
Егер мәліметтер саны тақ болса медиана мәндердің қақ ортасы болады. Ал, егер мәліметтер саны жұп болса, онда медиана үшін ортада тұрған мәндерді қосып, оны екіге бөледі. Медиананы Me деп белгілейміз.
Мысалы, өлшеу нәтижелері 3,6,10,12 болса медиана - (6+10):2=8. Ал мәліметтер 1,4,6,8,10 болса медиана 6 болар еді.
Мода. Статистистикалық қатардағы ең көп кезедсетін мән. Мысал, мына сандар қатары берілген 2,4,5,9,3,4,6,7,8,4. Бұл қатардың модасы яғни ең көп кездесетін мән- 4. Бұл қатардың модасы 4-ке тең.
2 Ықтималдық теориясы
2.1 Ықтималдықтың классикалық, статистикалық, геометриялық анықтамалары
Ықтималдықтар теориясы тек кездейсоқ оқиғалар және олардың пайда болу мүмкіндіктерін қарастыратын математиканың бір бөлімі болып табылады. Сонымен қатар, ықтималдықтар теориясы қандай да бір оқиғаның шығуын алдын-ала анықтай алмайды, бірақ оның көмегімен көп рет қайталанған оқиғаның заңдылығын анықтауға болады. Оқиғалар 3 түрге бөлінеді: ақиқат, мүмкін емес және кездейсоқ.
Тәжірибе барысында міндетті түрде орындалатын оқиғаларды ақиқат оқиғалар деп атайды.
Тәжірибе кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін емес оқиға деп аталады.
Тәжірибе барысында орындалуы да, орындалмауы да мүмкін оқиға кездейсоқ деп аталады.
Оқиғалар латын алфавитінің бас әріптерімен A,B,C, ... арқылы белгіленеді.
Тәжірибе барысында екі оқиғаның бірі пайда болып, екіншісі пайда болмайтын оқиғалар үйлесімсіз деп аталады.
Тәжірибе кезінде мүмкін оқиғалардың әйтеуір біреуінің пайда болуы ақиқат болса, онда оқиғалар жалғыз мүмкіндікті оқиғалар деп аталады. Егер A,B,C,... оқиғалары жалғыз мүмкіндікті болса, онда олар толық топты құрайды.
Егер жалғыз мүмкіндікті екі оқиға толық топты құраса, онда олар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады. A оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны A деп белгіленеді.
Тәжірибе мен оқиға ұғымдарының айырмашылығын қарастырайық. Өмірде, тұрмыста, ғылымда жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, экспери-менттерді тәжірибе деп атаймыз. Тәжірибенің нәтижесі оқиға болады.
1-мысал. Теңге бір рет лақтырылады. Бұл тәжірибе. Тәжірибенің нәтижесі оқиға болып есептеледі.
А оқиғасы - елтаңба жағының шығуы.
В оқиғасы-цифр жағының шығуы. Мұнда A және B үйлесімсіз (тоғыспайтын), қарама-қарсы оқиғалар және толық топ құрайды.
2-мысал. Жәшікте тек ақ шарлар бар. жәшіктен ақ шар алу - бұл ақиқат оқиға, ал жәшіктен қара шар алу - бұл мүмкін емес оқиға.
3-мысал. Жәшікте ақ, қара және қызыл шар бар. Бір шар алынады. Бұл тәжірибе болса, ал тәжірибенің нәтижесі мынадай оқиғалар болуы мүмкін.
А - ақ шар алынды.
В - қара шар алынды.
С - қызыл шар алынды.
Бұл оқиғалар үйлесімсіз оқиғалар және толық топ құрайды. Бірақ бұл оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар бола алмайды. Қарама-қарсы оқиғаларда тек екі оқиға толық топ құрастырады. Ал біз қарастырып отырған жағдайда үш оқиға бар.
Мына мысалды қарастырайық. Жәшікте 6 стандартты және 4 стандартты емес зат бар. Жәшіктен бір зат алынған. Стандартты затты алу мүмкіндігі стандартты емес затты алуға қарағанда көп екені айқын. Бұл мүмкіндікті сипаттайтын сан ықтималдық деп аталады.
Анықтама. A оқиғасының ықтималдығы дегеніміз - осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы.
А оқиғасының ықтималдықтығы былай белгіленеді P(A). Сонымен,
P(A)=mn . (1.1)
Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама немесе Лаплас моделі дейміз.Енді P(A) ықтималдығының қасиеттерін қарастырайық.
1. P(A) ықтималдығы теріс емес функция, яғни P(A)=0.
2. P(A) әрқашан 0=P(A)=1.
3. Қиылыспайтын (үйлесімсіз) A және B оқиғалары үшін, P(A+B) аддитивті функция, яғни PAB=PA+P(B).
Бұл үшінші қасиетті ықтималдықтарды қосу теоремасы немесе ықтималдықтарды қосу заң деп атайды.
Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы. Қандай да бір оқиғаның ықтималдығын анықтау үшін оның орындалу жиілігін санау керек.
Жүргізілген n экспериментте берілген оқиға қанша рет орындалғанын абсолюттік жиілік көрсетеді.
Эксперименттің қандай үлесінде оқиғаның орындалғанын салыстырмалы жиілік не жиілік көрсетеді, ол абсолюттік жиіліктің эксперимент санына қатынасы.
ω=nm (1.2)
Оқиғаның орындалу жиілігі мен ықтималдығын ажырата білу керек. Ықтималдық туралы сөз болғанда n - барлық оқиғалар саны, m - қарастырып отырған оқиғаның орындалу саны. Ал жиілік жайлы айтылғанда, n - барлық жүргізілген тәжірибе саны, ал m - оқиғаның пайда болу саны.
Басқаша айтқанда оқиғаның жиілігі статистикалық ықтималдық деп аталады. Осы екі әр түрлі ұғымдардың тәуелділігі үлкен сандар заңы деп аталады. Мұнда кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы ретінде көптеп жүргізілген тәжірибенің салыстырмалы жиілігін алуға болады. Тәжірибе неғұрлым көп жүргізілсе жиілігі бойынша оқиғаның ықтималдығын соғұрлым нақты анықтауға болады.
4-мысал. Ойын сүйегі 50 рет лақтырылды. Эксперименттің нәтижелерін кестеге енгізейік. Абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерді есептейік.
Құрылған кестені пайдаланып абсолюттік және салыстырмалы жиіліктердің қасиеттерін анықтау керек.
1.1-Кесте. Ойын сүйегін лақтырғандағы нәтижелер
Шығу
Абсолюттік жиілік
Салыстырмалы жиілік
1 ұпай түсті
9
0,18
2 ұпай түсті
6
0,12
3 ұпай түсті
8
0,16
4 ұпай түсті
11
0,22
5 ұпай түсті
9
0,18
6 ұпай түсті
7
0,14
Эксперименттің барлық саны
50
1
1-қасиет. Абсолюттік жиіліктің қосындысы эксперимент санына тең.
2-қасиет. Салыстырмалы жиіліктің қосындысы 1-ге тең.
Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы. Ықтималдықтар теориясының дамуының басында-ақ шектелген тең мүмкіндікті оқиғалар тобын құрастыруға негізделген ықтималдық теориясының класскалық анықтамасының жеткіліксіз болатыны ескерілген. Сол уақыттың өзінде-ақ жеке мысалдар қарастыру бұл анықтамаға біршама өзгерістер енгізіп оны ойша шектеусіз көп нәтижелер жағдайына лайықтап құру қажет болды. Мұнда да қайсыбір оқиғалардың тең мүмкінділігі түсінігі негізгі рөл атқарды.
Айталық жазықтықта қайсыбір G аймақ және тиісті шекарасы белгіленген g аймақ болсын. G аймаққа тәуекел деп лақтырылған нүктенің g аймаққа түсуінің ықтималдығы неге тең болады?
Лақтырылған нүкте G аймақтың кез келген нүктесіне түсуі мүмкін,ал осы аймақтың қандай да бір бөлігіне түсу ықтималдығы осы бөліктің өлшеміне пропорционал болады да оның орналасуына және түріне тәуелді болмайды.
Тәуекел деп лақтырылған нүктенің G аймақтың g бөлігіне түсу ықтималдығы деп Pg=m(g)m(G) қатынасын айтады.
1-сурет
Анықтама. g облысына лақтырылған кездейсоқ нүктенің осы облысқа түсу ықтималдығы g өлшемнің G облыс өлшеміне қатынасына тең, яғни
Pg=g.өлшG.өлш . (1.3)
Мұнда да ықтималдықтың классикалық анықтамасы сияқты үш қасиет орын алады.
1. Pg теріс таңбалы емес, яғни Pg=0.
2. Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең, яғни PG=1.
3. Қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең.
Геометриялық ықтималдықты анықтауға мысал қарастырайық.
5-мысал. Ұзындығы 20 см кесіндінің ішіне ұзындығы 10 см кіші кесінді орналастырылған. Үлкен кесіндіге кездейсоқ қойылған нүкте кіші кесіндіге түсетінің ықтималдығын тап. Нүктенің кесіндіге түсетінінің ықтималдығы кесіндінің ұзындығына пропорционал және оның орналасуына тәуелді емес.
Шешуі: Бұл есепті шығару үшін ықтималдықтың геометриялық анықтамасының формуласын қолданамыз. Мұнда үлкен кесіндінің ұзындығы L=20 см, ал осы ұзын кесіндінің ішінде жатқан кіші кесіндінің ұзындығы l=10 см. Формулаға сәйкес,
P=lL=1020=12 .
Жауабы: 12
2.2 Ықтималдық теориясының элементтері
1. Тәуелді және тәуелсіз оқиғалар
Ықтималдықтар теориясында оқиғаларды элементар оқиғаларға бөліп қана қоймай, оқиғалардың өқара тәуелділігі мен тәуелсіздігінің де жігін ажыратып қарастырады.
A оқиғасы B оқиғасынан тәуелсіз деген нені білдіреді? Егер A оқиғасының ықтималдығы пайда болғанына немесе пайда болмағанына қарай өзгермейтін болса, онда A оқиғасы B оқиғасынан тәуелсіз деп аталады. Басқаша айтқанда P(A) ықтималдығы A оқиғасының B оқиғасы орындалды деп есептегендегі ықтималдығы PAB-ға тең. Сондықтан,
PA=PAB=P(AB)P(B) (1.7)
яғни,
PA=P(AB)P(B),
осыдан,
PAB=PAPB.
Сонымен "A оқиғасы B-ден тәуелсіз" дегеніміз PA, PA, P(AB) ықтималдықтары үшін PAB=PAPB теңдігі орындалады дегенді білдіреді. Сонымен A оқиғасы A-ден тәуелсіз болса, онда симметриялы түрде A оқиғасыда B оқиғасынан тәуелсіз болады.
1-мысал. Екі тиын тасталды. Бірінішсінде "елтаңба" немесе "сан" жағының шығуы, екінші жағында " елтаңба" немесе "сан " жағының шығуына ешқандай әсер етпейді. Демек бірінші тиынның "елтаңба" жағының шығуы - A оқиғасы, екініш тиынның "елтаңба " жағының шығуы B-оқиғасынан тәуелсіз және керісінше, B оқиғасы A-оқиғасынан тәуелсіз, яғни A,B өзара тәуелсіз оқиғалар.
2-мысал. 36 карталық жиыннан бір карта таңдамай алынған. A - алынған картаның тұз болу оқиғасы, ал B-алынған картаның қызыл түсті болу оқиғасы. A және B оқиғалары өзара тәуелсіз.
PA=436=19; PB=1836=12 .
Егер A оқиғасының ықтималдығы B оқиғасының пайда болғанына немесе пайда болмағанына қарай өзгеретін болса, онда A оқиғасы B оқиғасына тәуелді деп аталды.
3-мысал. Кәсіпорынның жасайтын бұйымдарынан кез келген бір бұйым таңдамай алынған.А-алынған бұйым ақаусыз, В-алынған бұйым бірінші сортты. Онда B оқиғасы жүзеге асса, A оқиғасы міндетті түрде жүзеге асады. Сондай-ақ A оқиғасы жүзеге асса, B оқиғасы пайда болмайды. Демек A, B және A, B оқиғалары арасында тәуелділік байқалады.
4-мысал. Ойын сүйегі тасталды. A-жұп ұпайлардың шығу оқиғасы. B-үштен үлкен ұпайлардың шығу оқиғасы. Мұнда A және B оқиғаларының арaсында тәуелділік бар. A оқиғасы пайда болды деп, A-ның ықтималдылығын есептесек PA=23, егер ешбір қосымша мәліметсіз A оқиғасының ықтималдылығын есептесек: PA=36=0,5.
2. Шартты ықтималдық
Кез келген оқиға белгілі бір шарттар жиынтығы орындалғанда ғана пайда болуы немесе пайда болмауы мүмкін. Бірақ, кейбір жағдайларда, аталған шарттар жиынтығына қосымша, А оқиғасының пайда болу ықтималдығы басқа бір В оқиғасының пайда болғанына немесе болмағанына байланысты болатыны белгілі. Мұндай жағдайда А оқиғасы В оқиғасына тәуелді.
Көртеген жағдайларда кейбір оқиғалардың ықтималдықтарынан басқа басқа бір кезедейсоқ оқиғаның пайда болған.
Анықтама. A оқиғасының B оқиғасы пайда болды деген шарттағы ықтималдығы шартты ықтималдық деп аталады және ол былай белгіденеді: P(AB) немесе PB(A).
Айталық тәжірибе n рет жүргізілген болып олардан n1-інде B оқиғасы пайда болсын. Ал сол n1-дің m1-інде A оқиғасы пайда болсын. P(AB) ықтималдықты есептеу үшін n1 тәжірибе жүргізілген деп қабылдаймыз, себебі алғашқы шарттар жиынтығында B оқиғасы пайда болды деген шартқа қосылды, сондықтан n-нің ішіндегі B пайда болмаған жағдайды алып тастаймыз. Онда:
PAB=m1n1 . (1.8)
Шартты ықтималдық ұғымы тек тәуелді оқиғаларға ғана тән, егер екі оқиға тәуелсіз болса, онда олардың ықтималдықтары да бірін-бірі өзгертпейді, яғни
PBA=P(A) , PAB=P(B)
1-мысал. Бірінен кейін бірі екі тиын тасталды. A кемінде бір елтаңбаның шығу оқиғасы, B кемінде бір сан жағының шығу оқиғасы. Элементар оқиғалардың жалпы саны 4: EC,EE,CE,CC. A оқиғасының шартсыз ықтималдығы PA=34 ; ал A оқиғасының B оқиғасы пайда болды деген шарттағы ықтималдығы PAB=23 .
3. Толық ықтималдық формуласы
Күрделі оқиғалар ықтималдығын есептегенде ықтималдықтарды қосу, көбейту теоремаларын қолдануға тура келеді. Толық ықтималдық формуласы ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының салдары болып табылады. Осы формула әртүрлі жағдайда әртүрлі ықтималдықпен өтетін оқиғаның ықтималдығын анықтауға мүмкінлік береді, ал қарастырылған оқиғалардың пайда болуының шартты ықтималдықтары әрбір орындалатын жағдайларда белгілі болуы тиіс.
H1,H2,H3,...,Hn- оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз және олардың бірігуі элементар оқиғалар кеңістігі Ω-ны құрайтын болсын. Hj-оқиғаларын гипотезалар (болжамдар) деп те атайды. Онда кез келген A оқиғасы Hj оқиғаларының біреуімен ғана бірігіп орындалады. Осы берілгендер бойынша
A=AH1+AH2+ ...+AHn. (1.9)
AHj оқиғалары да қос-қостан үйлесімсіз болғандықтан, олардың ықтималдықтарының қосындысы A-ның ықтималдығын береді:
PA=PAH1+PAH2+ ...+PAHn. (1.10)
Ал әрбір Hj үшін
PAHJ=PAHJPHJ. (1.11)
Сондықтан жоғарыдағы теңдікті былай жазамыз:
PA=PAH1PH1+PAH2PH2+ ...+PAHnPHn. (1.12)
Алынған теңдікті толық ықтималдық формуласы деп атайды.
1-мысал. Біркелкі үш типті 10 жәшік бар. Бірінші типтегі 4 жәшіктің әрқайсысында 25 жоғары сапалы, 15 сапалы бөлшек бар, екінші типтегі 3 жәшіктің әрқайсысында 22 жоғары сапалы және 8 сапалы бөлшек бар, үшінші типтегі 3 жәшіктің әрқайсысында 20 жоғары сапалы және 20 сапалы бөлшек бар. Бөлшек сапасын анықтау үшін кез келген жәшікті алып, одан кез келген бір бөлшек алады. Алынған бөлшектің жоғары сапалы болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: Алынған жоғары сапалы бөлшек A оқиғасы болсын. Жоғары сапалы бөлшек алу үшін алдымен 10 жәшіктің кез келген біреуін аламыз, ал бірінші типтегі жәшік (H1 оқиғасы), екінші типтегі жәшік (H2 оқиғасы), үшінші типтегі жәшік (H3 оқиғасы) болуы мүмкін. Мұндағы H1,H2,H3-гипотезалар болып табылады. Олардың сәйкесінше ықтималдықтары:
PH1=410=0,4,
PH2=310=0,3,
PH3=310=0,3.
Жоғары сапалы бөлшек пайда болуы, яғни A оқиғасының пайда болу ықтималдығы :
PAH1=2540=0,625,
PAH2=2230≈0,7,
PAH3=2040=0,5.
Сонда толық ықтималдық формуласы (1.12) бойынша :
PA=0,4∙0,25+0,3∙0,7+0,3∙0.5=0,61.
2-мысал. Ішіне шарлар салынған үш түрлі бірдей жәшікті алайық. Олардың біріншісінің ішінде 2 ақ және 1 қара шар, ал екіншісінде 3 ақ және 1 қара шар, ал үшіншісінде 2 ақ және 2 қара шар бар. Кез келген жәшіктің біреуін аламыз,ішінен кез келген бір шар аламыз, сол алынған шардың ақ болуының ықтималдығын табыңыз.
Шешуі: Айталық H1 оқиғасы бірінші жәшіктің, H2 оқиғасы екінші жәшіктің, H3 оқиғасы үшінші жәшіктің алынуы болсын. A оқиғасы алынған шардың ақ болу ықтималдығы. Есептің шарты бойынша H1,H2,H3 болжамдары тең мүмкіндікті оқиғалар болады:
PH1=PH2=PH3=13 .
Ал A оқиғасының шартты ықтималдығы толық ықтималдықтың формуласы бойынша
PA=13∙23+13∙14+13∙12=2336 .
Жауабы:
4. Бернулли формуласы
Саны n рет қайталанатын қандайда бір сынау жүргізілсін. Мұның әрқайсысында A оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін. Соның өзінде мына шарт орындалсын: әр сынауда A оқиғасының пайда болу ықтималдығы p=P(A) тұрақты, яғни ол не сынау ретінде, не алдыңғы сынаулар нәтижесіне тәуелді емес. Бұл шарт сынаулар тізбегі тәуелсіз екендігін көрсетеді. Осы шартты қанағаттандыратын сынаулар тізбегін тәуелсіз сынауларды қайталау схемасы немесе Бернулли схемасы деп атайды. Мұндай қарапайым схеманы тұңғыш құрастырған-Швецария ғалымы Я.Бернулли (1654-1705) еді. Ал сынауларды тәуелсіз дегенде біз оқиғаның пайда болу (болмау) ықтималдығы бір сынаудан екінші сынауға өткенде өзгермейді және оқиға басқа сынауларда пайда болды ма,не пайда болмады ма оған байланысты емес деп түсінетін боламыз. Бұл келтірілген мысалдарда сынау нәтижесі тек екі қарама-қарсы оқиғаның бірі ғана пайда болып, ал әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы бірдей болады. Тәуелсіз сынаулардың мүмкіндік нәтижесі екіден артық және олардың ықтималдықтары әр түрлі болуы да мүмкін.
Теорема. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты p=P(A)- ға тең болса, онда n рет тәуелсіз сынау жүргізілгенде ол оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығы мына форомуламен анықталады
Pnm=Cnm∙pm∙qn-m (1.13)
Алынған формуланы Бернулли формуласы деп атайды. Осыдан n сынақта оқиғасының m1 және m2 аралығындаорындалу ықтималдығы
Pn(m1=m=m2=Pnm1+Pnm1+1+P2(m2) (1.14)
теңдігімен анықталады. Ал оқиғаның n сынақта кем дегенде бір рет орындалу ықтималдығы
Pnm=1=1-qn, q=1-p; (1.16)
формуласымен анықталады;
тәуелсіз n сынақтарда A оқиғасының m реттен кем пайда болуының ықтималдығы :
Pn0+Pn1+Pn2+ ...+Pnm-1; (1.17)
тәуелсіз n сынақтарда A оқиғасының m реттен артық пайда болуының ықтималдығы:
Pnm+1+Pnm+2+Pnm+3+ ...+Pnn; (1.18)
тәуелсіз n сынақтарда A оқиғасының кем дегенде m рет пайда болуының ықтималдығы:
Pnm+Pnm+1+Pnm+2+ ...+Pnn. (1.19)
1-мысал. Нысанаға 10 рет оқ атылды.Әрқайсысының нысанаға тию ықтималдығы 13-ке тең болса, онда атылған тәуелсіз 10 оқтың нақ төртеуінің нысанаға тию ықтималдығын табыңыздар.
Шешуі: Есеп шарты бойынша сынау саны n=10. Әрбір сынаудағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы p=P(A)=13, q=23, m=4. Бернулли формуласына қойып есептесек,
Pnm=P104=C104∙134∙236=210∙134∙236=0 ,22760.
2-мысал. Нысанаға 6 рет оқ атылды. Әр атқан сайын нысанаға тию ықтималдығы 0,4-ке тең. Мына ықтималдықтарды табу керек.
a) нысанаға оқ бір рет дәл тиді;
б) нысанаға оқ тию саны 4-тен кем емес;
в) нысанаға ең болмағанда бір рет оқ тиді.
Шешуі: a) Бернулли формуласын пайдаланамыз. Есептің шарты бойынша n=6, m=1, p=0,4, q=1-0,4=0,6.
Сонда P61=C61∙p1∙q5=6∙0,4∙(0,6)5=0,1836.
б) нысанаға тиген оқ саны 4-тен кем емес оқиғасын A әрпімен белгілеп, 4, 5 және 6 рет тию ықтималдықтарын есептейміз
PA=P64+P65+P66≈0,1382+0,3686+0,0041 =0,5109 .
в) іздеп отырған оқиға ықтималдығын P(B) арқылы белгілеп, мынаны табамыз
PB=1-q6=1-0,66=1-0,0467=0,9533.
5. Кездейсоқ шама және оның сандық сипаттамалары
Ықтималдықтар теориясындағы негізгі ұғымдардың бірі кездейсоқ шамалар ұғымы. Бұл ұғымды түсіндіруді мысалдардан бастайық.
1-мысал. Ойын кубигін лақтырғанда ойын санының пайда болуын алдын ала айта алмаймыз. Бұл мысалда ұпай саны - кездейсоқ шама,куб жақтарының көрсететін 1,2,3,4,5,6 сандары-кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері.
2-мысал. Кез келген мақта қауашығында неше шит болуы мүмкін? Қауашақта неше шит болуын алдын ала айта алмаймыз, яғни бұл кездейсоқ шама. Ал қауашақтағы шит саны 1,2,3,4,...,n сол кезедйсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері.
3мысал.Қоладағы лотореяның ұтыс мөлшерін білмейміз.Лотореяның ұтыс мөлшері-кездейсоқ шама, ал оның ұту мөлшерінің түрлі мәндері-сол кедейсоқ шама қабылдайтын мүмкін мәндері.
Анықтама. Сынау нәтижесінде қандай да бір мүмкін мәнді қабыдайтын шаманы кездейсоқ шама деп атайды.
Яғни кездейсоқ шама сан мәндерін қабылдайды. Бірақ дәл қандай мән қабылдайтынын алдын ала айта алмаймыз. Кездейсоқ шамаларды: X,Y,Z,..., арқылы бас әріптермен ал олардың қабылдайтын мәндерін x,y,z,..., кіші әріптермен белгілейміз. Қабылдайтын мәндер жиынына орай кездейсоқ шамаларды екі топқа бөледі: дискретті және үздіксіз.
0, 1, 2, ...,100 мүмкін мәндерінің біреуін қабылдайтын 100 жаңа туған нәрестелер ішіндегі ұл балалар саны, ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны т.с.с дискретті кездейсоқ шама болады.
Дискретті кездейсоқ шаманы сипаттау үшін, ең алдымен оның қабылдайтын мүмкін мәндерін, сонымен қатар бұл шаманың әр түрлі мәндерінің қаншалықты жиі кездесетінін білу керек. Бұл жиілік оның жеке мәндерінің ықтималдығын сипаттайды. Сонымен Х кездейсоқ шама мына x1,x2,...,xn мәндерінің біреуін қабылдайды, мұнда, x1x2...xn яғни X=xii=1,2,...,n теңдігімен өрнектелетін оқиға тәуелсіз және жалғыз мүмкіндікті болады. Сондықтан, p1+p2+...+pn=1.
Анықтама. Кездейсоқ шаманың мәндері мен осы мәндерді қабылдау ықтималдықтарының арасындағы байланысты орнататын қатынасты кездейсоқ шаманың үлестірім (таралу) заңы деп аталады.
Оны мынадай таблица арқылы береді.
1.2- Кесте. Кнздейсоқ шаманың үлестірімі
X
x1
x2
...
xk
P
p1
p2
...
pk
Кездейсоқ шамасының сандық сипаттамасы.
Дискретті кездейсоқ шаманың арифметикалық ортасы, таралу центрі немесе шашырау центрі деп аталатын сандық сипатын математикалық күтуі деп атайды.
Мүмкін мәндері x1,x2,...,xn болатын X - кездейсоқ шамасының сәйкес ықтималдықтары p1,p2,...,pn болсын.
Анықтама. Кездейсоқ дискретті X шамасының математикалық күтуі деп, оның барлық қабылдайтын мүмкін мәндері мен оларға сәйкес ыктималдықтарының көбейтіндісінің қосындысын айтады. X шамасының математикалық күтуі MX арқылы белгіленеді.
MX=x1p1+x2p2+ ... +xnpn. (1.20)
Егер дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері шексіз болса, онда математикалық күту қатар болып табылады
MX=x1p1+x2p2+ ... +xnpn+ ...i=1infinityxipi (1.21)
1-қасиет. Тұрақты шаманың математикалық күтуі сол тұрақтының өзіне тең:
MC=0
2-қасиет. Тұрақты көбейткішті математикалық күту таңбасының алдына шығаруға болады:
MCX=CM(X)
3-қасиет. n кездейсоқ шаманың қосындысының математикалық күтуі осы шамалардың математикалық күтулерінің қосындысына тең:
MX1+X2+ ... +Xn=MX1+MX2+ ...+M(Xn)
4-қасиет. n кездейсоқ тәуелсіз шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі осы шамалардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең
MX1∙X2∙ ... ∙Xn=MX1∙MX2∙...∙M(Xn)
1-мысал. Дискретті кездейсоқ шама X- бір ұтыс кұнының математикалық күтуін табу керек.
Шешуі: формуланы қолданамыз.
1.3-Кесте
X
5000
1000
500
200
100
0
P
0,002
0,01
0,025
0,1
0,15
0,713
MX=5000∙0,002+1000∙0,01+500∙0,025+2 00∙0,1+100∙0,15+0∙0,713=97,5 теңге.
Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтуінің айырымының квадратының математикалық күтуін X кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп атайды.
Дисперсия D(X) арқылы белгіленеді және былай есептейді:
DX=M(X-M(X))2
Математикалық күтудің қасиеттерін қолдана отырып дисперсияның қолайлы формуласын аламыз:
D(X)=M(X)2-M2(X) (1.22)
1-қасиет. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең:
DC=0.
2-қасиет. Тұрақты көбейткіш дисперсия таңбасының алдына квадратталып шығарылады:
DCX=C2D(X).
3-қасиет. Екі кездейсоқ шаманың қосындысының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең:
DX+Y=DX+DY.
4-қасиет. Егер екі шама тәуелсіз болса онда кездейсоқ шаманың айырмасының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең:
DX-Y=DX+DY.
Көбінесе өмірде X кездейсоқ шамасының мәндерінің таралуының басқа да сандық сипаттамасын жиі қолданады. Ол орта квадраттық ауытқу. Анықтама. Кездейсоқ шаманың дисперсиясының квадрат түбірі оның орта квадраттық ауытқуы деп аталады.
Орта квадраттық ауытқудың шамасы аз болған сайын, кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің шашырауы да аз болады. Оны δ(X) арқылы белгілейміз және төмендегі формула арқылы есептеледі: δX=D(X). (1.23)
2.3 Ықтималдықтарды анықтауға қатысты комбинаториканың формулаларын қолдану
Комбинаторика - берілген жиындағы элементтерден қандай да бір шартқа бағынатын әртүрлі қанша комбинация құрастыруға болады деген сұрақты қарастыратын математика саласын комбинаторика деп атайды.
Комбинаторика ұғымы XVI - ғасырда пайда болған. Ол кезде карта, сүйек ойыны, лотереялар сияқты құмарлық ойындар үлкен орын алған. Сондықтан алғашқыда комбинаторикалық есептер негізінен құмарлық ойындарға қатысты болған. Комбинаториканың дамуы Я.Бернулли, Лейбниц, Эйлер есімдерімен тығыз байланысты. Соңғы жылдары комбинаторика жедел даму үстінде. Комбинаторикалық әдістер транспорттық есептер шешуде, кестелер, өндірістік жоспарлар құрастыруда және өнімді өткізу мәселесінде қолданылады. Комбинаториканың негізгі ұғымдары көптеген ықтималдық есептерінің, сызықтық программалаудың, статистиканың негізі болып табылады. Сонымен қатар, комбинаторика автоматтар теориясында, экономикалық есептерде, биология және генетикада қолданылады.
Қандай да бір заттардан тұратын бір немесе бірнеше жиын берілсін. Осы заттардан, берілген шарттарды қанағаттандыратын комбинациялар құру талар етілсін. Мүмкін болатын барлық комбинациялар санын табу есептері, комбинаториканың есептері деп аталады. Ықтималдықтарды анықтауға қатысты көптеген есептерді шешкенде комбинаториканың формулаларын қолдану қажет болады. Сондықтан олардың төмендегі негізгі үш түріне тоқталамыз.
Алмастырулар. Бір-бірінен айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана болатын комбинацияларды алмастырулар деп атайды.
Берілген n элементті қанша әдіспен осы n элементтердің қандай да бір тізбегі түрінде орналастыруға болады? Бұл сұраққа жауап беру үшін дербес жағдайлардан басталық. Әрбір элементті қазақ алфавитінің әріптерімен белгілейік. ә, у элементтері берілсе оларды әртүрлі ретпен орналастырып, әу және уә тізбектерін аламыз. Бұларды ә және у элементтерінен жасалған алмастырулар деп атайды. Демек, екі элементтен жасалған алмастырулар саны екіге тең. с,т,ү элементтері берілсін. Орналасу реттерін өзгертіп сүт, түс, үтс, стү, тсү, үст алмастыруларын аламыз, олардың саны 6-ға тең. е, к, ш, і элементтері берілсін. Төрт элементтен құралған алмастырулар санын табу үшін төмендегіше пайымдау жүргіземіз. Осы төрт элементтің кез келген біреуі алмастырудың бірінші орнында келуі мүмкін, ал қалған үшеуінен алты түрлі алмастыру құрылатынын көрдік. Сонымен, алмастырудың жалпы саны 6·4=24-ке тең болады, (ешкі,шекі,кеші,ішек,...). Бұл мысалдардан мынадай зандылықты байқауға болады: екі элементтен ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz