Ықтималдық теориясы мен математикалық статистика

Ш. УӘЛИХАНОВ АТЫНДАҒЫ КӨКШЕТАУ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

Орта мектеп курсында ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканы өткізудің ерекшеліктері

6М010900 - Математика

Математика мамандығы бойынша жаратылыс ғылым магистірі академиялық дәрежесін алу үшін дайындалған диссертация

"Физика және математика" кафедрасының меңгерушісі

п. ғ. к. С. Қ. Дамекова

Көкшетау, 2020 ж.

Мазмұны

Кіріспе

Қазіргі уақытта ықтималдық-статистикалық әдістері көптеген салаларда қолданылады. . Оның ішіде: физика, химия, педагогика, психология, лингвистика, археология, геология сияқты, сондай-ақ ықтималдық теориясын мединицина және биология, әскери ғылым мен космонавтика, лингвистика, психология мен оқыту теориясы тағы басқа ғылымдарда қолданыла бастады. Бұл пән - кездейсоқ құбылыстар заңдылығымен айналысатын математика саласы.

«Статистика» термині латынның «статус» status деген сөзінен шыққан, қазақшаға аударғанда «күй», «хал-жай» деген мағына береді. Негізінен алғанда халық санағына байланысты, статистикалық мәліметтер жинау өте ерте заманда кездескенмен де, мәліметтерді жинақтау және жариялау мәселелері сауда капиталының даму дәуірінде, XVI-XVII ғасырларда кездеседі. XVII ғасырдың екінші жартысында қоғамдық өмірдің құбылыстарын сан, өлшем және салмақ арқылы, басқаша айтқанда сандық қатынастар арқылы, сипаттау пайда болады. XIX ғасырда қоғамдық құбылыстарды зерттеуге қолданылып келген статистикалық әдістер жаратылыстану ғылымдарына да енеді.

Математика - нақты ғылым, бір қарағанда кездейсоқтыққа ешқандай қатысы жоқ. Бірақ, осы кездейсоқтықтың сандық сипаттамасын, ықтималдық ұғымын берген басқа емес, осы математика. Ықтималдықтар теориясы өмірдегі кездейсоқтықтарды зерттеп, олардың заңдылықтарын ашады.

Ықтималдылық теориясының тамыры ғасырлар тереңінде жатыр. Көне Қытай, Индия, Египет, Грекия сияқты елдерде халық санағын жүргізу барысында, тіпті жауларының санын анықтау кезінде де ықтималдылық тұжырымдардың элементтері қолданылғандығы белгілі. Бірақ та бұл теорияның ғылым болып қалыптасуын XVII ғасырға жатқызады. біз тарихи романдардан білеміз, бұл корольдер мен мушкетерлердің, керемет ханымдар мен текті кавалерлердің кезеңі. Бір қызығы сол, осындай бір тарихи тұлғаның біреуінің есімімен осы ықтималдылық теориясының басталуы байланысты екен.

Гюйгенс, Паскаль, Фермадан бастап, кездейсоқ оқиға және оның ықтималдығы туралы математикалық ғылым- ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдарында қалыптаса бастады.

Ең алдымен азарт ойындары пайда болды. Араб тілінде «азар» деген сөз «қиын» деген мағына береді. Арабтар «азар» деп лақтырылған ойын сүйегінің екеуінде де 6 ұпайдан түсуін айтады екен. Куб түріндегі ойын құралы ол кезде піл сүйегінен жасалатын болғандықтан «ойын сүйегі» деген атау сол заманнан қалыптасып қалған. Ықтималдықтар теориясы жөніндегі алғашқы жұмыстар XVII ғасырда басталды. Еуропа елдерінде адамды құнықтыратын әр түрлі ойындардың кең таралуына байланысты әр ойыншы өзінің жеңілмеу ықтималдықдығын алдын ала анықтауға тырысқан. Сол кездегі математиктер де бұл мәселеге назар аудардып, бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалар туралы заңдылықтар ашуға талпынды. Бұл мәселеге алғашқы болып еңбектерін ұсынған:француз оқымыстысы Блез Паскаль, Пьер Ферма, голландиялық Христиан Гюйгенс, швецариялық математик Яков Бернулли болды. Француздың атақты математиктері Пьер Ферма мен Блез Паскальдың азартты ойындарды зерттеу арқылы ықтималдықтар теориясының негізін қалады. Кейіннен сақтандыру жұмыстарында және демография саласында ықтималдықтар теориясы өз қолданысын тапты.

XVIII ғасыр аяғы мен XIX ғасыр басында ағылшын оқымыстысы А. Муавр, орыс оқымыстылары Л. Эйлер, Н. Бернулли, Д. Бернулли, француз П. Лаплас, С. Пуассон, неміс К. Гаусс геодезия мен астраномияның өркендеуіне қатысты өлшеу қателіктерін бағалау, ату теориясындағы снарядтардың жағдайларын анықтау үшін ықтималдықтар теориясының рөлін көрсету мақсатында ғылыми жұмыстар жүргізді. XIX ғасыр ортасында Ф. Гальтон, Л. Больцман, А. Кетле, А. М. Ляпунов, П. Л. Чебышев, А. К. Калмогоров сияқты оқымыстылар жиындар теориясы, шақты айнымалылы функциялар теориясы, функционалдық анализ сияқты жоғары математикалық жаңа табыстарына сүйенетін ықтималдықтар теориясының өркендеуіне негіз салды. Жаратылыстану ғылымдары мен техниканың дамуы ықтималдықтар теориясына жаңа мәселелер қойды.

Ықтималдықтар теориясының дамуына Бернулли, Муавр, ГауссЛаплас, Пуассон еңбектері көп әсерін тигізді. XIX ғасырдың екінші жартысыннан бастап бұл саланың дамуына зор әсер еткен В. Я. Буняковский бастаған математиктер мектебі: П. Л. Чебышев, А. А. Марков, С. Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров секілді орыс ғалымдары үлкен үлес қосты.

ХХ ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері әр түрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу мен ғылыми шығармашылықтың алғашқы шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға ие болды. «Оқиға туралы ғылым» көптеген мамандық иелерінің: инженерлер, экономистер, дәрігерлер және әр түрлі шаруашылық саласындағы мамандардың ортасына енді. Барлық әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық, тіпті ықтималдық теориясы жиі қолданылатын болды.

Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып ықтималдықтың жиілік теориясының негізін салған белгілі неміс математигі- Р. Мизес (1883-1953) . Ол ықтималдық теориясын математика пәні емес, математикалық әдістерде кең қолданылатын ғылым қатарына қосты.

Р. Мизес «Әр ықтималдыққа берілген есеп кейбір шынайы процестермен байланысқан», - деп айтқан. Қазіргі ықтималдық теориясының дамуы, әсіресе А. Н. Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теориясы жоғары математикалық тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы, функционалдық талдау және тағы да басқа нақты математикалық ықтималдықпен тығыз байланысқан.

Ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты оның адамзат өмірінде қолдану мүмкіндігі артты. Жалпы алғанда ықтималдықтар теориясының әдісі ғылымның барлық саласына өз үлесін қосады. Ал математика ғылымында алатын орны ерекше.

Зерттеу тақырыбының өзектілігі . XXI ғасырда адамзат білім мен өнерде, техникалық прогресте үлкен жетістіктерге жетті. Бұның барлығында білімнің үлесі зор.

Еліміздің жаңаша дамуының шешуші факторы ретінде білім беру саласына қойылып отырған басты талап - әлемдік стандарттар деңгейіндегі сапалы білім беру қызметін көрсетуге қол жеткізу.

Білім алу саласында әрбір жеке тұлға өзінің белсенді, танымдық және шығармашылық іс-әрекеттерін дамытуы қажет. Оның айқын бір жолы - ғылыми шығармашылық ізденіс болып табылады.

Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез-келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.

Республикамыздың білім беру жүйесінің даму бағытындағы негізгі мәселелердің бірі, уақыт талабына сай білім сапасын жақсарту, әлемдік стандарт деңгейіндегі білім беру болып табылады. Қазақстанның әлемдегі бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына енуінің негізгі міндеті, жоғары мамандандырылған, білікті де білімді адамзат ғылыми технологияны оңай меңгеріп, нарықтық экономикада өзін-өзі басқара алатын және алған білімін өмірде пайдалана білетін болса, тек сол уақытта ғана жүзеге асыру мүмкін екендігі түсінікті.

Шынында да, әлемнің дамыған елдеріндегі білім беру жүйесі - білім дағдыларын механикалық түрде беру емес, ақпараттық зияткерлік ресурстарды өз беттерінше тауып, талдап және қолдана білетін, жедел өзгеріп отыратын техникалық прогресс, инновациялық өрлеу жағдайында өзін-өзі ашып көрсете алатын, нарықтық талап-талпыныстарға еркін бейімделе алатын жеке тұлғаны қалыптастыруға басымдық беретіндігі белгілі.

Бүгінгі таңдағы тәуелсіз мемлекетіміздің білім саласындағы басты мақсаты жан-жақты дамыған, шығармашылықпен жұмыс жасай білетін, өздігінен білім алу жолдарын таңдай алатын білімді де білікті жеке тұлға болу міндеті тұр. Кез-келген қоғамға дарынды адамдар керек, және қоғамның міндеті сондай адамдардың қабілетін дамыту. Өкінішке орай, кез-келген адам өз дарынын аша алмайды. Бәрі отбасына және мектепке байланысты. Отбасының міндеті баланың дарынын ертерек байқау болса, мектептің міндеті баланы қолдап, сол дарынын әрі қарай ашу, дамыту болып келеді. Әсіресе мектепте оқушының өзіндік шығармашылығының негізі қаланады. Кез-келген мұғалім мектеп оқулығын қызықсыз көріп, одан да терең ғылыми кітаптарды, энциклопедияларды оқитын, өздігінен ізденетін, әр түрлі салада өз сұрақтарына жауап іздейтін дарынды балаға жолығады. Сондықтан да оқушыға жол көрсету, оның өмірлік жоспарлары мен армандарына көмектесу мектепте жүзеге асу керек. Мұндай оқушыларды әр түрлі шығармашылық жұмыстармен, ғылыми жобалармен айналыстырып, олимпиадаларға, сайыстарға қатыстыру керек. Бұл оқушының жетістіктеріне басқалардың көз жұма қарамайтындығын, оған көңіл бөлетінін көрсетеді, осылайша оқушының қабілетін көрсетуге мүмкіндік туады. Оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.

Мектептегі математика пәні мазмұнын жан-жақты зерттеп, орынды қолдану оқушылардың жалпы мәдени даму деңгейінің, білімінің жоғары болуына тікелей әсер ететіні сөзсіз.

Математика сабағында есеп шығару оқыту үрдісінің ең маңызды түрі болып табылады. Өйткені, есеп шығару арқылы оқушы математикалық теорияны меңгереді және логикалық ойлаумен шығармашылық қабілеті дамиды.

Мақсаты: оқулықтарда берілген ықтималдық теориясы мен математикалық статистика курсының материалын қарастырып, оқушылардың ойлау қабілетін жетілдіру, математикаға қызығушылығын арттыру.

Міндеттері:

1) оқушыларға «ықтималдық теориясы мен математикалық статистика» курсының негізгі ұғымдарын игеруге көмектесу;

2) оқушылардың ықтималдық, статистикалық ойлауын қалыптастыру;

3) ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканы мектеп курсында өткізудің маңыздылығын түсіну.

Зерттеу нысаны : орта мектептегі математика курсын оқыту үрдісі

Зерттеу әдістері: Қойылған мақсаттарды шешу барысында математикалық статистика, ықтималдықтар теориясы қолданылды.

Мәліметтерді өңдеу: Мәліметтерді тіркеу құрылғысы Wizard III, тіркелген мәліметтерді Statgraphics plus 5. 0 және MS Excel қолданбалы программалары арқылы дербес компьютерде өңделді.

Диссертациялық жұмыс 3 тараудан, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1 тарауда ықтималдықтар теориясының тарихына, негізгі теоремаларына және мектептегі ықтималдық теориясының мазмұнына және әлемдік ықтималдық теориясын орта мектепте оқу тәжірибелері туралы айтылды. Қазіргі кездегі мектептегі ықтималдық-стиатистикалық теорияның мазмұны қандай деген сұрақтар қарастырылады.

2 тарауда ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканың орта мектеп курсында өткізудің ерекшеліктері баяндалады.

3-тарауда ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканың әр саладағы алатын орны мен рөлі қарастырылады

1 Математикалық статистика

1. 1. Математикалық статистика элементтері

Ықтималдық теориясы - кездейсоқ оқиғалардың орындалуының заңдылығын зерттейтін математикалық ілім. Ықтималдықтар теориясының негізінде «математикалық статистика» ғылымы пайда болды. Математикалық статистика-берілген мәліметтерді талдауға арналған математиканың бөлімі. Математикалық статистиканың негізгі міндеті-таңдалған мәліметтер бойынша бас жиынтықтың сипаттамасын бағалау.

Байқалған құбылыстар, өлшеу жұмыстары немесе арнайы жүргізілген тәжірибелердің нәтижелері ретінде табылған сандар жиындарының белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын элементтерінің сандары статистикалық деректер деп аталады.

Математикалық статистиканың статистикалық деректер жиынындағы әрбір элементтің жеке қасиеттерін сипаттамайды, олар бір топқа жататын бірнеше элементті бірге қамтиды. Әдетте статистикалық деректер жолдар мен бағаналарға бөлініп, реттеліп жазылады, олардың негізінде жүргізілетін ғылыми-зерттеу әдісі статистикалық әдіс деп аталады. Ол ғылым салаларының барлығында қолданылады, бірақ табиғаты әр түрлі нысандардың статистикалық мәліметтерін бірге қарастыруға болмайды. Математикалық статистиканың әдістері аса маңызды параметрлері белгісіз немесе оларды жеткілікті дәлдікпен бақылауға болмайтын көптеген есептердің шешімін тиімді жолдармен табуға мүмкіндік береді. Математикалық статистикада математикалық заңдардың бәрі де қолданылады.

Математикалық статистика сынақтың нәтижелері бойынша белгілі қорытынды жасайтын әдістерді қарастырады. Математикалық статистикаға тән типтік есептерге ықтималдықтарды бағалау, үлестіру функциясының белгісіз параметрлерін бағалау т. с. с. жатады.

Математикалық статистика әдістерінің мақсаты статистикалық мәліметтерді жинастыру, оларды өңдеу, белгісіз бас жиынтық үлестіруінің параметрлерін және белгісіз үлестіру функцияларын бағалау, сондай-ақ параметрлер мен үлестірулер жайындағы статистикалық гипотезалардың дұрыстығын тексеру болмақ. Статистикалық әдістер белгінің сандық түрінде ғана қолданылады. Ал белгі мәні болса санмен өлшенуі де мүмкін, сапалық болуы да мүмкін. .

Математикалық статистикада Х кездейсоқ шамасының барлық мүмкін мәндерінің жиынтығын бас жиынты қ деп атайды.

Бас жиынтық деп белгілі қасиеттерімен берілген барлық қарастырып отырған объектілер жиынын айтамыз. Жеке объект осы жиынның элементі болады. Таңдама дегеніміз-бас жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер жиынтығы. Мысалы, университеттігі студенттердің үлгірімін зерттеу үшін комиссия бір факультетті таңдап алады да, оның бір немесе бірнеше топтарына бақылау жүргізеді. Осы таңдап алынған студенттердің үлгірімі бойынша бүкіл университеттің, дербес жағдайда факультеттегі оқыту сапасына жуықтап баға беріледі. Университеттігі барлық студенттер бас жиынтық, ал таңдап алынған студенттер таңдама болады.

Таңдамада кездесетін кездейсоқ шаманың $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\ \$ әртүрлі мәнін варианта деп атайды. Жиынтықта қандай да бір вариантаның қанша рет кездесетінін көрсететін $m$ санын жиілік деп атайды. Жиіліктер $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{m}$ арқылы белгіленеді. Ал өмірде абсолютті жиіліктердің орнына салыстырмалы жиіліктер қолданылады. Егер $n_{1} + n_{2} + \ \ldots + n_{m} = n$ болса, онда салыстырмалы жиілік

$\omega_{1} = \frac{n_{1}}{n}, \ \ \omega_{2} = \frac{n_{2}}{n}, \ \ \ \omega_{n} = \frac{n_{m}}{n}$

формуламен анықталатын $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}$ сандары салыстырмалы жиіліктер деп аталады. Осы салыстырмалы жиіліктердің қосындысы 1-ге тең.

Салыстырмалы жиіліктерді пайыз арқылы да өрнектеуге болады. Онда барлық салыстырмалы жиіліктерінің қосындысы 100%-ға тең болады. Өсу ретімен орналасып, сәйкес жиіліктері көрсетілген варианталар вариациялық қатар деп аталады. Вариациялық қатар дискретті немесе интервалдық болады. Вариациялық қатардың жиіліктерін олардың массасы деп атаймыз.

Арифметикалық орта. Өлшеулерді $n$ рет жүргізгеннен кейін пайда болған $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ мәндерінің ортасы деп арифметикалық ортаны айтады. Оны $\overline{x}\$ деп белгілейді және былай есептейді:

$\overline{x} = \frac{1}{n}\left( x_{1} + x_{2} + \ \ldots x_{n} \right) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}.$ (1. 24)

Медиана. Статистикалық мәліметтер вариациялық қатар түрінде жазылғанда медиана қатардың ортасында тұрған мәнді көрсетеді. “Істейтін істің қақ ортасын білу” жұмысты ұйымдастыру шаруасын жүргізуге бірқатар ақпар береді.

Егер мәліметтер саны тақ болса медиана мәндердің қақ ортасы болады. Ал, егер мәліметтер саны жұп болса, онда медиана үшін ортада тұрған мәндерді қосып, оны екіге бөледі. Медиананы ${\ \ M}_{e}$ деп белгілейміз.

Мысалы, өлшеу нәтижелері 3, 6, 10, 12 болса медиана - (6+10) :2=8. Ал мәліметтер 1, 4, 6, 8, 10 болса медиана 6 болар еді.

Мода. Статистистикалық қатардағы ең көп кезедсетін мән. Мысал, мына сандар қатары берілген 2, 4, 5, 9, 3, 4, 6, 7, 8, 4. Бұл қатардың модасы яғни ең көп кездесетін мән- 4. Бұл қатардың модасы 4-ке тең.

2 Ықтималдық теориясы

2. 1 Ықтималдықтың классикалық, статистикалық, геометриялық анықтамалары

Ықтималдықтар теориясы тек кездейсоқ оқиғалар және олардың пайда болу мүмкіндіктерін қарастыратын математиканың бір бөлімі болып табылады. Сонымен қатар, ықтималдықтар теориясы қандай да бір оқиғаның шығуын алдын-ала анықтай алмайды, бірақ оның көмегімен көп рет қайталанған оқиғаның заңдылығын анықтауға болады. Оқиғалар 3 түрге бөлінеді: ақиқат, мүмкін емес және кездейсоқ.

Тәжірибе барысында міндетті түрде орындалатын оқиғаларды ақиқат оқиғалар деп атайды.

Тәжірибе кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін емес оқиға деп аталады.

Тәжірибе барысында орындалуы да, орындалмауы да мүмкін оқиға кездейсоқ деп аталады.

Оқиғалар латын алфавитінің бас әріптерімен $A, B, C, \ldots$ . арқылы белгіленеді.

Тәжірибе барысында екі оқиғаның бірі пайда болып, екіншісі пайда болмайтын оқиғалар үйлесімсіз деп аталады.

Тәжірибе кезінде мүмкін оқиғалардың әйтеуір біреуінің пайда болуы ақиқат болса, онда оқиғалар жалғыз мүмкіндікті оқиғалар деп аталады. Егер $A, B, C, \ldots$ оқиғалары жалғыз мүмкіндікті болса, онда олар толық топты құрайды.

Егер жалғыз мүмкіндікті екі оқиға толық топты құраса, онда олар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады. $A$ оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны $\overline{A}$ деп белгіленеді.

«Тәжірибе» мен «оқиға» ұғымдарының айырмашылығын қарастырайық. Өмірде, тұрмыста, ғылымда жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, экспери-менттерді тәжірибе деп атаймыз. Тәжірибенің нәтижесі оқиға болады.

1-мысал. Теңге бір рет лақтырылады. Бұл тәжірибе. Тәжірибенің нәтижесі оқиға болып есептеледі.

А оқиғасы - елтаңба жағының шығуы.

В оқиғасы-цифр жағының шығуы. Мұнда $A$ және $B$ үйлесімсіз (тоғыспайтын), қарама-қарсы оқиғалар және толық топ құрайды.

2-мысал. Жәшікте тек ақ шарлар бар. «жәшіктен ақ шар алу» - бұл ақиқат оқиға, ал «жәшіктен қара шар алу» - бұл мүмкін емес оқиға.

3-мысал. Жәшікте ақ, қара және қызыл шар бар. Бір шар алынады. Бұл тәжірибе болса, ал тәжірибенің нәтижесі мынадай оқиғалар болуы мүмкін.

А -ақ шар алынды.

В - қара шар алынды.

С - қызыл шар алынды.

Бұл оқиғалар үйлесімсіз оқиғалар және толық топ құрайды. Бірақ бұл оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар бола алмайды. Қарама-қарсы оқиғаларда тек екі оқиға толық топ құрастырады. Ал біз қарастырып отырған жағдайда үш оқиға бар.

Мына мысалды қарастырайық. Жәшікте 6 стандартты және 4 стандартты емес зат бар. Жәшіктен бір зат алынған. Стандартты затты алу мүмкіндігі стандартты емес затты алуға қарағанда көп екені айқын. Бұл мүмкіндікті сипаттайтын сан ықтималдық деп аталады.

Анықтама. $A$ оқиғасының ықтималдығы дегеніміз - осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы.

А оқиғасының ықтималдықтығы былай белгіленеді $P(A)$ . Сонымен,

$P(A) = \frac{m}{n}\ .$ (1. 1)

Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама немесе Лаплас моделі дейміз. Енді $P(A)$ ықтималдығының қасиеттерін қарастырайық.

1. $P(A)$ ықтималдығы теріс емес функция, яғни $P(A) \geq 0.$

2. $P(A)$ әрқашан $0 \leq P(A) \leq 1$ .

3. Қиылыспайтын (үйлесімсіз) $\ A$ және $B$ оқиғалары үшін, $P(A + B)$ аддитивті функция, яғни $P(AB) = P(A) + P(B)$ .

Бұл үшінші қасиетті ықтималдықтарды қосу теоремасы немесе ықтималдықтарды қосу заң деп атайды.

Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы. Қандай да бір оқиғаның ықтималдығын анықтау үшін оның орындалу жиілігін санау керек.

Жүргізілген $n$ экспериментте берілген оқиға қанша рет орындалғанын абсолюттік жиілік көрсетеді.

Эксперименттің қандай үлесінде оқиғаның орындалғанын салыстырмалы жиілік не жиілік көрсетеді, ол абсолюттік жиіліктің эксперимент санына қатынасы.

$\omega = \frac{n}{m}$ (1. 2)

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс