Канондық теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 32 бет
Таңдаулыға:

КІРІСПЕ

Компьютерлер құрылыс құрылымдары мен білім беру процесін есептеу және жобалау процесінің ажырамас бөлігі болды. Осыған байланысты, құрылыс механикасы курсын сызықты алгебраның кейбір элементтерімен мазмұндау қажеттілігі туындады. Ең алдымен бұл орын ауыстыруларды анықтау және статикалық Анықталмайтын жүйелерді есептеу әдістерінің матрицалық формасына жатады. Матрицалардың аппараты құрылыс механикасының міндеттерін шешу кезінде кездесетін көптеген процедураларды жинақы және әмбебап түрде баяндайды.
Матрицалармен жұмыс істей білу "Mathlab" және "Mathcad"сияқты қолданбалы бағдарламалар пакеттерінің пайда болуымен қажет болды. Матрицалар мен бағдарламалау элементтеріне ие қарапайым операциялар қалай орындалатынын біле отырып, студент құрылыс құрылымдарын есептеудің күрделі міндеттерін оңай шеше алады.
Осы есептердің көбі сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешумен байланысты. Оларды шешу әдістерін білу және теңдеулер жүйесін шешудің орнықтылығы туралы түсінік, сондай-ақ осы курсты оқытушыға қажет.
Жоғарыда аталған мәселелер жәрдемақының мазмұнын анықтады. Ол келесі негізгі бөлімдерден тұрады: матрицалардың түрлері және олардың айырмалық ерекшеліктері, матрицаларға жасалатын операциялар, орын ауыстыруларды анықтаудың матрицалық формасы, күштер мен орын ауыстырулар әдістерінің матрицалық формасы, сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері, осындай жүйелерді шешу тұрақтылығы.

Тақырыптың өзектілігі.

Зерттеу мақсаты.
Зерттеу нысаны.
Зерттеу пәні.
Зерттеу міндеттері.
Мәселенің зерттелу деңгейі.
Мәселенің деректік көзі.
Зерттеудің әдістері, әдіснамалық негіздері. Орта және жоғарғы мектеп математикасында қарастырылған ұғымдар мен әдістемелер.
Зерттеудің теориялық негіздері. Университетте оқылған математикалық пәндерде қарастырылған.
Зерттеудің ғылыми жаңашылдығы.
Зерттеудің практикалық маңыздылығы.
Диплом жұмысының құрылымы: кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және 50 беттен тұрады.

I МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСЫНЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ

Қандай да бір жиын элементтері aij - ден (i=1,2,...,m, j=1,2,...,n) құрастырылған mxn өлшемді тік бұрышты кесте матрица деп аталады және былай жазылады:

A=a11a12...a1na21a22...a2n ... ... . ...am1am2...amn

m және n сандары матрицаның өлшемін сипаттайды.

1.1 Матрицаның түрлері

Егер берілген А матрицасында n=1 болса, онда жатық жолдық матрицаны аламыз.
Жатық жолдық матрицасын ықшамдап A=a1,a2,...,am түрінде жазамыз.
Ал m=1 болған жағдайда тік жолдық A=a11a21...am1 матрицасын анықтай аламыз.
Бірінші жазбада екінші реттік индекстері түсірілген, ал екіншісінде бірінші реттік индекстер түсірілген.
Барлық элементі нөлге тең матрица нөлдік матрица деп аталады. Ол O символымен белгіленеді және mxn өлшемдері болмайды.
Егер А матрицасында жатық жол саны мен тік жол саны тең яғни, m=n тең болған жағдайда матрицалар шаршы (квадраттық) матрица деп аталады. Өлшемдер терминінің орнына бұл матрицада рет термині қолданылады. Келесі жазбаларда шаршы (квадраттық) матрицаның ретін m әріпімен белгілейміз. Шаршы (квадраттық) матрицаның негізгі диаганалі бар және ол a21, a22, ..., amn элементтерін құрайды.
Біртекті емес индекстерінің саны нөлге тең шаршы (квадраттық) матрицаны диагоналді матрица деп атаймыз.

A=a1100...000a220...0000a33...00... ... ... ... ...000...0amm

Егер a11,a22,..., am=a болған жағдайда диагоналді матрица скалярлі матрица деп аталады.
Бас диоганал элементтері 1-ге, ал қалған элементтері 0-ге тең шаршы (квадраттық) матрица бірлік матрица деп аталды.

Е=100...0010...0001...0 ... ... ... ...000...1.

Матрицалық есептеудегі бірлік матрица арифметикалық операциялардағы бірлікке ұқсас рөл атқарады.
Бас диагоналі, оған параллел іргелес асты мен үстіндегі диагоналдан басқа диагоналдардың барлының элементтері тек нөлден құрылған m - ші ретті квадраттық матрицана ленталық деп атайды. Мысалға бесінші ретті үшленталы матрица келесі түрде болады:

A= a11a12 0 0 0a21a22a230 0000a32 00a33a34 0a43a44a450a54a55

Кез келген санды бірінші ретті квадраттық матрицасы ретінде қарастыруға болады. Мұндай матрица скалярлық деп аталады.
Симметриялы матрица, элементтері негізгі диагоналға қатысты симметриялы орналасқан және элементтері өзара тең, яғни aij=aji, квадраттық матрица.
Егер А матрицасына көлденең және тік және көлденең бөлімдер жүргізілсе, онда матрица бірнеше тікбұрышты ұяшықтарға немесе блоктарға бөлінеді. 5x6 тікматрицасының блоктарға бөлінуінің бір мысалы келесідей болады:

A=a11a12a13⋮a14⋮a15a16a21a22a23⋮a24 ⋮a25a26⋯a31a41a51⋯a32a42a52⋯a33a43a 53⋮⋮⋮⋮⋯a34a44a54⋮⋮⋮⋮⋯a35a45a55⋯a36a 46a56

Бұл түрдегі матрицаларды блокты матрица деп атайды.
Әр блок шегіндегі элементтер өздері матрицалар немесе ішкі матрицалар құрады:

A11=a11a12a13a21a22a23, A12=a14a24 , A13=a15a16a25a26
A21=a31a32a33a41a42a43a51a52a53, A22=a34a44a54, A23=a35a36a45a46a55a56

Сондықтан, бұл жағдайда A блок матрицасын төмендегідей жазуға болады:

A=A11A12A13A21A22A23

Бір бас диагоналда орналасқан, Aii квадратты матрицалардан құралған блок матрицаны квазидиагоналді матрица деп атайды

A=A110⋯ 00A22⋯ 0⋯0⋯0 ⋯⋯⋯Amm .

1.2 Матрицалармен орындалатын aлгебралық амалдар

Матрицаның анықтаушы, квадраттық матрицаның элементтерінен олардың орналасуын өзгертпей құралады. Матрица анықтауышы А, DA немесе detA символдармен белгіленеді.
Егер матрица элементтері сандар болған жағдайда , оның анықтаушы сандық негізде анықталады.
Анықтауышты есептеуге арналған формулалар мен заңдылықтарды есептеп табуға болады, мысалы, [1,бет. 157] немесе [2,бет. 146].
Матрицалар тең деп аталады, егер матрицалардың өлшемдері бірдей және олардың барлық бірдей орналасқан элементтері өзара тең болса.

A=a11 a12⋯ a1na21 a22⋯ a2n⋯am1⋯am2⋯⋯⋯amn

және

B=b11 b12⋯ b1nb21 b22⋯ b2n⋯bm1⋯bm2⋯⋯⋯bmn

матрицалар тең болады, егер, m=n және барлық i=1,...,m үшін aij=bij.
Транспорленген ATматрицасын құруды қарастыралық.
A=a11 a12⋯ a1na21 a22⋯ a2n⋯am1⋯am2⋯⋯⋯amn

матрицасының жолдары мен бағандарының орналасу реттілігін ауыстыратын болсақ, онда берілген А матрицасына қатысты AT транспорленген матрицасын анықтай аламыз:

AT=a11 a21⋯ am1a12 a22⋯ am2⋯a1n⋯a2n⋯⋯⋯amn .

1.2.1 Матрицаларды қосу (азайту)

Тек жолдар саны мен бағандардың бірдей саны бар матрицаларды қосуға және алуға болады

A+B=a11a12a13a21a22a23+b11b12b13b21 b22b23=

a11+b11+a12+b12+a13+b13a21+b21+a22+ b22+a23+b23=C

Осылайша, mxn өлшемді A және B матрицаларының қосындысы бірдей ретті cij=aij+bij элементтері бар C матрицасын береді.
Егер A-B=C, онда cij=aij-bij.
Матрицаларды қосу келесі заңдылықтарға бағынады:

1. A+B=B+A

2. A+B+C=A+B+C

3. A+0=A

1.2.2 Матрицаларды көбейту

Матрицаны β санға (скаляр) көбейту оның барлық элементтері β рет ұлғайтылған матрицаны береді:

βA=βa11a12a13a21a22a23=βa11βa12βa13 βa21βa22βa23 .

βA көбейтіндісі келесі заңдылықтарға бағынады.

1.α+βA=αA+βA

2.αA+B=αA+αB;

3.αβA=αβA=βαA.

Бірінші көбейтушінің бағандар саны екінші жолдардың санына тең болатын сәйкес матрицаларды ғана көбейте аласыз.
Мысалдарды қарастырсақ:

1.1 - мысал.

A∙x=a11 a12⋯ a1na21 a22⋯ a2n⋯am1⋯am2⋯⋯⋯amn∙x1x2⋯xn=a11x1+a12 x2+...+a1nxna21x1+a22x2+...+a2nxn⋯ ⋯ ⋯ ⋯am1x1+am2x2+...+amnxn.

1.2 - мысал.

A=a11a12a13a21a22a23∙b11b12b13b21b3 1b22b32b23b33=a11b11+a12b21+a13b31a 21b11+a22b21+a23b31

a11b12+a12b22+a13b32a11b13+a12b23+a 13b33a21b12+a22b22+a23b32a21b13+a22 b23+a23b33 =C

1.3 - мысал

AB=a11a12a13a21a22a23a31a32a33∙b11b 12b21b22b31b32=

a11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a 13b32a21b11+a22b21+a23b31a21b12+a22 b22+a23b32a31b11+a32b21+a33b31a31b1 2+a32b22+a33b32

1.4 - мысал.

AB=a11a12...a1n∙b11b12...b1pb21b22. ..b2p...bn1...bn2 ... ... .bnp=

a11b11+a12b21+...+a1nbn1a11b12+a12b 22+...+a1nbn2...

...a11b1p+a12b2p+...+a1nbnp

1.5 - мысал.

AB=a11a21...am1∙b11b12...b1n=

=a11b11a11b12...a11b1na21b11a21b12. ..a21b2n ... ... ... am1b11am1b12... am1b1n.

Матрицалық көбетінділер келесі заңдылықтарға бағынады:

1.ABD=ABD;

2.αAB=αAB=AαB;

3.A+BC=AC+BC;

4.CA+B=CA+CB.

Тіпті шаршы (квадраттық) матрицалар үшін де AB!=BA екендігін атап өтеміз.

1.2.3 Қайтымды матрицалар

Егер теңдеулер жүйесін ( Ax=b матрицалық теңдеуін)

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

an1x1+an2x2+...+annxn=bn.

x1,...,xn қатысты шешу арқылы, аламыз:

x1=c11b1+c12b2+...+c1nbn,

x2=c21b1+c22b2+...+c2nbn,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

x1=cn1b1+cn2b2+...+cnnbn.

мұнда xi - лер cij арқылы анықталады және матрица құрайды:

C=c11c12...c1nc21c22...c2n...cn1... cn2 ... ... .cnn.

Егер бұл C матрицасы бар болса, онда оны A=α11α12...α1nα21α22...α2n...αn1... αn2 ... ... .αnn матрицасының кері матрицасы деп атап C=A-1арқылы белгілеу қабылданған.
Бұл ретте мына теңдік орын алады: AA-1=A-1A=E.
Ax=b Матрицалық теңдеуін x - ке қатысты шешімін мына түрде көрсетуге болады:

x=A-1b.

Әрине, теңдеулер жүйесінің шешімі кері матрицаны табусыз анықталуы да мүмкін. Соңғысын пайдалану арқылы жүйеде бос мүшелерді ғана өзгерте отырып, бірнеше рет шешуге тура келген жағдайда орынды боп табылады. Бұл жағдай, мысалы, конструкцияны жүктеудің бірнеше түріне есептеу кезінде орын алады. Кері матрицаның қалай алынатынын көрсету үшін келесі теңдеулер жүйесін қарастырайық.

a11x1+a12x2=b1,a21x1+a22x2=b2.

Бұл жүйені, мысалы, Крамер формуласын пайдалана отырып шешеміз: x1=∆1∆; x2=∆2∆ бұл жерде

∆=a11a12a21a22=a11a22-a12a21;

∆1=b1a12b2a22=b1a22-b2a12.

∆1=a11b1a21b2=a11b2-a21b1.

Бұдан

x1=a22∆b1-a12∆b2;

x2=-a21∆b1+a11∆b2.

Демек,

A-1=1∆a22-a12-a21a11.

Шешімнің дұрыстығын тексереміз.

AA-1=1∆a11a12a21a22∙a22-a12-a21a11=

=1∆a11a22-a12a21-a11a12+a12a11a22a2 1-a22a21-a11a12+a22a11=1001.

Есептің шешімі дұрыс.

1.3 Матрицаның нормаланған анықтаушы

A матрицасының нормаланған анықтаушы

D'A=DAi=1nj=1nbij2.

Нормаланған анықтауышты есептеу ережесін келесі мысалмен түсіндіреміз.

DA=a11a12a21a22

болса, онда

D'A=a11a12a21a22a112+a122a212+a222.
1.4 Канондық теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Күштер мен орын ауыстырулар әдістерінің каноникалық теңдеулері белгісіз коэффициенттердің симметриялық М1 матрицасы бар алгебралық біртекті емес теңдеулер болып табылады. Бұл оң анықталған матрица, демек DM10 және, демек, күштер мен орын ауыстырулар әдістерінің каноникалық теңдеулері әрқашан шешім бар және жалғыз.
Мұндай теңдеулерді шешу әдістері екі топқа бөлінеді:
тізбекті ерекшеліктер
тізбекті жақындаулар
Тізбекті ерекшеліктердің әдістері екі негізгі қасиеттермен сипатталады. Біріншіден, олар операциялардың соңғы саны кезінде шешім алуға мүмкіндік береді; екіншіден, егер есептеулер дөңгелектеусіз жасалса, шешім дәл болады. Сондықтан бұл топтың әдістері кейде дәл әдістер деп аталады. Екінші топқа белгісіз тізбекті жуықтаудың белгілі бір схемасы бойынша іздестірілетін итерациялық әдістер жатады. Мұнда шешімнің дәлдігі жуықтау санына байланысты, сондықтан мұндай әдістер жуықтау деп аталады.

1.4.1 Гаусс әдісі

Бұл тізбекті ерекшеліктер әдістерінің бірі. Оның идеясын симметриялық матрицасы бар үш теңдеуден тұратын жүйе мысалында қарастырайық. Төменде сипатталатын алгоритмді белгісіздер саны басқа жағдайда оңай таратуға болады. Гаусс әдісі аясында бірнеше есептеу схемалары бар, олардың біреуін - жалғыз бөлу схемасын қарастырайық.

a11x1+a12x2+a13x3+a1p=0, (1.4.1)

a21x1+a22x2+a23x3+a2p=0, (1.4.2)

a31x1+a32x2+a33x3+a3p=0. (1.4.3)

Келесі есептеулерді енгізе отырып жоғарыда көрсетілген теңдіктерді қарастырсақ, x1 - ді бұл жүйеден алып тастаған жағдайда:

1.4.1α12+1.4.2=1.4.2'

немесе

1.4.1α13+1.4.3=1.4.3',

α12=-a12a11, α13=-a13a11.
Осыдан кейін бірінші редукцияланған жүйені аламыз:

a'22x2+a'23x3+a'2p=0, 1.4.2'

a'32x2+a'33x3+a'3p=0, 1.4.3'

Бұл теңдеулерден келесі теңдіктерді анықтау оңай:

a'22=a22+a12α12,

a'23=a23+a13α12,

a'32=a32+a12α13,

a'33=a33+a13α13,

a'2P=a2P+a1Pα12,

a'3P=a3P+a1Pα13.

Редукцияланған жүйенің матрицасы да симметриялы. Алдыңғы сияқты, біз тедіктерден х2 - ні шегереміз. Бұл жағдайда бір теңдеуден тұратын екінші редукцияланған жүйені аламыз

1.4.1'α 23'+1.4.3'= 1.4.3'',

бұл жерде

α'23=-a'23a'22.

немесе басқа алмастыруларды қолдана отырып,

a''33x3+a''3p=0,

бұл жерде

a''33=a'33+α'23a'23,

a''3p+a'2pα'23.

Бастапқы (1.4.1) - (1.4.3) теңдеулер жүйесін орнына келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

a11x1+a12x2+a13x3+a1p=0, (1.4.1)
a'22x2+a'23x3+a'2p=0, 1.4.2'

a''33x3+a''3p=0. 1.4.3''

Бұл жүйе үшбұрышты, Гаусс матрицасы деп аталады, ал оны есептеу үшін тікелей жүріс әдісін қолдандық. Келесі есептеулерді кері үрдіс әдісі деп аталады. Ол әдіс келесі есептеулермен жүргізіледі:

х3=-a''3pa''33,

x2=α'23x3-a'2pa'22,

x1=α12x2+α13x3-a1pa11.

Осылайша, барлық белгісіздер табылды. Гаусс әдісінің иллюстрациясы ретінде төменде алынған теңдеулер жүйесінің шешімі келтірілген мысалды қарастырайық. Тікелей жүріс операциялары кестелік нысанда орындалады.
Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін шешу мысалы ретінде келесі теңдеулер жүйесінің түбірін табуды қарастырайық:

322,5x1+44.25x2-90x3-1695=0,

-44.25x1+8.5x2-9x3-273.33=0,

-90x1-9x2+252x3+225=0.

Тікелей жүріс әдісі 1.4.1 кесте
№ теңдеу
x1
x2
x3
Бос мүше
aik
(1)
322,5
44.25
-90
-1695
a12=-44.2544.25=
=0,1372
a13=90322,5=
=0,2790
(2)
a12(1)

44.25
-44.25
8.5
-6.07
-9
232.55

(2')

0

2,43

3,35

-40.78
a13'=-3,352,43=
=-1,3786
(3)
a13 (2)
a13'(2')
-90
90
0
-9
12,35
-3,35
2,52
-25,12
-4,62
2,25
-473,06
-56,22

Тікелей жүріс операциялары аяқталды. Енді кері қадамды орындалық. 3'' теңдеуден x3=191,84222,26=0,863 табамыз . Келесі x3 - ті (2) теңдеуге енгізе отырып, (1) теңдеуден х1=3,36 теңдігін анықтаймыз.

1.4.2 Итерациялық әдіс ( тізбекті жақындау әдісі)

Үшінші ретті теңдеулер жүйесін шешу мысалында осындай екі әдісті қарастырайық:

a11x1+a12x2+a13x3+a1p=0,

a21x1+a22x2+a23x3+a2p=0,

a31x1+a32x2+a33x3+a3p=0,

Бұл жүйені келесі түрге келтірсек:

х1=0-a12a11x2-a13a11x3-a1pa11,

х2=-a21a22x1+0-a23a22x3-a2pa22,

х3=-a31a33x1-a32a33x2+0-a3pa33.

bij=-aijaii, ci=-aiPaii есептеулерін назарға ала отырып, алынған өрнектерді матрицалық түрде жазамыз. Нәтижесінде келесі өрнекті анықтаймыз:

x1x2x3=0b12b13b210b23b31b320∙x1x2x3 +c1c2c3.

1.4.3 Қарапайым итерация әдісі

Осы әдісте тізбекті жақындау әдісі келесі түрде есептеледі:

xα1xα2xα3=0b12b13b210b23b31b320∙x1α -1x2α-1x3α-1+c1c2c3 (1.4.4)

немесе

Xα=BXα-1+C,

бұл жерде α - итерация нөмірі.
Мысалы,матрицаны бірінші жуықтауында

X1=x11=0, x21=0,x31=0

және осы мәндерді (1.4.4) қойып, екінші жуықтауды

X2=x12=c1, x22=c2,x32=c3

аламыз және т.б., көрші жуықтаулар арасындағы айырмашылық аз болғанша. Әрине, бірінші жуықтау ретінде X матрицасының басқа да мәндерін қабылдауға болады. Олар іздестірілетін мәндерге жақын болған сайын, біртіндеп жақындау процесі соғұрлым жылдам жүреді.
Теңдеулер жүйесін қарапайым итерация әдісімен шешуді қарастыралық.
Келесі теңдеулер жүйесінің түбірін итерация әдісімен табу қажет:

10x1+x2+x3=12,
(1.4.5)
2x1+10x2+x3=13,

2x1+2x2+10x3=14,

Бұл теңдеулер жүйесін нақты шешім: x1=x2=x3=1.
Бірінші жуықтаудан келесіні аламыз:

x11x21x31=0-0,1-0,1-0,20-0,1-0,2-0, 20∙000+1,21,31,4=1,21,31,4,

Екінші жуықтаудан келесіні аламыз:

x12x22x32=0-0,1-0,1-0,20-0,1-0,2-0, 20∙1,21,31,4+1,21,31,4=0,930,920,9.

Осы есептеулер арқылы нәтижені аныықтаймыз. Есетеудің нәтижесі 1.4.2 кестеде көрсетілген.
(1.4.5) жүйесінің шешімін қарапайым итерациялық жолмен шешудің нәтижесі
1.4.2 кесте

α
1
2
3
4
5
x1
1,2
0,93
1,008
0,995
1,001
x2
1,3
0,92
1,024
0,995
1,002
x3
1,4
0,90
1,030
0,994
1,002

1.4.4 Жедел итерация әдісі

α - ші итерация мына түрде берілсін:

x1α=0+b12x2α-1+b13x3α-1+c1,

x2α=b21x1α+0+b23x3α-1+c2,

x3α=b31x1α+b32x2α+0+c3.

Жедел итерация әдісі қарапайым итерация әдісінен келесі анықтамалары арқылы ерекшеленеді: Бірінші жуықтауында

X1=c1,c2,c3

қабылданғаннан кейін, екінші жақындауда тек x12 ғана анықталады. x22 анықтай отырып, х12,х21,х31 - шілерді (1.4.4) теңдеуіне қоямыз. x32 анықтай отырып, х12,х22,х31 - ді (1.4.4) теңдеуіне қоямыз. Келесі кезекте кезекті жуықтау х13 - ті есептейміз, (1.4.4) теңдеуіне x22, x32 нәтижесін орналастыра отырып, ары қарай осы тәсілмен есептейміз.
Матрицаларды қосу және көбейтудің A+BC=AC+AB, ережелерін назарға ала отырып, бұл тізбекті келесі матрицалық түрде жазуға болады.

x1αx2αx3α=000b2100b31b320∙x1αx2αx3α +0b12b1300b23000∙x1α-1x2α-1x3α-1+c1 c2c3.

Есептеулер белгісіздер қажетті дәлдікпен табылғанға дейін жалғасуы тиіс.
Теңдеулер жүйесін жедел итерация әдісімен шешуге мысал келтірелік.
(1.4.5) теңдеулер жүйесінің шешімін осы әдіспен табалық.
Бірінші ретті жуықтау:

х12х22х32=000-0,200-0,2-0,20∙х12х22 х32+0-0,1-0,100-0,1000∙000+1,21,31, 4=1,21,060,948,

Екінші ретті жуықтау:

х12х22х32=000-0,200-0,2-0,20∙х12х22 х32+0-0,1-0,100-0,1000∙1,21,060,948 +1,21,31,4=

=0,99921,00540,99908,

Есептеу нәтижелері 5.3 - кестеде төменде берілген. (1.4.5) теңдеулер жүйесін жедел итерация әдісімен шешу табу нәтижесі
1.4.3 - кесте

α
1
2
3
x1
1,2
0,9992
0,99955
x2
1,06
1,0054
1,00018

1.4.2 және 1.4.3 кестелерді салыстыра отырып, жылдам итерация әдісі есептеулердің едәуір аз саны кезінде шешім алуға мүмкіндік береді.
Итерациялық әдістер есептеу үшін қарапайым және ыңғайлы, олар кез келген дәлдік дәрежесімен шешім алуға мүмкіндік береді. Есептеу барысында жіберілген қателіктер жинақтылықтың бәсеңдеуіне алып келеді,бірақ соңғы нәтижеге әсер етпейді. Алайда, бұл үдерістер кейде өте баяу, содан кейін біртіндеп жақындау әдістерімен шешу қиынға соғады. Мұнда итерациялық әдістердің тек екі нұсқасы қарастырылған. Бірақ бұл туралы көп мәліметтер қарастырылған [1, 204 бет].

1.5 Сызықты теңдеулер жүйесінің шешімінің орнықтылығы

Егер алгебралық сызықты теңдеулер жүйесінің матрицасы "нашар байланысты болса, жүйенің шешімі тұрақсыз болады, яғни коэффициенттердің аз мөлшерде өзгеруі белгісіз шамалардың елеулі өзгеруіне әкеледі.
Мысал ретінде мына теңдеулер жүйесін қарастыралық:

5x1+7x2+6x3+5x4=23,

7x1+10x2+8x3+7x4=32,
(1.5.1)
6x1+8x2+10x3+9x4=33,

5x1+7x2+9x3+10x4=31.

Теңдеулер жүйесін шешімі: х1=x2=x3=x4=1 болып табылады. Бұндай жүйені талдауға [1,139 - 143 бет] толықтай мәлімет берілген. Бұндай деректерді [8, 82 - бет] ішінен табуға болады. 1.5.1 - кестеде теңдеулерді шешу нәтижелері келтірілген, олар еркін мүшелердегі қателіктердің шешім нәтижелеріне әсері туралы түсінік береді.
(1.5.1) жүйесінің орнықтылығын бағалау
1.5.1 - кесте
(6.1) жүйенің бос мүшелерінің матрицасы
X матрицасы
23;32;33;31
1;1;1;1
23,001;31,999;32,999;31,001
1,136;0,918;0,965;1,021
23,01;31,99;32,99;31,01
2,36;0,18;0,65;1,21
23,1;31,9;32,9;31,1
14,6;-7,2;-2,5;3,1

(1.5.1) жүйесі өте сезімтал; сондай - ақ белгісіздердің алдындағы коэффициенттердің өзгеруіне де өте сезімтал. Мысалы, егер олардың біреуі ғана өзгерсе, онда a11=5, оны 4,99 тең қабылдап, X=-173,19-2,170,281,32 аламыз.
Матрицалардың сезімталдығын бағалай білу өте маңызды. Мұндай бағалаудың екі белгілі критериясын қарастырайық.

1.5.1 Адамар теңсіздігіне негізделген критерий

Бұл теңсіздік келесі түрде беріледі [9, 208 бет]:

D2B=i=1nj=1nbij2,

бұнда B - теңдеулер жүйесінің матрицасы, bij - B матрица элементтері, D - B матрицасының анықтауышы.
Оны нормаланған анықтағыш өрнегімен салыстыра отырып:

DB=DBi=1nj=1nbij2

нәтижесінде, мынаны аламыз

-1=DB=+1.

Бірақ, күш және ығысулардың каноникалық теңдеулер жүйесінің анықтаушы ұшінD=0 болған жағдайда,

0=DB=+1.
Нормаланған анықтауыштың шамасы бірлікке жақын болған сайын, соғұрлым матрица жақсы құрылған болып есептеледі. Дәл деп есептеледі, егер [8, бет 87]

0,1=DB=1

болса, онда матрица жақсы құрылған болады.
Егер

DB=0,05,

болса, онда матрица нашар құрылған болады.

1.5.2 Матрицаның сезімталдығын бағалаудың жуықтау критерийі

Қарастырылған мысалда каноникалық теңдеулер жүйесін анықтаушы барлық үш жағдайда бірдей, 15 - ке тең болды, ал барлық анықтағыштардың элементтері әртүрлі болды. Канондық теңдеулер матрицасының элементтері көп болған сайын (сол анықтағышта), оның сезімталдығы да нашарлайды. Бұл жағдай матрицалардың шартталуының өте қарапайым, жуықтау критерийін қалыптастыруға мүмкіндік береді [8, 87-бет]:

m=Daij maxn.

Бұл жерде D - жүйенің анықтағышы, aij max - анықтаушының ең үлкен элементі, n - анықтауыш реттілігі. Жоғарыда айтылғандай, m неғұрлым көп болса, соғұрлым матрица жақсы болады деп күтуге болады. Осылайша, 2 - ші бөлімдегі соңғы кестеде берілген үш негізгі жүйе үшін тиісінше мынаны аламыз:

m1=15242=0,026; m2=1582=0,234; m3=1542=0,938.

Негізгі жүйенің үшінші нұсқасы кезінде, мұнда белгісіз ретінде тірек моменттері қабылданған жағдайда m жуықтау критерийінің шамасы, ең үлкен болып табылады, бұл жуықтау критерийінің дәлдігін растайды.

II ЖАЗЫҚ СТЕРЖЕНДІ ЖҮЙЕЛЕРДЕГІ ЫҒЫСУЛАР

2.1 Балка мен рамкадағы ығысулар

Қисық деформацияға ұшырайтын жүйелерде орын ауыстырулар ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.