Канондық теңдеулер жүйесін шешу әдістері

КІРІСПЕ

Компьютерлер құрылыс құрылымдары мен білім беру процесін есептеу және жобалау процесінің ажырамас бөлігі болды. Осыған байланысты, құрылыс механикасы курсын сызықты алгебраның кейбір элементтерімен мазмұндау қажеттілігі туындады. Ең алдымен бұл орын ауыстыруларды анықтау және статикалық Анықталмайтын жүйелерді есептеу әдістерінің матрицалық формасына жатады. Матрицалардың аппараты құрылыс механикасының міндеттерін шешу кезінде кездесетін көптеген процедураларды жинақы және әмбебап түрде баяндайды.

Матрицалармен жұмыс істей білу "Mathlab" және "Mathcad"сияқты қолданбалы бағдарламалар пакеттерінің пайда болуымен қажет болды. Матрицалар мен бағдарламалау элементтеріне ие қарапайым операциялар қалай орындалатынын біле отырып, студент құрылыс құрылымдарын есептеудің күрделі міндеттерін оңай шеше алады.

Осы есептердің көбі сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешумен байланысты. Оларды шешу әдістерін білу және теңдеулер жүйесін шешудің орнықтылығы туралы түсінік, сондай-ақ осы курсты оқытушыға қажет.

Жоғарыда аталған мәселелер жәрдемақының мазмұнын анықтады. Ол келесі негізгі бөлімдерден тұрады: матрицалардың түрлері және олардың айырмалық ерекшеліктері, матрицаларға жасалатын операциялар, орын ауыстыруларды анықтаудың матрицалық формасы, күштер мен орын ауыстырулар әдістерінің матрицалық формасы, сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері, осындай жүйелерді шешу тұрақтылығы.

Тақырыптың өзектілігі.

Зерттеу мақсаты.

Зерттеу нысаны.

Зерттеу пәні.

Зерттеу міндеттері.

Мәселенің зерттелу деңгейі.

Мәселенің деректік көзі.

Зерттеудің әдістері, әдіснамалық негіздері. Орта және жоғарғы мектеп математикасында қарастырылған ұғымдар мен әдістемелер.

Зерттеудің теориялық негіздері. Университетте оқылған математикалық пәндерде қарастырылған.

Зерттеудің ғылыми жаңашылдығы.

Зерттеудің практикалық маңыздылығы .

Диплом жұмысының құрылымы: кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және 50 беттен тұрады.

I МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСЫНЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ

Қандай да бір жиын элементтері $a_{ij}$ - ден $\ \ (i = 1, 2, \ldots, m,$ $j = 1, 2, \ldots, n)$ құрастырылған $m \times n\$ өлшемді тік бұрышты кесте матрица деп аталады және былай жазылады:

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

$m$ және $n$ сандары матрицаның өлшемін сипаттайды.

1. 1 Матрицаның түрлері

Егер берілген А матрицасында $n = 1$ болса, онда жатық жолдық матрицаны аламыз.

Жатық жолдық матрицасын ықшамдап $A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m} \right\}$ түрінде жазамыз.

Ал $m = 1$ болған жағдайда тік жолдық $A = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \begin{matrix} \ldots \\ a_{m1} \end{matrix} \end{bmatrix}$ матрицасын анықтай аламыз.

Бірінші жазбада екінші реттік индекстері түсірілген, ал екіншісінде бірінші реттік индекстер түсірілген.

Барлық элементі нөлге тең матрица нөлдік матрица деп аталады. Ол $O$ символымен белгіленеді және $m \times n$ өлшемдері болмайды.

Егер А матрицасында жатық жол саны мен тік жол саны тең яғни, $m = n$ тең болған жағдайда матрицалар шаршы ( квадраттық ) матрица деп аталады. «Өлшемдер» терминінің орнына бұл матрицада «рет» термині қолданылады. Келесі жазбаларда шаршы (квадраттық) матрицаның ретін $m$ әріпімен белгілейміз. Шаршы (квадраттық) матрицаның негізгі диаганалі бар және ол $a_{21}, \ {\ a}_{22}, \ \ldots, \ a_{mn}$ элементтерін құрайды.

Біртекті емес индекстерінің саны нөлге тең шаршы (квадраттық) матрицаны диагоналді матрица деп атаймыз.

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & . . . & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{mm} \end{bmatrix}$$

Егер $a_{11}, a_{22}, \ldots, \ a_{m} = a$ болған жағдайда диагоналді матрица скалярлі матрица деп аталады.

Бас диоганал элементтері 1-ге, ал қалған элементтері 0-ге тең шаршы (квадраттық) матрица бірлік матрица деп аталды.

$Е = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & . . . & 0 \\ 0 & 1 & 0 & . . . & 0 \\ 0 & 0 & 1 & . . . & 0 \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ 0 & 0 & 0 & . . . & 1 \end{bmatrix}$ .

Матрицалық есептеудегі бірлік матрица арифметикалық операциялардағы бірлікке ұқсас рөл атқарады.

Бас диагоналі, оған параллел іргелес асты мен үстіндегі диагоналдан басқа диагоналдардың барлының элементтері тек нөлден құрылған $m$ -ші ретті квадраттық матрицана ленталық деп атайды. Мысалға бесінші ретті үшленталы матрица келесі түрде болады:

$A = \left\lbrack \ \ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ \begin{matrix} 0 & \ \ 0\ & \ \ \ \ \ 0 \end{matrix} \\ a_{21} & a_{22} & \begin{matrix} a_{23} & 0 & \ \ \ \ \ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} a_{32} \\ \ 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} a_{33} & a_{34} & \ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{43} & a_{44} & a_{45} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & a_{54} & a_{55} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \right\rbrack$

Кез келген санды бірінші ретті квадраттық матрицасы ретінде қарастыруға болады. Мұндай матрица скалярлық деп аталады.

Симметриялы матрица , элементтері негізгі диагоналға қатысты симметриялы орналасқан және элементтері өзара тең, яғни $a_{ij} = a_{ji}$ , квадраттық матрица .

Егер А матрицасына көлденең және тік және көлденең «бөлімдер» жүргізілсе, онда матрица бірнеше тікбұрышты ұяшықтарға немесе блоктарға бөлінеді. $5 \times 6$ тікматрицасының блоктарға бөлінуінің бір мысалы келесідей болады:

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \begin{matrix} a_{13} & \vdots & \begin{matrix} a_{14} & \vdots & \begin{matrix} a_{15} & a_{16} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \\ a_{21} & a_{22} & \begin{matrix} a_{23} & \vdots & \begin{matrix} a_{24} & \vdots & \begin{matrix} a_{25} & a_{26} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ a_{31} \\ \begin{matrix} a_{41} \\ a_{51} \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{32} \\ \begin{matrix} a_{42} \\ a_{52} \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots \\ a_{33} \\ \begin{matrix} a_{43} \\ a_{53} \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \vdots \\ \vdots \\ \begin{matrix} \vdots \\ \vdots \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots \\ a_{34} \\ \begin{matrix} a_{44} \\ a_{54} \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \vdots \\ \vdots \\ \begin{matrix} \vdots \\ \vdots \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots \\ a_{35} \\ \begin{matrix} a_{45} \\ a_{55} \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{36} \\ \begin{matrix} a_{46} \\ a_{56} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{bmatrix}$$

Бұл түрдегі матрицаларды блокты матрица деп атайды.

Әр блок шегіндегі элементтер өздері матрицалар немесе «ішкі матрицалар» құрады:

$A_{11} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}$ , $A_{12} = \begin{bmatrix} a_{14} \\ a_{24} \end{bmatrix}$ , $A_{13} = \begin{bmatrix} a_{15} & a_{16} \\ a_{25} & a_{26} \end{bmatrix}$

$A_{21} = \begin{bmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} \end{bmatrix}$ , $A_{22} = \begin{bmatrix} a_{34} \\ a_{44} \\ a_{54} \end{bmatrix}$ , $A_{23} = \begin{bmatrix} a_{35} & a_{36} \\ a_{45} & a_{46} \\ a_{55} & a_{56} \end{bmatrix}$

Сондықтан, бұл жағдайда $A$ блок матрицасын төмендегідей жазуға болады:

$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \end{bmatrix}$$

Бір бас диагоналда орналасқан, $A_{ii}$ квадратты матрицалардан құралған блок матрицаны квазидиагоналді матрица деп атайды

$A = \begin{bmatrix} A_{11} & 0 & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ 0 \end{matrix} \\ 0 & A_{22} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ 0 \end{matrix} & \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ A_{mm} \end{matrix} \end{matrix} \end{bmatrix}$ .

1. 2 Матрицалармен орындалатын aлгебралық амалдар

Матрицаның анықтаушы, квадраттық матрицаның элементтерінен олардың орналасуын өзгертпей құралады. Матрица анықтауышы $А$ , $D(A)$ немесе $detA$ символдармен белгіленеді.

Егер матрица элементтері сандар болған жағдайда, оның анықтаушы сандық негізде анықталады.

Анықтауышты есептеуге арналған формулалар мен заңдылықтарды есептеп табуға болады, мысалы, [1, бет. 157] немесе [2, бет. 146] .

Матрицалар тең деп аталады, егер матрицалардың өлшемдері бірдей және олардың барлық бірдей орналасқан элементтері өзара тең болса.

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & {\ \ a}_{12} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ a_{1n} \end{matrix} \\ a_{21} & \ \ a_{22} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ a_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ a_{m1} \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{m2} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{mn} \end{matrix} \end{matrix} \end{bmatrix}$$

және

$$B = \begin{bmatrix} b_{11} & {\ \ b}_{12} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ b_{1n} \end{matrix} \\ b_{21} & \ \ b_{22} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ b_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ b_{m1} \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ b_{m2} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ b_{mn} \end{matrix} \end{matrix} \end{bmatrix}$$

матрицалар тең болады, егер, $m = n$ және барлық $i = 1, \ldots, m$ үшін $a_{ij} = b_{ij}$ .

Транспорленген $A^{T}$ матрицасын құруды қарастыралық.

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & {\ \ a}_{12} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ a_{1n} \end{matrix} \\ a_{21} & \ \ a_{22} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ a_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ a_{m1} \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{m2} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{mn} \end{matrix} \end{matrix} \end{bmatrix}$

матрицасының жолдары мен бағандарының орналасу реттілігін ауыстыратын болсақ, онда берілген А матрицасына қатысты $A^{T}$ транспорленген матрицасын анықтай аламыз:

$A^{T} = \begin{bmatrix} a_{11} & {\ \ a}_{21} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ a_{m1} \end{matrix} \\ a_{12} & \ \ a_{22} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ a_{m2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ a_{1n} \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{2n} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{mn} \end{matrix} \end{matrix} \end{bmatrix}$ .

1. 2. 1 Матрицаларды қосу ( азайту )

Тек жолдар саны мен бағандардың бірдей саны бар матрицаларды қосуға және алуға болады

$$A + B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix} =$$

$$\left\lbrack \begin{array}{r} \left( a_{11} + b_{11} \right) + \left( a_{12} + b_{12} \right) + \left( a_{13} + b_{13} \right) \\ \left( a_{21} + b_{21} \right) + \left( a_{22} + b_{22} \right) + \left( a_{23} + b_{23} \right) \end{array} \right\rbrack = C$$

Осылайша, $m \times n$ өлшемді $A$ және $B$ матрицаларының қосындысы бірдей ретті $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ элементтері бар $C$ матрицасын береді.

Егер $A - B = C$ , онда $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$ .

Матрицаларды қосу келесі заңдылықтарға бағынады:

1. $A + B = B + A$

2. $(A + B) + C = A + (B + C)$

3. $A + 0 = A$

1. 2. 2 Матрицаларды көбейту

Матрицаны $\beta$ санға (скаляр) көбейту оның барлық элементтері $\beta$ рет ұлғайтылған матрицаны береді:

$\beta A = \beta\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\beta a}_{11} & \beta a_{12} & {\beta a}_{13} \\ {\beta a}_{21} & \beta a_{22} & {\beta a}_{23} \end{bmatrix}$ .

$\beta A$ көбейтіндісі келесі заңдылықтарға бағынады.

$$1. (\alpha + \beta) A = \alpha A + \beta A$$

$$2. \alpha(A + B) = \alpha A + \alpha B;$$

$$3. (\alpha\beta) A = \alpha(\beta A) = \beta(\alpha A) .$$

Бірінші көбейтушінің бағандар саны екінші жолдардың санына тең болатын сәйкес матрицаларды ғана көбейте аласыз.

Мысалдарды қарастырсақ:

1. 1 - мысал.

$A \bullet x = \begin{bmatrix} a_{11} & {\ \ a}_{12} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ a_{1n} \end{matrix} \\ a_{21} & \ \ a_{22} & \begin{matrix} \cdots & \ \ \ a_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ a_{m1} \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{m2} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots \\ a_{mn} \end{matrix} \end{matrix} \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \begin{matrix} \cdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left( a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} \right) \\ \left( a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} \right) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \cdots\ \ \ \ \ & \cdots\ \ \ \ \ \ \ & \begin{matrix} \cdots\ \ \ \ \ & \cdots \end{matrix} \end{matrix} \\ \left( a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{mn}x_{n} \right) \end{matrix} \end{bmatrix}$ .

1. 2 - мысал.

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ \begin{matrix} b_{21} \\ b_{31} \end{matrix} & \begin{matrix} b_{22} \\ b_{32} \end{matrix} & \begin{matrix} b_{23} \\ b_{33} \end{matrix} \end{bmatrix} = \left\lbrack \begin{matrix} \left( a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} \right) \\ \left( a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} \right) \end{matrix} \right. \$$

$$\left. \ \begin{matrix} \left( a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \right) & \left( a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33} \right) \\ \left( a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \right) & \left( a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33\ } \right) \end{matrix} \right\rbrack = C$$

1. 3 - мысал

$$AB = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix} =$$

$$\left\lceil \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \\ a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} \end{matrix} \right\rceil$$

1. 4 - мысал.

$$AB = \left\lbrack a_{11}a_{12}\ldots a_{1n} \right\rbrack \bullet \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \begin{matrix} \ldots & b_{1p} \end{matrix} \\ b_{21} & b_{22} & \begin{matrix} \ldots & b_{2p} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots \\ b_{n1} \end{matrix} & \begin{matrix} \ldots \\ b_{n2} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \ldots \\ \ldots \end{matrix} & \begin{matrix} \ldots \\ b_{np} \end{matrix} \end{matrix} \end{bmatrix} =$$

$$\left\lbrack \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \ldots + a_{1n}b_{n1} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + \ldots + a_{1n}b_{n2} & . . \end{matrix} \right. \ .$$

$$\left. \ \begin{matrix} \ldots & a_{11}b_{1p} + a_{12}b_{2p} + \ldots + a_{1n}b_{np} \end{matrix} \right\rbrack$$

1. 5 - мысал.

$$AB = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \begin{matrix} \ldots \\ a_{m1} \end{matrix} \end{bmatrix} \bullet \left\lbrack b_{11}b_{12}\ldots b_{1n} \right\rbrack =$$

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс