Лаплас теңдеуі үшін шеттік есептер

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

Қостанай мемлекеттік педагогикалық университеті

Жаратылыстану - математика факультеті

Физика-Математика кафедрасы

Эллипстік типті теңдеулер. Негізгі өлшемдердің қойылуы.

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

5В011000 «Физика» мамандығы

Орындаған: Маменова Х. Х.

Ғылыми жетекшісі: Касымова А. Г, ф-м. ғ. к, доцент

2019 ж

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

I. Лаплас теңдеуіне алып келетін физикалық есептер . . . 4

1. 1. Стационарлық жылулық өріс. Шеттік есептердің қойылуы . . . 4

1. 2. Лаплас теңдеуі үшін шеттік есептер . . . 6

ІІ. Электростатиканың есептері . . . 6

2. 1. Өткізгіштердің сыртындағы өрісті және өткізгіштердегі зарядтардың тығыздығын анықтау . . . 6

2. 2. Өткізгіштің потенциалдары беттеріндегі зарядтардың үлестірілуі және өткізгіш сыртындағы өрісті табу . . . 6

2. 3. Есептің $\varphi_{1}$ және $\varphi_{2}$ екі шешімдерін табу . . . 7

2. 4. Зарядталған шардың өрісін қарастырайық . . . 8

2. 5. Сфералық конденсатор туралы есепті қарастырайық . . . 8

ІІІ. Грин формуласы. Шешімді интегралды түрде ұсыну . . . . 9

IV. Қарапайым облыстар үшін шеттік есептерді айнымалыларды бөлу әдісімен шешу . . . 11

V. Электростатикада конформдық түрлендіру әдісінің қолданылуы . . . 13

Қорытынды . . . 16

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . 17

Кіріспе

Математикалық физика әдістері - білім алушының табиғатта өтетін құбылыстарға теориялық және практикалық тұрғыдан талдаулар жасап, олардың арасындағы қарама-қайшылықтарды айыра білуі үшін қажет. Өйткені құбылыстарды математикалық өрнектеу (қозғалыс теңдеулері, күй теңдеулері, математикалық модельдеу, т. б. ) арқылы сипаттап, алынатын нәтижелерге теориялық болжамдар жасай алады. Векторлық анализдің физика мен механикада қолдануларын көрсету және математикалық физика әдістерімен танысу, яғни математикалық физика есептерінің қойылымдары мен оларды шешу жолдарын талқылау болып табылатын физика ғылымдарының бір саласы.

Тақырыптың өзектілігі: Жазықтықтағы фокус деп аталатын екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы әрқашанда тұрақты шама 2α-ға тең болатын нүктелердің орнын эллипс деп атайды. Эллипстік типті теңдеулерді шешуде Лаплас, Дирихле, Нейман, және Грин теңдеулерін жан-жақты зерттеп, әрқайсысының шешімдерінің ішінен оның физикалық мағынасынан шығатын қандай да бір қосымша шарттарды қанағаттандыратынын таңдап алу қажет екендігі қарастырылған.

Курстық жұмыстың мақсаты: математикалық физика әдістерінде эллипстік теңдеулердің алатын орнымен таныстыру, негізгі әдістерді үйрету және оларды қолдана білуге дайындап, әр түрлі жеке дара ұғымдар мен зерттеулерді бір жүйеге келтіру нәтижесінде қойылған есептерді шығара білу қабілетін арттыру. Осы заңдылықтардың барлығын меңгере отырып, осы процестерді математикалық физика әдістерінде дұрыс пайдаланумен қатар, оның теориялық және практикалық маңызын түсіну болып табылады.

Жұмыстың міндеттері:

-Лаплас теңдеуіне алып келетін физикалық есептер;

-Стационарлық жылулық өріс. Шеттік есептердің қойылуы;

-Грин формуласы. Шешімді интегралды түрде ұсыну;

-Электростатикада конформдық түрлендіру әдісінің қолданылуы;

-Қарапайым облыстар үшін шеттік есептерді айнымалыларды бөлу әдісімен шешу.

I. Лаплас теңдеуіне алып келетін физикалық есептер

1. 1. Стационарлық жылулық өріс. Шеттік есептердің қойылуы.

Табиғаты әртүрлі стационарлық құбылыстарды (тербелістер, жылуөткізгіштік, диффузия т. б. ) зерттеу эллипстік теңдеулерді шешуге алып келеді. Кеңінен тараған бұл теңдеуге Лаплас теңднеуі жатады.

$\frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}} = 0$

Егер қандай да бір Т облысында қарастырылып отырған u функциясының өзімен бірге екінші үздіксіз туындысы болып, ол Лаплас теңдеуін қанағаттандырса, оны гармоникалық функция деп атайды. Гармониялық функцияның қасиеттерін зерттеу негізінде гиперболалық және параболалық типтегі теңдеулерге қолданылатын әртүрлі математикалық әдістер жасалынып, олар өзерінің қомақта жемістерін береді. Стационарлық жылу өрісін қарастырылық.

$\frac{\partial y}{\partial t} = a^{2}\left( \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}} \right)$

Егер қандай да бір Т облсында қарастырылып орырған u функциясының өзімен бірге екінші ретті үздіксіз туындысы болып, ол Лаплас теңдеуін қанағаттандырса, оны гармониялық функция деп атайды. Гармониялық функцияның қасиеттерін зерттеу негізінде гиперболалық және параболалық типтегі теңдеулерге қолданылатын әртүрлі математикалық әдістер жсалынып, олар өздерінің қомақты жемістерін береді. Стационарлық жылу өрісін қарастыралық:

$\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\left( \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \ \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{{\partial z}^{2}} \right)$

Мұндағы: $a^{2} = \frac{k}{cp}$

Егер процес стационарлық болса, яғни u(x, y, z) температурасы уақыт өтуіне байланысты өзгермей, үлестірілуі қалыптасып, Лаплас теңдеуін қанағаттандырса, онда дифференциалдық теңдеу төмендегідецй болады:

$\frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{{\partial z}^{2}} = 0$ (1. 1)

Жылу көзі бар болса, мына теңдеу шығады:

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{{\partial y}^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{{\partial z}^{2}} = - f$ (1. 2)

Мұндағы: $\ f = \frac{F}{k}$

F-жылу көздерінің тығыздығы;

k-жылу өткізгіштік коэффициент.

Лапластың біртекті емес теңдеуін (1. 2) Пуассон теңдеуі деп атайды.

1. 2. Лаплас теңдеуі үшін шеттік есептер

S бетімен шектелген қандай да бір V көлемін қарастыралық. Дененің V көлемінде u(x, y, z) температурасының стационарлыұ үлестіру есебіне былайша формулировка жасалынады: V көлемінде төмендегі теңдеуді және келтірілген шеттік шарттарды қанағатттандырып, оның біреуі таңдап алынатын u(x, y, z) функциясын табу.

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{{\partial y}^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}} = - f(x, y, z) \$

$u = f_{1}$ S бетте (бірінші шеттік есеп)

$\frac{\partial u}{\partial n} = f_{2}$ S бетте (екінші шеттік есеп)

$\frac{\partial u}{\partial n} + h\left( u - f_{3} \right) = 0$ S бетте (yшінші шеттік есеп)

Мұндағы: $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ , h берілген функциялар, $\frac{\partial u}{\partial n}$ - S бетке тұрғызылған сыртқы нормаль бойынша алынған туынды.

Лаплас теңдеуі үшін бірінші шеттік есепті Дирихле , ал екіншісін Нейман есебі деп атайды.

Егер есептің шешімі S бетімени салыстырғанда оның ішінде орналасқан $V_{0}$ көлемде ізделсе, оны ішкі шеткі есеп, ал сыртында орналасса, сыртқы шеткі есеп деп атайды.

II. Электростатиканың есептері

Электростатиканың есептерінде Максвелл теңдеулерін шешу өрістің кернеулігімен төмендегі қатынаспен байланысқан бір скалярлық функцияның потенциалын табуға бағытталған:

$\overrightarrow{E} = - grad\varphi$

Максвелл теңдеуін пайдаланып,

$div\overrightarrow{E} = - 4\pi\rho$

Мына теңдікті аламыз:

$\mathrm{\Delta}\varphi = - 4\pi\rho$

Сонымен, потенциал кеңістіктің заряды бар нүктелерінде Пуассон, ал заряды жоқ нүктелерінде Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.

Электростатиканың негізгі есебі, берілген өткізгіштерде зарядтар жүйесінің туғызатын өрісін анықтау болып табылады. Бұл жағдайда есептің екі түрлі қойылмы бар.

2. 1. Өткізгіштердің сыртындағы өрісті және өткізгіштердегі зарядтардың тығыздығын анықтау.

Өткізгіштердің потенцалдары беріліп, оның сыртындағы өрісті және өткізгіштердегі зарядтардың тығыздығын анықтау қажет. Есептің математикалық формулировкасы мынындай:

Берілген өткізгіштер жүйесінің сыртында орналасқан барлық нүктелерде Лаплас теңдеуін $\mathrm{\Delta}\varphi = 0$ қанағаттандырып, шексіздікте нөлге айналатын және өткізгіштердің $S_{i}$ беттерінде берілген $\varphi_{i}$ мәндерін қабылдайтын $\varphi$ функциясын табу керек.

$\varphi ǀ_{s} = \varphi_{i}$

Мұндағы: $\varphi_{i = 0}$

2. 2. Өткізгіштің потенциалдары беттеріндегі зарядтардың үлестірілуі және өткізгіш сыртындағы өрісті табу.

Екінші кері қойылымда болуы мүмкін. Өткізгіштің толық заряды беріліп, олардың потенциалдары беттеріндегі зарядтардың үлестірілуі және өткізгіш сыртындағы өріс іздестіріледі. Бұл есептің шешімі берілген өткізгіштер жүйесінің сыртында іздестіріледі. Бұл есептің шешімі беріәлген өткізгіштер жүйесінің сыртында Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын, шексіздікте нөлге айналатын өткізгіштердің бетінде қандай да бір тұрақты мәнді қабылдап, $\left. \ \varphi \right_{Si} = const$ мына интегралдық қатынасты қанағаттандыратын $\varphi$ функциясын табуға әкеледі.

$\oint_{S_{i}}^{}\frac{\partial\varphi}{\partial n}d\delta = - 4\pi e_{i}$

Мұндағы: $e_{i\ }$ - i-ші өткізгіштің толық заряды.

2. 3. Есептің $\mathbf{\varphi}_{\mathbf{1}}$ және $\mathbf{\varphi}_{\mathbf{2}}$ екі шешімі бар деп есептейік. Олардың айырымы:

$\varphi^{, } = \varphi_{1} - \varphi_{2}$

Төмендегі теңдеумен шаттарды қанағаттандырады:

${\mathrm{\Delta}\varphi}^{, } = 0$

$\varphi^{, }\left S_{i} = const \right. \$ ; $\oint_{S_{i}}^{}\frac{\partial\varphi}{\partial n}$ dS=0

Мұндағы: $\varphi\left \infty = 0 \right. \$

Барлық берілген өткізгіштерді радиусы R, беті $S_{i}$ сфераның ішіне орналастырып, $V_{R}$ облысында $S_{R}$ сферасымен және $S_{i}$ өткізгіштердің бетімен шектелген $\varphi^{, }$ функциясына Гриннің бірінші формуласын қолданайық.

$\int_{V_{R}}^{}{{(\nabla\varphi}^{, }) }^{2}d\tau = \int_{S_{i}}^{}{\varphi^{. }\frac{{\partial\varphi}^{, }}{\partial n}}d\delta + \sum_{i = 1}^{n}{\int_{S_{i}}^{}\varphi^{, }}\frac{{\partial\varphi}^{, }}{\partial n}d\delta$

Шексіздіктегі және беттеріндегі шарттарды ескерсек, мына өрнек шығады:

$\lim_{R \rightarrow \infty}{\int_{V_{R}}^{}{{(\nabla\varphi}^{, }) }^{2}}d\tau = 0$

Бұдан интеграл астындағы өрнек оң болғандықтан,

${\nabla\varphi}^{, } = 0$ немесе $\varphi^{, } = const$

$\varphi^{б}\left \infty \right. \ = 0$ ескерсек $\varphi^{, } = 0$ теңдігі алынады. Қойылған есептің бірден-бірекендігі дәлелденеді.

2. 4. Зарядталған шардың өрісін қарастырайық.

Радиусы а өткізгіш шардың бетіне $\varphi_{0}$ потенциалы берілсін. Шардың бетіндегі өріс және зарядтардың тығыздығы мына формуламен анықталады:

$\varphi = \frac{\varphi_{0}}{r}a$ және $\sigma = \frac{\varphi_{0}}{4\pi a}$

Егер шар бетіндегі $\varphi_{0}$ потенциалдың орнына оған берілген толық зарядтың шамасы берілсе, онда:

$\varphi = \frac{e_{0}}{a}$ , $\sigma = \frac{e_{0}}{{4\pi a}^{2}}$ , $\varphi = \frac{e_{0}}{r}$ , (r>a)

Шардың сыйымдылығы С=a. Яғни, оңашаланған шардың сыйымдылығы сан жағынан оның радиусына тең.

2. 5. Сфералық конденсатор туралы есепті қарастырайық.

Жүйе екі концентрлі өткізгіш сферадан тұрады. Радиусы $r_{1}$ ішкі шардың потенциалы $V_{0}$ болсын, ал радиусы $r_{2}$ сыртқы шар жермен қосылған делік. Онда конденсатордың ішіндегі өрісті табу $\mathrm{\Delta}\varphi = 0$ теңдеуін және мынадай шарттарды қанағаттандыратын $\varphi\left r_{i} \right. \ = V_{0}$ , $\varphi\left r_{2} \right. \ = 0$ , $\varphi$ функциясын іздеуге әкеледі.

Бұл жағдайда сфералық конденсатордың сыйымдылығы және потенциалы төменді формулалармен анықталатынын оңай көрсетуге болады.

$\varphi = \frac{r_{1}r_{2}}{r_{2} - r_{1}}V_{0}\left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right)$ ,

$\varphi = \frac{r_{1}r_{2}}{r_{2} - r_{1}}$ , $V_{0}\left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right)$ C= $\frac{r_{1}r_{2}}{r_{2} - r_{1}}$

Егер радиустары $r_{1}$ және $r_{2}$ цилиндрлік конденсаторды қарастырсақ (сыртқысы жермен қосылған, ал ішкісіне $\chi$ заряд берілсін), конденсатордағы өрістің потенциалы мына формуламен есептеледі:

$\varphi = 2\chi\ln\frac{r_{1}}{r_{2}}$

III. Грин формуласы. Шешімді интегралды түрде ұсыну.

Эллипстік теңдеулерді зерттегенде, біз жиі Остроград формуласының тікелей салдары болатын Грин формуласын қолданамыз. Остраград формуласының қарапайым түрі төменде келтірілген:

$\iiint_{V}^{}\frac{\partial R}{\partial z}dxdydz = \iint_{S}^{}{Rcos\gamma d\sigma}$ (3. 1)

Мұндағы: V- тегіс S бетімен шектелген көлем, R(x, y, z) T+S ішінде еркінше алынған үздіксіз функция. Сонымен қатар, оның туындысы V көлемнің ішінде үздіксіз деп есептелінед. $\gamma$ -z осінің бағытымен S-ке тұрғызылған сыртқы нормаль арасындағы бұрыш. Остроград формуласы әдетте мынадай түрде жазылады:

$\iiint_{V}^{}\left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) d\tau = \iint_{S}^{}{\left\{ Pcos\alpha + Qcos\alpha + Rcos\gamma \right\} d\sigma}$ (3. 2)

Мұндағы: $d\tau = dxdydz$ элементтің көлемі, $\alpha = (nx)$ , $\beta = (nx)$ , $\gamma = (nx)$ - S бетіне тұрғызылған сыртқы нормальмен координаталық осьтердің арасындағы бұрыштар, P, Q, R, еркінше алынған дифференциалданатын функциялар.

Егер P, Q, R, қандай да бір $\overrightarrow{A} = P\overrightarrow{i} + Q\overrightarrow{j} + R\overrightarrow{k}$ векторының компонентасы ретінде қарастырылса, онда Остроград формуласын төмендегідей түрде жазуға болады:

$\iiint_{V}^{}{div\overrightarrow{A}}d\tau = \iint_{S}^{}{A_{n}d\sigma}$ (3. 2)

Мұндағы: $div\overrightarrow{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$ ,

$A_{n} = Pcos\alpha + Qcos\beta + Rcos\gamma$

Сыртқы нормаль бойндағы $\overrightarrow{А}$ векторының құраушысы.

Енді Грин формуласын қорытайық:

$u = u(x, y, z)$ және $v = v(x, y, z)$ өздерінің бірінші туындыларымен бірге V+S-тің сонымен қатар, V-ның ішінде екінші ретті үздіксіз туындылары бар функциялар деп есептейік.

$P = u\frac{\partial v}{\partial x}$ , $\ \ \ Q = u\frac{\partial v}{\partial y}$ , $R = u\frac{\partial v}{\partial z}$

Деп алып, (1. 2) Остраград формуласын пайдалансақ, Гриннің бірінші формулсы шығады.

$\iiint_{V}^{}{u\mathrm{\Delta}udr = \ \iint_{S}^{}{u\frac{\partial u}{\partial n}}}d\sigma - \iiint_{V}^{}{\left( \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial} \right) d\tau}$ (3. 3)

Мұндағы:

$\mathrm{\Delta} = \frac{\partial^{2}}{{\partial x}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{{\partial y}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ - Лаплас операторы

$\frac{\partial}{\partial n} = cos\alpha\frac{\partial}{\partial x} + cos\beta\frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}$ сыртқы нормаль бағытында алынған туынды.

V облысы бірнеше беттермен шектелуі мүмкін. Бұл жағдайда да Грин формуласы қолданылады, бірақ беттік интеграл V көлемін шектейтін барлық бет бойынша алынуы қажет.

IV. Қарапайым облыстар үшін шеттік есептерді айнымалыларды бөлу әдісімен шешу.

Қандай да бір қарапайым облыстарды (шеңбер, тік төртбұрыш, шар, цилиндр т. б) Лаплас теңдеуі үшін шеттік есепті айнымалыларды бөлу әдісі арқалы шешеді. Бұл жағдайда меншікті мәндерімен пайда болған есептер (Штурм-Лиувилля есептері) әртүрлі арнайы функцияларға әкеледі. Біз есепті шешу кезінде тек тригонометриялық функциялар қолданылатын Дирихле (ішкі және сыртқы) есептерін қарастырайық.

Шеңбер үшін шеттік есепті шешейік:

$\mathrm{\Delta}u = 0$

Шеңбер ішінде $\mathrm{\Delta}u = 0$ теңдеуін және u=f шеңбер шекарасында (4. 2) шекаралық шарттарды қанағаттандыратын функцияны табайық. Мұндағы: f-берілген функция. Бастапқыда біз f функциясы үздіксіз және дифференциялданатын, сонымен қатар, u(М) шешімі тұйық облыста үздіксіз деп болжамдап аламыз. Бас нүкткесі шеңбердің центрінде орналасқан полярлық координаталар $(\rho, \varphi)$ жүйесін енгізейік.

(4. 1) теңдеуді полярлық координата мынадай болып түрленеді:

$\mathrm{\Delta}u = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left( \rho\frac{\partial u}{\partial\rho} \right) + \frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial\varphi^{2}} = 0$ (4. 3)

Есептің шешімін айнымалыларды бөлу әдісімен іздестірейік:

$u(\rho, \varphi) = R(\rho) \varphi(\varphi) \neq 0$

Осы өрнекті (4. 3) теңдеуіне қойсақ, төмендегі қатынас шығады:

$\frac{\frac{d}{d\rho}\left( \rho\frac{dR}{d\rho} \right) }{\frac{R}{\rho}} = \frac{\varphi^{,, }}{\varphi^{, }} = \lambda$

Мұндағы: $\lambda = const$ . Бұдан екі теңдеу алынады:

$\varphi^{,, } + \lambda\varphi = 0,$ $\varphi \neq 0$ (4. 4)

$\rho\frac{d}{d\rho}\left( \rho\frac{dR}{d\rho} \right) - \lambda R = 0,$ $R \neq 0$ (4. 5)

(4. 4) теңдеуі мынаны береді:

$\varphi(\varphi) = Acos\sqrt{\lambda\varphi} + Bsin\sqrt{\lambda\varphi}$

$\varphi$ бұрышын $2\pi$ шамасына өзгертсек, бір мағыналы $u = (\rho, \varphi)$ функциясы бастапқы мәндеріне оралуы керек.

$u(\rho, \varphi) + 2\pi = u(\rho, \varphi)$ (периодтылық шарты) .

Бұдан $\varphi(\varphi + 2\pi) = \varphi(\varphi),$ яғни $\varphi(\varphi)$ периоды $2\pi$ болатын $\varphi$ бұрышының периодты функциясы. Бұл тек $\sqrt{\lambda} = n$ болғанда ғана мүмкін. Мұндағы, n бүтін сандар. Онда: